Научная статья на тему 'Интуиция в формировании математических понятий'

Интуиция в формировании математических понятий Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

CC BY
324
96
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Science Time
Область наук
Ключевые слова
ИНТУИЦИЯ / ЛОГИКА / ОПРЕДЕЛЕНИЯ / ПРЕДСТАВЛЕНИЯ / МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ / СООТНОШЕНИЕ / ЗНАНИЯ / УМЕНИЯ

Аннотация научной статьи по наукам об образовании, автор научной работы — Маликов Турсынбек Сабирович

В работе показаны результаты многолетнего исследования автором соотношения интуитивного и логического компонентов в процессе обучения математике в средней школе. Выявлены ряд новых закономерностей, которые экспериментально подтверждены и теоретически обоснованы. Сформулирован обобщенный принцип о доминирующем влиянии интуиции в процессе формирования представлении о математических понятиях в мышлении учащихся. Научная новизна результатов исследования обоснована многолетним успешным внедрением выработанных положений в практику обучения математике.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Интуиция в формировании математических понятий»

SCIENCE TIME

ИНТУИЦИЯ В ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

Маликов Турсынбек Сабирович, Кокшетауский государственный университет им. Ш. Уалиханова,

г. Кокшетау

E-mail: Malikov7@yandex.kz

Аннотация. В работе показаны результаты многолетнего исследования автором соотношения интуитивного и логического компонентов в процессе обучения математике в средней школе. Выявлены ряд новых закономерностей, которые экспериментально подтверждены и теоретически обоснованы. Сформулирован обобщенный принцип о доминирующем влиянии интуиции в процессе формирования представлении о математических понятиях в мышлении учащихся. Научная новизна результатов исследования обоснована многолетним успешным внедрением выработанных положений в практику обучения математике.

Ключевые слова: интуиция, логика, определения, представления, математические понятия, соотношение, знания, умения.

В данных тезисах изложены некоторые результаты, полученные автором в процессе многолетнего исследования по теме «Соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике в средней школе» [7, 8, 9].

1. Много интересного и неожиданного показало качественное экспериментальное исследование знаний учащихся, которые не знали или не помнили определения понятий в той формулировке, посредством которых вводили эти понятия. Из числа этих учащихся были отобраны те, которые при этом успешно занимались математикой, показывали хорошие умения в процессе решения задач, доказательстве теорем и т.д.. Иначе говоря, мы интересовались не столько тем, знают или не знают учащиеся определения понятий, сколько хотели понять, каким образом они обходятся без знания точных определений некоторых понятий, т.е. какими интуитивными представлениями оперируют в рассуждениях в этой ситуации (например, о понятиях функции, векторе, телах вращения).

Во-первых, было установлено, что формирование понятий в сознании

учащихся зависит не столько от методических установок авторов учебных пособий и от той логической структуры, которая принята ими в изложении учебного материала, сколько обусловлено в большей мере другими объективными факторами, сущность которых кроется в интуитивном мышлении.

Целенаправленный эксперимент показал также, что интуитивные факторы оказывают большее влияние на формирование математического понятия в сознании учащихся, чем та работа, которая направлена на изучение формулировок их определений.

Тогда, как многие ученые в 90 годах [1, 2, 3, 4, 6 и др.] спорили о методических преимуществах тех или и иных методик введения понятий, у учащиеся удивительно единообразно формировалось представление о некоторых основных понятиях (например, функции, векторе и др.), вне зависимости от того, по какому учебнику вводилось это понятие, вне зависимости от той или иной дидактической идеологии, вне зависимости от времени обучения (30 лет).

Например, как бы теоретически убедительно ученые ни доказывали преимущества теоретико-множественного определения понятия функции, исходя из лозунга, что расплывчатое нечеткое не может быть лучшим для понимания, чем логически строгое определение, учащиеся никак не хотели воспринимать функцию как множество упорядоченных пар, совершенно лишенных динамики (может главного интуитивного качества этого понятия для школьного курса математики), а все время «скатывались» к интуитивному осмыслению ее через слово «зависимость» (или его эквивалента). Было показано, что у учащихся, обучавшихся по трем различным учебникам с различной дидактической идеологией, к выпускному классу до экзаменов формировалось одно и то же представление об этом понятии.

Но эти рассуждения касаются не всех понятий в равной мере, например, понятие параллелограмма без однозначного знания характеристического свойства (параллельности противоположных сторон) не может дать результатов истинных доказательств. Но и для таких понятий характерно то, что в итоге учащимся не запоминаются порядок следования из характеристического свойства других, а формируется целостное восприятие понятия, обладающего всеми свойствами, без всякого приоритета и логического упорядочения их по логическому следованию.

Исходя из такой идеологии, было рекомендовано при формулировке определений математических понятий в качестве одного из главных факторов учитывать пра-вильное интуитивное восприятие, которое должно сформироваться в процессе их изучения и которое в перспективе будет востребовано в процессе математических рассуждений учащихся.

Одним словом, проблемно-поисковая, творческая познавательная деятельность учащихся оказывает доминирующее влияние на окончательное

формирования представлений о математических понятиях в сознании учащихся, эта деятельность учащихся требует такого понимания понятий, которые были бы удобны и востребованы для успешного ее функционирования в поисковой познавательной деятельности, причем это влияние происходит объективно, вне зависимости от того, учтены они авторами и учителями в методике введения понятий или нет.

2. Интуитивный компонент в формировании представления о математических понятиях мы проанализировали более подробно, так как в обучении он не учитывается, по нашему мнению, в должной мере. Для оптимизации процесса формирования понятия должно быть найдено дидактически целесообразное соотношение в нем интуиции и логики. Важное значение в определении такого соотношения имеет рассмотрение их взаимосвязи с позиции диалектики, зависит от того насколько удается осознать противоречия, вызванные между интуитивными представлениями учащихся и возникающими в итоге логических рассуждений фактов. Собственно, это противоречие и служит источником движущих сил в развитии математики, моделируя которую можно активизировать познавательный процесс учащихся, моделировать как научный процесс.

Если исходить из такого диалектического взаимодействия интуиции и логики, то оно предъявляет определенные требования к уровню логической строгости, к уровню обобщенности определений математических понятий. Усиление логических требований должно идти постепенно через разрешение последовательно возникающих противоречий между интуицией и логикой, т. е. интуитивный компонент в рассуждениях учащихся должен быть соответственно усилен в порядке поляризации с логическим компонентом. Резкое одностороннее усиление логических требований к рассуждениям или к формулировкам определений, повышение уровня обобщенности определений не позволяет заострить противоречия, проблемные ситуации, в которых в качестве одной из сторон выступают интуитивные рассуждения.

Итак, цели активизации познавательной деятельности учащихся требуют усиления интуитивного компонента наряду с логическим, притом в их диалектическом сочетании.

3. Однако определения некоторых понятий, принятых в школе, в корне расходятся с тенденциями интуитивного представления об этих понятиях, хотя из множества логически строгих эквивалентных определений можно было бы выбрать такие, которые более соответствовали бы интуиции. Не учитывать же интуитивные факторы при формировании понятий, как мы уже говорили, просто невозможно, поскольку они действуют объективно, независимо от нашего желания. Эти факторы оказываются более сильными, дидактически более эффективными, формирующими более адекватное представление о

соответствующих понятиях.

Внутренняя причина этого, на наш взгляд, достаточно очевидна: интуиция обращается к объективной реальности и потому отражает объект наиболее полно и целостно, учитывая совокупность его свойств в комплексе. В то же время в логике номинальное определение математического объекта, отражающего изучаемый реальный объект, подвержено лишь требованиям логического характера. Поэтому логически удовлетворительным является любое определение, обеспечивающее полное соответствие между исходным реальным объектом и его математическим вариантом лишь с точки зрения объема понятий.

Естественно, что логически вполне разумная тенденция к экономичности определений приводит к тому, что логическое определение абстрагируется от некоторых свойств соответствующего реального объекта - именно тех, которые могут быть логически выведены из остальных его свойств, положенных в основу определения, и независимо от их важности для интуитивных представлений.

С точки зрения логики несущественно, какие именно свойства положены в основу, насколько целесообразно выделение этих свойств с дидактической точки зрения, с точки зрения интуитивного представления о рассматриваемом объекте, эффективности дальнейшего изучения соответствующего математического понятия, облегчения его применений в решении задач, и, более широко, на практике. Между тем именно эти факторы являются определяющими в обучении.

Мы не можем не напомнить здесь о выраженной в учебнике А. П. Киселева [5] тенденции к формулированию избыточных определений -логически неэкономных, но обеспечивающих овладение геометрическими понятиями, ориентированное на усвоение его «главных» свойств, практику, т. е. в конечном счете на приобретение реальных математических знаний.

Одну из основных функций логики мы видим в том, чтобы она, диалектически взаимодействуя с интуицией и эвристическими рассуждениями, способствовала развитию сильной математической интуиции у учащихся, на основе которой можно было бы продуктивно работать в процессе изучения математики, в процессе творческой математической деятельности.

Литература:

1. Александров А.Д. Так что же такое вектор? // Математика в школе.- 1984. № 5. - С. 39-46

2. Владимиров В.С., Понтрягин Л.С., Тихонов А.Н. О школьном математическом образовании // Математика в школе.-1979. №3.-С. 12-14.

3. Дъедонне Ж.Д. Надо ли учить «современной математике?»: Пер. с англ. // Математика в школе. - 1976.№1.-С.88-91.

SCIENCE TIME

4. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе.-1978. №2.- С.10-27.

5. Киселев А.П. Элементарная геометрия. -М.: Просвещение, 1980. - 226с.

6. Колмогоров А.Н. Замечания о понятии множества в школьном курсе математики // Математика в школе. - 1984.№1.- С. 52-53.

7. Маликов Т. С. Логический и интуитивный компоненты в определениях математических понятий // Математика в школе (Москва). - 1987. №2 1. - С. 44-

8. Маликов Т.С. О доказательствах «очевидных» фактов школьного курса геометрии // Математика в школе (Москва).-1988. №6.- С.24-26.

9. Маликов Т.С. Интуиция и логика в математическом творчестве // Бшм -Образование. - Алматы, 2012. -№2, С. 9-14.

48.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.