Интегральные представления функций гармонических в кольце Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.946

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ГАРМОНИЧЕСКИХ В КОЛЬЦЕ

© О. Э. ЯРЕМКО*, Т. В. ЕЛИСЕЕВА**

*Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа **Пензенский государственный университет, кафедра высшей и прикладной математики e-mail: yaremki@yandex.ru

Яремко О. Э., Елисеева Т. В. - Интегральные представления функций гармонических в кольце // Известия

ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 38-42. - В статье получены различные интегральные представления для функции гармонической в кольце. Полученные результаты могут быть применены для решения обратных краевых задач, типа задачи Адамара. Исследование основано на методе операторов преобразования.

Ключевые слова: интегральное представление, обратная краевая задача, оператор преобразования.

Yaremko O. E., Eliseeva T. V. - Integral representation of harmonic functions in a ring // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im. V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 38-42. - In article the integral representations for harmonic function in a ring are resulted. The received results can be applied to the decision of return boundary problems, type of Hadamard problem. Research is based on a method of transform operators.

Keywords: the integral representations, a return regional problem, transform operator.

В работе И. И. Баврина [1] установлено интегральное представление для функции, аналитической в кольце, по её значениям на внутренней окружности. В настоящей работе предлагается аналогичное интегральное представление для функции гармонической в кольце.

Задача (а): пусть функция u = u (z) гармоническая в кольце {z : R < |z| < l},R < 1, непрерывная в замкнутом кольце {z :R <|z|<l} и пусть на внутренней окружности C(r0) = {д:|f = r0},R <r0 < 1 заданы значения функций u = u (z) и L0 [u (z)] :

u (w) = f ^, Lo [u (w)] = g (v),

здесь

f = roe‘w,Lo [u (r,v)~\ = ru'r (r,v).

Требуется восстановить функцию u = u (z) в кольце {z: R < |z| < l}.

Задача (б): пусть функция u = u (z) гармоническая в кольце {z: R < |z| < l}, непрерывная в замкнутом кольце {z: R < |z| < l} и пусть на двух внутренних окружностях C(rl) = {д: |f = rl } C(r2 ) = {д : f = r2} r2 < r

чения u (rv) = f (v^ u (r2,v) = f2 (v).

Требуется восстановить функцию u = u (z) в кольце {z: R < |z| < l}.

Лемма 1. Для функции w = F(z), голоморфной в кольце {z: R < |z| < l} справедлива формула:

F (z) = П /Г e~l:,,(;(6f) +l]F (g) +2П /0" e"k,exp (6f ]F if)—**, (1)

здесь z = re,,p, д = r0e'v.

В приведенной формуле функция w = F(z) восстанавливается в кольце {- : R < |-| < l} по ее значениям на внутренней окружности {д: |7 = r0}.

Доказательство. Воспользуемся формулой из [1]:

F (- )=^ JT,(exp (s; )д -“p (s7)1 )F (g) dgd‘-

Установим равенство:

j: e~sj )exp (г7 У7) d7ds=г e~sj jg exp (*7 ]+^ (7) 7ds-

Для этого обозначим: Jq exp|^£ —|f(7) — = Ф(^) , тогда J^ exp|^£ —|f(7) — = Ф1 (^),

и, следовательно,

j; e~l(,)(-exp (г- )|f 7 fde=fе"ф'(e) de = -Ja(ro)F 7 d77+Jo” e-sJc(ro)exp (г- ^ 7—ds.

•>0 ' •’Чг, ) ' ' г •'0 •’Ч'Ъ) I д

Лемма 2. Если функция и = и (г) = и (г,у) удовлетворяет условию:

£4 [и ](г м) йУ = 0 (2)

и если функция V (г,р) определена равенством:

у (г,р) = :т- [Г^А) [и ]( г,Р + у) , (3)

2П0

то пара функций и,V является парой сопряженных гармонических функций в кольце {г: R < \г\ < 1}, т.е. удовлетворяет системе уравнений Коши- Римана: ги!г = vр, г^г = -и^.

Доказательство. Проверяем первое из уравнений:

^ (Г,^) = 2Л[0"^( А[и ](г,Р + ^))р М = ~П[*У( А[и ]( г,Р + У)\ М = =2л(^( А0 [и](г,р+^))10П - £4 [и]( г,Р +у) й^)=А0 [и ](г,р).

Здесь мы учли, что

£4 [и ](г ,р + у) йу = [ ^А0 [и](г,у) йу = [ А0 [и](г,у) йу = 0.

Проверим второе уравнение:

"Г (г,Р) = ^ [2"УА0А0 [и](г,Р + У)йУ.

2П0

Так как функция и (г, р) - гармоническая, то А0А0 [и ] + и11рр = 0 и, поэтому,

( г,р) = -~Т [ГуиРр( г,Р + у) йУ =-~Т- (\и^( г,Р + У) йУ = -К( г,Р + 2п) + ^~ и (г,Р + У)| Г =-иУ( г,Р). 2П0 2П0 2п 0

Следствие 1. Пусть функция V (г,р) определенна равенством (3), тогда функция F (г,р) = и (г,р) + ^ (г,р),

является аналитической в кольце {г : R < \г\ < 1}, причем

F(г0,р) = /(р) + ^(р), h(р) = (р + У )йУ .

2П0

При этом выполнено равенство: У (р) = g (р).

Приступим к решению задачи (а).

Теорема 1. Пусть функция и = и (г) , гармоническая в кольце {г : Я < |г| < 1}, непрерывная в замкнутом кольце {г: Я < |г| < 1}, тогда решение задачи (а) находится по формуле:

'(z )=Пі,) Lo[u М]f-ln ГО+П’ )Re (exp (е—]+exp И)- 1]u (— fds+

(

1 г ’ in о

+-----1 e

2п о

(

Re

exp I e — I - exp I e —

г 2п у У —] У z

Го e

(4)

L0[u (—)] —

de.

У]

Доказательство. Перепишем формулу (1) в полярной системе координат:

F (z )=ini’ e~efy—exp (e—]+^ W) Wde + 2пІо’ е" fexp —У (w)—dwde+

+ini’ єЄо2п(—exp {‘—]+1](ih W)) Wde+2П Го’ e~‘fexp (e— ](ih (-))—d-de

(Б)

S v S

Интегрирование по частям в третьем и четвертом слагаемых, элементарные преобразования в первых двух слагаемых, приводит формулу (5) к виду:

F (z )=П” е_вГ(exp w dwde+П” exp И- ^^dwde-

._L г2n

2по

i2^ (-)d-+іпіо» e

exp I e— I -1

-g (w) dW

de —— Г e 2по

exp I e— I-1

f--------, g (w) dw

de.

Переходя к действительным частям и выполняя элементарные преобразования, получим:

(. 1 f ’ fin

z) =— Г e-ef Re > 2П о •’о

exp |e—] + exp |e—) -1

1 (•’ in о

+---1 e

2по

Re

j2П-о

f Г z) Г —

exp I e —]- exp I e —

s

/(w)d—de-

(6)

g(w)dw

d .

V /

Избавимся от ограничений (2). Для этого от гармонической в кольце функции и = и (г) перейдем к функции

и (г)-2-г* и и1п -

2П0 г0

также гармонической в рассматриваемом кольце и удовлетворяющей условию (2). В результате из формулы (6) с учетом равенств:

1 Г2п

2п

получаем доказываемую формулу (4).

Следствие. Если г0 = 1, то формула (4) дает решение так называемой задачи Адамара [2].

Приступим к решению задачи (б).

Решение задачи опирается на формулу из работы [1]:

' (Го>р) = /(р)> гиГ (Го>р) = я (р)- 2- 1о2пЯ (w)dW

(7)

p (z) = 2- j” e~er°Го j^ (2 Re exp (e rei(p-w))] - 1)p (Гое- ) dwde ,

(8)

j

ь

о

8

u

которая восстанавливает функцию р = р (г), гармоническую в единичном круге, по ее значениям на внутренней окружности {д: д = г0}.

Г 2

Будем считать в дальнейшем, что — < 1. Как известно [3], функцию и = и(г) , гармоническую в кольце

К

{г : К < |г| < 1} можно представить в виде:

и (г,ф) = V (г,ф) + —,ф| + а0 + а11п —, (9)

здесь V(г,ф),w(г,ф)- некоторые функции, гармонические в круге {г : |г| < 1}, а0,а1, числа подлежащие определе-

нию. Не уменьшая общности, можно считать выполненными условия:

| V (т,фр1ф = 0, | (т,фр1ф = 0. (10)

Из формулировки задачи (б) следует выполнение условий:

v (г—ф) + w( г—ф) + а0 = /— (ф)

,2

V(Гі,^) + ^1 1 + а0 + аі1п^ = fl (ф)

Из соотношений (10) следует, что

2П0

В итоге задача (11) принимает вид:

Цж А (фУф-!^ (фУф

2п

1п г2 - 1п г1

V(Г2,ф)+ ™(Г2,ф) = /02 (ф)

К Г1ф) + 1

Г г2 ^

2

Г1-ТФ

V Г1 У

= Лі (ф) >

здесь

/02 (ф) = /2 (ф) - О» /І2 (ф) = /1 (ф) - а0 - а1 1п —.

'’(Г,ф) + 1

( г2 ^

гГ2,ф V Г1 У

Из формулы (8) следует, что

v(г,р) + w(г,р) = —-£”^г-|0-П(-^ехр(еге'(фм)) -^ (м)йуйе,

По” 1Т(-ReexP (еге'<Р-^)) -(м) йУйе

Из двух полученных равенств находим неизвестные функции w (г,ф), V (г,ф):

w( г,ф) = —Л/0”ф(гг-’к ) г- |Г(-ReexP (е^-^)-^Л— (м) ^(1е-

- -По”^'1, к ) Г‘ —'ЯееХР (8ге'(фМ^})-1)/01 М ^(!е.

V (Г,ф) = —П^0”Ф(Srl, к ) Г1 ЮГ(—'ЯееХР (еге'(фМ))-1)/01 (м) М(!е-

--ПГФ(ег1— 1 г—,к)г1— 1 г—1<Г(—■ЯеехР(егеФ)) -^Л— (м)dVds,

где

2

к =

да

,ф = ф(г,к) = ^ехр(-гк1)к .

(11)

1=0

Г

V '2 У

Подставив выражения для функций V (г,ф), w( г,ф) в формулу (9) после группировки слагаемых и переходя к декартовым координатам, получим формулу:

(

(д) Сдсіє + - Г“фГ Re

ід П0 (г2)

( є —\[к | и (д)—Сє +

+-! [ и(д)С£-

2пС(1) К ’ід

Сд 1п г2/ г 1

Сд 1п г / г1

'д 1п г—/ г1 —П с(г—) 'д 1п г—/ г1

Замена функций /01 (м),/0— (м) на функции / (м),/— (м) не приводит к изменению правой части и позволяет избавиться от ограничений (9).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баврин И. И. Обратная задача для интегральной формулы Коши в кольце // Доклады РАН. 2009. Т. 428. № 2. С. 151-152.

2. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.