Научная статья на тему 'Интегральные направляющие функции и периодические решения включений с каузальными операторами'

Интегральные направляющие функции и периодические решения включений с каузальными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
151
43
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВКЛЮЧЕНИЕ / КАУЗАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР / ИНТЕГРАЛЬНАЯ НАПРАВЛЯЮЩАЯ ФУНКЦИЯ / ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ / ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ / DIFFERENTIAL INCLUSION / CAUSAL MULTIOPERATOR / INTEGRAL GUIDING FUNCTION / PERIODIC SOLUTIONS / COINCIDENCE TOPOLOGICAL DEGREE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Корнев Сергей Викторович, Обуховский Валерий Владимирович

В настоящей работе предлагаются новые методы решения периодической задачи для нелинейного объекта, описываемого дифференциальным включением с каузальным оператором. В первой части работы предполагается, что правая часть включения имеет выпуклые замкнутые значения. Далее мы предполагаем, что правая часть невыпуклозначна и полунепрерывна снизу. В обоих случаях для исследования рассматриваемой задачи применяется интегральная направляющая функция.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Корнев Сергей Викторович, Обуховский Валерий Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

INTEGRAL GUIDING FUNCTIONS AND PERIODIC SOLUTIONSFOR INCLUSIONS WITH CAUSAL MULTIOPERATORS

In the present paper the method of guiding functions is applied to study the periodic problem for a differential inclusion with a causal multioperator. At first we consider the case when the multioperator is closed and convex-valued. Then the case of a non-convex-valued and lower semicontinuous right-hand part is considered.

Текст научной работы на тему «Интегральные направляющие функции и периодические решения включений с каузальными операторами»

6. Bryson E.R., Yu-Chi Ho Applied Optimal Control: Optimization, Estimation and Control. Blaisdell Publishing Company, 1969.

7. Buskens C., Maurer H. SQP-methods for solving optimal control problems with control and state constraints: adjoint variables, sensitivity analysis and real-time control // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000. V. 120. P. 85-108.

8. Alexandrov V.V. and Budninskiy M.A. On Kinematic Control Extremals // European Control Conference (ECC), Zurich, Switzerland, 2013. P. 210-214.

9. Dubovickij A.YA., Milyutin A.A. Neobhodimye usloviya slabogo ehkstremuma v zadachah optimal'nogo upravleniya so smeshannymi ogranicheniyami tipa neravenstva // Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki, 1968. T. 8. № 4. S. 725-779.

10. Natanson I.P. Theory of Functions of a Real Variable // Ungar. New-York, 1955.

11. Arutyunov A.V., Karamzin D.Yu., Perejra F.L. Usloviya otsutstviya skachka resheniya sopryazhennoj sistemy principa maksimuma v zadachah optimal'nogo upravleniya s fazovymi ogranicheniyami // Tr. IMM UrO RAN, 2014. T. 20. № 4. S. 29-37.

12. Zaharov E.V., Karamzin D.YU. K issledovaniyu uslovij nepreryvnosti mery-mnozhitelya Lagranzha v zadachah s fazovymi ogranicheniyami // Differencial'nye uravneniya, 2015. T. 51. № 3. S. 395-401.

13. Afanas'ev A.P., Dikusar V.V., Milyutin A.A., Chukanov S.A. Neobhodimoe uslovie v optimal'nom upravlenii. M.: Nauka, 1990. 320 s.

Received 9 February 2016.

Gorbacheva Anna Viktorovna, Russian State Social University, Moscow, Russian Federation, Lecturer of the Applied Mathematics Department, e-mail: avgorbacheva@inbox.ru

Karamzin Dmitry Yurjevich, Dorodnicyn Computing Center of the Federal Research Center "Informatics and Control" of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Senior Researcher, e-mail: dmitry_karamzin@mail.ru

УДК 517.911.5

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-55-65

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВКЛЮЧЕНИЙ С КАУЗАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

© С. В. Корнев, В. В. Обуховский

В настоящей работе предлагаются новые методы решения периодической задачи для нелинейного объекта, описываемого дифференциальным включением с каузальным оператором. В первой части работы предполагается, что правая часть включения имеет выпуклые замкнутые значения. Далее мы предполагаем, что правая часть невы-пуклозначна и полунепрерывна снизу. В обоих случаях для исследования рассматриваемой задачи применяется интегральная направляющая функция. Ключевые слова: включение; каузальный оператор; интегральная направляющая функция; периодические решения; топологическая степень.

1. Введение

Изучение систем, описываемых дифференциальными и функциональными уравнениями с каузальными операторами, введенными Л. Тонелли (см. [1]) и А.Н. Тихоновым (см. [2]), привлекает внимание многих исследователей. Понятие «каузальный» пришло из техники и оказалось мощным инструментом для унификации задач в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений с конечным или бесконечным запаздыванием, интегральных уравнений Вольтер-ра, функциональных уравнений нейтрального типа и др. (см. [3]). Различные задачи для функционально-дифференциальных уравнений с каузальными операторами были рассмотрены в работах [4-10]. В частности, граничная и периодическая проблемы изучались в [5] и [7]. В настоящей работе мы применяем метод интегральных направляющих функций в исследовании периодической задачи для дифференциального включения с многозначным каузальным оператором.

Основные идеи метода направляющих функций были сформулированы М.А. Красносельским и А.И. Перовым еще в середине прошлого века (см [11, 12]). Будучи геометрически наглядным, этот метод первоначально применялся к изучению периодических и ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (см, например, [13-15]). Позже этот метод был распространен на случай дифференциальных включений (см., например, [16, 17]), функционально-дифференциальных уравнений и включений (см., например, [18, 19]) и другие объекты. Сфера применения была расширена на изучение качественного поведения и бифуркации решений (см., например, [20]), асимптотики решений (см., например, [21, 22]). Эти и другие аспекты метода направляющих функций и его приложений, а также дополнительную библиографию, можно найти в недавно вышедшей монографии [23].

Работа организована следующим образом. После предварительных сведений (п. 2), где определяется, в том числе, понятие многозначного каузального оператора, мы формулируем периодическую задачу для дифференциального включения с каузальным мультиоператором, приводится основной результат работы для включений как с выпуклозначным и замкнутым каузальным мультиоператором (п. 3), так и для случая, когда правая часть включения является полунепрерывным снизу мультиотображением с невыпуклыми значениями (п. 4).

2. Предварительные сведения

В дальнейшем используются известные понятия и терминология из анализа и теории многозначных отображений (мультиотображений) (см., например, [16, 17, 24, 25]). Напомним некоторые из них.

Пусть (Х,йх) и (У,йу) — метрические пространства. Символами Р (У), С (У), К (У) обозначаются совокупности всех, соответственно, непустых, замкнутых или компактных подмножеств пространства У. Если У — нормированное пространство, то символами Сь(У) и Кь(У) обозначаются совокупности всех непустых выпуклых замкнутых и, соответственно, компактных подмножеств пространства У.

Пусть Е - сепарабельное банахово пространство; Ь1([а,Ь]; Е) обозначает банахово пространство (классов эквивалентности) суммируемых по Бохнеру функций / : [а, Ь] ^ Е.

Определение 1. Непустое множество М С Ь1([а,Ь]; Е) называется разложимым, если для любых /,д € М и любого измеримого по Лебегу множества т С [а, Ь] выполнено

/кт + дк{[ад\т) € М,

где кт - характеристическая функция множества т .

Определение 2. Мультиотображение Е : X ^ Р (У) называется полунепрерывным сверху (пн. св.) в точке х0 € X, если для любого е> 0 найдется 5> 0 такое, что из того,

что dX(x0,x) <5 следует, что F(x) С Ue(F(x0)), где символ Ue обозначает е-окрестность множества.

Определение 3. Мультиотображение F : X — P (Y) называется пн. св., если оно пн. св. в каждой точке x € X.

Определение 4. Мультиотображение F : X — P (Y) называется полунепрерывным снизу (пн. сн.) в точке x0 € X, если для любого е> 0 найдется 5> 0 такое, что из того, что dX(x0,x) <5 следует, что F(x0) С Ue(F(x)).

Определение 5. Мультиотображение F : X — P (Y) называется пн. сн., если оно пн. сн. в каждой точке x € X.

Определение 6. Если мультиотображение F полунепрерывно и сверху и снизу, то оно называется непрерывным.

Определение 7. Пусть F : X — P (Y) - некоторое мультиотображение. Множество Гр в декартовом произведении X х Y,

ГР = {(x,y) | (x,y) € X х Y, y € F(x)}

называется графиком мультиотображения F.

Определение 8. Мультиотображение F : X — P (Y) называется замкнутым, если его график Гр есть замкнутое множество в пространстве X х Y.

Мультиотображение будем называть мультифункцией, если оно определено на подмножестве числовой прямой.

Определение 9. Мультиотображение F : X — P (Y) называется компактным, если образ F (X) является относительно компактным в Y.

Определение 10. Однозначное отображение f : X — Y называется сечением мульти-отображения F, если

f (x) € F (x) для каждого x € X.

В дальнейшем будет использоваться следующая теорема Брессана-Коломбо-Фрышковско-го о непрерывном сечении (см., например, [26] ).

Л е м м а 1. Пусть X - сепарабельное метрическое пространство. Тогда любое пн. сн. мультиотображение F : X ^ L1([a,b]] E) с замкнутыми разложимыми значениями имеет непрерывное сечение.

Пусть I - замкнутое подмножество R, снабженное мерой Лебега.

Определение 11. Мультифункция F : I — K (Y) называется измеримой, если для любого открытого подмножества W С Y его прообраз

F-1(W) = {t € I : F(t) С W}

- измеримое подмножество I .

Замечание 1. Всякая пн. сн. мультифункция измерима.

Замечание 2. Всякая измеримая мультифункция F : I — K (Y) обладает измеримым сечением, т. е. существует такая измеримая функция f : I — Y, что f(t) € F(t) почти для всех (п.в.) t € I.

Определение 12. Мультиотображение F : I х X — K (Y) удовлетворяет условию подлинейного роста, если существует неотрицательная суммируемая по Лебегу на I функция а(^) такая, что п.в. t € I

||F(t,x)\\ := max \\y\\ < a(t)(l + ||x||).

y&F (t,x)

В дальнейшем мы будем использовать определения и элементарные свойства топологической степени однозначных и многозначных векторных полей (см., например, [11, 17, 24, 25]).

Пусть Т> 0 и а > 0 - данные числа. Символами С([кТ - а, (к + 1)Т]; Мп) и Ь1 ((кТ, (к + + 1)Т); Мп) , где к € ^ , мы обозначаем соответствующие пространства непрерывных и суммируемых функций с обычными нормами.

Для подмножества ^С Ь1 ((кТ, (к + 1)Т); Мп) и т € (кТ, (к + 1)Т) сужение N на (кТ,т) определяется как

N \ (кТ,т) = {/ \ (кТ,т): / €М}.

Определение 13. Будем говорить, что 2 - каузальный мультиоператор, если для каждого к € ^ мультиотображение

2 : С ([кТ - а, (к + 1)Т ]; Мп) ^ Ь1((кТ, (к + 1)Т); Мп)

задано таким образом, что для каждого т € (кТ, (к + 1)Т) и для любых

О, О € С ([кТ - а, (к + 1)Т]; Мп)

условие и 1[кт-а,т] = V \[кт-а,т] влечет 0.(и) \(кТ,т)= \(кТ,т) ■

Рассмотрим примеры каузальных мультиоператоров. Обозначим С банахово пространство С ([-а, 0]; Мп).

Пример 1. Пусть мультиотображение Е : М хС — Kv (Мп) удовлетворяет следующим условиям:

(Е1) мультифункция Е (•, с): М — Kv (Мп) допускает измеримое сечение для каждого с €С;

(Е2) мультиотображение Е (г, •) : С — Kv (Мп) полунепрерывно сверху для п.в. г € М;

(Е3) для любого г > 0 найдется локально суммируемая неотрицательная функция Пг(•) € Ь]ос (М) такая, что

\\Е (г,с)\\ :=8пр{\\у\\ : у € Е (г,с)}< Пг (г) п.в. г € М ,

для всех с € С, ||с\\ < г.

Известно (см., например, [24, 25]), что при условиях (Е1) - (Е3) для каждого к € ^ определен мультиоператор суперпозиции

Тр : С ([кТ - а, (к + 1)Т]; Мп) ^ Ь1 ((кТ, (к + 1)Т); Мп),

Те (и) = {/ € Ь1 ((кТ, (к + 1)Т]; Мп) : / (г) € Е (г, и*) п.в. I € (кТ, (к + 1)Т)}.

Здесь иг €С определено как и*(в) = и(г + в), в € [-а, 0]. Мультиоператор Те является каузальным.

Пример 2. Пусть Е: М хС — Kv(Шn) - мультиотображение, удовлетворяющее условиям (Е1) - (Е3) примера 1. Пусть ^(г, в): -ж <в < г< - непрерывное семейство линейных

операторов в Мп и т € Ь1ос(М; Мп) - данная локально суммируемая функция. Для каждого к € ^ рассмотрим интегральный мультиоператор типа Вольтерра д : С ([кТ - а, (к + 1)Т]; Мп) ^ Ь1 ((кТ, (к + 1)Т); Мп), определенный как

д(и)(г) = т(г) + / K(г, в)Е(в, и3)йз,

кТ

т. е.

д(и) = {у € Ь1 ((кТ, (к + 1)Т); Мп) : у(г) = т(г) + / * K (г, в)/(в)йв : / € Те (и)}.

кТ

Мультиоператор д также является каузальным.

Пример 3. Пусть мультиотображение Е : М х С — K (Мп) удовлетворяет следующему условию почти полунепрерывности снизу:

( Fl ) найдется последовательность непересекающихся замкнутых множеств {Jn}, Jn Q R n = = 1, 2,... такая, что: (i) meas (R \(J n Jn) = 0; (ii) сужение F на каждое множество Jn xC полунепрерывно снизу.

При условиях (Fl), (F3) (см., например, [24, 25]) для каждого к € Z мультиоператор суперпозиции

Pf : C ([кТ - а, (к + 1)Т]; Rn) ^ L1 ((кТ, (к + 1)Т); Rn) также определен и каузален.

3. Периодическая задача для включений с каузальными мультиоператорами

Обозначим Ct пространство непрерывных Т -периодических функций x : R ^ Rn с нормой \\x\\c = sup \\x(t)\\ .Через 11x^2 мы обозначаем норму функции x в пространстве L2 , te[0,T ]

!tí 4 2

\\x\\2 = I J \x(s)\2 ds

Для определения понятия периодического каузального мультиоператора, рассмотрим для к € Z следующий оператор сдвига jk : L1 ((кТ, (к + 1)Т); Rn) ^ L1 ((0, Т); Rn):

jk (f )(t) = f (t + кТ).

Определение 14. Каузальный мультиоператор Q называется Т -периодическим, если для каждых x € Ct и к € Z выполнено

jk (Q(x\[kT-r,(k+1)T])) = Q(x\[-T,T])-

Для обеспечения периодичности каузальных мультиоператоров в вышеуказанных примерах, достаточно полагать, что мультиотображения F являются Т -периодичными по первому аргументу:

F(t + Т, c) = F(t, c)

для всех (t,c) € R x C ив примере 2 дополнительно считать, что функция m(t) и семейство K(t,s) также Т -периодичны:

m(t + Т) = m(t) для всех t € R;

K(t + Т, s + Т) = K(t,s) для всех -то <s < t<

Ясно, что условие Т -периодичности каузального мультиоператора позволяет рассматривать его только на пространстве C([-г,Т]; Rn).

Сформулируем теперь нашу основную задачу:

Для заданного Т -периодического каузального мультиоператора Q, найти решение следующего операторного включения:

x € Q(x), (1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где x € Ct - абсолютно непрерывная функция.

3.1. Случай выпуклозначного каузального мультиоператора

Обозначим ЬТ пространство суммируемых Т -периодических функций / : М — Мп . В этом разделе мы предполагаем, что Т -периодический каузальный мультиоператор 2: Ст — Cv(ЬT) имеет выпуклые значения и удовлетворяет следующим условиям:

(21) для любого ограниченного линейного оператора А: ЬТ — Е, где Е - банахово пространство, композиция А о 2 : Ст — Cv(E) - замкнутый мультиоператор;

(22) существует неотрицательная Т -периодическая суммируемая функция а(г) такая, что

\\2(х)(г)\ < а(г)(1 + \\х(г)\\) п.в. г € м, для каждой функции х € Ст .

Для обеспечения условия (21) в примерах 1 и 2 достаточно предполагать, что помимо вышеуказанных условий периодичности, мультиотображение Е удовлетворяет условиям (Е1)

- (Е3) (см. [16], теорема 1.5.30), а для выполнения условия (22) мы можем предположить в примере 1 выполненным условие подлинейного роста, а в примере 2 следующее условие глобальной интегральной ограниченности

\\Е(г,с)\\ < 7(г) п.в. г € [0,Т],

для некоторой неотрицательной суммируемой функции 7(г).

Для изучения периодической задачи (1) мы используем теорему о точке совпадения для линейного фредгольмова оператора и многозначного отображения. Введем необходимые обозначения.

Пусть Е1 , Е2 - банаховы пространства; и С Е1 - ограниченное открытое множество; I: Бош I с Е1 — Е2 - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса такой, что 1т I С Е2 замкнуто.

Рассмотрим непрерывные линейные операторы проектирования р : Е1 —у Е1 и д : Е2 —У

— Е2 такие, что 1т р = Кег I, 1т I = Кег д. Символом 1Р обозначим сужение оператора I на Бош Iп Кег р.

Далее, пусть непрерывный оператор крд : Е2 — Бош I п Кег р определен соотношением кр,д(у) = I- 1(у - д(у)), У € Е2; канонический оператор проектирования п : Е2 — Е2/ 1т I имеет вид п(у) = у + 1ш I, у € Е2; и ф : Сокег I — Кег I - непрерывный линейный изоморфизм. Пусть д : и — Kv(E2) замкнутое мультиотображение такое, что

(a) д(и) - ограниченное подмножество Е2;

(b) мультиотображение кр,д од : и — Kv(El) компактно и полунепрерывно сверху.

Справедливо следующее утверждение (см. [24], лемма 13.1). Лемма 2. Пусть

(г) 1(х)/\д(х) для всех X € (0,1] , х € Бош Iп ди ;

(п) 0/пд(х) для всех х €Кег Iп ди ;

(ггг) degKer ¡(фпд\ик ,и кег I )=0, где символ degKer г обозначает топологическую степень многозначного векторного поля, вычисляемую в пространстве Кег I, и икег I = и п Кег I.

Тогда I и д имеют точку совпадения в и, т.е. найдется х€и такое, что 1(х) €С(х) . Напомним следующее понятие (см., например, [11, 18, 19]).

Определение 15. Непрерывно дифференцируемая функция V : Мп — М называется невырожденным потенциалом, если найдется K > 0 такое, что

vV (х) = 0

для всех х €МП , \\х\\ > K.

Из определения невырожденного потенциала V вытекает, что на каждом замкнутом шаре Вк С Мп с центром в нуле радиуса K > K, топологическая степень градиента deg(vV; В к) корректно определена и, более того, ее значения не зависят от радиуса K . Это общее значение степени называется индексом V невырожденного потенциала V.

Определение 16. Непрерывно дифференцируемая функция V : Мп — М называется строгой интегральной направляющей функцией для включения (1), если найдется Ы> 0 такое, что

[ ^(х(в)),/(в)) (1в> 0 для всех /€ 2(х), (2)

■ 'о

для любой абсолютно непрерывной функции х€СТ такой, что \\х\\2 > N и \\х/(г)\<\2(х)(г)\ п.в. г [0, Т] .

Теорема 1. Пусть V : Мп — М - строгая интегральная направляющая функция задачи (1) такая, что

Ш V = 0.

Тогда задача (1) имеет решение.

Отметим, что условия теоремы выполнены, если, например, функция V четна или удовлетворяет условию коэрцитивности: Нш V (х) = .

Доказательство. Сведем задачу к лемме 2, обосновав разрешимость следующего операторного включения

1х € 2(х), (3)

где I :Бош I := {х€Ст : х абсолютно непрерывна} с Ст — ЬТ - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса. Тогда Кег I = Мп, проекция п :

ЬТ — Мп может быть задана формулой

т

п/ = Т / /(в) ёв и мультиоператоры п2 и кр,д2 выпуклозначны и компактны на ограничено

ных подмножествах.

Пусть для некоторого X € (0,1] функция х € Бош I является решением включения

1(х) € Х2(х).

Это означает, что х(-) является абсолютно непрерывной функцией такой, что х'(г) = X/(г) п.в. г € [0, Т] , для некоторого / € 2(х) . Тогда

гТ 1 г т

/о х о

1 [т „...... 1

X

откуда

^(х(в)), /(в)) йв = - ^(х(в)), х (в)) йв = х У о

Ст , 1

V'(х(в)) йв = Т(У(х(Т)) - V(х(0))) = 0,

Л х

\\х\2 <N.

Из условия (Я2) вытекает, что \\х'\\2 < М', где М' > 0 . Но тогда найдется и такое М > 0,

что

\\х\\с <М.

Возьмем в качестве и шар Вг С Ст радиуса г = ш&х{К,М,МТ-1/2} . Тогда имеем

¡(х) / \а(х)

для всех х € ди .

Возьмем произвольное и € ди п Кег1 .Получаем \\и\\ > МТ-1/2 и, рассматривая и как постоянную функцию, из определения строгой интегральной направляющей функции получаем

I (УУ (и),/ (в)) (в> 0 ./о

для любого / €Я(и) . Но тогда

Г(УУ(и), /(в)) (18 = (УУ(и), Г /(в) с1в) = Т(УУ(и), п/) > 0, оо

и, следовательно,

(УУ(и), у) > 0

для любого у € пQ(u) .

Это означает, что 0€пQ(u) и, более того, мультиполе пQ(u) и поле УУ(и) не допускают противоположных направлений для и € ди п Кег I. Это означает, что эти поля гомотопны, что и влечет равенство соответствующих топологических степеней:

deë(пQ\uKeI гйкег I) = <1еЕ(УУ,йКег ¡) = 0,

где икег I = и п Кег ¡. Таким образом, все условия леммы 2 выполнены и задача (3), а, следовательно, и задача (1) имеют решение. Теорема доказана.

3.2. Случай полунепрерывного снизу каузального мультиоператора

Теперь мы рассмотрим периодическую задачу для класса включений с невыпуклозначными полунепрерывными снизу каузальными мультиоператорами. Именно, мы будем предполагать, что Т -периодический каузальный мультиоператор Q : Ст ^ Р(ЬТ) удовлетворяет условию

(^ь) Q полунепрерывен снизу и имеет замкнутые разложимые значения

и условию (Q2) .

В качестве примера каузального мультиоператора, удовлетворяющего условиям (^ь) и (Q2), мы можем рассмотреть суперпозиционный мультиоператор Рр, порожденный Т -периодическим по первому аргументу мультиотображением Р : М хС^ К (Мга), удовлетворяющим условию почти полунепрерывности снизу (Рь) и условию подлинейного роста.

Теорема 2. Пусть Q : Ст ^ Р (ЬТ) - Т -периодический каузальный мультиоператор, удовлетворяющий условиям ( ^ь) и ^2) и У : Мга ^ М - строгая интегральная направляющая функция для соответствующей задачи (1) такая, что

1пё У = 0.

Тогда задача (1) имеет решение.

Доказательство. Применяя лемму 2, найдем непрерывное сечение q : Ct ^ LT мультиоператора Q . Для отображения q имеем соотношение

[ {VV(x(s)),q(x)(s)) ds> 0 J о

для каждой абсолютно непрерывной функции xeCT такой, что \\x\\2 >N и ||х'(£)||<||2(х)(£)|| п.в. t e [0,24.

Теперь, применяя «однозначную» версию леммы 2 (т. е. заменяя мультиотображение G непрерывным отображением g) и применяя аналогичные рассуждения, мы получим решение x следующего уравнения

l(x) = q(x),

которое является решением задачи (1). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali di Volterra // Bull. Calcutta Math. Soc., 1930. V. 20. P. 31-48.

2. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. МГУ. Секция А. Сер. матем. и мех., 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1-25.

3. Corduneanu C. Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications, 16. London: Taylor and Francis, 2002.

4. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Differential equations with causal operators in a Banach space // Nonlinear Anal., 2005. V. 62. №2. 301-313.

5. Drici Z, McRae F.A., Vasundhara Devi J. Monotone iterative technique for periodic boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2006. V. 64. № 6. P. 1271-1277.

6. Jankowski T. Boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2008. V. 68. № 12. P. 3625-3632.

7. Lupulescu V. Causal functional differential equations in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2008. V. 69. № 12. P. 4787-4795.

8. Obukhovskii V., Zecca P. On certain classes of functional inclusions with causal operators in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2011. V. 74. № 8. P. 2765-2777.

9. Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера с локально сжимающими операторами // Известия вузов. Математика, 2010. № 8. С. 16-29.

10. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В., Алвеш М.Ж. Корректность уравнений с обобщенно вольтерровы-ми отображениями метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1669-1672.

11. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1966.

12. Красносельский М.А., Перов А.И. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1958. Т. 123. № 2. С. 235-238.

13. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. M.: Наука, 1975.

14. Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society. Providence. R.I., 1979.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

15. Mawhin J., Ward J.R. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential equations // Discrete Contin. Dyn. Syst., 2002. V. 8. № 1. P. 39-54.

16. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Изд. 2-е. М.: Либроком, 2011.

17. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Berlin: Springer, 2006.

18. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1987. V. 99. № 1. P. 79-85.

19. Kornev S., Obukhovskii V. On some developments of the method of integral guiding functions // Funct. Differ. Equ., 2005. V. 12. № 3-4. P. 303-310.

20. Loi N.V., Obukhovskii V., Zecca P. On the global bifurcation of periodic solutions of differential inclusions in Hilbert spaces // Nonlinear Anal., 2013. V. 76. P. 80-92.

21. Kornev S., Obukhovskii V., Yao J.C. On asymptotics of solutions for a class of functional differential inclusions // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 2014. V. 34. Issue 2. P. 219-227.

22. Корнев С.В., Обуховский В.В. Асимптотическое поведение решений дифференциальных включений и метод направляющих функций // Дифференциальные уравнения, 2015. Т. 51. № 6. С. 700-705.

23. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.

24. Deimling K. Multivalued Differential Equations. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992.

25. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

26. Fryszkowski A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht: Kluwer AP, 2004.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00468, 16-01-00386) и Российского научного фонда (грант 14-21-00066).

Поступила в редакцию 15 декабря 2015 г.

Корнев Сергей Викторович, Воронежский государственный педагогический универитет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: kornev _ vrn@rambler.ru

Обуховский Валерий Владимирович, Воронежский государственный педагогический универитет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики, e-mail: valerio-ob2000@mail.ru

UDC 517.911.5

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-55-65

INTEGRAL GUIDING FUNCTIONS AND PERIODIC SOLUTIONS FOR INCLUSIONS WITH CAUSAL MULTIOPERATORS

© S.V. Kornev, V.V. Obukhovskii

In the present paper the method of guiding functions is applied to study the periodic problem for a differential inclusion with a causal multioperator. At first we consider the case when the multioperator is closed and convex-valued. Then the case of a non-convex-valued and lower semicontinuous right-hand part is considered.

Key words: differential inclusion; causal multioperator; integral guiding function; periodic solutions; coincidence topological degree.

ACKNOWLEDGEMENTS: The present work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects № 14-01-00468, 16-01-00386) and by the Russian Scientific Fund (grant 14-21-00066).

REFERENCES

1. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali di Volterra // Bull. Calcutta Math. Soc., 1930. V. 20. P. 31-48.

2. Tihonov A.N. O funkcional'nyh uravneniyah tipa Volterra i ih primeneniyah k nekotorym zadacham matematicheskoj fiziki // Byul. MGU. Sekciya A. Ser. matem. i mekh., 1938. T. 1. V. 8. S. 1-25.

3. Corduneanu C. Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications, 16. London: Taylor and Francis, 2002.

2016. T. 21, Bbm. 1. MaTeMaTHKa

4. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Differential equations with causal operators in a Banach space // Nonlinear Anal., 2005. V. 62. №2. 301-313.

5. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Monotone iterative technique for periodic boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2006. V. 64. № 6. P. 1271-1277.

6. Jankowski T. Boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2008. V. 68. № 12. P. 36253632.

7. Lupulescu V. Causal functional differential equations in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2008. V. 69. № 12. P. 4787-4795.

8. Obukhovskii V., Zecca P. On certain classes of functional inclusions with causal operators in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2011. V. 74. № 8. P. 2765-2777.

9. Burlakov E.O., ZHukovskij E.S. Nepreryvnaya zavisimost' ot parametrov reshenij uravnenij Vol'tera s lokal'no szhimayushchimi operatorami // Izvestiya vuzov. Matematika, 2010. № 8. S. 16-29.

10. ZHukovskij E.S., ZHukovskaya T.V., Alvesh M.ZH. Korrektnost' uravnenij s obobshchenno vol'terrovymi otobrazheniyami metricheskih prostranstv // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2010. T. 15. V. 6. S. 1669-1672.

11. Krasnosel'skij M.A. Operator sdviga po traektoriyam differencial'nyh uravnenij. M.: Nauka, 1966.

12. Krasnosel'skij M.A., Perov A.I. Ob odnom principe sushchestvovaniya ogranichennyh, periodicheskih i pochti-periodicheskih reshenij u sistem obyknovennyh differencial'nyh uravnenij // DAN SSSR, 1958. T. 123. № 2. S. 235238.

13. Krasnosel'skij M.A., Zabrejko P.P. Geometricheskie metody nelinejnogo analiza. M.: Nauka, 1975.

14. Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society. Providence. R.I., 1979.

15. Mawhin J., Ward J.R. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential equations // Discrete Contin. Dyn. Syst., 2002. V. 8. № 1. P. 39-54.

16. Borisovich YU.G, Gel'man B.D., Myshkis A.D., Obuhovskij V.V. Vvedenie v teoriyu mnogoznachnyh otobrazhenij i differencial'nyh vklyuchenij. Izd. 2-e. M.: Librokom, 2011.

17. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Berlin: Springer, 2006.

18. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1987. V. 99. № 1. P. 79-85.

19. Kornev S., Obukhovskii V. On some developments of the method of integral guiding functions // Funct. Differ. Equ., 2005. V. 12. № 3-4. P. 303-310.

20. Loi N.V., Obukhovskii V., Zecca P. On the global bifurcation of periodic solutions of differential inclusions in Hilbert spaces // Nonlinear Anal., 2013. V. 76. P. 80-92.

21. Kornev S., Obukhovskii V., Yao J.C. On asymptotics of solutions for a class of functional differential inclusions // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 2014. V. 34. Issue 2. P. 219-227.

22. Kornev S.V., Obuhovskij V.V. Asimptoticheskoe povedenie reshenij differencial'nyh vklyuchenij i metod napravlyayushchih funkcij // Differencial'nye uravneniya, 2015. T. 51. № 6. S. 700-705.

23. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.

24. Deimling K. Multivalued Differential Equations. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992.

25. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

26. Fryszkowski A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht: Kluwer AP, 2004.

Received 15 December 2015.

Kornev Sergei Viktorovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: kornev _ vrn@rambler.ru

Obukhovskii Valerii Vladimirovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Head of the Higher Mathematics Department, e-mail: valerio-ob2000@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.