CC BY
6
УДК 517.91:532.2
М.П. Ленюк, О. М. Шктна
1НТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ, ПОРОДЖЕНЕ Г1БРИДНИМ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИМ ОПЕРАТОРОМ ЕЙЛЕРА-ЕЙЛЕРА-ФУР'С НА ПОЛЯРН1Й ОС1 Г > R > О
Постановка проблеми та aHaii3 публiкацiй за темою дослвдження. Одним i3 ефективних методiв побудови точного аналогичного розв'язку алгоритмiчною характеру математично! фiзики неоднорiдних середовищ е метод гiбридних iнтегральних перетворень, започаткований в роботi Я.С.Уфлянда [1] й розвинутий та математично обгрунтований в робот [2]. Це дало змогу алгебрш'зувати сепаратнi системи лiнiйних диференщальних рiвнянь з частинними пох1дними.
Цшь статтi. При моделюваннi технологiчних процеав за рiзними степеневими законами з'являються гiбриднi диференцiальнi оператори типу Ейлера-Ейлера-Фур'е. Запровадженню
iнтегрального перетворення, породженого на полярнш осi Г > > О з двома точками спряжения
пбридним диференцiальним оператором Ейлера-Ейлера-Фур'е, присвячена ця стаття.
Основна частина. Запровадимо методом дельта-подiбноl послiдовностi (ядро Дiрiхле) iнтегральне перетворення, породжене на множит
12 = {Г : Г £ (Rq,Ri) ^ (Ri,R2) ^ (R2,ю);Ro > 0} гiбридним диференцiальним оператором (ГДО)
d 2
M{a) = в(г - Rq )в(Ri - r)a2B*ai + в(г - Ri )в(R2 - r)a22B^ + в(г - R2 )aj (i)
d2 d
Тут в(X) - одинична функцiя Гевюайда [3], B* = r--Y (2a + 1)r--Ya -
dr dr
диференщальний оператор Ейлера 2-го порядку [4]; 2a +1 > 0,(a) = (a ,a2).
Означення. Областю визначення ГДО назвемо множину G вектор-функцiй
g(r) = g (r); g2 (r); g3 (r)} з такими властивостями:
1) вектор-функщя f (r) = {B* [gi (r)];B^ [g2 (r)];g3(r)} неперервна на множинi I +;
2) функцп g■ (r) задовольняють крайовi умови
dk g
(aii %r + Aii)gi(r) r=R = 0, lim —g3 = 0, k = 0,i; (2)
'ш 0 г^ю drk
3) функцп' g (r) задовольняють умови спряження
[(ak %r + &)g*(r)-(ak2 %r + Pi )gk+i(r)]г-=я„ = 0; j,k = i2.
r =Rk = 0; j, k = i,2. (3)
Оскшьки ГДО самоспряжений i мае одну особливу точку Г = Ю, то його спектр
дшсний та неперервний [2]. Можна вважати, що спектральний параметр ß £ (0, ю). Йому вiдповiдае дiйсна спектральна вектор-функцiя
2
V(a) (Г, ß) = Х в(г - Rk-i )в(Rk - Г)V(a);k (Г, ß) + в(г - R2 )^3 (r, ß) (4)
k=i
При цьому функцп' Г«)-k(r, ß) повиннi задовольняти вiдповiдно диференцiальнi рiвняння Ейлера та Фур'е
(B; + b2 )V(a);j (r, ß) = 0, r £ (Rj-i, Rj), j = i,2, d1
(—! + b3 )V(a);3 (Г, ß) = 0, Г £ (R2 , Ю), (5)
крайовi умови (2) та умови спряження (3); Ъ ■ = а^(Р + ку , ку — 0, ] = 1,3.
В силу лiнiйностi спектрально! задачi Штурма-Лiувiлля (5), (2), (3) функцп У(а).] (г, Р) будемо вiдшукувати як лшшну комбiнацiю фундаментально! системи розв'язшв:
¥(а);] (г,Р) = А]Г-а] 008(Ъ]- 1п г) + В]Г~а-' 81п(Ь] 1п г),] = 1,2 (6)
¥{а);3(г,Р) = А3 С08(Ъзг) + Вз Э!п(Ьзг). Крайова умова (2) в точщ Г = В) та умови спряження (3) для визначення шести величин А ., В ■ (] = 1,3) дають алгебра!чну систему п'яти рiвнянь:
^01111(^1, Во) А + ¥а^и(Ь1, В) В = 0 ¥¿1]1 (Ъ,В1)А + ]1 (Ъ,В1)В1 - ]2(Ъ2,В)А2 - ¥12,]2(Ь,В1)В2 = 0,] = 1,2; ^221]1(Ь2,В2)А12 + ¥^22]1 (Ъ2,В2)В2 - V]22(ЪзВ2)Аз - В2)Вз = 0. (7)
Алгебра!чна система (7) сумiсна [5]. У результат стандартного розв'язання алгебра!чно! системи (7) й тдстановки одержаних значень А та В (] = 1,з) у рiвностi (6) маемо функцп:
);1 (г,р) = Ча2 (р^з р^а,В>^ 008^ г) - ¥^111(ъ1,в>8^ 1п г)], ^);2(Г,Р) = С22Ъз(^;21(Ъ1,В0,Д)^2^,В>а 00802 Ь Г) - ¥^^2,В1) Х X г - а 81п(Ъ2 1п г)] - ^;П(Ъ1; В,, В^Й?^, В1)г- а 00802 1п г) -
¥^^(¿2, ВУ - ^т^Ь г)]}
У(а);з (г, Р) = ®(а);2 (Р) С08(Ъзг) - Ю(а(р) 81п(Ъзг). (8) У рiвностях (8) беруть участь функцп:
(ЬъВ0,В1) = ¥01ц(Ъ1,В)¥Ц]1(Ь1;В1) - ¥а02„(Ъ1,В0)¥^11^г-1 (¿1,Ва)^./ = 1,2;
2ик(Ъ1; В, Л)=¥^21;12(Ъ2, в^22^, В2) - ¥«12;12(Ъ2, В >¥221*^ж (Ъ2, В2); ], к = 1,2;
«(«);] (Р) = 3а1;П3а2;2] - 3а1;23;1 ] (Ъ2В1,Ъ2В2);^ (Р) = ^ВГ(2"2 +1) ®(а);] (Р = «( «);1 (У (Ъ3В ) - *(а);2 (Р)У/ (ЪзВ2 ),] = 1,2.
Ва iншi функцi! загальноприйнятi [2]. Визначимо величини:
02«2 +1 1 ~ „2^ С11С12 В1__1 „2_ с12 1 „2 -..
а =--о—л—о—тт, а ^ =--о—гг, а ^ = 1;
1 1 ^ г)2 а1 +1 г>2«2 +1 ' 2 2 ^ г)2 а +1 ' з з
-21с22 В1 В2 С22 В2
к г>к к г>к
с]к = ак]Р1] - а1]А],
вагову функц1ю
2
я(г) = Х 0(г - в-1ЖВк - г)°кг2 а-1 + 0(г - В
к=1
та спектральну щiльнiсть
^(а)(Р) = Р[Ъз(Р)]-1([^(а);1(Р)]2 + [^(а);2(Р)]2)-1.
Наявнють вагово! функцп ст(г) , спектрально! функцп У(а)(г, (3) та спектрально! щiльностi дозволяе визначити пряме Н(а) та обернене Н(а) гiбридне iнтегральне перетворення (ГШ), породжене на множинi I+ ГДО М(а), визначеного рiвнiстю (1) [6]:
^■да
^ g(Г)У(а)(г, ()((г)йт = ~((), (9)
1 2 еда
Н^)[~(()] = -\0 ~(()У(а)(г,№{а)(№( = g(г) (10)
Математичним обгрунтуванням правил (9), (10) е твердження. Теорема 1 (про штегральне зображення). Якщо вектор - функщя
2 -V
/(г) = [X в(т - Кк_1)в(Як - г)га-12 + в(г - Я2) •1]g(г)
к=1
неперервна, абсолютно сумовна й мае обмежену варiацiю на множинi (^^, да), то для будь-якого Г £ I + справджуеться штегральне зображення:
2 гда гда
g (г) = - !о у(а)(г, g (РУ(а)(Р, (((Р^рПаа^З (11)
Доведення: Доведения теореми базуеться на значент подвшного невласного iнтеграла
да да
I = - | /^(Я)У(а)(г,Я)П(а)(Я)^ЯУ(а)(г, ()((г)Ф = (12)
П Ко 0 _
якщо ( = Я £ (0, да), та дорiвнюе нулю, якщо ( = Я£(0, да). Функщя ^(Я) забезпечуе
абсолютну й рiвномiрну збiжнiсть iнтеграла по Я. Рiвнiсть (12) отримуемо методом дельта-подiбно! послiдовностi (ядро Дiрiхле) [6].
Припустимо тепер, що функцiя
да
g (г) = -\щ(РУ{а)(г, (Р(а)((У( (13)
П 0
Помножимо рiвнiсть (13) на вираз ^(г,Я)((г')dг i проiнтегруемо по г ввд г = К, до г = да. В силу рiвностi (12) отримуемо:
Подставивши в (13) функщю
^•да
„ g(г)У(а) (Г, Я)((г№ = ИЯ) (14)
¥(Р) = \ g(Р)У(а) (Р, ()(Р)4Р
приходимо до шгегрального зображення (11). Доведення теореми завершено. Введемо до розгляду величини та функцi!:
К
1
^ = а^К^ +1 : сп, d2 = а(2К^2 +1 : &(() = \^^¿(г,((а ,
±^2 да
~2(() = \g2 (г)Уа;2(г, ()( г^dг, ~з(() = \ gз(гУа;з(г,(и )Мг,
К К
К)
К0
(
К* ;)■ 2Р) = (акг-т + РлУ* );кЖ Р) !г-=кк; к = 1,2.
7к / /__к ( г>к
(гГ
Теорема 2 (про основну тотожшсть). Якщо вектор-функцiя
/ (г) = К [ (Г)]; В*2[ g2(г)]; Яз'(г) } неперервна на множит 1+, а функцп gj (г) задовольняють крайовi умови
[« %Г + $1Шг)]\ г-Ко = go, МК^ У*ауэ(г,0) - gз(r) ^)] = О (15) 7 г аг аг
та умови спряжения
[« У* + gk (г) - * %г + Р2) gk+1(Г )]| г .Як = ^';], к = 1,2, (16) то мае мiсце основна тотожиiсть Г1П ГДО ^:
3
Н( * ) [М( * ) [g(г)]] = -р~(Р) - X к?gi (Р) + (-<)-1 V* );! (Яо , РК«2Я* +1 gО +
■=1
2
+ Xак ^);12(Р)^2к - ^(РМк ] (17)
к=1
Доведення теореми здiйснюеться за ввдомою логiчною схемою [7].
Висновок: Одержаиi правила (9), (10) та (17) складають достатньо ефективний математичний апарат для одержання iнтегрального зображення точних аналiтичних розв'язк1в алгоритмiчного характеру вщповвдних стацiонарних i не стацюнарних задач математично! фiзики кусково -однорщних середовищ.
Л1ТЕРАТУРА:
1. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам математической физики / Я.С. Уфлянд //Вопросы математической физики. - Л., 1976. - С.93-106.
2. Ленюк М.П. Пбридш штегральш перетворення (Фур'е, Бесселя, Лежандра). Частина 1 / М.П. Ленюк, М.1.Шинкарик. - Терношль: Економ. думка, 2004. - 368 с.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальний курс / Г.Е. Шилов. - М.: Наука, 1965. - 328 с.
4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов - М. : Физматгиз, 1959.- 468 с.
5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош - М.: Наука, 1971. - 432с.
6. Ленюк М.П. Пбридш штегральш перетворення типу Ейлера-(Фур'е, Бесселя) / М.П. Ленюк. -Львiв, 2009. - 76 с. - (Препринт/НАН Украши. 1нститут прикладних проблем мехашки i математики iм. Я. С. Шдстригача; 02.09) - Чершвщ: Прут, 2009. - 76 с.
7. Шктна О.М. 1нтегральне перетворення, породжене на сегмент [0, Я3 ] гiбридним
диференцiальним оператором Ейлера-Фур'е-Ейлера / О.М. Нiкiтiна // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. - Чершвщ: Прут, 2012. - Вип. 21(37). - С.233-239.
ЛЕНЮК Михайло Павлович - д.ф.-м.н, професор ЧФ НТУ "ХШ". Науковi iнтереси:
- математична фiзика, математичний аналiз, математичне моделювання.
Н1КГПНА Ольга Михайлiвна - кандидат фiзико-математичних наук, доцент кафедри "Iнформацiйнi системи" Чернiвецького факультету НТУ "ХП1". Науковi iнтереси:
- математична фiзика, математичний аналiз.
