CC BY
34
ИНФОРМАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН, ОСНОВАННАЯ НА СИСТЕМАХ «МАТЕМАТИКА» И «ВЕБМАТЕМАТИКА»
"MATHEMATICA" AND "WEBMATHEMATICA" BASED TECHNOLOGY FOR TEACHING MATHEMATICAL DISCIPLINES
В статье описываются интерактивные электронные учебные пособия, предназначенные для преподавания математических дисциплин. Обсуждаются проблемы подачи материала, решаемые с использованием таких пособий.
Interactive electronic tutorials for teaching mathematical disciplines are described. The problems of teaching solved with the usage of such tutorials are discussed.
Ключевые слова: математика, ВебМатематика, информационные технологии, педагогика
Key words: mathematics, Webmath-ematics, information technology, pedagogics
«Математика» - программный продукт фирмы Wolfram Research, Inc. (США), автоматизирующий символьные, графические и численные расчеты. «ВебМатематика» - программный продукт фирмы Wolfram Research, Inc., обеспечивающий проведение интерактивных математических вычислений и обучение математическим дисциплинам по Интернету с помощью системы «Математика».
Воробьев Евгений Михайлович, д.ф.-м.н., профессор кафедры Высшей Математики ГОУ ВПО «Московского государственного университета экономики, статистики и информатики», 442-23-91, emv@miem.edu.ru Никишкин Валерий Александрович, доцент, к.ф.-м.н., заведующий кафедрой Высшей Математики ГОУ ВПО «Московского государственного университета экономики, статистики и информатики», 442-23-91, VNikishkin@teach.mesi.ru
Evgeny Mihaylovich Vorobjyov, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Chair of Advanced Mathematics in State Educational Institution of Higher Professional Education "Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics", (495) 442-23-91, emv@miem. edu.ru Valery Aleksandrovich Nikishkin, Docent, PhD, Head of Chair of Advanced Mathematics in State Educational Institution of Higher Professional Education "Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics"(495) 442-23-91, VNikishkin@teach.mesi.ru
Методики преподавания математических дисциплин можно условно разделить на две категории в зависимости от того, основываются ли они на логическом или прикладном подходе к предмету. В первом случае основные понятия изложены в наибольшей общности с привлечением теоретико-множественных и топологических понятий и изощренной логической техникой доказательств. При этом, как правило, не даются мотивировки введения того или иного понятия и пренебрегается наглядной стороной изложения. В прикладном подходе экспликация идейной основы предмета остается в тени и заменяется обучением рецептам решения прикладных задач.
Использование систем «Математика» [1] и «ВебМатематика» [2] соединяет преимущества логического и прикладного подходов. Логическая сторона усиливается тем, что вычислительные и графические ресурсы «Математики» дают возможность эксплицировать и обсуждать такие аспекты теоретических концепций, которые остаются в тени при традиционной технологии чтения курса с помощью доски и мела, авторучки и бумаги. В то же время, поручая проведение громоздких и трудоемких вычислений и построение графиков компьютеру, можно заняться выполнением интересных и запоминающихся прикладных задач.
Информационные технологии преподавания математических дисциплин, основанных на системах «Математика» и «ВебМатематика», позволяет существенно повысить эффективность преподавания за счет автоматизации сложных расчетов и визуализации математических объектов в виде графиков и рисунков.
Обучение математическим дисциплинам в системе «Математика» с помощью интерактивных учебных пособий ведется на кафедре Высшей
Экономика, Статистика и Информатика
43
№1, 2009
математики МЭСИ с 2000/2001 учебного года. В 2003 году авторами доклада был написан электронный учебник по дисциплине Высшая математика, получивший рекомендацию профильного УМО.
Учебное пособие состоит из отдельных частей - электронных документов, именуемых «Записными книжками». Каждая книжка тематически посвящена определенному разделу курса и состоит из текстового теоретического материала, выполняемых на компьютере упражнений и необходимых для выполнения упражнений и иллюстрации теоретического материала программ для компьютера, написанных авторами на языке программирования «Математика».
Отличительной характеристикой электронного учебного пособия является его интерактивный характер. Он подразумевает предоставляемую пособием возможность выполнять на компьютере разнообразные математические расчеты, изменяя стратегию вычислений на основе полученных результатов с целью добиться максимального понимания учебного материала. Учебное пособие дает возможность проводить лабораторные работы исследовательского характера по прикладным математическим моделям.
Книжки пособия структуриро-ваниы. Они состоят из глав, параграфов и т.п. Ниже приводится рисунок (Рис.1), на котором дан вид одной из страничек учебного пособия по теме «Исследование критических точек функций двух переменных».
На рисунке представлены команда «Математики» под названием Та^еПР1апе и графический объект, получаемый в результате ее выполнения на компьютере. Команда Та^еПР1апе в качестве параметров имеет уравнение двухмерной поверхности, координаты критической точки и координаты прямоугольника на плоскости независимых переменных, в котором рисуются графики поверхности и
касательнои плоскости к ней в критической точке.
Приведем текст программы, написанной на встроенном в «Математику» программном языке высокого уровня. Этот язык позволяет программировать как в традиционном процедурном стиле языков С, Паскаль и т.п., так и в стиле «правил преобразований» и функциональном стиле. Приведем в качестве примера программу TangentPlane.
«Graphics' Legend" «Graphics' PlotField" «Utilities"FilterOptions" Clear[TangentPlane]; TangentPlane[Function[expr_],Crit-icalPoint[ {a_,b_} ],Coordinate1 [x_, x0_,x1 _],Coordinate2 [y_,y0_,y 1 _], opts_] :=
Module[{plane,mx,my,intx,yinty,tp, plotexpr,p,},
plane=(expr/. {x->a,y->b} )+(D[expr,x]/. {x->a,y->b} )(x-a)+(D [expr,y]/. {x->a,y->b}) (y-b);
mx=Min[Abs[a-x0],Abs[a-x1]]/1.5;intx={x,a-mx,a+mx};
my=Mm[Abs[b-y0],Abs[b-у1]]/1.5;yinty={y,b-my,b+my}; optplot=FilterOptions[Plot3D,opts]; tp=Plot3D[Evalшte[plane],Evalu-ate [intx] ,Evaluate [ymty],Display-Function->Identity,Evaluate[optplot ],BoxRatios->{1,1,1}]; plotexpr=Plot3D[expr, {х,х0,х1}, {у,
У0,У1 } ,PlotPomtS1125,DisplayFunc-tion->Identity,Evaluate[optplot]];
p=Show[plotexpr,Graph-ics3D[{Hue[0],PointSize[0.02],Poin t[{a,b,(expr/.{x->a,y->b})}]}],Dis-playFunction->Identity,BoxRatios->{1,1,1}];
Show[tp,p,DisplayFunction->$Dis-playFunction,AxesLabel->{«x»,»y»,»z»},PlotRange->All,Bo xRatios-> {1,1,1} ,Image-
Size^ {460,400}]
]
Перед началом занятия необходимо выполнить программы, т.е. провести инициализацию пособия.
Использование интерактивных учебных пособий не предполагает никакого предварительного знакомства с «Математикой» и не требует ее изучения вдальнейшем
№1, 2009
поскольку пособие представляет собой учебную оболочку, за которой спрятано вычислительное ядро системы «Математика». Все, что нужно для использования пособия в интерактивном режиме, -это стандартные навыки работы с текстовыми редакторами типа Microsoft Word.
Студенты могут воспользоваться электронными пособиями для самостоятельного изучения лекционных курсов с помощью домашнего персонального компьютера, на котором инсталлирована «Математика». Лекторы имеют возможность проводить символьные и численные вычисления, а также создавать графический материал в лекционной аудитории, снабженной мультимедийным проектором.
Результаты вычислений, а также персональные заметки по курсу могут быть внесены в новые Записные книжки, создаваемые студентами, сохранены и использованы в дальнейшем для подготовки к экзаменам или зачетам.
Отметим, что выполнение задания отнюдь не исчерпывается работой на компьютере. Выполнение компьютерных команд и изучение получаемого графического материала служат исключительно для того, чтобы сформулировать гипотезу о поведении функции в изучаемой точке. После того как гипотеза высказана, наступает теоретическая фаза работы.
Гипотеза либо доказывается стандартными математическими рассуждениями, либо опровергается. В последнем случае требуется дополнительная работа на компьютере, т.е. процесс приобретает итеративный характер.
Занятия могут проходить как в виде лекций в аудиториях, оснащенных компьютером и проектором, так и в виде практических занятий в компьютерных классах.
Опыт преподавания показывает, что применение интерактивного учебника в учебном процессе позволяет решать задачи фунда-
ментализации математических дисциплин, усиления их практической направленности, модернизации содержания.
Под фундаментализацией понимается всестороннее и подробное обсуждение основополагающих понятий и принципов дисциплины.
Усиление прикладной направленности подразумевает: включение в лекционный курс задач и примеров, имеющих непосредственное прикладное содержание, а также обсуждение часто применяемых символьных или численных методов решения прикладных задач.
В настоящее время авторами статьи ведется работа по внутреннему гранту МЭСИ под названием «Разработка методики применения пакета ВебМатематика в учебном процессе». В рамках гранта закончена работа по созданию интерактивного учебного пособия по аналитической геометрии.
Пособие состоит из двух частей в виде двух файлов системы «Математика». В первой части содержится теоретический материал, во втором образцы решения заданий. На Рис.2 представлено второе пособие с нераскрытыми главами.
Видны главы, содержащие образцы решения заданий с номерами с первого по пятидесятый, и глава «Программы», в которой находятся разработанные авторами программы, обеспечивающие интерактивность учебного пособия. Программы написаны на программном языке высокого уровня, каковым, в сущности, является система «Математика».
На Рис.3 представлена часть раскрытой главы 1 учебного пособия с образцами решений задач с номерами с 1 по 10. Электронный документ «Математики» на Рис.4 имеет три типа ячеек: текстовые, командные и графические. В текстовых ячейках находится словесное описание хода решения задачи, в единственной командной - исполняемая «Математикой» команда, в графической ячейке -рисунок треугольника, выполненный «Математикой». Команда Triangle имеет в качестве аргументов-параметров координаты вершин треугольника на плоскости. В образце - это одни значения параметров, а студенты при решении полученной ими задачи вводят другие - координаты вершин из задания. Соответственно изменяется и рисунок.
S3 Geometry.nb * П1Е1И
|с : VDocimer ts and Settings^ 1 \Pa<
Образцы решения заданий по аналитической геометрии © Е.М. Воробьев. В .А. Никишкин, 2008 г
1 Задания 1 -10
| Задания 11 -14,20
1 Задания 15,16
1 Задания 17-13
1 Задания 21 -30
1 Задания 31 -40
1 Задания 41 - 50
| Программы ]]
* <
Рис.2. «Образцы решений» в нераскрытом виде
Экономика, Статистика и Информатика
№1, 2009
Первая часть учебного пособия с теоретическим материалом построена по тому же принципу, что и рассмотренная нами часть и также является интерактивной. Образцы решений имеют гиперссылки на главы теоретического материала.
Перечислим кратко проблемы преподавания математических дисциплин, которые успешно решаются с помощью интерактивных электронных учебников.
• Студенты концентрируют свое внимание на концепциях, а не на утомительных и громоздких вычислениях
• Преподаватель может обсуждать вопросы, которые требуют огромных временных затрат при традиционной технологии преподавания
• Визуализация делает наглядными трудные для понимания понятия
Преподавание математических дисциплин с помощью системы «Математика» сталкивается с той трудностью, что преподавателю необходимо достаточно профессионально владеть приемами использования системы с тем, чтобы адекватно реагировать на
возникающие у студентов проблемы (в основном, синтаксического характера).
Эта трудность в значительной степени преодолевается, если использовать систему «ВебМатема-тика». Она не предполагает у преподавателей и студентов каких-либо иных навыков обращения с компьютером, кроме как достаточно широко распространенного умения работать с веб-браузером в сети Интернет.
«ВебМатематика» является прикладной программой для Ява-сервера, обеспечивающей доступ по Интернету к вычислительным ядрам системы «Математика», размещенным на сервере. Тем самым, становятся реальными удаленные вычисления при помощи компьютеров, не обладающих инсталлированными на них прикладными программами для вычислений, или компьютеров с ограниченными ресурсами.
Правда, с помощью «ВебМа-тематики» на данном сервере можно проводить не любые вычисления, а лишь те, которые предусмотрены разработчиками ВебМатематика-сайта, хотя, потенциально, все вычисления, кото-
рые способна проводить система "Математика".
Используя «ВебМатематику», сервер по запросу пользователя,
осуществляемого с веб-браузера на пользовательском персональном компьютере, создает HTML-страницу с активными элементами, предназначенными для передачи информации от пользователя на сервер, и отправляет созданную страницу пользователю.
Каждый активный элемент предназначен для выполнения определенной команды системы "Математика" как встроенной, так и апрограммированной разработчиком HTML-страницы. В качестве HTML-страниц можно после соответствующей обработки использовать интерактивные электронные учебные пособия, которые были ранее описаны.
HTML-страницы интерактивного учебного пособия внешне выглядят совершенно так же, как и на компьютере с инсталлированной системой «Математика». Однако вместо ячеек с командами «Математики» на веб-странице находятся так называемые формы, состоящие из полей ввода математической информации и кнопки Evaluate.
На рисунке Рис.4 представлена веб-страница с Интернет-версией учебного пособия по функциям двух переменных. Активным элементом страницы является форма с полями ввода и кнопкой Evaluate. В поля ввода вводится уравнение, которое задает функцию, координаты критической точки и интервалы изменения независимых переменных. После чего мышкой нажимается кнопка Evaluate, и удаленный интернет-сервер, на котором ин-сталлированна система «ВебМате-матика», высылает пользователю новую страницу, на которую вклеен результат вычислений.
Преимущества использования системы «ВебМатематика» по сравнению с «Математикой» состоят в следующем.
№1, 2009
Рис. 4. Вео-странпца с Интернет-версией учебного пособия по функциям двух переменных
Во-первых, компьютер поль-
зователя может не быть оснащенным системой«Математика», а быть просто подключенным к Инернету.
Во-вторых, пользователю абсолютно не нужно знать, как используются и
как выглядят команды «Математики». Он должен обладать навыками работы с веб-браузером и знать некоторые правила ввода математических выражений.
В силу изложенного ясно, что»ВебМатематика» обладает колоссальным потенциалом использования в системах дистантного образования для обучения математическим дисциплинам как школьников, так и студентов. Упомянем в связи с этим ресурс http://inte-grals.wolfram.com, который предо-
ставляет возможность вычислять интегралы по Интернету.
Сервер с инсталлированной системой «ВебМатематика» функционировал в МЭСИ в 2005/2006 учебном году, но в связи с истечением срока лицензии прекратил свое существование. В настоящее время осуществляется покупка новой лицензии и ведутся работы по написанию новых учебных пособий.
Опыт преподавания в Московском государственном университете экономики, статистики и информатики, где «ВебМатема-тика» используется при чтении лекций и проведения практических занятий, показывает, что упомянутые преимущества весьма существенны с точки зрения обеспечения учебного процесса. Адми-
нистрирование Ява сервера проще, чем администрирование многочисленных аудиторий и компьютерных классов синсталлированной системой «Математика».
К недостаткам «ВебМатема-тики» относится то, что существующие в настоящее время ее версии не допускают использования в полях ввода традиционных синтаксических конструкций, используемых в математических формулах: дробей, степеней, математических символов суммы, интегрирования, дифференцирования и т.д. Входная информация должна быть одно-строчечной, хотя результаты вычислений свободны от этого ограничения.
Методика создания учебных пособий по дисциплинам кафедры «Высшая математика» может быть с успехом применена для созданию электронных пособий и по другим математическим и смежным дисциплинам (микро- и макроэкономика, финансовая математика и т.п.).
Литература
1. Воробьев Е.М. Введение в систему символьных, графических и численных расчетов «Математика 5». М: Диалог-МИФИ, 2005 г.
2. Webmathematica 2. User Guide. Electronic edition. Wolfram Media, 2006.
Bibliography
1. Vorobjyov, V.M. "Vvedenie v sistemu simvolnyh, graficheskih i chislennyh raschetov "Matematika: 5" (Introduction to the System of Character, Graph and Numeric Computation of program "Matematika: 5"). Moscow: Dialog-MIFI, 2005
2. Webmathematica 2. User Guide. Electronic edition. Wolfram Media, 2006.
Экономика, Статистика и Информатика HUH №1, 2009
