Инъективность и проективность полигонов над прямоугольными связками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЪЕКТИВНОСТЬ И ПРОЕКТИВНОСТЬ ПОЛИГОНОВ НАД ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ СВЯЗКАМИ И. Б. Кожухов, А. О. Петриков (г. Москва) E-mail: kozhuhov_i_b@mail.ru, petrikov.alexander@gmail.com

Важную роль в общей алгебре играют инъективные и проективные объекты. Целью данной работы является обобщение результатов о проективности полигонов над полугруппами правых/левых нулей до полигонов над прямоугольными связками. Отметим, что некоторые свойства полигонов над прямоугольными связками рассматривались в [1].

Напомним, что прямоугольной связкой называется полугруппа S = = L х R, где L — полугруппа левых, а R — полугруппа правых нулей. В данной работе мы описываем все проективные и инъективные полигоны над прямоугольной связкой. Полученное описание позволяет построить проективное накрытие и инъективную оболочку произвольного полигона.

Полигон X называется проективным, если для любого сюръектив-ного гомоморфизма а : A ^ B полигонов и любого гомоморфизма р : X ^ B существует гомоморфизм ф : X ^ A такой, что 'фа = р (мы умножаем отображения слева направо, т.е. х(фа) = (хф)а). Полигон X называется инъективным, если для любого инъективного гомоморфизма а : A ^ B полигонов и любого гомоморфизма р : A ^ X существует гомоморфизм ф : B ^ X такой, что аф = р.

Проективным накрытием полигона X называется проективный полигон P, имеющий сюръективный гомоморфизм £ : P ^ X, причем для любого собственного подполигона Pi С P ограничение £ |р не является сюръективным. Инъективной оболочкой полигона X называется минимальное инъективное расширение полигона X.

Лемма. Пусть X — полигон над прямоугольной связкой S. Тогда:

(i) Y = XS — подполигон;

(ii) U = X \ XS — подмножество (возможно, пустое), не являющееся подполигоном;

(iii) Z = XS \ US, если не пусто, является подполигоном.

Теорема 1. Пусть S = L х R — прямоугольная связка, Y = XS,

U = X \ XS, Z = XS \ US. Полигон X проективен в том и только том случае, если выполняются условия:

(i) Vu,v Е U Vs,t Е S (us = vt ^ u = v Л s = t);

(ii) Vz, z' Е Z Vr, r' Е R (zr = zr' ^ r = r').

Теорема 2. Всякий полигон над прямоугольной связкой имеет проективное накрытие.

Теорема 3. Пусть S = L х R — прямоугольная связка, X — правый полигон над S. Представим X в виде X = U U ЦiGl Zi, где U = X \ XS, Zi = ziS — попарно не пересекающиеся циклические подполигоны (орбиты), ifi (l G L) — отображения U ^ I, определяющие структуру S-полигона X. Полигон X инъективен в том и только том случае, если выполняются условия:

(i) для любого неконстантного отображения ш : L ^ I существует элемент u G U такой, что = 1ш при всех l G L;

(ii) X содержит нуль (т.е. для какого-нибудь Zi имеет место равенство |Zi| = 1) [2-7].

Библиографический список

1. Кожухов И. Б., Халиуллина А. Р. О решётке конгруэнций полигонов над прямоугольными связками // Сб. науч. тр. МИЭТ, посвящ. 70-летию А.С. Поспелова. М. : МИЭТ, 2016.

2. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories. N.Y.; Berlin, 2000.

3. Avdeyev A.Yu., Kozhukhov I.B. Acts over completely 0-simple semigroups // Acta Cybernetica. 2000. Vol. 14, № 4.

4. Халиуллина А.Р. Конгруэнции полигонов над полугруппами правых нулей // Чебышевский сборник. 2013. Т. 13, вып. 4.

5. Халиуллина А.Р. Условия модулярности решётки конгруэнций полигона над полугруппой правых или левых нулей // Дальневост. матем. журн. 2015. Т. 15, № 1.

6. Кожухов И.Б., Халиуллина А.Р. Инъективность и проективность полигонов над сингулярными полугруппами // Электронные информационные системы. 2014. Т. 2, № 2.

7. Moghaddasi Gh. On injective and subdirectly irreducible S-acts over left zero semigroups // Turk J. Math. 2012. Vol. 36.