CC BY
59Индивидуальное прогнозирование долговечности ИС
с использованием АРПСС-моделей временных рядов
Андрей СТРОГОНОВ, к. т. н.
andreis@hotmail.ru
При прогнозировании надежностных характеристик интегральных схем (ИС) по параметрическим отказам в расчеты закладывают максимальные (если в ТУ на параметр задана верхняя граница параметрического отказа), минимальные (если в ТУ на параметр задана нижняя граница параметрического отказа) или максимальные и минимальные (если в ТУ на параметр задана верхняя и нижняя граница) значения контролируемого параметра в выборке в конкретный момент времени (ОСТ В 073.902-78. Методика прогнозирования надежности ИС по постепенным отказам).
Например, для замера в момент времени і из четырех выходов одной ТТЛ ИС, связанных с параметром и01 (выходное напряжение низкого уровня), выбирается минимальное, максимальное и среднее значение, после чего для 20 ИС формируется выборка из этих значений. Из этой выборки определяется наихудшее значение параметра и0і (максимальное) для конкретной ИС. Далее определяют максимальное значение параметра и0Ь в выборке из 20 шт. в момент времени £ В момент времени і+1 вышеописанная процедура по формированию ряда деградации повторяется. Таким образом формируется ряд деградации параметра и01, составленный из наихудших значений (ОСТ 11.0787-90. Оборудование для испытаний ИС на безотказность и долговечность. Общие технические требования) при испытаниях на долговечность.
Под параметрическим отказом будем понимать пересечение верхней (для параметра и0]) границей 90%-ного доверительного интервала АРПСС-модели границ отказовых уровней по ТУ. Например, параметр и0Ь ИС типа 106ЛБ1 по ТУ ограничен сверху, поэтому за параметрический отказ принимается условие: и0і > 0,35 В.
Модель Бокса-Дженкинса [1-4] (модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего, АРПСС-модель) позволяет прогнозировать процесс деградации как по любому контролируемому электрическому параметру конкретной ИС, так и по параметру, составленному из экстремальных значений в выборке. То есть модель Бокса-Дженкинса позволяет вести как индивидуальное,
так и групповое прогнозирование долговечности. При этом под прогнозом (forecast) понимается вероятностное утверждение о будущем с относительно высокой степенью достоверности.
Метод Бокса-Дженкинса основывается на том, что гладкий нестационарный временной ряд путем взятия разностей некоторого d-го порядка можно свести к эквивалентному стационарному, то есть к случаю, для которого разработаны методы анализа и прогнозирования. В методе Бокса-Дженкинса нестационарный временной ряд Zt представляется в виде модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС, ARIMA) в прямой и возвратной формах:
Прямая форма:
ф(Б)У% = 0(B) я,, t = +1, +2, ...
Возвратная форма:
ф(Б)У% = 0(F) e,, t = -1, -2, ..., ф(В) = 1-ф!В-ф2В2-...
фРВР = 1 - £ф-В' = АР-оператор,
Н
Q{B) = 1-Q1B-Q2B2- ...
,..—QqBq = 1 = СС-оператор,
>=1
или ф(Б) Wt = 0(B) at, Wt = ,
Wt = ф1 Wt-1 + ■■■
. + <bpWt-p + at- 01at-1 - ■ - 0qяt-q,
АР-процесс:
^ = ф1^-1 + ф2^-2 + ■ ■ ■ + Фр^р + а ,
СС-процесс:
^ а- 0Л-1 - 02^-2 - •••- 0qat-q>
где ф(В), ф(Р) — операторы авторегрессии (АР); В> Р — операторы сдвига; V — оператор разности: V1Zt = = (1-В)2(; й —
порядок разности, обеспечивающий переход от нестационарного ряда к эквивалентному стационарному; р — порядок авторегрессии; ^> 0(В)> 0(Р) — порядок и операторы проинтегрированного скользящего среднего (СС) соответственно; а( > е( — последовательности независимых случайных величин> имеющих одинаковое нормальное распределение (белый шум).
В работах [5-7] модель Бокса-Дженкинса использовалась для прогнозирования процесса деградации экстремальных значений параметра и0Ь ТТЛ ИС в выборке. Данная модель позволяет строить многошаговые прогнозы ряда деградации> когда полученные прогнозные значения используются для построения новых прогнозов. Очевидно, что многошаговое прогнозирование менее точно, чем одношаговое, так как в последнем используются только фактические величины. Примеры одношагового прогнозирования процесса деградации контролируемого параметра и01 ТТЛ ИС были показаны автором ранее [8].
В данной работе предлагается использовать АРПСС-модель для индивидуального прогнозирования процесса деградации электрического параметра и0Ь конкретной ТТЛ ИС.
Время испытаний х 1000 ч ----- ряд деградации -------- прогноз ........ ±90% дов. инт.
Рис. 1. Индивидуальное прогнозирование долговечности ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 № 1 до наступления параметрического отказа по параметру У01 по результатам испытаний на долговечность втечение 100 тыс. ч:
1 — экстремальные значения (наихудшие значения) параметра в выборке из 20 шт., 130 тыс. ч испытаний;
2 — ряд деградации параметра ТТЛ ИС № 1 (недостающие значения получены методом интерполяции);
3 — ряд деградации параметра ТТЛ ИС № 1 (недостающие значения заполнены генерацией случайных чисел);
4 — точечные прогнозы АРПСС-моделей;
5 — 90%-ный доверительный интервальный прогноз модели АРПСС(2,0,0);
6 — уравнение линейной регрессии, подогнанное к ряду деградации; КТ — контрольная точка 0,282 В
Главное условие эффективности использования модели Бокса-Дженкинса — обеспечить должное число замеров контролируемых параметров. Модель для построения корректного прогноза требует не менее ЗО наблюдений (оптимально — 1ОО-2ОО наблюдений). Как при групповом, так и при индивидуальном прогнозировании долговечности ИC по параметрическим отказам большую трудность вызывают пропуски данных в рядах деградации.
Например, временной ряд замеров параметра Uql ТТЛ ИC типа 1О6ЛБ1 при испытаниях на долговечность согласно ТУ должен иметь вид: О; 1; 2; З; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 1О; 11; 12; 1З; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 2О; 21; 22; 2З; 24; 25; 26; 27; 28; 29; ЗО; З5; 4О; 45; 5О; 6О; 7О; 8О; 9О; 1ОО; 11О; 12О; 1ЗО тыс. ч. Общее число замеров N = 41, размер выборки 2О шт.
При индивидуальном прогнозировании использовался еще более короткий ряд замеров: О; 1; 2; З; 4; 5; 1О; 15; 2О; 4О; 6О; 8О; 1ОО тыс. ч. Общее число замеров N = 1З, размер выборки 2О шт.
Для получения значений ряда в равные интервалы времени необходимо использовать специальные методы получения недостающих значений, например, заполнение пропусков средними значениями ряда, методом линейной интерполяции или прогнозами линейной регрессии, аппроксимация недостающих значений кубическими сплайнами и др.
Проанализируем результаты испытаний выборки из 2О шт. ТТЛ ИC типа 1О6ЛБ1 на долговечность в течение 1ЗО тыс. ч. Параметрических отказов за время испытаний зафиксировано не было.
Построим ряд деградации, составленный из экстремальных значений параметра Uql в выборке из 2О шт. при испытаниях в течение 1ЗО тыс. ч (кривая 1) и ряды деградации этого же параметра конкретных ИC в выборке при длительности испытаний 1ОО тыс. ч, например, ряд деградации параметра Uql Ж под номером 1. На рис. 1 показан ряд деградации (кривая 2) параметра Uql ТТЛ ИC типа 1О6ЛБ1 № 1, пропуски которого заполнены методом линейной интерполяции с использованием модуля анализа временных рядов системы Statistica for Windows. Для сравнения показана подгонка уравнения линейной регрессии к исходным данным (кривая 6). Предлагается пропуски исходного ряда деградации параметра Uql заполнять случайными числами (кривая З). ^учайные числа генерируются методом Монте-Карло с использованием модуля «Анализ данных» (меню «Генерация случайных чисел») Microsoft Exel, в предположении, что справедливо нормальное распределение с конкретными параметрами ц и а (табл. 1). Затем к ряду была подогнана модель авторегрессии второго порядка АР(2)-модель или модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего АРП^рДО) и построен интервальный и точечный прогноз на глубину ЗО тыс. ч.
Было предложено сравнить прогноз модели АРПСС(2,0,0) с рядом, составленным из экстремальных значений параметра и01 в выборке из 20 шт. этих же ИС при продолжении испытаний до 130 тыс. ч (кривая 1). Недостающие значения ряда, составленного из экстремальных значений, заполнялись методом линейной интерполяции. Далее для этого ряда (кривая 1) была идентифицирована модель АРПСС(0,1,2). Сравнивая интервальный прогноз модели АРПСС(2,0,0) с кривой 1, видим, что точечный прогноз удаляется в сторону увеличения параметрического запаса, а по верхней границе 90%-ного доверительного интервала фиксируется параметрический в момент 110 тыс. ч. Такой параметрический отказ можно рассматривать как потерю доверия к точечному прогнозу модели АРПСС(2,0,0). Однако кривая 1 показывает отсутствие параметрического отказа после 130 тыс. ч испытаний. Таким образом, разброс при прогнозировании с учетом 90%о-ных интервальных прогнозов составляет 20 тыс. ч, и по точечным прогнозам параметрический отказ не фиксируется. В данном случае удается построить достоверный прогноз только на глубину 10 тыс. ч.
Аналогичным способом было предложено заполнить пропуски в рядах деградации ИС с порядковыми номерами 2, 3, 4, 5 генерацией случайных чисел и рассмотреть, как ведут себя интервальные и точечные прогнозы (рис. 2). Для рядов деградации ИС с порядковыми номерами 2, 3, 4, 5 были идентифицированы модели АРПСС(2,0,0) и построены прогнозы (табл. 2). Параметрические отказы в таблице 2 могут быть истолкованы
Таблица 1. Числовые характеристики рядов деградации пяти ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 (число экспериментальных точек N = 13) при испытаниях на долговечность в течение 100 тыс. ч
Характеристики рядов деградаций ИС 1 ИС 2 ИС 3 ИС 4 ИС 5
Среднее ^ 0,204 0,180 0,173 0,168 0,172
Стандартное отклонение а 0,027 0,042 0,042 0,049 0,029
лишь как потеря доверия к прогнозам моделей АРПСС(2,0,0). Потеря доверия к прогнозу модели АРПСС(2,0,0) для ИС № 1 произойдет через 12 тыс. ч, для ИС № 2 — через 18 тыс. ч, для ИС № 3 — через 23 тыс. ч. Точечные прогнозы АРПСС-моделей, идентифицированных для ИС с порядковыми номерами 1, 3, 4, 5, показывают не ухудшение параметров иоь рассматриваемых ИС в течение прогнозных 30 тыс. ч.
Таблица 2. Результаты прогнозирования процесса деградации параметра иоі пяти ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 (100 тыс. ч испытаний на долговечность) на глубину 30 тыс. ч. Пропуски заполнены генерацией случайных чисел (число генерируемых точек 88)
Вид модели АРПСС(2,0,0) Прогнозируемое время наступления параметрических отказов по верхней границе 90%-ного доверительного интервала, тыс. ч
ИС № 1: Zt = 0,615Zt-1+ 0,380Zt-2 + at 112
ИС № 2: Zt = 0,767Zt-1 + 0,204Zrf + at 118
ИС № 3: Zt = 0,600Zt-1 + 0,372Zrf + at 123
ИС № 4: Zt = 0,492Zt-1 + 0,472Zrf + at 129
ИС № 5: Zt = 0,505Zt-1 + 0,485Zt-2 + at 133
Время испытаний х 1000 ч ----- ряд деградации -------- прогноз ......... ±90% дов. инт.
Рис. 2. Индивидуальное прогнозирование долговечности 5 ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 до наступления параметрических отказов по параметру У01 (недостающие значения заполнены генерацией случайных чисел)
Таблица 3. Коэффициент Кр в зависимости от числа отказов п и значения доверительной вероятности Р
р Кр при п
0 ■ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
| 0,6 I 0,92 I 2,0 I 3,1 I 4,2 | 5,2 | 6,3 | 7,3 | 8,4 | 9,4 110,5]
Рассматривая параметрические отказы как «условные», можно построить основные показатели надежности партии, такие как интенсивность отказов Х(г), вероятность безотказной работы Р(т) и вероятность появления отказа Д( ?).
Рассмотрим, как можно оценить статистическое значение интенсивности отказов с учетом достоверности. Для этого воспользуемся следующей формулой [9]:
х = кр/ыт,
где Кр — коэффициент, выбираемый из таблицы 3; N — объем выборки; Т — период наработки.
Предположим, что объем выборки N = 5 и испытания проводятся до достижения 100% отказов ИС в выборке. Используя результаты
4,00Е—05 -
^ 3.50Е—05 -
и 3,00Е—05 -О
| 2,50Е—05 -
5
£ 2.00Е—05 -и
° 1.50Е—05 -
ш '
х 1.00Е—05 -
Ф
^ 5.00Е-06 -0.00Е+00 -
Рис. 3. Интенсивность отказов 5 ТТЛ ИС типа 106ЛБ1
по прогнозируемым параметрическим отказам
Условные единицы
Таблица 4. Интенсивность отказов 5 ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 по прогнозируемым параметрическим отказам, полученным с использованием АРПСС-моделей
Период наработки Т, тыс.ч Условные единицы Накопленное число отказов к моменту времени Т Коэффи- циент КР Интенсивность отказов X, 1/ч
5 1 0 0,92 0,0000368
10 2 0 0,92 0,0000184
20 3 0 0,92 0,0000092
30 4 0 0,92 6,13333Е-06
40 5 0 0,92 0,00000368
50 6 0 0,92 0,00000368
60 7 0 0,92 3,06667Е-06
70 8 0 0,92 2,62857Е-06
80 9 0 0,92 0,0000023
90 10 0 0,92 2,04444Е-06
100 11 0 0,92 0,00000184
112 12 1 2,00 3,57143Е-06
118 13 2 3,10 5,25424Е-06
123 14 3 4,20 6,82927Е-06
129 15 4 5,2 8,06202Е-06
133 16 5 6,3 9,47368Е-06
Рис. 4. Результаты испытаний на долговечность ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 втечение 120 тыс. ч: процесс деградации параметра Уо1 5 ИС (а); процесс деградации параметра Уон5 ИС (в); отношение изменения наихудших значений параметров У01 (б) и Уои(г) в выборке из 20 шт. при испытаниях на долговечность, приведенных к первичному значению
прогнозирования времени наступления параметрических отказов (табл. 2), вычислим статистическую интенсивность отказов (табл. 4 ирис. 3).
Тем не менее, остается открытым вопрос: следует ли доверять прогнозам АРПСС-мо-делей, если они так сильно занижают фактическую долговечность? С целью дать ответ на этот вопрос рассмотрим процесс деградации этих же 5 ИС после 120 тыс. ч испытаний, представив информацию в ином виде.
На рис. 4а ив показан процесс деградации параметров и0Ь и и0Н (выходное напряжение высокого уровня) ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 с порядковыми номерами 1-5 из выборки 20 шт. в координатах «параметр — логарифм времени». На рис. 4б иг показано отношение изменения наихудших значений параметров и01 и и0Н, приведенных к первичному значению. Под областью расходования ресурса понимается область, в которой происходит движение параметров к верхней или нижней границе параметрического отказа (на рис. 4 эта область обозначена значком «+»). Рис. 4б, г показывают, что наихудшие значения параметров и01 и и0Н в большей части времени испытаний находятся в области расходования ресурса. Для параметра и0Ь в период времени 20-40 тыс. ч и для параметра и0Н в диапазоне 0-15, 40-60, 80-120 тыс. ч наблюда-
ется выход из этой области. Максимальная величина дрейфа параметра и0Ь за 120 тыс. ч составляет 0,164 В (16%), что выше погрешности измерения (3% от среднего значения в выборке — 0,01 В). Максимальный размах значений напряжений параметров и0Ь и и0Н по модулю не превышает 0,2 В. Это в два раза меньше допустимого уровня статической помехи, который для большинства ТТЛ-клю-чей составляет 0,4 В (в полном диапазоне рабочих температур).
Наиболее значительный рост дрейфа параметра и01 наблюдается в последние 100-120 тыс. ч испытаний (рис. 4). Это подтверждает тот факт, что рост скорости дегра-дационных изменений гораздо сильнее проявляется при больших временах наработки, чем при малых.
Таким образом, АРПСС-модели позволяют строить индивидуальные прогнозы деградации контролируемых электрических параметров конкретных ИС в выборке и оценивать интенсивность отказов.
Работа выполнена по программе гранта РФФИ 05-08-01225-а.
Литература
1. Справочник по прикладной статистике. Т. 2:
Пер. с англ. / Под ред. Э. Лойда, У. Ледермана,
С. А. Айвазяна, Ю. Н. Тюрина. М.: Финансы и статистика. 1990.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир. 1974.
3. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе 8ТАТКТ1СА в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика. 1999.
4. Грешилов А. А., Стакун В. А., Стакун А. А. Математические методы построения прогнозов. М.: Радио и связь. 1997.
5. Строгонов А. Прогнозирование деградации выходных параметров ТТЛ ИС. Часть I // Компоненты и технологии. 2005. № 8.
6. Строгонов А. Прогнозирование деградации выходных параметров ТТЛ ИС. Часть II // Компоненты и технологии. 2005. № 9.
7. Строгонов А. Верификации прогнозов АРПСС-моделей временных рядов, применяемых для прогнозирования долговечности ИС // Компоненты и технологии. 2006. № 5.
8. Строгонов А. Использование цифровых фильтров для моделирования деградации выходных параметров ТТЛ ИС в системе МАПАБ/вШиЬМК // Компоненты и технологии. 2005. № 8.
9. Горлов М. И., Королев С. Ю. Физические основы надежности интегральных микросхем. Воронеж: Издательство Воронежского университета. 1995.
