Характеристическое кольцо Ли уравнения Жибера-Шабата-Цицейки Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 4. № 3 (2012). С. 155-160.

УДК 517.9

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО ЛИ УРАВНЕНИЯ ЖИБЕРА-ШАБАТА-ЦИЦЕЙКИ

А.У. САКИЕВА

Аннотация. В работе приведено полное описание характеристического кольца Ли уравнения Жибера-Шабата-Цицейки. Построен базис линейного пространства кратных коммутаторов произвольного порядка. Доказано, что характеристическое кольцо является кольцом медленного роста.

Ключевые слова: характеристическое кольцо, нелинейное гиперболическое уравнение, интеграл.

1. Введение

Характеристические кольца Ли являются важным инструментом для исследования дифференциальных уравнений в частных производных. Впервые понятие характеристического векторного поля, которое лежит в основе характеристического кольца, было введено Гурса в [1]. Понятие характеристической алгебры было введено в работе А.Н. Лезнова,

В.Г. Смирнова, А.Б. Шабата [2]. Характеристические алгебры и кольца для дифференциальных уравнений и систем исследовались также в работах [3-6].

В данной статье рассматривается задача описания характеристического кольца Ли для уравнения

иху = еи + е~2и. (1)

Уравнение (1) впервые было найдено в работе Цицейки [7] при исследовании геометрии двумерных поверхностей в R3. Позже оно было переоткрыто А.Б. Шабатом и А.В. Жибе-ром [8] в результате классификации интегрируемых случаев уравнения Клейна-Гордона. В той же работе для этого уравнения была построена иерархия высших симметрий и законов сохранения. Представления Лакса для (1) нашел А.В. Михайлов (см. [9] ). Отметим, что высшие симметрии уравнения (1) имеют порядки, равные 6п +1 и 6п — 1, где п Е N. Удивительный факт состоит в том, что именно эти числа являются выделенными при описании характеристической кольца для уравнения (1). По-видимому, этот факт указывает на тесную связь между алгеброй высших симметрий уравнения и его характеристическим кольцом, т.к. такая же ситуация имеет место для уравнения синус-Гордона (см. [3,4]).

В работе [4] для уравнений вида

иХу = f (и) (2)

были введены операторы Х1 и Х2, порождающие характеристическое кольцо Ли для урав-

нения (2):

~ ß

* = £ Dk-1(f) ^, (3)

к=1

д

Х'2 = й (4)

A.U. Sakieva, Characteristic Lie ring of the Zhiber-Shabat-Tzitzeica equation.

© Сакиева А.У. 2012.

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-97005, 12-01-31208) и ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы (соглашение №8499).

Поступила 25 апреля 2012 г.

где в нашем случае / = е и + е-2и. Здесь Б - оператор полного дифференцирования по х. Заметим, что операторы Х1 и Х2 линейно независимы при /(и) = 0.

Обозначим через Ь линейное пространство, натянутое на всевозможные коммутаторы длины не больше чем г — 1, где г = 2, 3,.... Причем в этом пространстве линейная комбинация берется с коэффициентами, зависящими от гладких функций конечного числа динамических переменных, а набор элементов Z1, Z2, ...Zk называется линейно зависимым, если существует набор функций с1, с2,... такой, что они не все тождественные нули, и выполняется равенство c1Z1 + C2Z2 + ... + CkZJt = 0. В противном случае набор является линейно независимым. Например, Ь2 = {Х^Х2} - линейное пространство, порожденное элементами Х1,Х2, ^шЬ2 = 2. Будем считать Х1 и Х2 операторами длины 1. Тогда Ь3 состоит из элементов пространства Ь2 и элемента Х3 = [Х2,Х1], т.е. Ь3 = {Х1 ,Х2,Х3}. Следовательно, Ь4 = Ь3 + {[Х2,Х3] , [Х1,Х3]} и т.д.

Введем 8({) = ^ш(Ь^) — ^ш(Ь^—^ Будет показано, что кольцо Ли для уравнения (1) бесконечномерно, причем ¿(г) = 1, если г = 6п — 1, г = 6п, г = 6п + 1, г = 6п + 3, п = 1, 2,... и 8(г) = 2 при г = 6п + 2, г = 6п + 4, п = 1, 2,.... Следовательно, кольцо Ли для уравнения (1) является характеристическим кольцом медленного роста. Отметим, что структура линейных пространств Ь при г ^ 10 была исследована в [4].

Далее будем пользоваться следующим утверждением, доказательство которого можно найти, например, в [4].

Лемма 1. Пусть векторное поле Z имеет вид

Z = «1 ¿¡1 + а2¿¡2 + «3+ ...,0.1 = щ(и,щ,щ, ...),г = 1, 2, 3,...

Тогда [Бх, Z] = 0, если и только если Z = 0.

2. Характеристическое кольцо уравнения Жибера-Шабата-Цицейки

Введем следующие обозначения для кратных коммутаторов:

Х^,..Лп = ...айх1п_1Х1п, где adxY = [Х,У].

Теорема 1. Для уравнения Жибера-Шабата-Цицейки (1) справедливы равенства:

6(г) = 2, i = 6 п + 2, г = 6 п + 4, п =1, 2,...; (5)

5(г) = 1, г = 6п — 1, г = 6п, г = 6п + 1, г = 6п + 3, п = 1, 2,.... (6)

При этом верны следующие равенства:

Ь6га+2 = Ь6га+1 0 {Х1.. .121, Х21.. .121},

Ь6га+4 = Ь6га+3 0 { Х1 .. .121, Х21.. .121},

Ь6га— 1 = Ь 6 га —2 0 {Х1.. .121},

Ь6га Ь6га—1 0 {Х1...121},

Ь6га+1 = Ь 6 га 0 {Х1...121},

Ь6га+3 = Ь6га+2 0 {Х1.. .121}.

Т.е. операторы Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7, Х8, Х8, Х9, ^^10, -^10, ...Х6гa—1,Х6гa, Х&n+1,Х6гa+2,

Х6п+2, Х6га+3, Х6га+4, Х6га+4,... образуют базис характеристического кольца Ли Ь уравнения (1), где

Хп Хг1...гп причем %1 ... ¿га—2 1, ¿га—1 <2,

Хп Хг1...гп причем %2 ... ¿га—2 ¿га 1, ¿1 ¿га—1 2.

Операторы Х1,Х2 определены выше. Для Х1 и Х2 выполнены соотношения:

[БЛ,Х1] = —(еи + е—2“)Х2, (7)

[Бл,Х2] = 0. (8)

Введем оператор длины 2: Х3 = [Х2,Х1]. Используя тождество Якоби и соотношения (7),(8), получим:

[Дг,Хз] = —(е “ — 2е—2“)Х2. (9)

Предположим, что оператор Х3 линейно выражается через операторы Хі и Х2, тогда имеем:

Хз = А1Х1 + Л2Х2. (10)

Применим к обеим частям последнего равенства оператор Дж,используя соотношения

(7),(8),(9), получим:

- (еи - 2 е-2“)Х2 = Дл(Аі)Хі - Аі(еи + е-2“)Х2 + Ох(А2)Х2. (11)

Сравним коэффициенты при линейно независимых операторах Х2 и Х1, получим:

- (е* - 2 е-2и) = —Аі(еи + е -2“) + Dx(A2) (12)

и

Dx (Аі) = 0. (13)

Равенство (12) противоречиво, так как An = An(u,ux,uxx, ...), иДх(Л2) содержит ux,uxx,.... Следовательно, оператор Х3 = Х2і линейно не выражается через Хі и Х2. Значит, линейное пространство L3 - трехмерно, т.е. L3 = {Хі,Х2,Х3}.

Введем операторы длины 3: Х4 = [Хі,Х3] и Х4 = [Х2,Х3], для которых выполнено:

[Dx,X,\ =2[Дх,Хі] - [Дх,Х3] (14)

и

[Dx, Х4] = (е“ - 2е-2“)Х3 - (еи + е-2“) [Х2, Х3] = (2е“ - е-2“)Х3 - 2(е“ + е-2“)Хь (15)

Следовательно,

Х4 = 2Хі - Х3.

Оператор Х4 = Хі2і линейно не выражается через операторы меньшего порядка, получаем L4 = {Хі,Х2,Х3,Х4}.

Рассмотрим операторы длины 4: Х5 = [Хі,Х4] и Х5 = [Х2,Х4]. Используя тождество Якоби и соотношения (7),(8) и (15), получаем Х5 = -Х4 и

[Дх,Хь] = (2еи - е-2“)Х4 - (еи + е-2“) [Х2, Х4] = 3е“Х4. (16)

Оператор Х5 = Хіі2і линейно не выражается через операторы меньшего порядка, следо-

вательно, L5 = {Хі,Х2,Х3,Х4,Х5}.

Введем операторы длины 5: Х6 = [Хі,Х5] , Хб и [Х3,Х4]. Согласно тождеству Якоби, [Х3,Х4] = Х5. Нетрудно показать, что для Хб выполнено равенство:

[Dx,Xb] =0. (17)

Следовательно, согласно утверждению леммы 1, Х6 = 0. Для Х6 получаем:

[Dx, Хб] = [Хі, 3е“Х4] - (еи + е-2“) [Х2, Х5] = 3е“Х5. (18)

Значит, оператор Хб = Хііі2і линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и имеем Lg = {Хі,Х2,Х3,Х4,Х5,Х6}.

Рассмотрим операторы длины 6: Х7 = [Хі,Х6] , Х7 = [Х2,Х6] , [Х3,Х5] . Нетрудно показать, что [Х3,Х5] = Хб, [Х2,Хб] = Хб,

[Dx,Xt] = 3е“Хб - (еи + е-2“) [Х2,Хб] = (2eu - e-2u)Xg. (19)

Следовательно, Х7 = Хіііі2і линейно не выражается через операторы меньшего порядка,

L7 = {Хі,Х2,Х3,Х4,Х5,Хб,Х7}.

Введем операторы длины 7: Х8 = [Хі,Х7] , Х8 = [Х2,Х7] , [Х3,Хб] , [Х4,Х5]. Согласно тождеству Якоби, [Х3,Хб] = Х8 - Х7, [Х4,Х5] = 2Х7 - Х8. Для Х8 и Х8 выполнены следующие соотношения:

[Dx,Xs] = (4е “ + е-2“)Хб (20)

и

[ДЛ,Х8] = (2е“ - е-2“)Х7 - (е“ + е-2“)Х8. (21)

Т.е. пространство ¿8 получается из ¿7 добавлением двух линейно независимых элементов-X8 = Х1111121 и X8 = X2111121, т.е. ¿8 = ¿7 ф {X8,X8}.

Рассмотрим операторы длины 8: Xg = [XbX8] , Xg = [X2,X8] , [XbX8] , [X2, X8] , [X3,X7] ,

[^4,Х6] .

Согласно тождеству Якоби, [X3,X7] = —X8, [X4,X6] = X8.

Также нетрудно показать, что [X2,X8] = 2X7 + X8, [X1 , X8] = X8. [Ax,Xg] = 0, следовательно, согласно леммы 1, Xg = [X2,X8] = 0.

Для Xg получаем:

[A^Xg] = (еи — 2е-2“)Х8 — (е“ + е-2“) [Х2,Х8] = (е“ — 2е-2“)X8. (22)

Значит, Xg = X11111121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и ¿g = ¿8 ф {Xg}.

Введем операторы длины 9: X10 = [XbXg] , X10 = [X2,Xg] , [X3,X8] , [X3,X8] , [X4,X7] , [X5,X6], для которых выполнены следующие соотношения:

[X5, Хб] = 2Xg + X10, [X4, X7] = —Xg — X10,

[Х3,Х8] = X10, [X3,Xi8] = —3X8.

Для операторов X10,X10 имеем:

[Ал,Хю] = (е“ + 4е-2“)X8 + (е“ — 2е-2“) [X2,X8] = (е“ + 4е-2“)X8 (23)

и

[Ал, X10] = (е “ — 2е-2“)Xg — (е “ + е-2“ )XW. (24)

Значит, операторы X10 = X111111121 и X10 = X211111121 линейно не выражаются через операторы меньшего порядка, и L10 = Lg ф {X10,X10j.

Можно показать, что базис характеристического кольца, порожденного элементами X и Y, всегда можно выбрать из элементов вида ad^ ady ...ad^Y.

Введем следующие обозначения: Xra = [X1,Xra-1] ,Xn = [X2,Xra-1]. Доказательство проведем методом математической индукции. Предположим, что для г = п — 1 выполняются следующие равенства:

[Ax,X6(n-1)-1] = (2е“ — е 2“)X6(ra-1}-2 — (е“ + е 2u) [^, X6(ra-1)-2] , (25)

[Ax,X6(ra-1)] = 3e“X6(ra-1)-1 — (е“ + е 2“) [X2, X6(ra-1)-1] , (26)

[Ал,X6(„-1)+1] = 3е“X6(ra-1) — (е“ + е-2“) [X2,X6(„-1)] , (27)

[Ax,X6(n-1)+2] = (2е“ — е 2“)X6(ra-1)+1 — (е“ + е 2“) [^, X6(ra-1)+1] , (28)

[Ax,X6(n-1)+3] = (еU — 2е 2“)X6(ra-1)+2 — (е“ + е 2“) [^, X6(ra-1)+2] , (29)

[Ax,X6(n-1)+4] = (е“ — 2е 2“)X6(ra-1)+3 — (е“ + е 2“) [X2, X6(ra-1)+3] , (30)

X6(ra-1) = 0,X6(ra-1)-1 = — ^(га-^^ (31)

X6(ra-1)+1 = X6(ra-1), X6(ra-1)+3 = ° (32)

[^^1, -X6(^-1)+^ = X6(ra-1)+2, [X2, X6(ra-1)+2] = 2X6(ra-1)+1 + X6(ra-1)+2, (33)

[X1, X6(ra-1)+4] = — X6(ra-1)+4, [X2, X6(ra-1)+4] = 2X6(ra-1)+3 — X6(ra-1)+4. (34)

Проверим выполнение равенств (25) - (34) для i = п.

Введем операторы длины 6 п — 2: X6ra-1 = X6(n-1)+5 = [Xb X6(ra-1)+4] и

X6ra-1 = X6(ra-1)+5 = [^, X6(ra-1)+^ . Имеем:

[Ax,X 6ra-^ = \Ax, [X2, X6(ra-1)+4] ] = — \Ax, X6(ra-1)+^ , (35)

следовательно, X6ra-1 = —X6(n-1)+4. Для X6ra-1 выполнено:

[Ax, X6„-1 ] = (2e“ — g-2“)X6ra-2 — (e“ + e-2“) [X2, X6„_2] = 3e“X6„-2. (36)

Это означает, что оператор Х6га-1 = Х1...121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и Ь6га-1 = ¿бга-2 © {Х6га-1}, таким образом £(6п — 1) = 1.

Рассмотрим операторы длины 6 п — 1: Х6га = [Х1,Хбга-1] , Х6га = [Х2,Х6га-1]. Имеем:

[Ох,Х&п] =0, (37)

и следовательно, согласно леммы 1, Х6п = 0. Также имеем:

[Дл, Х6га] = [Х1, 3е“Х6га-2] — (е“ + е-2“) [Х2, Х6га-1] = 3е“Х6га-1. (38)

Значит, оператор Х6га = Х1...121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и Ь6п = Ь6га-1 © |Х6га}. Таким образом, £(6п) = 1.

Введем операторы длины 6 п: Х6га+1 = [Х1,Х6га] , Х6га+1 = [Х2,Х6га], для которых выполнено:

[Дж,Х6га+1] = 3Є МХ6га-1, (39)

следовательно, Х6га+1 = Х6га.Нетрудно показать, что

[Дж,Х6„+1] = (2е “ — е-2“)Х6„. (40)

Это означает, что оператор Х6га+1 = Х1...121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и Ь6га+1 = Ь6п © |Х6га+1}. Получаем £(6п + 1) = 1.

Рассмотрим операторы длины 6 п +1: Х6га+2 = [Х1,Х6га+1] , Х6га+2 = [Х2,Х6п+1]. Имеем:

[ДхД^] = (4е “ + е-2“)Х6„ (41)

и

[Дх, Х6„+2] = (2 еи — е-2“)Х6„+1 — (е “ + е-2“).Х6га+2. (42)

Значит, операторы Х6га+2 = [Х^Хй^^ = Х1...121 и Х6га+2 = [Х2,Х6га+1] = Х21...121 линейно не выражаются через операторы меньшего порядка, Ь6га+2 = Ь6га+1 ©{Х6га+2, Х6га+2}. Таким образом, £(6п + 2) = 2.

Введем операторы длины 6 п + 2: Х6„+э = [Х1,Х6п+2] ,Х6га+3 = [Х2,Х6„+2] , [ХьХ6П+2] ,

[Х2, Х6га+2] .

Нетрудно показать справедливость равенства:

[Дх, [Х2,.Х6„+2]] = (8еи — е-2“)Х6„, (43)

значит, [Х2,Х6га+2] = 2Х6га+1 + Х6га+2.

[Дх, [ХьХ6„+2]] = (2еи — е-2“)Х6„+1 — (еи + е-2“).Х6га+2, (44)

и значит, [ХЬХ6„+2] = Х6„+2.

Для операторов Х6га+3 и Х6га+3 имеем:

[Дж,Х6га+з] =0 (45)

и

[ Дх, Х6„+з] = (е“ — 2е-2“)Х6„+2, (46)

тогда, согласно леммы 1, Х6га+3 = 0, и значит на этом шаге в базис характеристического кольца добавляется один оператор Х6га+3 = Х1...121, таким образом,

¿6га+3 = ¿6га+2 © {Х6га+3}. Значит, $(6п + 3) = 1.

Рассмотрим операторы длины 6 п + 3: Х6га+4 = [Х1,Х6п+3] , Х6га+4 = [Х2 ,Х6га+3] , для которых выполнено:

[Дх, .Х6„+4] = (е“ + 4е-2“)Х6„+2, (47)

[Дх, Х6„+4] = (е “ — 2 е-2“)Х6„+3 — (е “ + е-2“).Х6га+4. (48)

Следовательно, пространство Ь6га+4 получается из Ь6га+3 добавлением двух элементов:

Х6га+4 = Х1...121 и Х6га+4 = Х21...12Ъ т.е. ¿6га+4 = ¿6га+3 © {^^6^+4, Х6га+4 }. Таким обPазом,

(6 п + 4) = 2.

Введем операторы длины 6 п + 4:

Х6(га+1)-1 — [Х1,Х6га+4] , Х6(га+1)-1 — [Х2,Х6га+4] , [Х1,Х6га+4] , [Х2,Х6га+4] .

Справедливо следующее соотношение:

[Dx, [Х2, Х^]] — (е“ - 8е-2“)Х6„+2, (49)

следовательно, [Х2,.^6п+^ — 2Х6„+3 - Х6га+4.

Также имеем:

[Dæ, [Х1,Х6га+4]] — ( — еМ + 2е 2“)Х6га+з + (е“ + е (50)

откуда получаем, что [ХьХ6„+4] — -Х6„+4-Из равенства

[Dæ ,Х6(га+1)-1] — ( — еМ + 2е 2M)X6„+3 + (е “ + е 2“ )X6ra+4 (51)

следУет Х6(га+1)-1 — —Х6га+4-Для Х6(га+1)-1 имеем:

[D^ Х6(га+1)-1] — Зе“Х6„+4. (52)

Значит, оператор Х6(га+1)-1 — X 1...121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и ¿6(n+1)-1 — ¿6n+4 0 {X6(n+1)-1j-• Значит, ¿(6(n +1) - 1) — 1.

Таким образом теорема доказана.

Автор выражает благодарность И.Т. Хабибуллину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. E. Goursat Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l’Université de Toulouse 2e série, tome 1, n0 1 (1899) P.31-78.

2. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51. № 1. С. 10-22.

3. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х.Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991. С. 14-32.

4. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ. 2006. Т.7. № 2. С. 131-136.

5. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. 1981. 23 с.

6. Гюрсес М., Жибер А.В., Хабибуллин И.Т. Характеристические кольца Ли дифференциальных уравнений // Уфимский мат. жур. 2012. Т. 4. № 1. С. 53-62.

7. Tzitzéica G. Sur une nouvelle classe de surfaces // Comptes rendus Acad. Sci. Т. 150. 1910. P. 955956.

8. Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. 1979. Т. 247. № 5. С. 1103-1107.

9. A.V. Mikhailov Pis’ma Zh.Eksp. // Theor.Fiz. 1979. V. 30, № 7. P. 443-448.

Альфия Ураловна Сакиева,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: alfiya85.85@mail.ru