CC BY
69
f
УДК 517.98
Группы и геометрии, связанные с дуальными
числами 1
© В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок, Л. М. Молчанова
Ключевые слова: алгебры, дробно-линейные функции, аффинные связности, геодезические, обобщенные функции, движение планет
Рассматриваются некоторые геометрические, аналитические и механические задачи на многообразиях, связанных с алгеброй дуальных чисел
В настоящей работе мы рассматриваем некоторые геометрические, аналитические и механические задачи на многообразиях, связанных с алгеброй дуальных чисел z = х + гу, х, у Е R, г2 = 0. Переход в классических задачах от комплексных чисел к дуальным числам приводит к интересным, а иногда и неожиданным результатам [8, 9]. Например, инвариантные аффинные связности на некоторых многообразиях - в отличие от комплексного случая - зависят от вещественных параметров. Для многообразий и групп Ли этот переход означает стягивание (contraction) в смысле Вигнера-Иноню, например, полупростые группы превращаются в полупрямые произведения полупростых групп и линейных пространств. Это дает новый подход к изучению полупрямых произведений групп Ли и их представлений.
§ 1. Дуальные числа
Дуальными числами называются символы г = х + іу, где х, у Є М. Действия над ними производятся как над многочленами от г с соотношением г2 = 0, см, например, [13]. Мы используем обычные названия и обозначения: вещественные числа х и у - это соответственно вещественная и мнимая части дуального числа 2 = х + іу, мы пишем х = Ііег, у = 1т г. Множество А дуальных чисел есть алгебра над К размерности два. Она имеет делители нуля, это - числа И, і Є М, лежащие на мнимой оси.
Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474 и Темпланом 1.5.07.
Отображение z ь-* Rez является гомоморфизмом алгебры Л на алгебру R вещественных чисел.
Определим показательную функцию ег (или ехр г) на Л с помощью такого же степенного ряда, что и для комплексных чисел:
z2 zn
е* = 1 + г+- + ...+ _ +
Ряд сходится во всей плоскости Л. В частности,
elt = 1 + it.
Справедлива та же формула умножения, что и для комплексных чисел:
ezew = ez+w.
Мультипликативная группа Л* алгебры Л состоит из чисел z = х + iy, для которых х ^ 0. Дуальное число z из Л* можно записать в показательной форме (с "модулем" х и "аргументом" tp = у/х):
z = хег¥> = х(1 + itp), (р — у/х. (1.1)
Группа автоморфизмов алгебры Л изоморфна мультипликативной группе М* вещественных чисел: числу ц G R, ц ф 0, отвечает автоморфизм х + iy н-» х + i/лу. В частности, числу ц = — 1 отвечает инволютивный автоморфизм -переход ОТ Z — х + iy к сопряженному числу Z = х — iy.
Определим стереографическую проекцию для плоскости дуального переменного. Рассмотрим трёхмерное вещественное пространство R3 с координатами f, г}, С- Возьмем в нем цилиндр ii (прямой круговой цилиндр радиуса 1 с осью Or)), задаваемый уравнением
£2 + С2 = 1-
Отобразим Л в Л с помощью центрального проектирования из точки = = (0,0,1), совместив плоскость £От/ с плоскостью хОу (с плоскостью Л). Это отображение назовём стереографической проекцией. Оно задаётся формулами:
Л _ х2 - 1
* 1 + X2 ’ п 1 + х2 ’ С х2 + Г ^
Образ отображения (1.2) есть без верхней образующей £ — (0,77, 1). Стереографическая проекция - взаимно однозначное отображение. Обратное отображение задаётся формулами:
I=W'9 = (13)
так что
*-Т=Г- (L4)
Назовем цилиндр Г2 расширенной плоскостью дуального переменного и обозначим Л.
Сечение цилиндра Г2 плоскостью а£ + Ьг/ + с( = с1 при стереографической проекции переходит в кривую
(с — сГ)х2 + 2 ах + 2Ьу = с + (1.5)
Назовем по аналогии с комплексным случаем кривую (1.5) "обобщенной окружностью". В общем случае (с ф ё, Ь ф 0) это - парабола. Если плоскость проходит через а;0 и Ь ф 0, то это - прямая (не вертикальная). Если Ь = 0 и плоскость пересекает П, то это - одна (с = с?) или две (с ф с?) вертикальные прямые.
§ 2. Аналитические функции
Мы рассматриваем функции /(г) = и(х, у) + 1у(х, у) на Л со значениями в Л. Производная определяется обычным образом. Уравнения Коши-Римана таковы:
ди ду ди
дх ду ’ ду
Следовательно, аналитическая функция есть
/(*) = <р(х) + г [<р'(х)у + ф(х)\ (2.1)
с дифференцируемыми <р(х) И'ф{х). Производная (1/йг действует как (1/(1х, так что если функции / отвечает пара <р, ф, то функции /' отвечает пара (р1, -ф1, если <р дважды дифференцируема. Матрица Якоби отображения 2 н-> /(г) есть
<// 0 \
(р"у + ф' ^ ) '
Поэтому угловой коэффициент у'(£)/х-'(£) кривой г(Ь) = х(1) + гт/(£) при отображении г ь-> /(г) изменяется на число (<р"у + ф')/^1. Мы видим, что разность угловых коэффициентов кривых в точке пересечения не изменяется. Назовем мерой угла (с направлением) между прямыми у — к\х + 61 и у = к^х + Ь2 разность к\ — к2 их угловых коэффициентов. Мерой угла (с направлением) между кривыми у = /г(ж) и у — /2 (ж) в точке их пересечения с абсциссой хо назовем меру угла между их касательными, то есть /[(хо) — /2(^0)- Таким образом, аналитическая функция является конформным отображением: она сохраняет углы между кривыми.
В частности, показательная функция ег - аналитическая:
е2 = ех + геху,
ее производная равна ей самой.
Некоторые применения аналитических функций см. в § 10.
§ 3. Группа Лагерра
Группа Лагерра С = ЭЬ(2, Л) состоит из матриц второго порядка над алгеброй Л с определителем единица:
, а5-/3'у = 1,
здесь а, /?, 7, 6 Е Л, эти числа мы будем записывать в виде: а = ai + ia2 и т. д. Группа G есть полупрямое произведение группы L = SL(2,R) и ее алгебры Ли [. В самом деле, матрицу д Е G можно представить в виде произведения
9 = gin,
где д\ = Reg, п = Е + гХ, tv X = 0 ( так что X Е (. Группа L действует на алгебре Ли ( присоединенным образом. О группе Лагерра и ее представлениях см., например, [7].
Центр группы G состоит из двух матриц ±Е, фактор-группа G группы G по ее центру есть полупрямое произведение группы L = SOo(l, 2) и ее алгебры Ли [. Явный вид матриц д из G дается следующей конструкцией.
Рассмотрим пространство Н "эрмитовых" матриц
h\ — /14 —¿/¿2 + /13
г/12 + hi + /14
, аб- Р7 = 1,
(3.1)
где hi, /12, /14 Е М. Группа G действует на Н следующим образом:
h g'hg, (3.2)
штрих означает матричное транспонирование. Это действие сохраняет определитель матрицы И:
йеЬИ = — /г§ — /¡.4.
Сопоставим матрице Ь, см. (3.1), вектор-строку Ь = (/11, /13, /14) из
образованию (3.2) пространства Н отвечает линейное преобразование
(3.3) 4. Пре-
пространства К4 с матрицей
/ «1 + Pi + 7i + ¿1 2
0
«i7i + Pifa -а\ - Pi + 72 + Sj
/11—> hg
Щ ai Pi + 7i<5i
(3.4)
1
0
Щ £*1^1 + Pill щ —atiPi + 71 ¿>1
-aj + Pi - 7i + ¿1 \ 2
0
-a 171 + P161 al-Pl--yl + Sl
где
«1 = Р1+Р2,
^4 = -Р1+Р2,
VI = —СИ1Р2 + Р1СИ2, (3.5)
Р2 — “71^2 + ¿1725 (3.6)
иг = — 2а1§2 + 2/З172. (3.7)
Линейные преобразования (3.4) пространства М4 сохраняют квадратичную форму (3.3) и, следовательно, сохраняют конус к\ — = 0. Орбитами
группы С? на этом конусе служат две его полы: С+ = {к\ > 0} и С~ — {/¿1 < 0},
- и каждая из точек на оси О к 2.
Рассмотрим в С? три подгруппы Си, С?2, С?з, состоящие соответственно из матриц
-(*£)■ (3'8) Используя стандартные обозначения, мы можем обозначить С?2 = Эи(2;Л) и б'з = 811(1,1; Л). Это группы "унитарных" и "псевдо-унитарных" матриц над дуальными числами. Пусть в (3.8) а = а-Ир, Ь = Р+гц. Тогда а2 = 1, а2+/32 = 1 и а2 — Р2 — 1 соответственно для (I, и и г>; и матрицам и и « отвечают в (7 матрицы
/ 1 О. ^ о. я д ^ \
~2 ад + Рр “у
0 10 0
а/3 2ар 1 —а(3
в2 В2
у у ад + Рр оср 1 ~ у /
/ 1
и
О
0
0 1 0
0 2ар + 2/3<7 а2 — Р2
0 \ 0
2а.р
(3.9)
^ 0 2да/ — 2/?р —2аР а2 — Р2 у
/ а2 + (З2 —2ад + 2/Зр 2а(3 0 \
0
1
О О
V =
2 а(3 2 ар — 2 ¡Зд а2 + ¡З2 О
V о
о
О 1
Мы видим, что группа 6*2 изоморфна группе евклидовых движений плоскости К2 (сохраняющих сумму квадратов), а группа (?з изоморфна группе гиперболических движений плоскости М2 (сохраняющих разность квадратов).
Группа й действует на плоскости Л дробно-линейно:
Функция (4.1) - аналитическая. Разделим в (4.1) вещественные и мнимые части: пусть г = х + гу, ги = и + гу, тогда
где Рг,Р2,Щ даются формулами (3.5), (3.6), (3.7). Мы видим, что функция (4.1) определена на всей плоскости Л при Д = 0 и на всей плоскости Л, кроме вертикальной прямой х = —а\/(3\, при (3\ ф 0.
Дробно-линейные функции (4.1) сохраняют "обобщенные окружности". Области транзитивности - 1) параболы и невертикальные прямые, 2) пары вертикальных прямых, 3) вертикальные прямые.
С помощью формул (1.2), (1.3), (1.4) дробно-линейное действие (4.1) распространяется на цилиндр
Рассмотрим три сечения Г1, Г2 и Г3 конуса С+.
Сечение Г1 состоит из точек с £ С+ таких, что С\ + С4 = 1. Всякая точка с £ Г! имеет вид
4. Дробно-линейные преобразования
а\х + 71
и
(3\Х + ¿1
у + Р\х2 + и3х + р2 ((3\х + 61)2
V
(4.2)
Действие (3.4) вызывает следующее действие группы G (или G) на Гi:
сд
° *""* (cflOi + (cgf)4
(4.3)
(сначала действуем на с по (3.4), получаем сд, затем эту точку сд отображаем в точку, лежащую на той же образующей конуса.
Отождествим Гх с Л: сопоставим точке z = х + г у точку с £ Г i, см. (4.2). Тогда действие (4.3) есть в точности дробно-линейное действие (4.1).
Сечение Г2 состоит из точек ш £ С+ таких, что cui = 1, так что = 1.
Действие (3.4) вызывает следующее действие группы G на Гг:
w ~ гк (4-4)
(ид) 1
Сечение Г2 отождествляем с цилиндром И: точке (£, 7/, Q из И сопоставляем точку (1, г], £, —С) из Г2. Тогда действие (4.4) есть в точности действие группы G на цилиндре fi .
Отображение Г2 на Г* вдоль образующих конуса С+ есть как раз стереографическая проекция из § 1.
Сечение Г3 состоит из точек A £ С+ таких, что Л4 = 1, так что Af — Л§ = 1,
следовательно, сечение Гз есть гиперболический цилиндр (образующая - одна
из ветвей гиперболы). При отображении Г3 на Гх вдоль образующих конуса С+ и последующем отождествлении Гх с Л мы получаем на плоскости Л множество точек
A3 + 1X2 Z= Лх + 1 '
Поскольку Ах ^ 1, это множество есть полоса — 1 < х < 1, ниже, в § 9, оно появляется под именем плоскости Лобачевского-Галилея С. При отображении Гз на Г2 вдоль образующих конуса С+ получаем нижнюю половину цилиндра Q: множество £ < 0. Проектируя это множество на плоскость £Orj вдоль оси 0(, мы снова получаем такую же полосу — 1 < £ < 1. Это - модель Клейна плоскости Лобачевского-Галилея: точке z = х + iy из С сопоставляется точка w = и + iv тоже из С - по формулам:
2.т 2 у
и = -----г , v
1 + х2 1 + х2
то есть
w
2z
1 + 22
Подгруппы Сх, (?2 и Оз сохраняют при действии (3.2) соответственно сечения Г1; Г2 и Гз конуса С+ , при этом действие (3.4) каждой подгруппы является линейным и транзитивным.
Конструкции § 3 и § 4 аналогичны конструкциям в случае комплексных чисел. Для комплексных чисел группа С* есть группа 8Ц2, С), группа С есть группа 80о(1,3), конус С есть прямой круговой конус в пространстве Минковского
—|- ++, задаваемый уравнением — Н2 — = 0, его пола С+ выделяется
условием Н\ > 0, сечения Г2 и Г3 - это соответственно сфера в К3 (сфера Римана) и плоскость Лобачевского (верхняя пола двуполостного гиперболоида в М3), сечение Гі отождествляется с алгеброй С комплексных чисел, отображение на Гі вдоль образующих конуса С+ есть обычная стереографическая проекция О —> С сферы на плоскость.
§ 5. Однородные обобщенные функции
В этом параграфе мы даем описание всех однородных обобщенных функций на алгебре Л, мы опираемся на [10]. Для алгебр К и С это было сделано в [6| и [5], соответственно. Вообще, изучение однородных обобщенных функций на алгебрах над К - это интересная и полезная задача. Она появляется, например, при исследовании представлений матричных групп над такими алгебрами.
Нам понадобится результат для М, см. [6]. Мы используем следующие обобщенные функции на вещественной прямой: хА, хА, |х|А, |х|')^пх, х~т~1, где Л € С, т € N = {0,1, 2,...}. Для характера мультипликативной группы К* = М \ {0} мы используем обозначение
Ьх'е = |г|^пЧ,
где £ £ М*, Л € С, е = 0, 1. В частности, если Л £ Z, е = Л, то ¿А,£ = £А (знак = обозначает сравнение по модулю 2). Тем же самым символом хА,е мы обозначаем обобщенную функцию |х|')^пех. Обобщенная функция / на I называется однородной степени (Л, г), где А £ С, е = 0, 1, если
/(¿х) = £А’7(х).
Для данных Л, е пространство таких обобщенных функций одномерно. Базис есть хЛ,£, за исключением Л = — т — 1, е = т, т £ М, когда базис есть 5^т^(х), производная т-го порядка дельта-функции Дирака д(х) на вещественной прямой. Таким образом, носитель однородной обобщенной функции степени (А, е) есть К, за исключением А = — т — 1, е = т, ш £ М, когда он есть точка 0.
Для многообразия М через Т>(М) обозначается пространство Шварца бесконечно дифференцируемых функций на М со знначениями в С и компактным носителем, снабженное обычной топологией, через 2У(М) - пространство обобщенных функций на М - линейных непрерывных функционалов на Т>(М).
Характер мультипликативной группы Л* алгебры Л - это непрерывный гомоморфизм этой группы в мультипликативную группу С* комплексных чисел. Как следует из показательной формы (1.1) чисел а £ Л*, группа Л* есть прямое произведение групп К* и К. Отсюда получаем
Теорема 5.1 Всякий характер группы А* задается параметрами А, ¡1 £ С, е = 0,1, его значение на а = а + гр £ Л*, равно
ХА,г» = аА’£е^.
Назовем обобщенную функцию F на Л, то есть Р € Р'(А), однородной степени (Л, е, /х), где Л Е С, £ = 0,1, ¡1 € С, если
Р{аг) = Х\еАа)г(г)1 а е Л*- (5.1)
Характер Х\,е,ц можно рассматривать как обобщенную функцию на плоскости Л чисел г = х + гу с удаленной мнимой прямой х = 0, то есть на множестве {я ф 0}. В самом деле, он есть непрерывная функция на этом множестве. Но на всю Л его можно распространить только в случае, когда комплексное число /л -чисто мнимое, см. [6]. В этом случае он есть локально интегрируемая функция при Ие Л > — 1 и распространяется мероморфно по Л на всю комплексную плоскость Л. Оказывается, что это - общая форма однородных обобщенных функций, носитель которых есть вся плоскость Л. А именно, мы имеем следующую теорему.
Теорема 5.2 Однородная обобщенная функция Р на А степени (А, £,//), носитель которой есть вся плоскость А, существует только для чисто мни-
мых ¡1. С точностью до однородных обобщенных функций, сосредоточенных на мнимой прямой х = 0 в плоскости А, она есть С ■ Х\е,^ (следовательно, если А = — т — 1, т € то должно быть £ = т).
Доказательство. Пусть в (5.1) а = а + гр - такое, что а > 0. Дифференцируя (5.1) по а и гр и полагая а = 1, р = 0, мы получаем следующую систему
дР дР
^• (52)
дР
х— = //К (5.3)
ду
Сначала рассмотрим Р на множестве {х ф 0}. Тогда из уравнения (5.3) мы получаем, что
Р = Т(х)е'1у/х.
Поэтому уравнение (5.2) дает следующее уравнение для Т:
¿Т ХЛТ1 х— = ЛТ, ах
откуда Т = С\х+ + С^ж^.. Уравнение (5.1) с а = — 1 показывает, что Т{х) имеет четность £, так что Т = С -хх’е. Таким образом, на множестве {х ф 0} мы имеем
Р{г) = С-хх’ее^у/х
с ■ х\*М-
с произвольным [I € С. На всю плоскость Л эта обобщенная функция распространяется только при ЧИСТО МНИМОМ /Л. □
Теперь найдем однородные обобщенные функции, сосредоточенные на прямой х = 0.
Теорема 5.3 Однородная обобщенная функция Г на А степени (А,Е,ц), носитель которой есть прямая х = 0, существует только для /2 = 0. Если А ф —п, п = 1, 2, 3,..то (с точностью до множителя)
Е = 6(х)ух+1’е,
Если А = —1, то
^ = 6(х)5(у), е = 0,
Е = <5(х^п(у), £ = 1,
Если А = —п; п = 2,3,..то
Е = 6(х)у~п+1, £ = п — 1,
Р = ¿(ж)^П-2)(?/), £ = П.
Доказательство. Нам нужно найти решения системы (5.2), (5.3), сосредоточенные на прямой х = 0. Достаточно найти такие обобщенные функции (функционалы), действующие на функции (р из Т>(А), носители которых располагаются в круге х2 + у2 < М. На таких функциях (р всякая обобщенная функция F, сосредоточенная на прямой х = 0, имеет вид:
N
Г = ^2б(з)(х)Лз(у),
3=0
где у1? - обобщенные функции на К. Так как
х5^\х) = —j6<J^~1\x),
то уравнение (5.3) дает
= И ^2^Ь)(х)Лз>
з=1 У 3=0
или
ЛГ-1 N
- ¿у + 1)^)(х)-^ = м]Гб<»(х)А^
3=0 У 3=0
Отсюда получаем, что если ¡1 ф 0, то все А3 равны 0, так что Е = 0. Если же ц = 0, то Aj = 0 при j ^ 1, так что Е = 5(х)А0(у). Теперь из уравнения (5.2) получаем
(1Ао /. . % .
У — = (А + 1)А0 ,
а,у
то есть Ло - однородная обобщенная функция на М степени А + 1. Кроме того, она имеет четность е. Отсюда следует теорема. □
§ 6. Аффинные связности, ускорение, геодезические
Приведем некоторые сведения об аффинных связностях [11], [12]. Аффинная связность на многообразии М - это соответствие V , которое каждому векторному полю X сопоставляет линейное отображение пространства векторных полей в себя, удовлетворяющее следующим двум условиям:
У/Х+дУ = /Ух + ^Уу (6.1)
V х{/У) = (Х/)У + /Ъх¥ (6.2)
для /, д Е С°°(М). Оператор Ух называется ковариантной производной относительно X.
Пусть М имеет размерность п, пусть х\,... ,хп - локальные координаты. Тогда д/дхг, г = 1,..., п, — базис в касательном пространстве. Определим функции Г* = Г^-(х) (символы Кристоффеля) формулой
У д/дхі
к
Символы Кристоффеля образуют п матриц
д
дхк
^=(г£), ¡=1,...,
п
(к - номер строки, j - номер столбца).
Пусть Ф - диффеоморфизм многообразия М. Аффинная связность V называется инвариантной относительно Ф, если
¿Ф(УхП = УадсгФ(У). (6.3)
Теорема 6.1 Пусть Ф в локальных координатах задается функциями у к = = уь(хі,..., хп). Тогда условие инвариантности относительно Ф имеет, вид
■' к, в р Доказательство. Условие инвариантности (6.3) равносильно системе
(¿Ф [уд/дхг (-^г ) ) = У(№(а/а.тг) <^Ф
Поскольку
дхд)) \дх3
мы имеем
д \ дук д
дут\ д
дхр у дуп
(6.5)
С другой стороны, используя (6.1) и (6.2), мы находим
V Л<ъ (- V" д2ут дук 8 I Х"'' гго ( Ч %ь дУв д
<!Ь(д/дхг) \dxjj дукдх,э дхг дут ^ к* У дхг дх3 дут ' ' '
ТП)К АС}5
Первое слагаемое в правой части (6.6) можно упростить, оно есть
д2Ут д
Е
dxidxj дуп
После приравнивания коэффициентов при д/дут в правых частях (6.5) и (6.6) мы получим (6.4). □
Пусть на многообразии М действует (диффеоморфизмами) группа Ли С. Аффинная связность V называется инвариантной относительно группы С, если она инвариантна относительно каждого преобразования из этой группы.
Возьмем в С однопараметрическую подгруппу д{1) = ехрХ1, где X - элемент из алгебры Ли группы (3. В локальных координатах подгруппа д(1) есть подгруппа преобразований
Ук — Ук(х1, ■ ■ ■ > хп\ £).
При £ = 0 это - тождественное преобразование, матрица Якоби - единичная матрица:
дук
= я
t=0 OXi
= Ski ■ (6.7)
4=0
Ук
Обозначим
г) Ян,. . Я гРн,.
(6.8)
д'Ук Мк = А д2Ук
4=о dxi ’ 4 dt
4=о dxidxj
Теорема 6.2 Аффинная связность V на многообразии М инвариантна относительно группы С тогда и только тогда, когда
о /9Г'т
м«+Е ¿ins+Е Ln. - Е те+Е -£■ =0 <6-9>
4=0 dxk
для всех точек х Е М и для всех наборов {ijm}.
Доказательство. Вычислим производную по £ при £ = 0 от обеих частей равенства (6.4). Используя (6.7) и (6.8), получим (6.9). Обратное утверждение получается интегрированием. □
Теорема 6.3 Для аффинной связности на пространстве М", инвариантной относительно группы всех параллельных переносов, символы Кристоффеля постоянны: Г- = const.
lJ
Доказательство. Для параллельного переноса х у = х + а матрица Якоби есть единичная матрица. Тогда из (6.4) получаем Г£(ж + а) = Г%(х). □
Пусть 7 - кривая х(£) на многообразии М, параметр £ - время. Скорость -это касательный вектор ¿(¿) (точка обозначает производную по ¿). Пусть а -некоторое векторное поле:
Возьмем от поля а ковариантную производную относительно поля х, получим поле
V
Векторное поле а называется параллельным вдоль кривой 7 (или: вектор а переносится параллельно вдоль кривой 7), если а — 0, в координатах:
С другой стороны, a{t) - векторное поле вдоль кривой 7. Определим производную этого поля вдоль 7 следующей конструкцией. Перенесем вектор a(s) параллельно вдоль кривой 7 из точки x(s) в точку x{t). Получим поле b(t,s), зависящее от двух параметров t, s. Оно параллельно вдоль кривой 7 при фиксированном s, то есть удовлетворяет системе уравнений
В точке x(t) получаем два вектора: b(t,s) и a(t) = b(t,t). Разность 6(i, s) — b{t,t) показывает, насколько "повернулся" вектор из поля а за время от t до s. Производная ("мгновенный поворот")
и есть производная поля а вдоль 7.
Теорема 6.4 Производная поля а вдоль 7 есть в точности ковариантная про-
а - Vx^i
в координатах
(6.10)
(6.11)
и удовлетворяет граничному условию
b(s, s) = a(s).
(6.12)
ds (t,t) s — t
db bit, s) — b(t,t)
— = 11m —------------------
из водная:.
db
Доказательство. Продифференцируем (6.12) по я и положим я = £, получим:
дЪк
дЪк
ді
(г,г) де
{і,і)
Первое слагаемое выразим из (6.11), получим
= ¿*(<)+53 .
дЬк
дв
(4,4)
В правой части стоит как раз (^¿а)к. □
В частности, определим ускорение х(Ь) на кривой ж(£) как производную скорости ж(£) вдоль этой же кривой х(Ь). По доказанной теореме имеем
х - У±±,
в координатах:
(6.13)
(6.14)
Кривая называется геодезической, если ускорение равно нулю, то есть Ужж = 0. В координатах геодезическая задается уравнением
хк + 53 Г^хіхі = 0. і,і
§ 7. Геометрия на плоскости дуального переменного
Мы рассматриваем плоскость Л с группой движений г •—■» аг + 6, где а = = е1р, р Е К, Ь Е А. Она порождается параллельными переносами г ь-> 2 + 6 и "поворотами на угол р": ги сгрг (косые деформации вдоль оси ординат). Эта группа движений изоморфна группе б?1, в самом деле, отображение 2 н-> егрг + Ъ есть дробно-линейное преобразование (4.1) с матрицей
( е1р'2 0 \
\ Ье~*р/2 е~*р/2 ) '
поэтому для этой группы мы сохраним обозначение С\. Инвариантная (относительно С\) метрика на Л вырождена, она есть ¿х2. Следовательно, расстояние между точками = хх + гу\ и 22 = х^ + гу2 равно |х2 — х\\. Иногда удобно брать расстояние со знаком, а именно, Х2 — х\.
7.1 Инвариантные аффинные связности
Теорема 7.1 Всякая аффинная связность на А, инвариантная относительно С?!, задается тремя вещественными параметрами С, И, Л и имеет следующие базисные матрицы
где А = В + К.
Доказательство. Инвариантность относительно сдвигов 2 •—> л + Ь, Ъ € Л, дает, в силу теоремы 6.3, что символы Кристоффеля Г- постоянны.
Рассмотрим теперь "поворот" ги = ег1г. Дальше в доказательстве для соответствия с § 6 переобозначим: 2 = х\ + гх2, ии = у\ + iy2■ Тогда поворот есть преобразование
[ У\ = XI,
\ У2 = 1x1 + х2.
Следовательно,
дуг аш =п ^- = 1 ду2 1
дх\ ’ 8x2 ' дх1 ’ 8x2
и потому ¿1 = 1, остальные Ь\ равны нулю. Все вторые частные производные д2ук!дх1дх^ равны нулю, так что все Мг™ равны нулю. Поэтому система уравнений (6.9) становится следующей системой:
Г^ + Г}2 = 0,
Ги+Г^-Г^О,
г222 - г", = о, т\г - г;2 = о,
1^ = 0.
Отсюда находим, что Г}2 = Г21 = Г22 = Г22 = 0 и что Г21 + Г{2 = Г^. □
Пусть 7 - кривая г(Ь) = х(Ь) + гу(£) на Л. Возьмем на Л инвариантную
аффинную связность, задаваемую числами С, Б, Я, пусть И + Я = А, см.
теорему 7.1. Пусть -ш(£) = а(£) + г£>(£) - векторное поле, параллельное вдоль 7. По (6.10) имеем
а + Аха = 0, (7.1)
Ь + С х а + О х Ь + /?, у а = 0 (7-2)
Теорема 7.2 Векторное поле w(t) = a(t) +ib(t), параллельное вдоль 7, задается формулами
a(t) = Ke~Ax{t\ (7.3)
b(t) = _ KRe~Dx(t) f e-R»(r)ÿ(T)dT + Me-D*(t)5 (7.4)
” Лп
где К, M- некоторые числа.
Доказательство. Уравнение (7.1) сразу дает (7.3). Подставим (7.3) в (7.2), получим дифференциальное уравнение первого порядка. Решая его, получим (7.4). □
7.2 Ускорение, кривизна
Ускорение £ = х + гу в соответствии с (6.14) дается формулами
х = х + Ах2, (7.5)
у = у + Сх2 + Аху (7.6)
(мы использовали Б + И = А), или
£=2 + ЛгКе2 + г Сг2.
Геодезическая (кривая с нулевым ускорением: £ = 0) определяется системой уравнений
х + Ах2 = 0, у + Сх2 + Аху = 0.
Решая эти уравнения, получим
х(£) = 1п(Л£ + Н) +
У^ = + ^ ^)2’ где - некоторые числа. Исключая здесь параметр ¿, мы найдем связь
между х и у.
&У с (1х2
Итак, геодезическая на плоскости Л с группой Сх есть парабола (при С^0):
с
у = -—х2 + \х + ц, (7.7)
где С - один из параметров аффинной связности, А, // - постоянные.
Для определения и вычисления кривизны применим конструкцию из § 6. Пусть 7 - кривая z{t) — x(l) + iy{t). Перенесем параллельно вдоль кривой 7 вектор скорости z из точки x{s) в точку x(t). Получим векторное поле w(t, s) = = u(t,s) + iv(t,s), зависящее от двух параметров t,s. Оно параллельно вдоль кривой 7 при фиксированном s, то есть удовлетворяет системе уравнений
ди .
— + Ахи = 0, al
dv
— + Сх и + Dx v + Rÿ и = 0 ot
и удовлетворяет граничному условию w(s,s) = ¿(s), то есть
u(s,s) = x(s), v(s,s) = ÿ(s). (7.8)
В точке x(t) получаем два вектора: w(t,s) и z[t) = w(t,t). Угол между ними равен
v(t,s) v(t,t)
u(t,s) u(t,t)
Разделим этот угол на расстояние x(s) — x(t) между точками z(s) и z(L) и перейдем к пределу при s —> t. Этот предел по аналогии с классическим случаем назовем кривизной к кривой 7 в точке z[t). Получаем
1 (v(t,s) v(t,t)
к = lim - /xi /
S^t x[s) — x(t) {u[t
,s) _ v(t,t)\ ,s) ll(i,i)j
. Г у(Ь, в) у(Л, ¿) 1 .
Разделим здесь числитель (то есть < —7—г--------------------------7—г >) и знаменатель на в — £ и
[и{г,а) и{г,г)}
перейдем к пределу, получим
к _ _1_ д_ у(Ь,з)
¿(¿) в=4и(£, в)
_ 1 уа(Ь, ¿)и(£, ¿) -- у{1, ¿)ца(£, ¿)
¿(¿) и2{Ь,{)
Используя (7.8), получаем следующую формулу для кривизны:
ив(МЖ0 - у(*)ив(М)
*= ' (7'9) С другой стороны, мы знаем, см. теорему 6.4 и формулу (6.13), что гиа(£,£) есть производная скорости г вдоль кривой 7, то есть ускорение, следовательно, и5(£,£) = х(г), ^(¿, ¿) = у(£). Поэтому формула (7.9) превращается в формулу
к=ух-ух
х3
Подставляя сюда (7.5) и (7.6), получаем
ух — ух /г = — + С,
х
ИЛИ
В частности, геодезическая - кривая с пулевой кривизной.
7.3 Некоторые кривые
Рассмотрим для плоскости Л аналоги различных замечательных кривых на евклидовой плоскости. Поскольку метрика на Л вырождена, естественно исходить из определений, связанных с понятием угла, а не с понятием длины. Это, например, дуга окружности (данный отрезок виден под данным углом), эллипс, гипербола, парабола, логарифмическая спираль и т.д.
Напишем уравнения таких кривых на Л:
два семейства кривых, кривые одного из которых называем гиперболами:
С / 2 2\
У~^а ~Х)
= К(х2 - а2),
а другого - эллипсами:
С / 2 2\
У - ^ (о ~ х )
= К [а2 — х2);
кривая постоянной кривизны к (назовем ее циклом):
в частном случае получаем кривую нулевой кривизны - геодезическую, логарифмическая спираль:
у = Ьх\пх — Сх2 + К х,
где К и Ь - некоторые постоянные.
7.4 Аналог теоремы Гаусса-Бонне
Пусть Ь - замкнутый гладкий контур на Л, пробегаемый в положительном направлении и охватывающий область Є. Возьмем в какой-нибудь его точке ¿о = г(£о) вектор и совершим параллельное перенесение этого вектора вдоль контура Ь. Мы вернемся в точку го = <г(£і) с вектором, повернутым на некоторый угол А<р по сравнению с его исходным положением. Найдем этот угол поворота А<р.
По (7.3) и (7.4) угловой коэффициент вектора после параллельного перенесения вектора вдоль Ь в точку г{1) есть
_еЯл{і)
где М, К - некоторые числа. Следовательно, угловой коэффициент исходного вектора в точке г (¿о) есть
а после перенесения в ту же точку 2о = ¿(¿г) есть
¥>(*!) = ^ - Г е-Яж«у(т)^Г +
Я Jtn К
так что
= ¥>(*1) - '¿’(¿о) = е я(х Жо)Л/.
Применяя формулу Грина, получим окончательно
А</р = / Я2е-^х-х^ йх<1у. (7.10)
JG
По аналогии с классической теоремой Гаусса-Бонне мы можем назвать подинтегральную функцию в (7.10) гауссовой кривизной. Заметим, что в отличие от классического случая угол поворота А<р зависит от начальной точки го- С другой стороны, формула (7.10) инвариантна относительно движений из группы Сп (как и должно быть).
7.5 Движение планет
Рассмотрим движение планет на плоскости Л, снабженной инвариантной аффинной связностью с параметрами С, Б, Я, И + Я = А, см. теорему 7.1. Мы следуем [2].
Поместим Солнце в начало координат. Движение планеты подчиняется второму закону Ньютона: .Р = тг, где 'г - ускорение. Для простоты считаем т = 1. Сила притяжения Р направлена по касательной к геодезической, соединяющей Солнце и планету, находящуюся в точке г. Уравнение этой геодезической см. (7.7). Нормируем касательный вектор т к ней в точке 2 так, чтобы его первая координата была равна 1. Тогда (мы исключили Л)
Сила Е пропорциональна этому вектору: Е = —/т. Она инвариантна относительно движений из группы йх, поэтому ее "модуль" / зависит только от х: / = /(ж). Итак, уравнение движения приобретает вид:
* = -/г,
или
х -(- Ах2 = —/,
у + Сх2 + Аху = -/ (~^гх + -\ 2 х
Замена и = у + (С /2)х2 сводит эту систему к точно такой же системе с С = 0.
Поэтому мы можем с самого начала считать С = 0, так что движение планеты
описывается системой:
х + Ах2 = —/, (7-11)
у + Аху = -/- (7.12)
х
(с некоторыми начальными условиями). Для аргумента (р = у/х точки 2 мы из уравнений (7.12) и (7.11) получаем уравнение
Срх + ф(2х + Ахх) = 0.
Оно равносильно уравнению
-о.
Отсюда
фх2еАх = М,
это - аналог закона сохранения кинетического момента, или
скр Ме~Ах
(И, х
2
(7.13)
Уравнение (7.11) допускает понижение порядка: умножим его на хе2Ах, получим
I (¿2е2^} = -0,
Г,
де II(х) - первообразная для /(ж)е (какая-нибудь первообразная):
и(х) = J Дж)<
Следовательно,
.2 Ах
(1х.
± {±еАх)2 + и = Е, (7.14)
где Е - некоторая постоянная ("энергия"). Таким образом, первое слагаемое в
(7.14) есть "кинетическая энергия", второе - "потенциальная энергия", а само равенство - "закон сохранения энергии".
Из (7.14) найдем х:
Найдем траектории планеты, то есть найдем связь между х и у, но сначала связь между х и <р. Из (7.13) и (7.15) находим
Рассмотрим явно решаемый случай ("ньютоновский потенциал"): в качестве /(х) возьмем
где N - некоторая постоянная. Можно считать, что Лг = 0. Перейдем от >р к у = (рх, получим уравнение траектории:
Это - кривая второго порядка, проходящая через начало координат и касающаяся в этой точке оси ординат: эллипс при Е < 0, гипербола при Е > 0 и парабола при Е — 0. Таким образом, выполняется аналог первого закона Кеплера. Установим аналог второго закона Кеплера.
Из (7.13) найдем МсІІ и проинтегрируем по /,, получим:
где Ь\- кусок траектории. Соединим Ь\ с началом координат двумя лучами ¿о и 1/2. Интегралы по путям Ьо и Ь2 равны нулю. Контур Ь = Ьо + Ь\ + охватывает область С?. Итак,
^ = х/2 (Е - и) е-Лж. аг
(7.15)
*Р=±
¿х х2^2 (Е-иУ
М
отсюда
/(ж) = е 2Ах/х2,
(7.16)
тогда
у2 = 2 М2(Ех2 + х).
Применяя формулу Грина, получим
(7.17)
Итак, функция, выраженная правой частью формулы (7.17), зависит от £ линейно. Это и есть аналог второго закона Кеплера. Заметим, что этот результат верен для произвольной функции /.
Классический третий закон Кеплера устанавливает явный вид периода обращения в зависимости от энергии. В нашем случае для функции /, задаваемой
(7.16), мы можем выразить в явном виде время, за которое планета проходит орбиту, являющуюся эллипсом. Из (7.15) найдем связь ¿их:
Пусть траектория движения - эллипс, то есть Е < 0. Найдем значение для "периода" Т (то есть для времени, за которое планета пройдет весь эллипс):
Сделаем замену х = —в/Е. Получаем следующее выражение периода Т через энергию Е:
В этом параграфе мы рассматриваем расширенную плоскость дуального переменного - цилиндр П - с группой движений С?2 = Эи(2; Л), см. § 3. В основном тексте мы используем переменные х, у на плоскости Л в качестве локальных координат на П. Поэтому мы расссматриваем группу С2 (допуская некоторую вольность речи) как группу движений плоскости Л.
Напомним, что группа Сг состоит из матриц:
бй = ±—=—. (1х.
еЛх
(7.18)
у/2у/Е + 1/х
Проинтегрируем (7.18), получим
Т = л/2 (-Е)~3/21(-А/Е), где /(Л) - функция, определяемая интегралом
§ 8. Геометрия на цилиндре
(8.1)
Алгебра Ли д2 группы С2 состоит из матриц
“-*)■ ^
Пусть в (8.1) а = а + гр, Ь = ¡3 + iq, тогда а2 + (З2 = 1. Группа С2 действует
на плоскости Л дробно-линейно:
аг - Ь го о\
2 1—> и) = --—. (8.0)
02 + а
Разделим вещественные и мнимые части: пусть 2 = х + {у, ы = и + т, тогда
ах — ¡3 _ (/Зр — ац)(х2 - 1) + 2(ар + (Зд)х + у
П (Зх + а ’ (/9.x + а)2
Мы видим, что функция (8.3) определена на всей плоскости Л при ¡3 = 0 и на всей плоскости Л, кроме вертикальной прямой х = —а/(3 при [3 ф 0.
Мера и метрика на Л, инвариантные относительно (72, задаются формулами:
<8'4)
Видим, что метрика вырождена.
При стереографической проекции преобразование (8.3) переходит в линейное преобразование пространства М3 переменных £, т/, £, оно переводит цилиндр
О в себя взаимно однозначно (композиция поворота вокруг оси и сдвиг вдоль образующих), см. матрицу (3.9).
Мера (За и метрика с^2, см. (8.4) и (8.5), при стереографической проекции переходят в меру и метрику:
4С2
8.1 Инвариантные аффинные связности
Теорема 8.1 Всякая аффинная связность на А, инвариантная относительно С2, задается тремя вещественными параметрами Н, Р,(^ и имеет следующие базисные матрицы
_ 2 / -х + А 0 \ __?_Г 0 М
8/в* “ I2 + 1 V V + н -х + Р )' 8/8у I2 + 1 I, -х + <? 0 )'
где обозначено
А = Р + <3.
Доказательство. Возьмем преобразование г •—> и> из группы С2. Как и в доказательстве теоремы 7.1, для соответствия с § б обозначаем: г = + гх2,
ио = у\ + ¿у2 ■ Рассмотрим в С2 следующие три однопараметрические подгруппы
1 +ip 0 0 1 — гр
1 гд г<7 1
сое £ вт £ — зш £ сое £
(8.7)
Возьмем сначала первую подгруппу. Она дает преобразование
{
У1 = хг,
У2 = 2рХ1+Х2.
Следовательно,
дуг _ 1 дуг ду2 _ ду2 _
О ’Л 5 о о
¿7X1 0X2 ОХ 1 <7X2
и потому Ь\ = 2, остальные равны нулю. Все вторые частные производные д2,ук/дх^дх^ равны нулю, так что все М™ равны нулю. Далее имеем
д'У1
др
= 0,
р=О
ду2
др р=0
= 2x1.
Подставим все это в систему уравнений (6.9). Каждое уравнение задается набором индексов {г?77г}, каждый принимает 2 значения, поэтому всего имеем 8 уравнений. Обозначим частную производную по х2 нижним индеком х2. Сокращая на множитель 2, получаем систему (слева от уравнения указывается набор {и'т}):
111
112
121
122
211
212
221
222
система (I)
^21 + Г|2 + £1(Гп)Х2 = 0,
Г21 + Г}2 — Ги + х 1 (Г'! ]_) д?2 = Г22 + Х1(Г}2)Х2 = 0. Г22 — Г12 + Х1(Г12)Ж2 = 0, Г22 + Х1(Г21)12 = 0. Г22 — Г21 + Х1(Г21)х2 = 0) Ж1(Г22)а:2 = 0. —Г22 + Х1(Г22)Х2 = 0,
Теперь возьмем вторую подгруппу из (8.7). Она дает преобразование
Следовательно,
У\ = хх,
у2 = (1 - х\)дхх + х2.
ду1 , дух _ п ду2 _ _ ду2 _ 1
я ’я ’я 1?, я ’
¿7X1 ОХ2 ОХ 1 ох2
и потому Ь\ = —2x1, остальные равны нулю. Только одна частная производная не равна нулю, это
д2У2
дх\
= -2?,
так что М2г = — 2, остальные М"- равны нулю. Далее имеем
ду^
дуі
дq
= 0’ я <7=0 oq
= 1 — хі.
9=0
Подставим все это в систему уравнений (6.9). Умножая на —1, получим систему
111
112
121
122
211
212
221
222
система (II)
2хіГ21 + 2жіГ12 + (х'х — 1)(Г^)Х2 = 0,
2 + 2хіТ221 + 2жіГі2 - 2жіГ{! + (х\ - 1)^^
2х\Т22 + (х1 — 1)(Г12)Ж2 = 0.
2^1 Г22 - 2х2Г}2 + (х\ - 1)(Г22)Ж2 = 0,
2жіГ^2 + (х\ - 1)(Г21)Ж2 = 0.
2жіГ22 — 2х\Т2\ + (х2 — 1)(Г21)Ж2 = 0,
(Ж1 — 1)(Г,22)х2 — 0.
—2жіГ22 + (х\ - 1)(Г22)Ж2 = 0.
0,
Вычтем из каждого уравнения системы II соответствующее уравнение (с тем же {г/т}) уравнение системы I, умноженное на 2х\. Мы получим
2-(х21 + 1)(Т2п)Х2 = 0,
-{х\ + 1)(Т^)Х2 = 0, {цт}/{ 112}.
Уравнение (8.8) дает явное выражение для Г2^
2
Г2 1 и
х2 + 1
(х2 + Я),
(8.8)
(8.9)
(8.10)
где Н - постоянная, а уравнение (8.9) означает, что все Г”1, кроме Г2Х, не зависят от Х2- Поэтому из системы I (или II) получаем систему (ср. соответствующую систему в § 7)
^21 + Гі2 — 0, г» + г12 - г;, + г?, - г‘, = о,
2хі ж2 + 1
= 0,
(8.11)
22
Г2
А 22
Г1
1 22
21
Г12 = 0, 0.
Отсюда находим, что
Г1 — Г1 112 —■ 1 21
Г1
1 о
22
1*2 = 0
(8.12)
и еще есть соотношение (8.11).
Наконец, возьмем третью подгруппу из (8.7). Получаем
У і
сое £ • х\ — эт £ эт £ • х і + соэ £
, 2/2 =
Ж 2
(эт £ • х\ + сое £)2
Следовательно,
Ь\ = —2хі, ^2 = 0) ^1 — —2х2, ¿2 = —2хі,
м2п = М22 = МІ = -2,
остальные М”‘ равны нулю,
5уі
<9£
= -хГ - 1,
4=0
ду2
ді
4=0
= -2хіх2.
Поскольку мы уже нашли 5 символов Кристоффеля, см. (8.10), (8.12), достаточно рассмотреть только три уравнения из (6.9), а именно, уравнения с {111}, {122}, {212}. Они дают дифференциальное уравнение - одно и то же - для Г = Г11>Г12>Г2И а именно,
-2-2хіГ-(х2 + 1)|^ =0.
Решение этого уравнения есть
Г =
х2 + 1
<9хі
(—XI + С) ,
где С - постоянная. Обозначим эту постоянную для Г^Г^Г2! через А, Р, ф, соответственно. Соотношение (8.11) дает А = Р + (¿. □
Пусть 7 - кривая г(£) = х(£) -4- гу(£) на Л. Возьмем на Л инвариантную аффинную связность, задаваемую числами Я, Р, <2, см. теорему 8.1. Пусть ю(£) = а(£) + г6(£) - векторное поле, параллельное вдоль 7. По (6.10) для а и Ь получаем систему
а -I—-—- (—х + А) х а = 0 хл + 1
Ь +
+
2
х2 + 1
(у + Я) ха + (-х + Р)хЬ + (—х + <2) у а
= 0.
(8.13)
(8.14)
Решение этой системы дается следующей теоремой.
Теорема 8.2 Векторное поле ъи = а + гЬ, параллельное вдоль 7, задается формулами
а = С(х2 + 1) е
-2Аа
Ь = (х2 + 1)е
-2Р«
Л
-2 С/
(у + Н)х + (—х + (^)у 2дв х2 + 1
ді
(8.15) , (8.16)
где С, И - некоторые числа, и для краткости мы положили й — аг^х.
Доказательство. Уравнение (8.13) сразу дает (8.15). Подставим (8.15) в (8.14), получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решая его, получим (8.16). □
8.2 Ускорение, кривизна
Ускорение г = х + гу в соответствии с (6.14) дается формулами
2х2 х2 + 1' 2х
х = х+^—^(-х + А), (8.17)
У = У + - 2- 1 [х{у + Я) + (—2х + А)у\, (8.18)
ОС I Х
или
Л 2г _
2 = 2 + -------— —22 + Ах + НИ].
1 + 22
Кривизну мы определяем точно так же, как в § 7. Сейчас расстояние между точками г(в) и г{р) есть (см. (8.5))
гх(8) ¿х !х[Ь)
поэтому кривизна к дается формулой
х2 + 1
X
3
к = (ж2 + 1)
Подставляя сюда (8.17) и (8.18), получаем к = (х' + 1)^-2х%+2{у+н)-
На плоскости Л геодезическими (кривыми с нулевым ускорением, кривыми с нулевой кривизной) являются параболы у + Я = А(х2 — 1) + Вх, где А и В - постоянные. Эти параболы характеризуются тем, что они инвариантны относительно инверсии т + гЯ = —1/(2+ гЯ). Зависимость от £ достаточно указать для х\
х _ чыр^сй> Аф0]
X
— ^ (С\Ь + Сг), А — 0,
где С\, С2 - некоторые числа.
Пусть 6 - стационарная подалгебра точки 2 = 0 в алгебре Ли 02, она состоит из диагональных матриц X, см. (8.2).
Теорема 8.3 Геодезические для аффинной связности с параметрами Н, Р, Q являются траекториями однопараметрических подгрупп ехрМХ из GV Направляющие векторы X G 0 этих подгрупп заполняют плоскость {t = 2Ни} в 02- Эта плоскость есть подпространство в 02, дополнительное к 6 и инвариантное относительно £ в присоединенном представлении. Обратно, всякое такое подпространство может быть получено этим способом.
8.3 Аналог теоремы Гаусса-Бонне
Как и в пункте 7.4, по (8.15), (8.16) находим, что угловой коэффициент вектора после параллельного перенесения вектора вдоль Ь в точку г(1) есть
ф) _ еЭД. \т _ 2 í fa+H)í+(-x + Q)j е_ад, J х “Ь 1
dt
где Т - некоторое число (Т = В/С, см. (8.15), (8.16)), ё = ап^х. Следовательно, угловой коэффициент исходного вектора в точке ,г(і0) = = х0 + гу0
есть
^(¿0 ) = Теад*°,
где йо = аіх^хо, а после перенесения в ту же точку го = ¿(¿і) есть
<р(к) = е2«'° \Т - 2 Г (» + ")* + (-* + <?.)У е-ЭД. Л L Jto х +1
так что
А<р = <^(¿i) - ip(t0) =
2e2Qso f c-2Qs (x - Q)dy - (y + H)dx Jl x2 + 1
Применяя формулу Грина, получим окончательно
Д^ = 4(<32 + 1) í e-2Q^s*-™ctgx0) d(J ^819)
JG
где deг - мера (8.4). По аналогии с классической теоремой Гаусса-Бонне мы можем назвать подинтегральную функцию в (8.19) гауссовой кривизной. Заметим, что, как и в пункте 7.4, в отличие от классического случая угол поворота Aip зависит от начальной точки zq. С другой стороны, формула (8.19) инвариантна относительно движений из группы (?2, поскольку мера do инвариантна относительно С?2 •
8.4 Движение планет
Рассмотрим движение планет на плоскости Л, снабженной инвариантной аффинной связностью с параметрами Н, Р, <5, см. теорему 8.1. Мы рассуждаем аналогично пункту 7.5. Мы можем считать, что Н — 0 (этого можно добиться сдвигом по оси Оу на —Н).
Поместим Солнце в начало координат. Геодезическая, соединяющая Солнце и планету, находящуюся в точке г = х + гу, есть прямая у = Вх. Касательный вектор к ней в точке 2 (с первой координатой, равной 1) есть 1 + г<£> = ехрг^, 1р = у/х. Поэтому уравнение движения имеет вид:
?=-/ег¥\
где 2 - ускорение, / - "модуль" силы, он зависит только от х: / — /(х). Подставим сюда формулы (8.17), (8.18) для ускорения. Тогда мы получаем, что
движение планеты описывается системой уравнений:
2т2
Х2 + 1(~Х + Л) = (8-20)
Опт у
у + -у—т [ху + (-2х + А)у\ = -/-. (8.21)
Х^ + 1 X
Для аргумента <р = у/х точки 2 мы из уравнений (8.20) и (8.21) получаем уравнение
хф + -¡г1-: (1 - х2 + Ах) = 0, хг + 1
откуда
ф = е-2Лагс1®ж (8.22)
хг
где М - постоянная, назовём её кинетическим моментом (по аналогии с классическим случаем).
Уравнение (8.20) можно записать в виде
+ 2-41+—) =--Лт- (8.23)
сИ \х2 + 1 / \Х2 + 1/ X2 + 1
Вспомним формулу (8.5) для метрики. Из нее следует, что
(8.24,
где 5 = - расстояние от точки 2 до 0. Поэтому уравнение (8.23) можно
переписать так:
Уравнение (8.25) допускает понижение порядка: умножим его на ¿ехр(4у4з), получим
5 Ж
где и - первообразная для з(й) ехр(4Лй):
Ц = I д(з)е4Авс1з.
Следовательно,
~ (зе2Аз)2 + и — Е, (8.26)
где Е - некоторая постоянная ("энергия"). Таким образом, первое слагаемое в (8.26) есть "кинетическая энергия", второе - "потенциальная энергия", а само равенство - "закон сохранения энергии". Потенциальную энергию можно выразить в терминах х:
“/(Лтр'3“"'''6'1' (а27)
з = ±е~2А*у/2(Е - и)
и
Из (8.26) получаем и, по (8.24),
х = ±(х2 + 1)е~2А°^2(Е - и). (8.28)
Разделим (8.22) на (8.28), получим
¿у = ±-ЩХ‘2±-11= ¿х, (8.29)
х2у/2(Е — и) У '
откуда
(р + С = ± / М^ + ^ ¿х, (8.30)
./ х2у/2(Е-и) ’
Рассмотрим явно решаемый случай - аналог ньютоновского потенциала на трехмерной сфере.
Напомним [1] указанный потенциал, соответствующую силу притяжения и реализацию этой ситуации на комплексной плоскости. Возьмем единичную трёхмерную сферу Б3 : х\ + х\ + х2 + х2 — 1 в К4 с евклидовой метрикой. Притягивающая масса (Солнце), сосредоточенная в некоторой точке х° € Б3, создаёт
в точке х € Б3 потенциал С/ = —2kctgв, где к > 0 и в - угол между х° и х.
Движение планеты в поле тяготения Солнца происходит в сечении сферы Б3 некоторой гиперплоскостью, то есть в сфере Б2. Можно считать, что эта гиперплоскость есть Х4 = 0, и тогда Б2 есть сфера х\ + х\ + х3 = 1 в К3. Пусть Солнце находится в Южном полюсе (0,0,—1). Отобразим сферу Б2 на плоскость К2 с координатами х, у с помощью стереографической проекции, взяв за центр проекции Северный полюс (0,0,1):
Х\ х2
х= 1-----, У= ,------■
1 - х3 1 - х3
Обратное отображение задаётся формулами:
2х 2 у г2 — 1
■^1 ~2 i Т ’ ”9 i Г ’ 2 ± 1 ’
7" 1 Г2 + 1 Г ~Ь 1
где г = л/х2 + у2. Теперь рассмотрим плоскость хОу как комплексную плоскость переменной г = х+гу. Тогда вращения сферы перейдут в дробно-линейные преобразования плоскости с унитарной матрицей. Евклидова метрика на сфере перейдёт в метрику
dx2 + (1у2
(г2 + I)2 ’
а потенциал U = — 2/cctg0 перейдёт в потенциал
(8.31)
U = k ( г - - ) . (8.32)
г
Тогда сила тяготения F будет равна —grad U, где градиент берется в смысле метрики (8.31), а именно, модуль силы есть
\F\ = (г2 + 1)2~ к (г --dr \ г - ¿>2 + 1)3
а вектор силы направлен от z к 0. Если записать 2 в показательной форме: z = г ехр(г<^), то
(г2 + I)3
F — —к 1 еТ (8.33)
Теперь вернемся к плоскости Л дуального переменного. Запишем 2 6 Л в показательной форме (см. (1.1)): 2 = хехр(гуг). Имея в виду (8.32) и (8.33), возьмём в качестве потенциала (8.27) функцию U = /с(|х| — 1/|х|). Тогда "модуль" силы притяжения есть
Дх) = -¿>2 + 1)3. е_4Лarctgx (g 34)
Хг
Рассмотрим случай х > 0. Тогда
U = к ( х - - ) . (8.35)
х
Поскольку dll = к(х2 + 1)/-т2, мы можем теперь в интеграле (8.30) перейти к переменной U. Тогда интеграл берется, мы получаем
р + С = Тул/2(Д-С0-
Отсюда
2 М2
Подставляя сюда (8.35) и <р = у/х, получим уравнение орбиты планеты:
Поворотом на некоторый угол можно добиться того, чтобы С — 0, тогда орбита задаётся уравнением
Это - овал в полуплоскости х > 0, симметричный относительно оси Ох и пересекающий ось Ох в точках 0 и
Случай х < 0 рассматривается аналогично: получается траектория, симметричная относительно оси Оу.
Далее рассмотрим законы Кеплера. Здесь отметим любопытный факт: для формулировок этих законов надо использовать различные многообразия: цилиндр П, касательную к нему плоскость в южном полюсе, экваториальную плоскость и саму плоскость Л.
Образ орбиты (8.37) на цилиндре $7 при стереографической проекции задаётся уравнением:
Спроектируем эту кривую на касательную плоскость £ = — 1 к в Южном полюсе (0,0,-1) с помощью центральной проекции с центром в точке (0,0,0). Эта проекция сопоставляет точке (£, г/, С) точку (и, V, — 1), где и = — £/£, V — = —77/С. Кривая (8.38) переходит в кривую, задаваемую уравнением
Это - уравнение кривой второго порядка, проходящей через точку (0,0): гиперболы при Е > 0, параболы при Е = 0, эллипса при Е < 0. Тип кривой зависит от взаимного расположения кривой (8.37) на ^ и экваториальной плоскости £ = 0: кривая пересекает эту плоскость, касается её, не пересекает, соответственно.
Установим аналог второго закона Кеплера.
. _ ч 2 2 М2 . з Е 2
(у + Сх) — —-—(-£ + — X +ж). к к
(8.37)
Е + у/Е2 + 4 к,2
(8.38)
О М2
V2 = —" (Ей + 2к)и.
К
Из (8.22) найдем ММ:
1 сл/:
и проинтегрируем по £ от до ¿2- Как и в пункте 7.5, проинтегрируем по криволинейному сектору и применим формулу Грина. Вспоминая выражение (8.4) для инвариантной меры ¿а, получим
Итак, функция, выраженная правой частью формулы (8.40), зависит от £ линейно. Этот результат верен для произвольной функции /.
При А — 0 получается простая интерпретация этой формулы в координатах £, 77, £. Вспоминая (8.6), получаем:
где Н - проекция на плоскость £От/ образа О сектора С при стереографической проекции. Если кривая (8.38) лежит ниже плоскости £ = 0, то есть £ < 0, то
(8.41) даёт
где Б(Н) — площадь сектора Н. В общем случае тоже справедлива формула
(8.42), только Б(Н) обозначает сумму площадей частей сектора Н, взятых со знаком: площадь берётся со знаком "плюс" или "минус" соответственно тому, лежат соответствующие точки на цилиндре ниже или выше экваториальной плоскости £ = 0.
Классический третий закон Кеплера устанавливает явный вид периода обращения в зависимости от энергии.
Найдем время Т, за которое планета проходит орбиту (8.37). Следовательно, мы предполагаем, что функция / задается формулой (8.34). Пусть движение планеты по кривой (8.37) происходит против часовой стрелки. Тогда аргумент 1р меняется от —оо до +оо. Из (8.39) получаем
При А — 0 этот интеграл удается явно вычислить (с помощью вычетов).
(8.40)
(8.41)
М(і\ - £0) = ^5(Я),
(8.42)
(8.43)
Выразим первый множитель под интегралом через <р. Сначала пишем
а затем выражаем потенциал [/ через <+> с помощью (8.36) (где С = 0):
Подставим все это в (8.43) и сделаем замену (р = у/2/к М ц, мы получим
Теорема 8.4 Пусть А = 0 и функция / задается формулой (8.34)- Период Т обращения планеты, то есть время, за которое планета пробежит кривую (8.37), есть следующая функция от энергии Е:
тг E + VE2 + 4k2 ~ 2 V Е2 + 4к2 '
Можно написать другое выражение для Т. Подставим в (8.43) dup из (8.29) и перейдем отж(= tgs) к а = 2s — 2arctgx. Так как U = k(tgs—ctgs) — —2/cctga, то
fOio 0^а
v/ctg а - ctg а0
где а0 = 2arctgxo, ctgao = —Е/2к, a xq дается формулой (8.29).
1 Ги е"
Т = —■= / da,
2 Vk Jo
§ 9. Геометрия на плоскости Лобачевского—Галилея
В этом параграфе мы рассматриваем полосу С : zz < 1, то есть —1 < х < 1, в плоскости Л. Назовем эту полосу плоскостью Лобачевского-Галилея. Она есть однородное пространство для группы С'з = ¿>'[/(1,1; Л), см. § 3, относительно дробно-линейного действия.
Напомним, что группа состоит из матриц:
( Ъ 5 ) ’ аЛ~ЬЬ=1- (9л)
Она состоит из двух связных частей: Rea ^ 1 и Rea ^ —1. Алгебра Ли 0з
группы Сз состоит из матриц
х=( Ü \ + щ \ (92)
\ Х-гр, —it J
Пусть в (9.1) а = а + гр, b = ¡3 + iq, тогда а2 - /З2 = 1. Действие группы G3 на С есть
(9.з)
bz + а
Разделим вещественные и мнимые части: пусть г = х + гу, w = и + iv, тогда
ах + Р (Рр — aq)(x2 + 1) + 2 (ар — Pq)x + у
U Рх + a ’ V (Рх + а)2
Мы видим, что функция (9.3) определена на всей С.
Мера и метрика на С, инвариантные относительно G3, задаются формулами:
<«>
¿з = ^ • (9.5)
Видим, что метрика вырождена. Нижеследующие утверждения доказываются аналогично утверждениям из § 8.
Теорема 9.1 Всякая аффинная связность на С, инвариантная относительно С2,, задается тремя вещественными параметрами Н, Р, <5 и имеет следующие базисные матрицы,
„ _ 2 / х + А 0
Уа/ах - [ -у- Н х + р
Уд/ду —
о о
i-х2 V x + Q or
где А = Р + Q.
Векторное поле w(t) — a{t) + ib(t), параллельное вдоль кривой 7 : z(t) = x(t) + iy(t), удовлетворяет системе уравнений
а +
Ъ +
1-х2
2
(ж + А) ха = 0,
- (у + Н) х а + (х + Р)х b + (х + Q) у а
1-х2
Решение этой системы дается следующими формулами а = С( 1 — х2) є(х)Л,
D-2C
= 0.
b = (1 — х2) є(х)р где С, D - некоторые числа и
, Г -(У + н)х + (д + Q)y , 'Q
./ 1-х2
dt
(9.6)
(9.7)
є(х) =
1-х
1 + X
Ускорение z = х + iy дается формулами
2i2
х = ж +
(х + Л),
1-х2 2¿
У = У+-, j[-(y + H)x + (2x + A)y],
или
2 = 2 +
1 — X2 2¿
[22 + Ах — НИ]
1 — 22
Кривизну мы определяем точно так же, как в § 7. Сейчас расстояние между точками 2(й) и г{€) есть (см. (9.5))
гФ Jx(t)
1 — х2 ’
поэтому кривизна к дается формулой
к = {1-^и+2хтх-2(у+н)-
Кривые постоянной кривизны к - это параболы у = а(х2 + 1) + Ьх — Я — к/2. В частности, кривые нулевой кривизны (геодезические) - это параболы у + Н = = а(х2 + 1) + Ьх.
Пусть [) - стационарная подалгебра точки г = 0 в алгебре Ли д3, она состоит из диагональных матриц X, см. (9.2).
Теорема 9.2 Геодезические для аффинной связности с параметрами Н, Р, ф являются траекториями однопараметрических подгрупп ехрКХ из Сз. Направляющие векторы X е д3 этих подгрупп заполняют некоторую плоскость в 0з- Эта плоскость есть подпространство в дз, дополнительное к () и инвариантное относительно § в присоединенном представлении. Обратно, всякое такое подпространство может быть получено этим способом.
Рассмотрим аналоги различных замечательных кривых на евклидовой плоскости. Как и в § 7, мы исходим из определений, связанных с понятием угла. Вот некоторые кривые для С: дуги окружности с концами ±с на оси Ох (отрезок [—с, с] виден под постоянным углом):
(х2 — с2)(х2 — с-2) х2 — с2
1 — х2 с2 + 1
эллипс и гипербола с фокусами ±с на оси Ох - это части кривой
2 Т/1 2 21 / —2 2\ ( -2 2'\^(1—Vе2)
у = К\х — с | (с — X ) [с — X ) ,
для которых |ж| ^ с (эллипс), |х| ^ с (гипербола). Параболы мы получаем, устремляя один из фокусов эллипса или гиперболы к бесконечности. Получаем, соответственно, параболы эллиптического и гиперболического типа, например, если неподвижный фокус расположен в точке х = 0, то (независимо от Н): у2 = Кх( 1 — х2), х ^ 0, и у = —Кх( 1 — ж2), х ^ 0. Логарифмическая спираль: у — Кх( 1п|х| + С).
Рассмотрим аналог теоремы Гаусса - Бонне. По (9.6), (9.7) находим, что угловой коэффициент вектора после параллельного перенесения вектора вдоль L в точку z{i) есть
*>(«) = ф)-« [г - 2 [ dy±ap±±Ш ф)<г м
L J 1 - xz
где Т = D/С. Следовательно, угловой коэффициент исходного вектора в точке z(to) = Z0 = Х0 + iyo есть
фо) = Т є(х o)-Q, а после перенесения в ту же точку Zq — z(ti) есть
**>) = е(,о)-« [т - 2 [“ =Ь±Я£ї£±Ш e{xf dt
1 Jt0 їх
так что
= -2Е(х»)-в [ <х)я=к±тр±±Ш..
JL 1 X
Применяя формулу Грина, получим окончательно
А(р = 4(д2 — 1) е(хо)~® ( е(х)®с1сг, (9.8)
иг>
где да - мера (9.4). Опять заметим, что в отличие от классического случая угол поворота А(р зависит от начальной точки го- С другой стороны, формула (9.8) инвариантна относительно движений из группы С:!.
Рассмотрим задачу о движении частицы (планеты) с массой 1 в центральном поле Р с центром в 2 = 0. Мы рассуждаем, как в пункте 8.4. Мы можем считать, что Н = 0. Движение планеты описывается системой уравнений:
2т2
х + ----¿(х + Л) = -/, (9.9)
1 — х1
У + л 2х 2 [~ху + (2х + А)у\ = -/ -. (9.10)
1 — X* X
Отсюда для аргумента <р = у/х точки 2 получаем уравнение
хф + 2^-2- (1 + х2 + Ах) = 0,
1 — X*
откуда
(1 - х2)2 А = -------------<х)
где М - постоянная (кинетический момент). Из уравнения (9.9) следует "закон сохранения энергии".
^ к2 е(х)~2А + и = Е,
А.I
где й - расстояние от 0 до х, см. (9.5), Е - некоторая постоянная ("энергия"), и - потенциал:
и = J /(х)(1 — х2)~2е(х)~2Ас1х,
Как и в § 8, получаем
ц> + С = ± J ——7== == с?х,
М(1 -х2)
с2 у/2 (Е-и)
Возьмем в качестве потенциала и аналог потенциала из трехмерного пространства Лобачевского:
Ц = к (~х _х + 2) ’
к > 0 - коэффициент. Тогда
/(х) = к——^-е(х)2Л. хг
Тогда уравнение траектории есть:
(у + Сх)2 = 2М2к~2х (кх2 + (Е- 2к)х + к) .
В модели Клейна траектория есть кривая второго порядка:
(V + Си)2 = 2М2к~2 ((Е - 2к)и2 + 2ки) ,
аналог первого закона Кеплера. Второй закон Кеплера справедлив для проекции траектории в сечении Гз на плоскость /12О/13. Справедлив аналог третьего закона Кеплера, а именно, если орбита в модели Клейна есть эллипс с горизонтальной полуосью о, то период зависит только от а. Точная формула при А = 0:
Т = {тт/2)^/2к {(1 - 2*;)-1/2 - (1 + 2к)~1/2} .
§ 10. Пространства Фока
В настоящем параграфе мы рассматриваем аналоги пространства Фока на плоскости Л дуального переменного и на плоскости Лобачевского-Галилея С.
Пространство Фока на комплексной плоскости С (на комплексном пространстве С"), см., например, [4], служит основой для построения виковского и ан-тивиковского квантований.
10.1 Пространство Фока на плоскости дуального переменного
Мы рассматриваем аналитические функции /(2) = и(х,у) +гу(х,у) на Л со значениями тоже в Л, см. § 2. Напомним, что аналитическая функция /(2) есть /(2) = (р(х) + г[р'{х)у + ф(х)\ с дифференцируемыми р, ф.
Назовём пространством Фока ■Т'/ДЛ) на Л совокупность аналитических на Л функций /(г), для которых <р(х) и ф(х) содержатся в Ь2(М, е~х /нс1х), Н > 0 - параметр ("постоянная Планка"). Определим в •Т-’/ДЛ) "скалярное произведение" (эрмитову форму над Л):
(/ъ /2 ) = с [ Л(г)/2(г) е~х2/н б (у) <1х<1у,
где 5(Ь) - дельта-функция Дирака на вещественной прямой, нормирующий множитель с = (7Г/1)-1/2 взят так, чтобы (1,1) = 1. Пусть аналитическим функциям /1(2) и /2(2) отвечают (по (2.1) функции <^х(х), ф\{х) и </з2(ж), ^20е), соответственно. Тогда
В отличие от обычного (комплексного) пространства Фока система {гп}, п Є М, не является ортогональной:
(.zn,zm) = <
0, n + т = 1,
(zn, zm) — hn+m Г ^ , п + т = 0.
Ортогонализация этой системы приводит к ортогональной системе функций
/п(г) = Нп(г/\/К), п 6 М,
где Яп(в) - многочлены Эрмнта [3] 10.13. Скалярный квадрат функции /п равен А„ = 2"п!. Всякая функция / из ^(Л) разлагается в ряд по системе {/„}:
Сш
Хг>
71—0
Пусть Ф(2,гу) - ядро Бергмана, отвечающее системе {/п}:
00 і ________________
Ф(г,ш) = 53 7~ AWAW'
п=о Лп
Функция (обобщённая) Фш(г) = Ф(,г,й;) обладает воспроизводящим свойством:
(/,Ф*) = /И.
Таким образом, функция Ф(,г,г(;) является переполненной системой в .ТтДЛ) (системой когерентных состояний). Ее явный вид дается следующей теоремой (доказательство ее аналогично доказательству теоремы 10.2, см. ниже).
Теорема 10.1 Ядро Бергмана Ф(г, TD) имеет следующее выражение:
^(z,w) = V-Kh^ex2^k 5(х — и) + i yeu2^h + vex2^h 5'(х — и)| , где z = х + iy, w = и + iv.
Рассмотрим в ^-/г(Л) "операторы рождения и уничтожения" а = г (умножение на z) и b = h(d/dz). Первый из них эрмитов: а* — а, для второго сопряжённый есть Ь* = 2z—h(d/dz). Следовательно, операторы Х\ = iz и Х2 = z—h(d/dz)
- косоэрмитовы. Коммутатор X:i — [Х1; Х2] = ih коммутирует с Х\ и Х2. Следовательно, алгебра Ли (над R), порождённая Х\ и Х2, имеет базисом Хх, Х2, Х3 и является алгеброй Ли группы Гейзенберга. В терминах пар (</?, -ф), см. § 2, операторы действуют так: Хх, Х2, Х3 переводят пару (ip,ip) соответственно в пару (0, х<р), (Lip, Lip), (0, hip), где L = х — h(d/dx).
Соответствующая группа Ли состоит из унитарных в ^¡(А) операторов. Однопараметрические подгруппы exp(/.X!), exp(iX2), ехр(/,Х3) переводят f(z) соответственно в
eitzf(z), e~ht2/2etzf(Z-ht), eihtf(z).
10.2 Пространство Фока на плоскости Лобачевского-Галилея
Пусть Л - вещественное число, Л > —1/2. Напомним, что инвариантная мера на С дается формулой (9.4). Назовём пространством Фока Т\(С) на плоскости Лобачевского-Галилея С совокупность аналитических на С функций /(г) со значениями в Л, см. (2.1), для которых цз{х) и 'ф(х) принадлежат пространству Ь2 на отрезке [—1,1] с весовой функцией
ы(х) = (1-ж2)А-1/2, (10.1)
то есть сходятся интегралы:
J 1р2(х)и(х)(1х, J -ф2(х)ш(х)с1,х.
Определим "скалярное произведение" (т.е. эрмитову форму над Л) в Т\(С):
= Л 00/2 {г)5(у)ш(х)с1х(1у, г^х + гу.
Заметим, что для обычной плоскости Лобачевского (в комплексном случае) показатель у весовой функции пишут в виде — 2сг — 2, но нам сейчас удобнее взять именно (10.1).
Пусть аналитическим функциям /1(2) и /2(2) отвечают по (2.1) функции Ф\{х), -01 (ж) и 922(ж), ^2(ж), соответственно. Тогда
ш(х) с1х
Константу с = с(А) возьмем так, чтобы (1,1) = 1, тогда
■ г(А+1)
уОТ(Л + 1/2)'
Как и в пункте 10.1, система {г"}, п 6 М, не является ортогональной:
(гп,гт)=<
0, п + т = 1,
(1/2)М
I (Л+ 1)14
, п + т = 2к, к € М,
где мы использовали обозначение = а(а + 1)(а + 2)... (а + п — 1).
Ортогонализация этой системы приводит к ортогональной системе функций
/„(г) = С£(г), п Е N.
где Сх(х) - многочлены Гегенбауэра [3] 10.9, так что
= С*(х)+ гу(СпУ (х), г = х + гу, (10.2)
штрих означает производную. Скалярный квадрат функции /„ равен
А(2А)Н ^71 (п + Л) п!
Всякая функция / из Т\{С) разлагается в ряд по системе {/п}:
_ (/,/»)
^п]пУ^), &П
п=0
рп
Пусть Ф(г,т) - ядро Бергмана, отвечающее системе {/п}:
00 1 ____________
Ф(«,«0 = 53 _ /"(*)/"(«>)'
п=0
Функция (обобщенная) Фщ>(-г) = Ф(г, ш) обладает воспроизводящим свойством:
(/> фш) = /(ги).
Таким образом, функция Ф(г,го) является переполненной системой в Т\(С) (системой когерентных состояний). Ее явный вид дается следующей теоремой.
Теорема 10.2 Ядро Бергмана Ф(2, ги) имеет следующее выражение:
5\х - и) \ , (10.3)
Ф(2, уо) — - < —- 5(х — и) -И с (^(ж)
где г = х + іу, ю — и + іу.
1 1
+ V
и>(и) і^(х)_
Доказательство. Скалярный квадрат многочлена Гегенбауэра Сх(х) в пространстве Ь2([—1,1]; и(х)йх) равен /г„ = /¿„/с. Ядро Бергмана К(х,и) в этом пространстве для системы, состоящей из многочленов Гегенбауэра, есть
ОО -
К(х,и) = 53 тГСп(Х)Сп(и) =
П=0
и{х)
6(х — и).
С другой стороны, из (10.2) получаем: Ф(2,Ш) = |
д д 1 + ІУТх-ІУ^'> К{х'и) =
1 Г . д .¿Мі., ч
= - < І + гу— - ги— V —— 6{х - и), с ^ ох ои) ш(х)
где 2 = х + іу, ги = и + іу, отсюда следует (10.3). □
Литература
1. Л. Альфорс. Преобразование Мёбиуса в многомерном пространстве. М.: Мир, 1986.
2. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1989.
3. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции: функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука. 1966.
4. Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1983.
5. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, Н. Я. Виленкин. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.
6. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз. 1958.
7. В. Ф. Молчанов, Элементарные представления группы Лагерра. Матем. заметки. 1978. Том 23. Вып. 1. 31-39.
8. В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного. Державинские чтения V, Матер, научн. конф., февр. 2000. Тамбов 2000. 5-7.
9. В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок. Некоторые геометрические и физические задачи на плоскости Лобачевского-Галилея. Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки., 2002. Том 7. Вып. 1. 55-57.
10. Л. М. Молчанова. Однородные обобщенные функции на плоскости дуального переменного. Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки. 2002. Том 7. вып. 1. 54-55.
11. П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии, М.: Гостехиздат. 1956.
12. С. Хелгасои. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, М.: Мир. 1964.
13. И. М. Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия, М.: Наука. 1969.
Поступила в редакцию 25 апреля 2009 г.
Keywords: algebras; linear-fractional functions; affine connections; geodesics; distributions; planet motion.
We consider some géométrie, analytic and mechanic topics related to the algebra of dual numbers
