Графоаналитический метод определения круглогодичных значений температуры по глубине сезоннооттаивающего слоя грунта и вечномёрзлой толщи пород Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

УДК 625.855.3 А. М. ЗАВЬЯЛОВ

Е. А. БЕДРИН М. А. ЗАВЬЯЛОВ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,

г. Омск

ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРУГЛОГОДИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ПО ГЛУБИНЕ СЕЗОННООТТАИВАЮЩЕГО СЛОЯ ГРУНТА И ВЕЧНОМЁРЗЛОЙ ТОЛЩИ ПОРОД

Приводится графоаналитический метод определения температуры сезоннооттаи-вающего слоя грунта и вечномёрзлой толщи пород в произвольной точке и любой момент времени.

Ключевые слова: нулевая годовая амплитуда температуры, температурное поле, сезоннооттаивающий слой грунта, вечномёрзлая толща пород, графоаналитический метод.

Введение. Известна [1] принципиальная схема закономерности распределения значений температуры по глубине сезоннооттаивающего слоя грунта и вечномёрзлой толщи пород (рис. 1). Однако количественный анализ указанной закономерности распределения, причём не только по метрическим параметрам, но и по времени, возможен только посредством построения температурного поля рас-

сматриваемого объекта. Предложенный графоаналитический метод как раз и позволяет построить температурное поле сезоннооттаивающего слоя грунта и вечномёрзлой толщи пород, не прибегая к использованию подчас громоздкого математического аппарата и, как правило, численным способам решения дифференциальных уравнений [2, 3]. Графоаналитический метод даёт возможность с мень-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

18

Рис. 1. Изменение температуры по глубине сезоннооттаива-ющего слоя грунта и вечномерзлой толщи пород [1]:

1, 2 - распределение температуры по глубине при минимальной и максимальной температуре поверхности, соответственно (здесь температура Т обозначена как I)

здесь Т=Тср..

Полагая, что температура равна среднему значению температуры в г-й момент времени, устанавливаем дискретную функциональную связь между величинами температуры и времени

(4)

где t — время.

Подставляя в выражение (1) х=0, Т= Т , получаем

.

Откуда определяем коэффициент а

НІ

(5)

(6)

С учётом формулы (6) выражение (1) приобретает следующий вид:

т=Терл пТа(х_наУ+Та. (7)

НІ

шими затратами определять и прогнозировать температурные изменения как по глубине слоя грунта и толщи пород, так и по времени.

Основная часть. Идея метода заключается в следующем. Исходя из принципиальной схемы закономерности распределения значений температуры по глубине сезоннооттаивающего слоя грунта и вечномёрзлой толщи пород, температурное поле интерпретируется аналитическими выражениями и их графиками:

—для периода оттаивания — степенной функцией второго порядка

Т = а{х-НАУ+ТА

(1)

где хе [0, Ннг]; Ннг — нижняя граница вечномёрзлой толщи;

— для периода промерзания — степенной функцией третьего порядка

Т = Ь(х-НрУ +ТА

(2)

Рассматривая выражение (2) и аналогично рассуждая, получим

Ь =

Гср, - тА

НІ

(8)

Тогда выражение (2) на отрезке хе [0, НА] можно представить в виде

.

(9)

Заметим, что областью определения формулы (7) является отрезок [0, ННГ], а областью значений отрезок [ТА, Т ], что соответствует периоду оттаивания.

Для формулы (9) областями определения и значений соответственно будут [0, НА] и [ТА, Т ], указанные температуры соответствуют периоду промерзания. При Т=0, а это значение температуры принадлежит области значений формулы (7), получим, что

где хе [0, НА]; а и Ь — коэффициенты, определяемые из начальных условий; ТА и НА — температура и глубина, соответственно, для уровня нулевой годовой температурной амплитуды А=0 (рис. 1). Значения ТА и НА являются ключевыми параметрами для задания аппроксимирующих функций (1) и (2).

Выбор порядка аппроксимирующих степенных функций обусловлен характером распределения температуры по глубине слоя грунта и толщи пород.

Следует также заметить, что, наряду с параметрами ТА и НА, важнейшим параметром при моделировании температурного поля Т(х^) является среднее значение температур в рассматриваемый г-й период времени Т ..

1 ср. г

Переходя к реализации идеи графоаналитического метода, рассмотрим выражение (1). Температура при х=0, то есть на поверхности слоя грунта, может принимать различные значения в диапазоне от Т . до Т . Иначе говоря,

тт ^ тах 1 '

Я =- I-

Т —Т

л ср./ А

-+я4

Я = -

ГдЯІ

+ Я д

(10)

(11)

поскольку значение температуры на верхней и нижней границах вечномёрзлых грунтов (пород) близко к нулю (рис. 1).

Из формулы (7) следует также, что уравнение линии 2 (рис. 1), интерпретирующее распределение температуры по глубине, при максимальном значении температуры поверхности грунта можно записать:

“ Д

Рис. 2. Номограмма температурного поля сезоннооттаивающего слоя грунта и вечномерзлой толщи пород: 1 — летний период; 2 — зимний период; ТВГ— температура верхней границы многолетнемерзлых грунтов

Аналогично, из формулы (9), получаем уравнение распределения температуры по глубине при минимальной температуре поверхности грунта (линия 1, рис. 1)

. (13)

ПА

На рис. 2 представлена графическая иллюстрация описываемого метода: слева, кроме оси температур, указана ось времени. Фактически, это графическое представление можно рассматривать как номограмму для получения значений параметров температурного поля Т(х^).

Действительно, задаваясь значением средней температуры в интересующий момент времени (среднесуточной, среднемесячной), с учётом времени года (оттаивание или промерзание), и воспользовавшись либо графической иллюстрацией (рис. 2), либо формулами (7) или (9), получаем соответственно графическим или аналитическим способом значение температуры для любого значения величины х, то есть по любой глубине грунтовой толщи.

Пример. Исходные данные: {.= 14/05; Ттах = 5 град, С; Та=—2 град, С; НА=6 м.

Тогда ,

36

7

откуда следует, что ,

36

это линия, задающая температурное поле Т(х^) по глубине х для периода времени t¡, соответствующего дате 14 мая. Так, для глубины х=5 м, определим значение температуры

град, С.

36 36

Иначе говоря, исходя из среднего значения температуры, соответствующей дате 14 мая, на глубине

пяти метров (х=5 м), температура грунта (породы) будет равна —1,81 град, С.

Таким образом, разработан графоаналитический метод определения температуры сезонноотта-ивающего слоя грунта и вечномёрзлой толщи пород в произвольной точке, и любой момент времени, для реализации которого не требуется прибегать к численному моделированию дифференциальных уравнений в частных производных.

Библиографический список

1. Давыдов, В. А. Изыскания и проектирование автомобильных дорог на многолетнемёрзлых грунтах : учеб. пособие / В. А. Давыдов, Э. Д. Бондарева ; под ред. В. А. Давыдова. — Омск : Изд-во ОГПИ, 1989. — 183 с.

2. Моделирование температурного поля массива многолетнемерзлых грунтов / А. М. Завьялов [и др.] // Вестник СибАДИ. - 2010. - № 3 (17).- С. 49-52.

3. Завьялов, А. М. Аппарат математического моделирования процессов промерзания-протаивания грунтов / А. М. Завьялов, Е. А. Бедрин, М. А. Завьялов // Омский научный вестник. - 2010. - № 3(93).- С. 17-21.

ЗАВЬЯЛОВ Александр Михайлович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры высшей математики, заслуженный работник высшей школы РФ.

БЕДРИН Евгений Андреевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), докторант кафедры экономики и управления дорожным хозяйством. ЗАВЬЯЛОВ Михаил Александрович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры высшей математики.

Адрес для переписки: e-mail: gramota47@yahoo.com

Статья поступила в редакцию 02.07.2012 г.

© А. М. Завьялов, Е. А. Бедрин, М. А. Завьялов

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ