CC BY
31
УДК 536.11 Д. Е. Цуриков
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО ДЛЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Введение. Ключевую роль в учебном процессе играет форма подачи материала. Применение простых наглядных образов при изложении облегчает восприятие предметной области, способствует её систематизации. В различных областях естествознания этот подход проявил высокую эффективность: от таблицы Менделеева до диаграммной техники Фейнмана. Поэтому создание наглядных графических схем весьма важно для развития методики преподавания и для физики в целом.
Один из основных разделов физики - термодинамика. Первостепенной задачей в ней является установление всевозможных связей между термодинамическими величинами и их производными.
Графическая схема. Рассмотрим макроскопическую систему, которую характеризуют шесть термодинамических величин: Б - энтропия,
V - объём, N - число частиц, Т - температура, Р - давление, ц - химический потенциал. Для отыскания связей между их частными производными обычно требуется рассмотреть дифференциалы соответствующих потенциалов [1]. Для упрощения этой процедуры воспользуемся графической схемой, изображённой на рис. 1.
Схема представляет собой два треугольника, наложенных друг на друга. В вершинах треугольников записаны термодинамические величины таким образом, что в верхней полуплоскости находятся экстенсивные величины: Б, V, N, в нижней - интенсивные: Т, Р, ц. В противоположных вершинах образовавшегося шестиугольника находятся канонически сопряжённые друг другу величины: Б и Т, V и Р, N и ц.
Известно, что в случае, когда состояние системы описывают 2п термодинамических величин, можно построить 2п термодинамических потенциалов. В нашем случае 2п = 6, следовательно, имеют место 23 = 8 потенциалов. На рисунке они помещены в треугольники, в вершинах которых находятся их естественные переменные. Для записи дифференциала потенциала требуется составить выражение из произведений дифференциалов его естественных переменных и канонически сопряжённых им величин. Дифференциалы переменных, находящихся в вершинах полужирного треугольника, берутся со знаком «плюс», в вершинах тонкого треугольника - со знаком «минус». Сведения о потенциалах даны в таблице.
© Д. Е. Цуриков, 2010
Рис. 1. Графическая схема для основных термодинамических величин
Символ Название Треугольник Дифференциал
Е Энергия 5, V, Ж йЕ = +ТйЯ - РёУ + \id.N
Е Свободная энергия V, Ж, г с1Е = -Р(1У + \id.N - ЯсІТ
С Потенциал Гиббса Ж, Т, Р <Ю = +|хйЫ - ЯсІТ + У(1Р
Н - т, Р, и <1.Н = -ЯсІТ + У(1Р - Жф.
I - Р, и, 5 л = +у<1Р - жф. + таз
.7 - |і, 5, V 1и = -Жф. + ТсІ.Я - Р(1У
\¥ Энтальпия Я, Ж, Р АЖ = ■\-TdS + \id.N + \ЧР
п Омега-потенциал т, и, V с/П = -ЯсІТ - Жф. - РйУ
Преобразование Лежандра, связывающее потенциалы, записывается, исходя из вида их дифференциалов. Для этого также можно использовать следующее правило: при переходе от переменной в вершине полужирного треугольника к канонически сопряжённой переменной в вершине тонкого треугольника требуется вычесть из исходного потенциала их произведение, в противном случае - прибавить. Например:
J = О - Nц + ТБ - РУ., ^ = П + цМ,
Ш = Н + ТБ + цМ, I = Е + УР - Nц.
Так как все потенциалы являются экстенсивными величинами, а потенциал Н имеет только интенсивные естественные переменные, он равен нулю. Выражение для его дифференциала является соотношением Гиббса-Дюгема [1]:
-БйТ + Уд,Р - Ndц = 0. (1)
Записав преобразование Лежандра для перехода от Н к Е, имеем известный эквивалент выражения (1)
Е = ТБ - РУ + цМ.
Для сокращения дальнейших записей воспользуемся обозначением
где А, В, С - термодинамические величины. Найдём связи между двумя производными термодинамических величин вида (2) с помощью схемы, приведённой на рис. 1. Для этого воспользуемся графическими правилами, изображёнными на рис. 2. Стрелками на них изображены направления дифференцирования, фиксированная величина находится в одном из двух других углов прямоугольника.
В
С Рис. 2. Схемы для производных с одинаковыми (а) и разными (б) знаками
б
а
Рис. 2а соответствуют два соотношения для производных с одинаковыми знаками:
дВв = з£с, дСАв = д§с. (3)
Рис. 2б соответствуют два соотношения для производных с разными знаками:
дА В = -дЕ)С. дА В = -дЮС. (4)
Можно убедиться, что величины в правых и левых частях выражений (3) и (4) обра-
зуют треугольники, переходящие друг в друга отражением относительно штрихпунк-тирной линии. Таким образом, для того чтобы записать связи между производными термодинамических величин, требуется построить аналогичные треугольники на схеме (см. рис. 1). Воспользовавшись этим, легко можно получить известные соотношения:
д?Б = дрN. дрУ = дрТ, д?У = -дуN. дтРБ = -др. У.
Третья фиксированная переменная, не входящая в прямоугольник, в левой части равенства переходит без изменений в правую. Например:
дту Б = -д?у ц.
Заключение. В настоящей работе предложена графическая схема для систематизации основных термодинамических величин. Использование простых правил работы с ней позволяет выписывать соотношения между производными термодинамических величин и дифференциалы потенциалов. К преимуществам предложенного подхода можно отнести наглядность, простоту в сочетании с информативностью, быстроту запоминания схемы и восстановления всевозможных выражений.
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Теоретическая физика: в 10 т. Т. 5. М., 1976.
Статья поступила в редакцию 25 сентября 2009 г.
