CC BY
18
7. Борисович Ю. Г., Близняков Н.М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию. М., 1995.
8. Постников М. М. Дифференциальная геометрия. Семестр 4. М., 1983.
M. Cheshkova To geometry of one-sided surface
Normal vector is defined along a closed curve on the surfaces. If you return to the starting point and the normal direction coincides with the original, regardless of the choice of the curve, then the surface is called bilateral. Otherwise, we have the one-sided surface. The Mebius band is one-sided surface. Cross-cap, Klein bottle are also one-sided surfaces. The examples of these surfaces are constructed using the mathematical paskage Maple.
УДК 514.76
Ю. И. Шевченко
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград eckrydlova@kantiana.ru
Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий
С помощью структурных уравнений Лаптева дана иерархия гладких многообразий, рассматриваемых локально с точностью до второго порядка. Определены неголономное, полу-голономное, голономное и тривиальное гладкие многообразия. Доказано, что подмногообразие полуголономного гладкого многообразия является полуголономным гладким многообразием, а подмногообразие голономного гладкого многообразия голономно.
Ключевые слова: гладкое многообразие, полуголономное многообразие, голономное многообразие, подмногообразие.
© Шевченко Ю. И., 2015 168
1. Иерархия гладких многообразий. Рассмотрим п -мерное многообразие Мп . Лаптев [1] показал, что в окрестности текущей точки А многообразия Мп можно ввести совокупность п линейно независимых дифференциальных форм Пфаффа о1 (I,... = 1,п), причем интегралы ы1 вполне интегрируемой системы уравнений о1 = 0 являются локальными координатами точки А(ы ) е Мп. Условие полной интегрируемости системы о1 = 0 имеет вид
dоI = оО а о
I 5
(1)
где — некоторые линейные формы.
Формы о1 входят в деривационную формулу Акивиса [2]:
dA = о1 е1,
где dA — вектор, показывающий направление смещения точки А по многообразию Мп с точностью до 1-го порядка, е1 — базисные векторы п -мерного векторного пространства Тп , касательного к многообразию Мп в точке А . Эта формула придает геометрическую наглядность аналитической фиксации точки А :
о1 = 0 <^о1е1 = 0 ^ dA = 0 ^ А = А0.
Для продолжения структурных уравнений (1) продифференцируем их внешним образом и вынесем базисные формы о1:
^о^ - а>к а ) а о = 0.
Разрешим кубичные уравнения по лемме Лаптева [1]:
dоij = ок а о'к + оК а о'ж, (2)
причем новые линейные формы удовлетворяют условиям
с)'ж лС люк = 0 ^ ] лС люк ^ I = ь 21 = о 21 = о (3)
Ш[Ж] ~ кьш ' Л(Ж)Ь ' Л[1КЬ} ~ и>
где квадратные скобки обозначают альтернирование, круглые скобки — симметрирование, а фигурные — циклирование. Назовем (3) условиями полуголономности гладкого многообразия Мп . Продолжая структурные уравнения (2), получим
= аСк люЬ — аЬк лсСь ~сл лаК + С л , (4)
I = т1 м 21 = о ]1 = о WJ[кь]~ Л1КЬМШ ■> Л/(кьм ' }{км
Альтернируем структурные уравнения (4) по индексам J, к
1 I Ь II Ь I Ь , Ь I
аJк] = ю\к]лаЬ — аТ[к люг] —а ~ " " "
\зк] лаЬ — аь[к л сСь] — л с] + С л а(/к]Ь.
Во втором и третьем слагаемых раскроем альтернирования и проведем перегруппировку
ёс] = а^к] лаЬ — ю'[ьк] л аС — а'цЬ] лсск + С л ю1к]Ь . (5)
Продифференцируем уравнения (З1) с помощью структурных уравнений (1, 5):
(АА2КЬ +аСк ] Ь ) люЬ = 0, (6)
АКкь = ёКкь + 2МкьаСм — 2МмкьаМ — 22мьаСМ — 2кмаМ.
Разрешим квадратичные уравнения (6) по лемме Картана и запишем результат в виде сравнений по модулю базисных
форм юм:
А22кь +аСк ]ь = 0. (7)
Утверждение 1. Если формы ] сравнимы с нулем по модулю базисных форм, то дифференциальные сравнения (7) упрощаются: АЛ^кь = 0, т.е. коэффициенты /ЛЖЬ образуют тензор.
Следствие. Пусть о^к] = 0, тогда инвариантны равенства Л!жь = 0 ^ о[1к ] = 0.
Если при рассмотрении многообразия Мп внимание обращается на структурные уравнения (1) для базисных форм о1, то будем говорить о гладком многообразии 1-го порядка Мп, а при существенном использовании системы (1, 2) назовем М п многообразием 2-го порядка М п2 .
Определение. Гладкое многообразие М2п, рассматриваемое локально с точностью до 2-го порядка, назовем:
~ 2
1. Неголономным многообразием Мп (см.: [3]), если формы о1к не удовлетворяют условиям полуголономности (3).
—2 I
2. Полуголономным многообразием Мп , если формы о1к
удовлетворяют условиям (3), но не являются симметричными: о1к ] 0 .
м 2 1
3. Голономным многообразием Мп, если формы о1к симметричны, но не равны нулю.
0
2 I
4. Тривиальным многообразием М2 , если формы ®1к обращаются в нуль.
Замечания
1. В определении задана иерархия гладких многообразий
_ _ М 2 0
М2 ^ Мп ^ Мп ^ Мп , в которой каждое следующее многообразие является особым случаем предыдущего.
2. В результате продолжения структурных уравнений гладкого многообразия (1) можно получить уравнения (2) лишь для
— 2 0 —2 ^ ^ 2 2
полуголономного Мп , голономного ММп и тривиального Мп многообразий.
3. Структурные уравнения (2) для неголономного много-
~ 2
азия М п не являются про должны вводиться иным путем.
~ 2
образия Мп не являются продолжениями уравнений (1), а
4. Тривиальное гладкое многообразие 2-го порядка М^ —
0
п2
п
аффинное пространство Ап .
2. Подмногообразия полуголономного и голономного гладких многообразий. В гладком многообразии 2-го порядка Мп рассмотрим га-мерное подмногообразие ¥т , описанное точкой А. Произведем разбиение значений индексов на две серии:
I = (1,а); /,... = 1,т; а,... = т +1,п. Уравнения подмногообразия Ут представим в виде
о =4 о . (8)
С помощью уравнений (1, 8) запишем структурные уравнения для базисных о1 и главных о а форм подмногообразия Ут :
d® = о1 а П), П) = о) + Аа®а; (9)
dоа = о1 аП*, П = о* + 4®*; (10)
причем (91) — структурные уравнения подмногообразия Ут . Используя уравнения (91, Ю1), продолжим уравнение (8):
dАа - А)П1 + Па = А)о1, А1,] = 0. (11)
1 1 1 1 У [у ]
Раскрывая обозначение (102), запишем уравнения (П1) в виде
4Аа + о* = А) о1, 4Аа = dАа- а) П) + ло*. (12)
Наконец, с помощью обозначения (92) уравнения (121) примут следующий вид
ААа - А)А) о) + оа = А,)о1, ААа = САа - А)о/ + А) о). (13)
Поскольку здесь нет трехиндексных форм, справедливо Утверждение 2. Фундаментальный объект 1-го порядка
4 подмногообразия Ут в многообразии 2-го порядка М^ вне зависимости от того, является ли оно полуголономным Мп,
М 2
голономным Мп, либо аффинным пространством Ап, есть квадратично-квазитензорный объект, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (13^.
Найдем структурные уравнения для форм П11 , исходя из
их выражений (92). Дифференцируем формы (92) и используем уравнения (8):
СП] = ок ао'к + (сСА) + А)о) + оо) Ао1 +А)ока ао, + +ок а о +лаао]а +А)оак +А)А)о')).
Воспользуемся уравнением (121) с учетом обозначения (122):
СП1 = ®® аок +4$ ао: +А;окк а о о + ок ап), , (14)
П =о)к +Аа о* +4 о +4 Ао^+ло. (15)
Преобразуем внешнее произведение о^ а о, с помощью обозначения (92):
ок ао'к =Пк а П'к -АА П Ао^-Ааока аок.
Подставляя это выражение в структурные уравнения (14), получим уравнения
СП] = Пк аПк + ок а П)к, (16)
которые аналогичны уравнениям (2).
Утверждение 3. Подмногообразие Ут , рассматриваемое с точностью до 2-го порядка, т. е. Ут, имеет структурные уравнения (9г, 16), в которых формы Цк выражаются по формуле (15).
Выясним степень голономности [4] подмногообразия 2 2
Ут с Мп . Проальтернируем формы (15) по индексам у, к с учетом симметрии (112):
Цк] =С] + 4С] а +уак] (17)
Сумма 2-го и 3-го слагаемых, а также последнее слагаемое преобразуются:
Ла 1 , Ла 1 Ла 1 , Ла 1
Л[кау ]а + Л[]Сак] = Лк с[а] + Л} с[ак],
л.Л\ саР=ла 4 с*.
Используем эти равенства в выражении (17):
ц =с +ла;. ] +лас .] +л* 4С р.
[к] [ук] к [уа] У [ак] ] Ъ [ар]
Учтем выражение (3]):
Цк] = мксС, ^ =л2кь + 4Лаь + 4 а + Л* лра. (18)
В формуле (181) произведем разбиение индекса Ь = (1, а) и воспользуемся уравнениями (8):
Цм=^)мС, у)к1 =ц)а +^кЛ. (19)
Покажем антисимметрию коэффициентов уУц по индексам у, к. Просимметрируем выражение (192) по этим индексам:
Кук)1 =^к) 1 )аЛ/Х. (20)
Предварительно симметрируем выражение (182):
)Ь = \ 1к)Ь + А{к\)аЬ + А{1^\ак)Ь + А(1Ак/сс)Ь.
Согласно равенствам (32) 1-е слагаемое обращается в нуль. В остальных слагаемых раскроем симметрирование и перегруппируем слагаемые, тогда
1к)Ь = Ак \ 1а)Ь + А1 \(ак)Ь + А1 Ак \а))Ь = 0
в силу равенств (32). Значит, по формуле (20) получим у( к у = 0, что соответствует условию полуголомности для подмногообразия Ут , аналогичному условию (32).
Проверим, обращаются ли в нуль проциклированные по
нижним индексам величины у1к1 ? Из формулы (192) имеем
+ . (21)
Запишем одно слагаемое подробно с помощью обозначения (182):
1 = Х\Щ + А{\\аЩ + А\а\Ы} + 44\а),}. (22)
По условию (33) 1-е слагаемое равно нулю. В сумме 2-го и 3-го слагаемых раскроем циклирование и произведем перегруппировку
1 а/ о! , о!
3У
4°к\]а!} + ^^аЩ = 3 4 (\а1 + Яа11) +
+ "3 4 (\ак + \ак!) + "3 4 (\ка + а ).
В каждой скобке добавим и вычтем соответствующее слагаемое, затем используем условие (33):
3 Ак \а - -3 А°Ак1а - 1
= -А°\1к }а.
а у ла у 1 ла у а 1 а ^
4кЛ;\о\1} + А{J\а\kl} = -3 Ак А1}а - 3 А} Ак1а - 3 А1 А1ка =
Подставим полученные результаты в формулу (22):
^щ=—Л Лц«+ЛЛ ЛрЩ . (23)
Запишем 2-е слагаемое из формулы (21) подробно с помощью обозначения (182):
а4 = Лх]к\Л + 42 а4 + 42 а4 + +ЛЛЛЛега\4 .
Преобразуем последнее слагаемое, раскрывая циклирование:
4{]АЛрга\4) = 3(4 424 +44 4 Лрга4 +4 42^4).
Во 2-м слагаемом сделаем замену индексов а ^ р ^ у ^ а , а в 3-м — замену а ^ у ^ 0 ^ а , тогда
4{к34к2Л\0га4а}=3(44200,4 + 44 Луар4 + 4 4ЛаРг4к) = =444 хш = 0
согласно свойству (33). Значит, формула (24) имеет вид
У а4 = 2 4 + 42 а4+44т а\4. (25)
Подставляя выражения (23, 25) в формулу (21), получим
ут = 442®+ра\4+400 4 = (26)
Теорема. Подмногообразие Ут полуголономного гладкого многообразия Мп является полуголономным многообразием V
т
Следствие. Подмногообразие Ут голономного гладкого многообразия Мп есть голономное многообразие Кт .
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара. ВИНИТИ. М., 1966. T. 1. C. 139—189.
2. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.
3. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.
4. Скрыдлова Е. В., Шевченко Ю. И. Классификация гладких многообразий по степени неголономности // Актуальные вопр. геом. и ее приложения. Ташкент, 2014. С. 205—208.
Yu. Shevchenko
Holonomic and semi-holonomic submanifolds of smooth manifolds
By means of the structure equations of Laptev the hierarchy of smooth manifolds, which are considered locally to within the second order is given. Non-holonomic, semi-holonomic, holonomic and trivial smooth manifolds are defined. It is proved that the submanifold of semi-holonomic smooth manifold is semi-holonomic manifold and submanifold of holonomic smooth manifold is holonomic.
