Гладкость решений (разделимость) нелинейного уравнения штурма-лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Smoothness of the solution (separability) nonlinear Sturm-Liouville

Section 3. Mathematics

Birgebaev Akhtaev,

Kazakh National Pedagogical University named after Abai,

professor, E-mail: ahtai@mail.ru

Smoothness of the solution (separability) nonlinear Sturm-Liouville

Abstract: The work includes studies of the Sturm-Liouville methods of functional analysis and proof of the existence of solutions of nonlinear differential equations of the corresponding operator.

Keywords: operator Schauder principle, samosoprezhennost, smoothness of solutions.

Биргебаев Ахтай, Казахский Национальный Педагогический Университет имени Абая, профессор, E-mail: ahtai@mail.ru

Гладкость решений (разделимость) нелинейного уравнения штурма-лиувилля

Аннотация: Работа включает исследования оператора Штурма-Лиувилля методами функционального анализа и доказательство теоремы о существовании решений нелинейного дифференциального уравнения соответствующего оператору.

Ключевые слова: оператор, принцип Шаудера, самосопреженность, гладкость решений.

В § 1-2 для нелинейного уравнения Штурма-Ли-увилля найдены достаточные условия, обеспечивающие наличие оценки коэрцитивности. Приведем один результат для уравнения Штурма-Лиувилля.

Теорема I. Пусть выполнены следующие условия:

a) q(x,y) >8)0 ; б) q(x,у) — непрерывная функция по совокупности переменных в R2 ;

в) sup sup q(x,Co) (да,

[x-п)<1 \C-Cj<A Iе»I"A q(x,Cj)

где A — любая конечная величина.

Тогда для любого f (x) е L2(Rm) существует решение y(x) уравнения Ly = -y"(x) + q(x,y)y = f, обладающее квадратично суммируемой второй производной, т. е. у ”(x) е L2(Rm). Такие результаты имеют место для широкого класса нелинейных операторов. Для линейных операторов аналогичной работы рассматривались [1 - 7].

R - евклидово m - мерное вещественное пространство точек х = (xp x2,..., xm).

§ I. Существование решения

В этом параграфе рассматривается уравнение

Ly = -y"(x) + q(x,y)y = f (x) е L2(R), (1)

где R = (-ж, ж).

Функцию у е L2(R) называем слабым решением уравнения (I), если существует последовательность

[yn }с w2(R) nWftc(R) такая, что Ьп- У\\а2Мт ^ 0>

WLyn - /ll^,o(1, ^ 0>и ^

Говорят, что последовательность основных функций из C0° (Rm) сходится к I в Rm, если:

а) для любого компакта K с Rm найдется такой номер N, что nn (x) = 1 при всех x е K и n > N

б) функции {пп} равномерно ограничены в Rm,

П„(х)| < 1, х е Rm, п = 1,2,... [8].

Лемма I. I. Пусть q(x, у) > 5)0 и непрерывна по обоим аргументам в R2, тогда для любого f е L2(R) существует слабое, решение уравнения (1) в пространстве W2(R).

Доказательство. Так как, по предположению, функция q(x, у) снизу ограничена, то, не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что выполняется условие q(x, у) > 1.

Сперва мы займемся доказательством существования решения первой краевой задачи

Ln yn = -y"n + yn +

(q(x, Уп) - 1)Уп r

+-------------------£—H—£--------й--------= fПп,

1 + £(q)(x, Уп) -1) + £\\b(x, Уп )

£ II £ II2,(-a„ ,a„)

(2)

29

Section 3. Mathematics

fnc(+a) = fnc(a) = 0, (3)

где

[-an ,an ]-suppnn, а b(x, ) = (q(x, ущ) - 1)ущ

в пространстве W,20 [-an ,an ];

Wl0 [-an ,an ] - пространство функций z e W22 и

z (-an) = z(an) = 0.

Задачу (2) - (3) мы сведем к эквивалентному интегральному уравнению, к которому потом применим принцип Шаудера [9].

Через L0 обозначим оператор, определенный на W22o [-a„,an] равенством L0у = -y"(x) + y(x).

В силу известных теорем для оператора Штурма-Лиувилля существует вполне непрерывный обратный оператор L-1, определенный во всем пространстве L2 [-an,an]. Нам нужна Лемма

1.2. Задача (2) - (3) эквивалентна интегральному уравнению

(q(x, L-\ ) - 1)L-A

1 + s(q(x,Ljzn )-1) + £lfe(x,L01zn )

- + fn,, (4)

zn , fn e L2 \-an,an].

Доказательство очевидно.

Обозначим через А оператор, действующий по следующей формуле:

(q(x, r'z) -1)L-Z

|2

\2\-an,a„

A(z) =----

1 + s(q(x,L^z) -1) + £ I|b(x,L^z)

Далее обозначим

S(0; N) = L2(-an ,an): \Щ\2 < N = -j=j,

-+fn„.

где 9 = z - fqn. Рассмотрим на этом шаре оператор

A(9) = A(z) - fnn = A(9 + fnn) - fnn =

_ , L-\9 + fn)) - Щ\3 + fn)

1 + s(q(x,L0\9 + fnn))-1) + £b(x,L0\9 + fqn))I ( )

II И2,(-йп ,&n)

Очевидно, что если 90 - неподвижная точка оператора А, то 90 + fn„ - неподвижная точка оператора А. Поэтому в дальнейшем вместо оператора А достаточно рассматривать А0.

Докажем, что А0 отображает шар S(0; N) е L2 [-an ,an ] в себе. Пусть 9 е S(0;N).

Рассмотрим два случая:

1. \\(q(x,L-\9 + fn))- 1)ГЦ(9 + fqn) ^ .

Тогда ||A0(A||2

(q(x, L-'z) - 1)L-Z

1 + £(q(x, L01z) -1) + £ I b(x, L01z)

2,(-an ,an)

< I\(q(x, L01(9 + fn)) - 1)L-1(9 + fn„ )|| < N =

11 11 \£

2. \\(q(x,L~'(9 + fq„)) - 1)L01)(9 + fqn)\\ > N. Тогда

\\(q(x, Ц\9 + fn)) - 1)Щ(9 + fn ) ^

A (9 --------------------;-------=

e||(q(x, Lo (9 + fqn)) - i)Lo (9 + fqn )|2(-a ^}

= ^.----------------1-----------n------< — = -^.

£\\(q(x,L~\9 + fn„))-l)L-)1(9 + fqn)\2{_a a) sN

Следовательно,

\\АЧх-ъa,) *N> N). (5)

Покажем теперь, что A — вполне непрерывный оператор на S(0; N). Непрерывность очевидна. Далее, в силу теоремы Рисса, достаточно доказать, что множество функций |а09 : 9eS(0; N)} равномерно ограничено и выполняется соотношение

hm КАо(5))(х+h)+(мэжх )2^ а )=о равномерно по 9eS.

Вследствие оценки (5) множество функций {A(A:9eS(0; N)} равномерно ограничено.

В силу непрерывности q(x, у) по совокупности переменных и свойств оператора L-1 соотношение

Kawa+h) - A0m(x ^ ^ о

при h ^ 0 равномерно по 9е S(0;N).

Таким образом, оператор А0 вполне непрерывен и отображает S(0; N) в себе. Следовательно, согласно принципу Шаудера; интегральное уравнение (4) имеет в шаре S(0; N) по крайней мере одно решение. Отсюда в силу леммы 1.2 следует, что существует решение задачи (2)- (3), принадлежащее пространству W,2.

Далее ||у„ || ^ оценивается сверху константой,

не зависящей от n,s.

Для доказательства этого факта возьмем линейный оператор

К, Г = У "(х) + (1 +---1-------------)y(x )>

‘ 1 + s(q(x) -1) + ,|(q(x,yn,) - 1)y„J^

определенный на множестве W2f)(-an ,an), где q(x) = q(x,y^), а y„t - решение задачи (2)- (3) с правой частью fn„. Составим скалярное произведение (^п£,Уп,,а) . Интегрируя по частям и учитывая, что внеинтегральные члены исчезают в силу (3), получим

< 2

/2

Положим

(J \f\2 dx)

/г

тогда

С = 212( J \f\2 dx)А,

y I , < C.

^ р llw^f-a^,an]

(6)

Выберем какую-нибудь последовательность {у. решений, принадлежащих ограниченному множеству

\у„ }, так что

bn , ^с, (7)

£k llwH-fln ,an ]

где ек ^ 0 при к ^^.

В силу (7) из последовательности {у^} можно выделить подпоследовательность, снова ее обозначим

30

Smoothness of the solution (separability) nonlinear Sturm-Liouville

через j, что:

y„ ^ yn слабо в W(-an,an), y„ ^ yn слабо в L2(-an,an).

Из (7) имеем II y || t < C,

и нетрудно видеть, что yn удовлетворяет уравнению

Lnyn =-y’n (x) + q(x, yn )y„ = fn„, и yn (-an) = yn (an) = 0.

Далее, каждую yn продолжим нулем вне [-an,an], продолжение обозначим через yn.

При таком продолжении мы получим элементы W2(R), нормы которых ограничены: ||y„J <C.

Поэтому из последовательности yn можно выделить такую подпоследовательность у , что yn — у слабо в W2(R)

Ущ -" C.

•у слабо в L2Joc(R),

причем ЦуЦ^ '■ ~

Пусть [а,ß] - произвольный фиксированный сегмент в R. Тогда для любого е)0 существует такое число N, что при k=N (a,ß)e supp ущ и в силу (8)

К - f \ua,ß) <£-

Отсюда и из (9) получаем, что y(x) является слабым решением уравнения (I). Лемма доказана.

§ 2. Гладкость решения

В данном параграфе покажем, что все решения из W2(R) будут элементами из W2(R), как только известная в ней потенциальная функция обладает некоторыми свойствами.

Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия;

a) q(x, у) >5)0; б) q(x, у) — непрерывная функция по совокупности переменных в R2;

в) sup sup q(x ,ct);

XC-C2lSA N"A q(x,C2)

(9)

(10)

(<»,

где А — любая конечная величина. Тогда для любого f е L2(R) существует решение y(x) е L2(R) уравнения (I), такое, что y "(x )е L2(R).

Доказательство теорем 2.1 При любой функции f е L2(R) в силу леммы I.I для уравнения существует решение y(x) такое, что y(x) eW2(R). Следовательно, по теореме вложения Соболева [10], y(x) еС(R).

Тогда согласно условию б)

q(x, y(x ))еС,к (R). (11)

Пусть y0(x) — слабое решение уравнения (I) с правой частью f0 е L2(R). Так как y0(x) eW21(R), то

У 0(t)- У о(П) = } dx. dx.

п

По неравенству Буняковского и в силу (10), имеем

|УоО)- Уо(п)\ ^(\t-п\У2\\f\2,R. (12)

Положим q(x) = q(x, y0(x))

и обозначим через L замыкание в норме L2 оператора, заданного на C°0 (R) равенством

А Г = -y "(x) + y(x )y.

Далее нам нужна

Лемма 2.1. Оператор L самосопряжен и положительно определен.

Доказательство. Положительная определенность L следует из условия а) теоремы 2.1. Самосопряженность вытекает из (11) и из результатов работы [11]. Лемма доказана.

Теперь, полагая

yo(t) = С2>Уо(П) = СрА = 2||f\|2 >^lАп\\f\\2, из (12) получим C 2 - Cj < A. Отсюда, в силу условий а)-в) теоремы 2.1, для оператора Ly выполнены все условия теоремы 3, 7. Следовательно оператор L разделим, т. е.

||уII2 +||q(x)y||2 ^C(||Ly|| +|y\|2)>

где C не зависит от у е D(L), где D() - область определения, а Ц норма в L2(D).

Нам остается показать, что у0(х)е D(L). Допустим противное, что у0(x) е D(L). В силу леммы 2.1, существует yx(x)еW2(R) такое, что y1(x) = L-1 f0. Так что, по предположению, y0(x) е W21(R) является решением уравнения (I) с правой частью f0(x), тогда Ly2 = 0>у2 = У1 - у0 е L2(r).

Для завершения доказательства теоремы нужна

Лемма 2.2. Пусть выполнены условия а) и б) теоремы 2.1. Тогда уравнение Ly = 0 не имеет решения

y(x) е L2(R).

Доказательство. Хорошо известно, что если <j(x) > 5)0, то решение уравнения у"(x) = q(x)y экспоненциально растет как при x ^ -о, так и при x ^ +оо. Поэтому это решение не может принадлежать пространству L2(R). Лемма доказана.

Из этой леммы получаем, что у0(x) = уг(х). Получили противоречие. Теорема 2.1. доказана полностью.

Список литературы:

1. EverittW. H., Yiertz M. Some propereties ofcertein operators. Proc. London Math. Soc., 23 (3), 1971, 301-304.

2. Everitt W. N., Yiertz M. Some ineqalies assocated with certein differential equations, Math. Z., 126, 1972, 308-326.

3. EverittW. N., Yiertz M. On some properties of the rowers of a formally self-adjoins differential expessions. Proc. London Math. Soc., 24 (3), 1972, 149-170.

31

Section 3. Mathematics

4. EverittW. N., Yiertz M. On some properties of the prower-ties of a formally self-adjoins differential expessions. Proc. London Math. Soc., 24 (3), 1972, 756-768.

5. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости.-Докл. АН СССР, 1973, т. 213, № 5, C. 1009-1011.

6. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов.-Докл;. АН СССР, 1977, т. 234, № 3, с. 540-543.

7. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rm. Труды МИАН, 1983, т.

8. Владимиров B. C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1973.

9. Треногин В. А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980.

10. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - Л.: ЛГУ; 1952.

11. Отелбаев М. Об условиях самосопряженности оператора Шредингера с операторным потенциалом. - Укр. мат. ж., 1976, т. 280, № 6.

Drushinin Victor Vladimirovich, Lazarev Alexey Alexandrovich, National research nuclear University "MEPHI”, Sarov physical-technical Institute Sarov, E-mail: vvdr@newmail.ru

The theory of arbitrary pairs of primes

Abstract: For generating pairs ofprimes with an arbitrary distance between them we created the sieve-type sieve of Eratosthenes.We identified buffer zones and showed an infinite amount such pairs on the real axis.

Keywords: sieve of Eratosthenes, the Euler function, probability.

If we consider the various associations of primes {pi}

, analysis of the properties of prime numbers p e P are simplified: twins {p;pi+1 = p + 2}; a pair of four {; Pi+i = Pi + 4}; a pair of sixes {; p+i = p, + 6}; quartets ofprimes — two pairs of twins separated by a composite number, and other formations. A recently published article I. Chan [1] about a pairs of primes, separated by a set of 70000000 composite numbers, is called a breakthrough in the solution of several problems in the theory of numbers. We have created a sieve to generate pairs of twins, pair of fours, pairs of sixes and quartets, proved endless number their on the real axis [2, 3, 4, 5]. In this paper, we carried out a generalization these results and received the sieve-type sieve of Eratosthenes to generate a pair-2N (P2N) of primes and proved an existence of an infinite number such pairs on the real axis.

P2N mean the formation of (N +1) consecutive odd numbers, the extreme ofthem are primes {p ; Pi+i = Pi + 2 N}, and (N -1) numbers standing between them are composite. For example, P10 — {241;243;245;247;249;251}, where primes are shown in bold. In the theory of primes it is showed that the distance between two successive primes can be arbitrarily large. For example, if we take the set of odd numbers {n!+ (2k +l), 1 < k < [(n -1) ) 2], where [x] denotes the largest integer not exceeding x, we get a set of consecutive composite numbers

[( -1) / 2]. If we expand this set from left and right side, we will encounter the primes and thus we formed P2N. It turns out that one observed P2N generates on a real axis arithmetic sequence (AS) centers such numerical units. Some of them are P2N. We distinguish at least two reasons for the study P2N. Firstly, we can get search arbitrarily large primes by reproduction of such pairs. Secondly, P2N abruptly increases the size of the first buffer zone. If we remove all the composite numbers of multiples (p = 3;p2 = 5;p3 = 7;...;pn) ,only primes remain on segment of the real axis [3; Dn ]. If the last prime pn includes the left side in P2N, then the next prime number is pn+1 = pn + 2N. Where Dn = ( + 4Npn + 4N2 - 2). For example, we took pn = p5l = 239, then the next p52 = 241. These two primes form a pair of twins, according to our classification, N = 1. D51 = 58079. If we cleared by the sieve of Eratosthenes to pn = p52 = 241, we find that the following prime p53 = 251 , i. e., N = 5. The last two primes form P10, so D52 = 62999. After increasing the last tested prime on to “2”, we have expanded the zone of guaranteed prime numbers by almost 10%.

In order to reproduce P2N, it is necessary to find one such couple and distinguish its center

MN = p, +2[N/2] + {(-fT +1}/2. (1)

In this case, if N is even, MN — the number is odd and vice versa, p = MN - N, pt+1 = MN + N. For example, a

32