Научная статья на тему 'Гипотеза Ж. Эдмондса и проблема С. А. Кука'

Гипотеза Ж. Эдмондса и проблема С. А. Кука Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
2783
360
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Филология и культура
ВАК
Область наук
Ключевые слова
КЛАСС ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ / КЛАСС ПОЛИНОМИАЛЬНО ПРОВЕРЯЕМЫХ ПРОБЛЕМ / CLASS OF POLINOMIAL PROBLEMS / CLASS OF POLINOMIALLY CHECKABLE PROBLEMS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кочкарев Баграм Сибгатуллович

В статье устанавливается связь между гипотезой Ж.Эдмондса и проблемой С.А.Кука. Показано, что ранее полученное автором положительное решение проблемы Кука подтверждает справедли-вость гипотезы Ж.Эдмондса. Показана также ошибочность утверждения, что класс полиномиаль-ных задач включается в класс полиномиально проверяемых задач.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE HYPOTHESIS OF J.EDMONDS AND THE PROBLEM OF S.A.COOK

The connection between J.Edmonds's hypothesis and S.A.Cook's problem is established in this article. It is shown, that positive solution of the Cook's problem obtained by the author earlier confirms the justice of the Edmonds's hypothesis. The denial of the statement, that class of polynomial problems is included in the class of polynomilly checkable problems is shown, too.

Текст научной работы на тему «Гипотеза Ж. Эдмондса и проблема С. А. Кука»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №2(24)

УДК 519.95

ГИПОТЕЗА Ж.ЭДМОНДСА И ПРОБЛЕМА С.А.КУКА

© Б.С.Кочкарев

В статье устанавливается связь между гипотезой Ж.Эдмондса и проблемой С.А.Кука. Показано, что ранее полученное автором положительное решение проблемы Кука подтверждает справедливость гипотезы Ж.Эдмондса. Показана также ошибочность утверждения, что класс полиномиальных задач включается в класс полиномиально проверяемых задач.

Ключевые слова: класс полиномиальных проблем, класс полиномиально проверяемых проблем.

В 1964 году Алан Кобэм [1] и независимо от него в 1965 году Жак Эдмондс [2] ввели формальное математическое определение "практического" алгоритма. Определение [1; 2]. Алгоритм A называется практическим, если он любую применимую к нему задачу с исходными данными длины п решает за время не более O(пк ) для некоторой константы к, не зависящей от п. Класс задач, для которых существуют практические алгоритмы, называется полиномиальным и обозначается через P.

Согласно [3], Жак Эдмондс ввел также слож-ностной класс NP - это класс задач, для которых существуют проверяющие алгоритмы, работающие полиномиальное время, причем длина сертификата также ограничена некоторым полиномом.

Определение. Язык L принадлежит NP, если существует такой практический алгоритм A с двумя аргументами и такой многочлен p(x) с целыми коэффициентами, что

Ь = {х е {0,1} : существует сертификат у, для

которого |у| < р (|х|) и А (х, у) = 1}

В связи с введенными классами Р и NP Жак Эдмондс высказал гипотезу [3] Р ф NP. Эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута.

В 1971 году С.А.Куком был поставлен вопрос: "может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки?". В другой постановке формулировка проблемы выглядит так: можно ли построить шифр такой, что его расшифровка алгоритмически сложнее, чем отыскание самого шифра?

Таким образом, вопрос, поставленный С. А. Куком, относится к криптографии.

Очевидно, существует связь между гипотезой Ж.Эдмондса и проблемой С.А.Кука, а именно, если ответ на вопрос С.А.Кука положительный, то гипотеза Ж.Эдмондса доказана. Однако если ответ на вопрос С. А. Кука отрицательный, то ги-

потеза Ж.Эдмондса остается открытой. К счастью, в работах [4; 5; 6] дается положительный ответ на упомянутый вопрос С.А.Кука и вместе с решением криптографической проблемы С.А.Кука одновременно, как следствие, вытекает P ф NP.

Вместе с тем в научной литературе [3] имеется ошибочное утверждение, что P с NP, основанное на том, что якобы проверяющий алгоритм для задач из P может просто игнорировать свой второй аргумент (сертификат). Результаты, полученные в [4; 5; 6], показывают, что это не так. С другой стороны, если P с NP, то сам вопрос С.А.Кука терял бы смысл.

Замечание. Поскольку, очевидно, что имеются задачи из P , которые принадлежат NP (например, задача сортировки), то возможные ситуации, приведенные в виде диаграмм в [3: 848, 852] не имеют места ввиду того, что на этих диаграммах P с NP .

1. Cobham A. The intrinsic computational difficulty of functions // In Proceedings of the 1964 Congress for Logic, Methodology, and the Philosophy of Science. - North-Holland, 1964. - P.24-30.

2. Edmonds J. Paths, trees, and flowers // Canadian Journal of Mathematics. - 1965. - Vol.17. - P.449-467.

3. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы построения и анализ. - М.: МЦНМО, 2002. - 955 c.

4. Кочкарев Б.С. К проблеме Кука // Тез. Междунар.

конф. "Мальцевские чтения" (11-13 ноября

2008 г.). - Новосибирск, 2008.

5. Кочкарев Б.С. Приложение монотонных функций алгебры логики к проблеме Кука // Тез. докладов Междунар. научно-образоват. конф. 23-27 марта

2009 года "Наука в вузах: Математика, физика, информатика". - М.: Российск. ун-т дружбы народов, 2008. - С.274-275.

6. Кочкарев Б.С. К проблеме Кука // Матер. Всерос-сийск. научно-практич. конф. с международным участием. "Математическое образование в школе и вузе в условиях перехода на новые образовательные стандарты" (15 октября 2010 г.). - Казань: ТГГПУ, 2010. - С.133-136.

Б.С.КОЧКАРЕВ

THE HYPOTHESIS OF J.EDMONDS AND THE PROBLEM OF S.A.COOK

B.S.Kochkarev

The connection between J.Edmonds’s hypothesis and S.A.Cook’s problem is established in this article. It is shown, that positive solution of the Cook’s problem obtained by the author earlier confirms the justice of the Edmonds’s hypothesis. The denial of the statement, that class of polynomial problems is included in the class of polynomilly checkable problems is shown, too.

Key words: class of polinomial problems, class of polinomially checkable problems.

Кочкарев Баграм Сибгатуллович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: bkochkarev@rambler.ru

Поступила в редакцию 18.03.2011

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.