Гипотеза чистоты для редуктивных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГИПОТЕЗА ЧИСТОТЫ ДЛЯ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП

И. А. Панин

С.-Петербургское отделение математического ин-та им. В. А. Стеклова РАН, член-корр. Российской академии наук, д-р физ.-мат. наук;

С.-Петербургский государственный университет, профессор, paninv@gmail.com

Следующий вопрос был поставлен в [1, вопрос 6.4, с. 124]. Пусть К — локальное регулярное кольцо и пусть О — редуктивная групповая схема над К. Удовлетворяет ли функтор Б ^ Н1Ь(5\ С) свойству чистоты для К? В настоящей статье этот вопрос изучается в ряде интересных частных случаев. А именно, пусть к — поле характеристики ноль и пусть О — одна из следующих алгебраических групп над к: РСЬ„, БЬ^а, О(д), БО(д), Брш(д), БЬп/^, где ! делит п (А — простая центральная к-алгебра). Доказывается, что функтор К ^ Н^(К, С) обладает свойством чистоты для группы О и регулярного локального кольца, содержащего поле к.

Основываясь на этом результате, естественно предположить, что упомянутый функтор действительно должен обладать свойством чистоты для произвольной связной ре-дуктивной группы О над полем к характеристики ноль и произвольного регулярного локального кольца, содержащего поле к. Для групп типа О2 и типа ^4 с тривиальным дз-инвариантом гипотеза доказана в [2] и [3].

Указанные вопрос и гипотеза выглядят как расширение известных гипотез А. Гро-тендика и Ж.-П. Серра [5, Замечание 3, с. 26-27], [6, Замечание 1.11.а], [14, Замечание, с.31].

1. Введение

Пусть У — ковариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию множеств. Говорят, что он удовлетворяет свойству чистоты для области К, если для поля К имеется равенство

Р| 1ш[У(Кр) ^ У(К)] = 1т[У(К) ^ У(К)].

Ыр=1

Ясно, что левая часть всегда содержится в правой части. Элементы из левой части называются К-неразветветвленными.

Зафиксируем некоторые обозначения. Пусть к — поле характеристики ноль и к — его алгебраическое замыкание. Под редуктивной алгебраической к-группой в этой статье имеется в виду геометрически связная редуктивная групповая к-схема. В частности, такая алгебраическая к-группа всегда к-гладкая. Под регулярным локальным кольцом в этой статье всегда имеется в виду регулярное локальное кольцо К, содержащее поле к. Поле частных такого кольца К обозначается К. В основном, мы работаем с функтором У вида Б ^ Нё11;(Б, О), заданном на категории коммутативных нетеровых к-алгебр.

© И. А. Панин, 2010

2. Проективный линейный случай

Теорема 2.1. Пусть £ G ffl^K, PGLn) такой класс, что класс £(£) G ff|t(K, Gm) явдяется R-неразветвленным. Тогда существует класс Z G H Jt(R, PGLn) с Zk = £•

Доказательство. Пусть D^ — простая центральная K-algebra степени n, соответствующая £. Если D^ = M;(D') для некоторого тела D', тогда существует £ G Нё\(К, PGLn/) такой, что D' = D^/. Тогда £(£') = [D'j = [D] = £(£). Заменяя £ классом £', можно считать, что D := D^ — это центральное тело над К степени n и класс [D] является R-неразветвленным.

Можно найти R-алгебру Адзумайи A и целое число d такие, что Ak = Md(D). Это можно сделать, поскольку класс £(£) является R-неразветвленным.

Существует левый проективный A-модуль P конечного ранга такой, что каждый другой левый проективный A-модуль P конечного ранга изоморфен левому A-модулю Pm для подходящего целого m (см. [7, Cor.2]). В частности, каждые два левых проективных A-модуля изоморфны, если они имеют один и тот же ранг как R-модули. Имеет место изоморфизм A = Ps левых A-модулей для некоторого целого s. Поэтому имеет место изоморфизм R-алгебр A = EndA(Ps) = Ms(EndA(P)). Положим В = End^(P). Заметим, что Вк = End^K (Pk), поскольку P является конечно-представимым левым проективным A-модулем.

Класс [Pk] является свободной образующей группы Ko(Ak) = Ko(Md(D)) = Z, поскольку класс [P] является свободной образующей группы Ko(A) и Ko(A) = Ko(Ak ). Модуль Pk является простым Ak-модулем, поскольку [Pk] является свободной образующей группы Ko(Ak). Поэтому End^K (Pk) = Вк является телом.

Мы утверждаем, что Вк и D являются изоморфными K-алгебрами. Дейсвительно, Ak = Mr(Вк) для некоторого целого г, поскольку Pk —простой Ak-модуль. С другой стороны, Ak = Md(D). Как D, так и Вк являются телами. Поэтому г = d и D изоморфна Вк как K-алгебра.

Утверждается, что В является R-алгеброй Адзумайи. Это утверждение является локальным по отношению к этальной топологии на Spec(R). Поэтому достаточно проверить это утверждение для слоев В над геометрическими точками Spec(R). Можно считать, что R является строго гензелевым локальным кольцом. В этом случае A = M;(R), P = (R;)m как проективные М;^)-модули. Поэтому В = End^(P) = Mm(R), что и доказывает утверждение. Так как Вк изоморфна D, m = n. Итак, В — это R-алгебра Адзумайи, причем Вк изоморфна D. Пусть Z G H6\(R, PGLn) — это класс, представляющий В. Тогда Zk = £, т.к. J(Z)k = [Вк] = [D] = £(£) G #|t(K,<Gm).

3. Ортогональный случай

Мы воспроизводим здесь доказательство из [10, Cor.1].

Теорема 3.2. Пусть (W, ф) —квадратичное пространство над K, которое является R-неразветвленным. Тогда существует квадратичное пространство (V, у>) над R, расширяющее пространство (W, ф), то есть пространства (V, <^>) K и (W, ф)

изоморфны.

Доказательство. По теореме чистоты [9, Theorem A] существует квадратичное пространство (V, у>) над R и целое n > 0 такое, что (V, у>) ®R K = (W, ф) ± Hn, где H — гиперболическая плоскость. Если n > 0, тогда пространство (V, у>) K изотропно. По основной теореме из [10] пространство (V, <^>) тоже изотропно в том смысле, что оно содержит гиперболическую плоскость в качестве прямого слагаемого. Мы можем

его отщепить. Повторяя эту процедуру несколько раз, мы приходим к случаю п = 0. Последнее означает, что (V, у>) К = (’№', ^).

4. Один общий результат

Теорема 4.3. Пусть п : С ^ С' — центральная изогения редуктивных алгебраических к-групп. Предположим, что функтор К ^ Я14(К, С') удовлетворяет свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле к. Тогда то же самое справедливо для функтора К ^ Я14(К, С).

Доказательство. Пусть Z = кег(п). Для к-алгебры К рассмотрим граничный оператор : С'(К) ^ Нё\(К, Z). Он является групповым гомоморфизмом [13, Ch.II, §5.6, Сог.2]. Положим

У(К) = Я^(К, Z)/1ш(^п,д).

Функтор У удовлетворяет свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле к [11]. Сейчас пусть К — такое кольцо. Рассмотрим коммутативную диаграмму

{1}

■У(К)

^ нїі{к, С) н^к, с) ник, Я)

в

7

а

Пусть £ € Яё4(К, С) —это Д-неразветвленный класс, и пусть £ = пк(£). Ясно, что £ € Яё4(К, С') является Д-неразветвленным. Поэтому существует £' € Яё4(Д, С') такой, что £К = £. Функтор Д ^ Яё^Д, ^) является функтором с трансферами, поскольку Z является коммутативной алгебраической к-группой. [11, Бее0.1]. Этот функтор, кроме того, гомотопически инвариантен. Таким образом, а инъективен по теореме Воеводского [15, Сог.4.18]. Имеем Д(£') = 0, поскольку Дк(£) = 0. Поэтому найдется £' € Я^(Д, С) такой, что п(£') = £'.

Группа У(К) действует на множестве Яё\(К, С), поскольку Z — центральная подгруппа группы С. Если а € У(К) и £ € Яё^К, С), мы будем писать а • £ для результирующего элемента в Нё\(К, С). Далее, для каждых £ъ (2 € Яё^К, С), имеющих одинаковый образ в Яё1;(К, С), существует единственный а € У(К) такой, что а • £1 = С2. Эти замечания справедливы и для кольца Д, и для всех его локализаций. Так как образы £К и £ в Яё\(К, С') совпадают, найдется а € У(К) такой, что а • £К = £ в Яё^К, С).

Утверждение 4.4. Указанный элемент а € У(К) является Д-неразветвленным.

Предполагая это утверждение верным, закончим доказательство теоремы. Найдется а' € У(Д) с аК = а, поскольку функтор У удовлетворяет свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле к. Очевидно, что £'' = а' • £' € Яё^Д, С) таков, что £К = £. Остается доказать утверждение.

Пусть р — простой идеал высоты один в Д. Поскольку £ является Д-неразетвленным, существует его подъем до элемента £ в Яё4(Др,С). Положим £р равным образу £' в Яё\(Др,С). Классы пр(£),пр(£р) € Я^(Др,С') совпадают, если рассмотрены в Яё\(К, С'). Отображение

Яё4(Др,С') ^ Я^(К,С)

инъективно согласно лемме 4.5, сформулированной и доказанной ниже. Следовательно, пр(£) = пр(£р). Поэтому найдется класс ар € У(Др) такой, что ар • £р = £ € Яё4(Др, С).

Итак, ар,к • £К = £ € Нё4(К, С) и ар,к • £К = £ = а • £К. Следовательно, а = ар,к, что и доказывает утверждение 4.4.

Чтобы завершить доказательство теоремы, осталось доказать следующую лемму. Лемма 4.5. Пусть Н — редуктивная групповая схема над кольцом дискретного нормирования А. Предположим, что для каждой А-алгебры 0 алгебраическая 0-группа является связной. Пусть К — поле частных кольца А. Тогда отображение

Ня(Д, Н) ^ Н^(К,Н)

инъективно.

Доказательство. Пусть £о, £1 € Нё-(Д, Н) — два класса. Пусть Но — главное однородное Н-пространство, представляющее класс £о. Пусть Но — это внутренняя форма группы Н, соответствующая указанному Н-пространству Но. Для каждой Д-схемы Я имеет место хорошо известная биекция ф^ : Нё\(Я, Н) ^ Нё\(Я, Но) непунктированных множеств. Она переводит главное однородное Н-пространство Но Хд Я в тривиальное главное однородное Но-пространство Но х д Я. Эти биекции соответствуют морфизмам Д-схем. Предположим, что £о,к = £1,к, тогда * = фк(£о,к) = Фк(£1,к) € Нё\(К, Но). Ядро отображения Нё\(Д, Но) ^ Нё^К, Но) тривиально по теореме Нисневича [8]. Поэтому фд(£1) = * = фд(£о) € Нё\(Д, Но). Следовательно, £ё = £о € Нё\(Д,Н).

5. Случай спинорной группы

Теорема 5.6. Пусть ц — квадратичное пространство над полем к. Тогда функторы

Д ^ Нё4(Д, 8рт(ц)), Д ^ Нё4(Д, 81ш+(ц))

удовлетворяют свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле к, где 81ш+(ц) — это связная компонента к-группы подобий Б1ш(ц) пространства ц.

Доказательство. По теореме [10, Сог.1] функтор Д ^ Нё\(Д, О(ц)) удовлетворяет свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле к. То же самое верно и для функтора Д ^ Нё^Д, БО(ц)), поскольку он классифицирует квадратичные пространства дискриминанта ^с(ц). Теорема 4.3 завершает доказательство.

6. Случай ЯХп/^, где ! делит п

Теорема 6.7. Пусть Д — регулярное локальное кольцо с полем частных К. Пусть ! делит п. Пусть £ € Нё4(К, БЬп/^) — это класс такой, что класс £(£) € Н|4(К, <Кт) является Д-неразветвленным. Тогда найдется класс ( € Нё4(Д, 5Хп/^) такой, что

Ск = £.

Доказательство. По теореме 2.1 функтор Д ^ Нё\(Д, РСЬп) удовлетворяет свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле к. Теорема 4.3 завершает доказательство.

7. Унитарный случай

Пусть I/к — квадратичное расширение, “ — это нетривиальный автоморфизм расширения 1/к. Пусть г 1^1 + 2222 + . . . гп + 2п — эрмитово пространство и ип — соответствующая унитарная алгебраическая к-группа.

Утверждение. Гипотеза чистоты справедлива для ип.

Ограничимся планом доказательства. Напомним, что для локального кольца R множество ff|t(R, Un) состоит из классов изоморфизма эрмитовых прострнств ранга n над l. Упомянутый план состоит из трех шагов:

(1) доказать чистоту для функтора Витта, классифицирующего эрмитовы пространства по модулю гиперболических;

(2) доказать вариант теоремы Шпрингера для эрмитовых пространств над полем и затем над локальным кольцом;

(3) доказать, что рационально изотропное эрмитово пространство является локально изотропным, следуя случаю квадратичных пространств.

Шаг 1 является стандартным при условии, что функтор Витта гомотопически инвариантен; шаг 3 является стандартным при условии, что шаг 2 сделан.

Что можно сказать по поводу шага 2? В случае поля пусть k'/k является сепарабельным расширением степени d. Выберем примитивный элемент а £ k' и обозначим f (t) £ k[t] минимальный многочлен элемента а. Пусть l' = l к' и v £ l'n —такой вектор, что h(v) = 0. Запишем v в виде vo + avi + • • • + ad-1vd_i, где Vj £ ln. Расмот-рим v(t) = v0 + tv1 + • • • + td-1vd-1 £ l[t]n. Тогда h(v(t)) £ k[t] и h(v(a)) = 0. Поэтому h(v(t)) = f (t)g(t). Выбирая подходящий v, можно добиться того, что h(v(t)) является сепарабельным степени 2d-2. В этом случае g(t) является сепарабельным степени d—2.

Пусть k'' = k[t]/(g(t)). Это сепарабельная к-алгебра степени d — 2. Пусть в = t mod g(t). Тогда v(e) = 0, однако h(v(e)) =0 £ k''. Если d нечетно, то, повторив процедуру несколько раз, мы получим 0 = w £ ln такой, что h(w) = 0.

Остается проверить, что мы действительно можем добиться того, что h(v(t)) является сепарабельным степени 2d — 2. Для этой цели мы отсылаем читателя к [12].

Итак, план указан. Его реализацию мы оставляем читателю.

Литература

1. Colliot-Thelene J.-L., Sansuc J.-J. Fibres quadratiques et composantes connexes reelles // Math. Annalen. 1979. Vol. 244. P. 105-134.

2. Chernousov V., Panin I. Purity of G2-torsors // C.R. Math. Acad. Sci. Paris, 2007. Vol. 345. N 6. P. 307-312.

3. Chernousov V., Panin I. Purity of F4-torsors Purity of F4-torsors with trivial g3 invariant, www.math.uni-bielefeld.de/LAG/2009

4. Grothendieck A. Le groupe de Brauer. II. Theorie cohomologique // Dix Exposes sur la Cohomologie des Schemas, North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968. P. 67-87.

5. Grothendieck A. Torsion homologique et section rationnalles // Anneaux de Chow et applications. Seminaire Chevalley, 2-e annee, Secretariat mathematique, Paris, 1958.

6. Grothendieck A. Le group de Brauer II // Dix exposes sur la cohomologique de schemes. Amsterdam, North-Holland, 1968.

7. De Meyer F. R. Projective modules over central separable algebras // Canad. J. Math. 1969. Vol. 21. P. 39-43.

8. Nisnevich Y. Rationally Trivial Principal Homogeneous Spaces and Arithmetic of Reductive Group Schemes Over Dedekind Rings // C.R. Acad. Sci. Paris, Serie I. 1984. Vol. 299. N1. P. 5-8.

9. Ojanguren M., Panin I. A Purity Theorem for the Witt Group // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., Serie 4. 1999. Vol. 32. P. 71-86.

10. Panin I. Rationally isotropic quadratic spaces are locally isotropic // Invent. math. 2009. Vol. 176. P. 397-403.

11. Panin I. A purity theorem for linear algebraic groups // www.math.uiuc.edu/K-theory/0729. 2005.

12. Panin I., Rehmann U. A variant of a Theorem by Springer // Algebra i Analyz. 2007. Vol. 19. N6. P. 117-125.

13. Serre J-P. Cohomologie Galoisienne. Springer-Verlag, 1964.

14. Serre J.-P. Espaces fibres algebriques // Anneaux de Chow et applications. Seminaire Chevalley. 2-e annee. Secretariat mathematique. Paris, 1958.

15. Voevodsky V. Cohomological theory of presheaves with transfers // Cycles, Transfers and Motivic Homology Theories / by Vladimir Voevodsky, Eric. M. Friedlander, and Andrei Suslin. Annals of Mathematics Studies, 143. Princeton University Press, Princeton; NJ, 2000. P. 87-137.

Статья поступила в редакцию 2009 г.