CC BY
12
Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.
СибАК
www. sibac info
ГИПЕРПОЛОСНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ H(L) АФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
Попов Юрий Иванович
канд. физ.-мат. наук, профессор института прикладной математики
и информационных технологий Балтийский федеральный университет им. И. Канта,
РФ, г. Калининград E-mail: AndrevBudvlkin@rambler.ru
HYPERBAND DISTRIBUTION H(L) OF AFINNE SPACE
Yuri Popov
candidate of science, professor of institute of applied mathematics and information technologies Baltic federal university of I. Kant,
Russia, Kaliningrad
АННОТАЦИЯ
Дано задание Ы(Ь)-распределения [7]; [8] в репере 0-го порядка и репере 1 -го порядка. Введено соответствие Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода основных структурных подрасслоений данного Ы(Ь)-распределения. Для Ы-,Х-,Ь-подрасслоений найдены их фокальные многообразия, а также поля нормализаций и пучки нормалей 1-го и 2-го рода Нордена в дифференциальной окрестности 1-го порядка. Изучение Ы(Ь)-распределений актуально, так как теорию Ы(Ь)-распределений можно применить для изучения торсовых поверхностей, регулярных одномерных гиперполос, а также специальных классов гиперполос и гиперповерхностей афинного пространства. Работа выполнена методом Лаптева Г.Ф. [3]. В работе индексы принимают значения:
1,],К,... = 1,п; i,j,k,s,... = 1,п — 1; а,р,у,... = 2,тг — 1.
ABSTRACT
Given the task of Ы(Ь)-^ШЬииоп in the frame of zero order and datum of the 1st order. Permission ratio Bompiani - Pantazi between the normals of the 1st and 2nd kind of major structural subbundles of H(L)-Distribution (Ы-, X-, L- subbundles). For Ы-, X-, L-subbundles found their focal manifolds, as well as the field of normalization and the normal
17
СибЛК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 9 (33), 2015 г
bundles of 1 st and 2nd kind Nord differential neighborhood of the 1 st order. Study of H (L)-distributions of actual, as the theory of H (L)-distributions can be used to study torsovyh surfaces, dimensional hyperbands regular and special classes hyperbands and hypersurfaces of affine space. This work by GF Laptev. In all the indices take the values:
I,],K,... = l,n; i,j,k,s,... = l,n — 1; a,p,y, ... = 2,n — 1.
Ключевые слова: гиперполосное распределение; афинное
пространство; фокальный образ.
Keywords: hyperband distribution; affine space; focal image.
§ 1. Задание гиперполосного И(Ь)-распределения аффинного пространства
1. Пусть дано n-мерное аффинное пространство An, отнесенное к подвижному реперу {А, е;}, дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеет вид
dA = шкек,йек = w^eL. (*)
Инвариантные формы шк и аффинной группы преобразований удовлетворяют структурными уравнениями аффинного пространства An:
dwK = wLAwE,dwK = wJKAWj^
Рассмотрим H(L)-распределение аффинного пространства Ап. При этом распределение прямых L(A) назовем базисным распределением (или L-подрасслоением), а распределение гиперплоскостей H(A)-оснащающим распределением (или H-подрасслоением). В репере R0 ({еа} с Я(Л); e1\\L}) H(L)-распределение задается уравнениями:
VA"
— Лп
— К
< = Лп1Ко>к, < = Ла1Кшк, = ЛпаКо>к, шь,УЛа1К + Л^< = KKLo>L,VAnaK - Лп1Кш1а = AnaKLo>L. (1)
В дальнейшем мы рассматриваем регулярные гиперполосные распределения [7]; [8] для которых главный фундаментальный тензор Л™1 Ф 0, что позволяет ввести в рассмотрение обратный фундаментальный тензор 1-го порядка Л*1:
Л1П1Л^1 = 1,УЛ1П1=Л1П1К^К. (2)
18
Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.
СибАК
www. sibac info
Из уравнений (1) следует, что регулярное Ы(Ь)-распределение аффинного пространства An существует и определяется с произволом 2(n-2)+1=2n-3 функций n аргументов в дифференциальной
окрестности 1 -го порядка.
2. Для регулярного Н-распределения согласно лемме
Н.М. Остиану [6] возможна частичная канонизация репера R0, как это следует из дифференциальных уравнений
VA^-A^ = AnalKo>L. (3)
Действительно, полагая
Лпа1 = 0
и учитывая (2), разрешим уравнения (3) относительно форм о)*:
, .1 _ Л1 , ьК ша — АаКШ .
Геометрический смысл такой канонизации заключается в том, что векторы {еа} помещаются в характеристику Xn-m-1(A) гиперплоскости Ы(А),полученную при смещении центра А вдоль кривых, принадлежащих L-подрасслоению. Выбранный таким образом репер R1 [6] является репером 1-го порядка Ы^)-распределения. В дифференциальной окрестности 2-го порядка Ы^)-распределение задается относительно репера R [6] уравнениями:
Ап1Кшк, = А1аКшк,ш1 = Аа1Кшк, о>£ = Л”§^. (4)
VA™! = А111Кшк,УА11а = А11аКшк,УА°[1 + Л?1ш£ = Аа11Кшк,
Чп ^Ч1шп
VAIn - Аа11ш)1 - A^wf + А\
а:
Ч1шп
VA
ап
ЧА\р + = А\ркШ\ VA^ = Ai1Ka>K„VAaip + Л^а>£ = Аа1ркшк,
^ар^п
Р _
ар
лп , ,й
Ааркш
Лп мк
L ‘/уп V У-*
(5)
an А
“Ъ
а@шп
где коэффициенты в правых частях уравнений (5) не симметричны по нижним индексам. Отметим, что геометрические объекты Г1={Л1К,Л^,Л^}, ^{^А^Л^Л^Л^} являются фундаментальными геометрическими объектами H(L)-распределения соответственно 1-го и 2-го порядка [3]. В общем случае (при локальной постановке
19
СибЛК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 9 (33), 2015 г
вопроса) определители Х0 = Н0 = ^е(:||Л™7|| отличны
от нуля. Компоненты определителя НО имеют следующее строение
Яп
det||Ay|| = det
дп A11 ЛП A10
0 ЛП Aaf
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
VA?,- = Аг1]кшк.
Для невырожденных тензоров {Л™^} и {Л™;-} введем, вообще говоря, несимметрические обращенные тензоры 1-го порядка {Л“^} и {Л1^ }, компоненты которых удовлетворяют соотношениям [3]; [4]:
д°Адп _ др^д)
pa .
yP
— Л“- Л]Лп — л]лп — л1
— Оу, l\nl\jk — l\nl\kj — ok
и соответственно дифференциальным уравнениям
VA“^ = Aap шк VA1J' = A1J'
Viln , Vi\n l*-nh
Тензоры {Л”д}, {A?-} и {Л“^}, {Л1^'} являются фундаментальными тензорами 1 -го порядка и обращенными фундаментальными тензорами 1-го порядка соответственно Х-подрасслоения (распределение характеристик Н(Ь)-распределения) и Н-подрасслоения (распределения Н-плоскостей)
§ 2. Соответствие Бомпьяни-Пантази
1. Следуя работам [1]; [4] введем биекцию Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода, для H-, L-, X-подрасслоений, ассоциированных с Н^)-распределением.
Определение. Нормалью 1-го рода элемента Н-распределения (плоскости Н(А)) называется инвариантная прямая Nj(A), удовлетворяющая условию NI(A)nH(A)=A, а нормалью 2-го рода — инвариантная плоскость Wn-2(A) такая что, Wn-2(A) сН(А), J^0^Rn.2(A).
Поля нормалей 1-го рода N1(A) и нормалей 2-го рода ^П.2(Л) задаются соответственно полями объектов {v)j },{v;}:
Vv;
+ < = v-
пК
&}Kf Vvt = vi
iK
(аУ
20
Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.
СибАК
www. sibac info
Определение. Будем говорить, что Н-подрасслоение (соответственно L-подрасслоение, Х-подрасслоение) нормализовано, если оно одновременно оснащено полями нормалей 1-го рода и 2-го рода Нордена [5], а саму нормализацию будем обозначать fv^,vt ) ши
(N,, тп.2) (соответственно символами fvn«vi ), (vn>va ) или (N„.],31q), (N2, Кп_з)).
2. Зададим точку F£Ы(Л) следующим образом
F =А + х1щ, хп = 0. (6)
Потребуем, чтобы она не выходила из гиперплоскости Н(А) при смещении центра А Н(Ь)-распределения вдоль кривой
- | / . Л , БН
Ш — УпШ ,
касающейся нормали vx=[A,v] = [А, у1е, + еп] 1-го рода гиперплоскости Н(А), т. е., чтобы
dF = diei, (хп = 0). (7)
Определение. Точка F, удовлетворяющая условию (7) называется фокальной точкой гиперплоскости Н(А) [1]; [6] а направление смещения точки А, соответствующие фокальной точке F-фокальным направлением.
Из (7) в силу (*), (6) следует
д1 = dxl + х^ш1- + ш1, х1ш? + шп = 0. (8)
Уравнение (8) определяет многообразие фокальных точек гиперплоскости Н(А), которые согласно (3), (4), (5) приведем к виду:
ViX1 - 1 = 0,хп = 0, (9)
где
V; = -Л”- Л1, (a) VVj = viK0)K, (10)
<Ai = Л?п, ЧЛ, = Л?а)^ + Л[кшк,
VviK = AhkVjmI .
Таким образом, уравнения (9) задают в локальном репере R1 [1] нормаль 2-го рода плоскости Н(А), а поле нормалей 2-го рода
21
СибЛК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 9 (33), 2015 г
Н-подрасслоения задается дифференциальными уравнениями (10). Разрешим уравнения (10а) относительно v^:
= —A^v, + Asn (a), Vv* + ш5п = vsnKMK, (11)
где
Asn d=' -A^Ai.VA^ + o>£ = А5пКшк, (12)
VvnK + + Щку^ш]п = 0.
Итак, при помощи формул (10а) и (11а) устанавливается взаимно однозначное соответствие между нормалями 1 -го и 2-го рода Н-распределения. Это соответствие (биекция) является для оснащающего Н-подрасслоения аналогом соответствия Бомпьни-Пантази [1]; [4].
Аналогично, устанавливаем соответствие Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го рода N2(v“) и нормалями 2-го рода ^n.3(va) Х-подрасслоения:
va = - Аа, Vv„ = уаКшк, VvaK = AnaKvpJ^, (13)
< = -Л“% + Л“, Vv“ + < = v“kmk, (14)
где
Л-а - Aan,VAa = А^рШ^ + АаКШК, d=' -Л“ДЛд,УЛ“ + < = А“кшк, (15)
Vv“K - {Аа1К - А+ Л+ A^v£o>f = 0.
3. Из (12) следует, что компонента {А\} квазитензора {А£} имеет следующее строение
д! “ _д11дп _л1алп — iVn iVln iVn iVan
и является квазитензором 1 -го порядка
V<An + = А^пКшк. (16)
Будем искать соответствие Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода L-подрасслоения в виде (11), (13)
vh = ~A1nV1 + A\, Vv^ + ш^= у^кшк. (17)
22
Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.
СибАК
www. sibac info
Разрешив уравнения (17) относительно величины {v1} получим v1 = —A”1v^ — Alt Vv1 = у1Кшк, где
A± d=' -A7l1Ak,vA1 = Лп11ш^,
VvlK - {АгаК - AnaKv^)(o^ + 2Л= 0.
Vvik = ЛrlKv1M^.
4. Отметим, что поле квазитензора {Л^} (12) для гиперплоскостного распределения аффинного пространства было введено Алшибая Э.Д. [1]; [2] и дана его геометрическая интерпретация. В силу этого поле нормалей 1 -го рода N1= Л 1 (поле нормалей Л {Л1п}) оснащающего Н-подрасслоения данного Н(Ь)-распределения, будем называть в дальнейшем полем нормалей Алшибая Э.Д. В соответствии с этой терминологией поле нормалей 1 -го рода Ы2= Л2 (Nn-1= ^n-1), определяемое полем квазитензора Л“ (15) (A]j(16)), назовем полем нормалей Алшибая 1-го рода Х-подрас-слоения (L-подрасслоения). Следуя работам [1]; [2] аналогично можно показать, что свойства нормалей Алшибая Л сохраняют силу и в случае Н(Ь)-распределения:
а. при смещении центра А Н(Ь)-распределения вдоль кривой, касающейся нормали Алшибая 21, гиперплоскостной элемент Н(А) смещается параллельно;
б. в биекции Бомпьяни-Пантази (11) нормали Алшибая Л,
определенной объектом {Л5п} (12), соответствует бесконечно
удаленная (n-2) — плоскость гиперплоскости Н(А) (в этом случае в уравнении (10) V, = 0).
§ 3. Фокальные образы
1. Пусть задано поле нормалей 1-го рода N1=[A, vn = v!nei + en] оснащающего Н-подрасслоения:
4vin + ш^ = vinKMK.
Рассмотрим фокальные образы, связанные с L-, X-подрасслоениями данного Н(Ь)-распределения. Найдем фокальное многообразие 0(vn_1,L) нормали 1-го рода АП-1(А)=[А, vn,X] прямой L(A) при смещении центра А вдоль кривых (^), принадлежащих L-подрасслоению:
ш1 = ^1в, V^1 — ^1в1 = y\9,D9 = влв1, ша = 0 ,шп = 0.
23
СибЛК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 9 (33), 2015 г
Пусть F — фокальная точка плоскости An-1(A):
F = А+уаеа+уЧп,
где
vn — v'-nei + еп.
Из условия ее фокальности
dF = -даеа + ^n(v^ е1 + v“ea + еп)
в силу соотношений (1), (3), (14), (17) находим
дп = dyn + упш™ + ynv*o)™; да = dya + у^ш^ + yn(v“1 + vf1v^)w1, К + уаАга1 + уп(у^1 - A^v^ + v^A^)]^1 = 0, (18)
где
v& = A“x - A^iV^.Vvfi = 0.
Так как уравнения (18) выполняются тождественно, то
Куа + -1 = 0,
где
Ла — —Aal,VAa — ЛаКш ,
vn = -0£i - AVX + v“A 1al),4vn = vnKMK. (19)
Итак, фокальное многообразие Ф(^П-2,Ь), которое в локальном репере R1 задается уравнениями
(Аауа + vnyn -1 = 0,
1 у1 = УпУП,
есть плоскость Kn-2cNn-1(A). Плоскость КП-2(А) является аналогом плоскости Кёнигса [8] для данного Ы(Ь)-распределения. Точку пересечения нормали vn с плоскостью КП-2(А), т. е. точку
Кп{у)-.уп =
У =
^avn+vn
назовем точкой Кёнигса нормали vn, ассоциированной с L-подрасслоением или кратко vL — виртуальной точкой Кенигса. Определим в каждом центре А еще одну инвариантную плоскость
24
Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.
СибАК
www. sibac info
Кп_з(A)=X(A) П КП.2(Л): у1 = 0,yn = 0,Aaya -1 = 0, (20)
которая является нормалью 2-го рода плоскости X(A). Итак, структура плоскости Кенигса Кп_2 (v) такова, что
Если задать другое поле инвариантных нормалей H-подрас-
слоения, то в соответствующей точке Л плоскость Кенигса имеет вид
т. е. плоскость ^П_3(А) есть ось оснащающих плоскостей Кёнигса в нормалях 1-го рода Nn-1 L-подрасслоения в данном центре А.
Следовательно, имеет место
Теорема 1. Для пучка нормалей 1-го рода Nn.I(A) прямой L(A) в данном центре А все плоскости Кенигса проходят через неподвижную (инвариантную) плоскость Кп_3(А) (20) — ось пучка плоскостей Кенигса.
2. Аналогично, находим в каждом центре А фокальное многообразие Ф(^,Х(А)) нормали 1-го рода ^(А) плоскости X(A), при смещениях центра А вдоль кривых (j):
ff„-2(v) = [К„-з(А),КпМ].
ff„-2(v*) = [ffn_3(A),ffn(v*)],
ша = ~^ав1 = №в,0в = 9a9±,
ш1 = 0,шп = 0,
принадлежащих Х-подрасслоению.
Зададим фокальную точку F плоскости N2(A) вектором:
F = А + у1е1 + ynvn,
где
vn = vinei + en.
Требование инвариантности точки F, т. е.
dF = 9пеп + д1е1
приводит к соотношениям
= dyn + упш£ + y1lv)lw7l + ynv£wj} + у
25
СибЛК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 9 (33), 2015 г
д1 = dy1 + у1^! — у1Кг1ру'^ш^
+ Уп(у1р + ЛаД^“ - Aii^n - A^v^v^1,
[Sp + ylvi/? + y”(vn/? + vi/?vn - = 0, (21)
где
v“/3=A“^-A?^v“,Vv“/3 = 0. (22)
Условие (21) выполняется тождественно, поэтому
s$ + ylyip + yn(vnp + vi“/?vn - A”^v“v“) = 0. (23)
Свертывая по а и в выражение (23) и преобразуя, получим
у1у1 + vnyn — 1 = 0,
где
У1 = -^Аа1а,Уу1=У1Кшк, (24)
Уп = -^~; (<* - Л”av>“ + vfav^), Vvn = (25)
Таким образом, фокальное многообразие Ф(А2,Х), представляет собой прямую A'1(A)cN2(A), которая относительно локального репера R1 задается системой уравнений:
К-
(A)fir
- + Упуъ
уа = v“y"
1 = 0,
(26)
Прямую К1(у) (26) назовем vX — виртуальной прямой Кёнигса плоскости N2(A) = [A,L, vn] в центре А.
Поле прямых (26) задается уравнениями (24), (25), (14) т. е. полями объектов {v“},{т/х, vn}.
Точка К (у) = А'1(А)п!(А) является нормалью 2-го рода в смысле Нордена прямой L(A):
К(у)-.уа = 0,уп = 0; v1y1 — 1 = 0. (27)
Если тензор т/х = 0, то точка ^(v)cL(A) есть несобственная точка прямой L(A). Точку K(v) (27) назовем у — виртуальной точкой Кёнигса прямой L(A), так как она зависит от выбора нормали {v^} (нормали vn плоскости H(A)).
26
Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.
СибАК
www. sibac info
Точку
Kn{v)-.yn =
ViV^+Vn ’
ViV^ + Vn
• точку пересечения нормали N1(v'n) c прямой K± (26), назовем точкой Кёнигса нормали Nj=[A, vn], ассоциированной с плоскостью X(A), или коротко vX — виртуальной точкой Кёнигса. Итак, структура прямой К± (А) (26) такова:
£i(A)=[ff(A),ffn(v)].
Заметим, что порядок охвата тензоров vn (19), vn (25), на единицу выше, чем порядок объекта {v“ }(14).
§ 4. Поля нормализаций и пучки нормалей 1-го и 2-го Нордена основных структурных подрасслоений И(Ь)-распре-деления в дифференциальной окрестности 1-го порядка
1. Согласно уравнениям (5), (2) убеждаемся, что функции
V“ = -Л?^1, VV“ +о>“ = (28).
образуют квазитензор 1-го порядка и, следовательно,
дифференциальные уравнения (28) задают поле нормалей 1 -го рода V2 X-подрасслоения.
Используя биекцию (13), находим соответствующее поле нормалей 2-го рода Х-подрасслоения:
Va = -Anaf,v*-Aa,Wa=vaKa>K.
Далее с помощью объекта {V“} и соотношения (22) построим тензоры {V-^j} и {Ух}:
V5, = Alp - AV“; VKp = О- v, d=' w, d=' V1KcoK. (29)
Полю нормалей 2-го рода {Vx} (29) в силу биекции (17) соответствует поле нормалей 1-го рода {V*} L-подрасслоения:
V„x = -A^Vi + Л1, VV* +
27
СибЛК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 9 (33), 2015 г
В дифференциальной окрестности 1 -го порядка введем функции
{V‘ }Ш {Vi; V“], [Vj] = [Vi; Va}, (30)
удовлетворяющие соответственно уравнениям:
vva + o4 = Ккшк,щ = viKuK.
Заметим, что геометрические объекты (30) соответствуют друг другу в биекции Бомпьяни-Пантази (10) (или (11)).
2. Для Н-подрасслоения гиперполосного Н(Ь)-распределения справедливо предложение, доказанное для гиперплоскостного распределения аффинного пространства Ап Алшибая Э.Д. [1].
Теорема 2. Однопараметрическому пучку нормалей 1-го рода (V(e);A), определенному в данном центре А Н-подрасслоения (Е-параметр), в биекции Бомпьяни-Пантази соответствует однопараметрический пучок параллельных (п-2)-плоскостей (пучок нормалей 2-го рода), лежащих в плоскости H(A).
Покажем, что аналогичное предложение имеет место и для Х-подрасслоения данного Ы(Ь)-распределения пространства An. Пусть в центре А Ы(Ь)-распределения задан пучок нормалей 1-го рода {vf (o')} X-подрасслоения в смысле Нордена:
vf(oO =Арп + a(vp -Л(^), (31)
где объект {vf} задает произвольную инвариантную нормаль N2(A) плоскости Х(А). В силу формул (13) пучку (31) в биекции (13) соответствует пучок нормалей 2-го рода, в смысле Нордена следующего вида:
v„(o0 = ~Кр fan + - ^)) -Ла =
= ~КрЛрп + oAnapApJvv -Ла = ava,
т. е. пучок параллельных (п-З)-плоскостей, лежащих в плоскости Xn-2(A).
Итак, справедлива
Теорема 3. Однопараметрическому пучку нормалей 1-го рода (31) Х-подрасслоения в биекции Бомпьяни-Пантази (13) соответ-
28
Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.
СибАК
www. sibac info
ствует однопараметрический пучок параллельных (п-З)-плоскостей-нормалей 2-го рода Нордена Х-подрасслоения.
Аналогичное утверждение имеет место и для L-подрасслоения.
Теорема 4. Однопараметрическому пучку (v^(ff); Л),) (32)
нормалей 1-го рода Нордена L-подрасслоения, где
v^(ff) = Л„ + - Л„), (32)
в биекции Бомпьяни — Пантази соответствует однопараметрическое семейство точек v1(a') = av±, — нормалей 2-го рода в смысле Нордена L-подрасслоения.
3. Квазитензоры {Aln},{l^1} в общем случае функционально независимы и поэтому определяют в дифференциальной окрестности 1 -го порядка в каждом центре А однопараметрический пучок нормалей 1 -го рода Н-подрасслоения:
Hi(£)=V7} + £(cAin-V7}), (33)
которым в биекции (10) согласно теореме 3 соответствует пучок параллельных (п-2)-плоскостей (нормалей 2-го рода Н-подрасслоения)
Ai(e) = еу, (34)
где
hi (£) = Vi + £(Ai- Vi), Ш^е) = AiKa>K
Пучки (33) и (34) порождают соответственно пучки нормалей 1-го и 2-го рода Х-, L-подрасслоений в смысле Нордена:
Я-“(£) = V“ + е(Л“ - Vna), Aa(s) = eVa,
W*(e) = Ц) + г(Л^ - VrО, А1(е) = eV1,
где
ла(£) =Va + £((Аа - Va), Vha(E) = Аакшк,
A±(e) = V1 + е((А1 — V-l), VA1(e) = А1Кшк.
В результате имеет место
Теорема 5. И^)-распределение внутренним инвариантным образом порождает пучки нормалей 1-го рода (А1п; Щ), (А“; Vna), (А„; Ц() и 2-го рода (At; Vj), (Аа; 'Va), ( At; V-J в смысле Нордена соответственно И-,Х-, L- подрасслоений, а также их нормализации (Цг;Vi),(Vn ;Va),(Vn;Vi) в дифференциальной окрестности 1-го порядка.
29
СибЛК
www. sibac. info
Естественные и математические науки в современном мире
№ 9 (33), 2015 г
Список литературы:
1. Алшибая Э.Д. Геометрия распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. Из-во Тбилисского ун-та, Тбилиси, 1999. — 106 с.
2. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. геометрического семинара /ВИНИТИ АН СССР. — 1974. — Т. 5. — С. 169—193.
3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий.
Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических
исследований // Тр. Моск. Об-ва. — 1953. — Т. 2. — с. 275—382.
4. Лаптев Г.Ф. Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности I. // Труды геометрического семинара — 1971. — Т. 3 — с. 49—94.
5. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М. 1976. — 432 с.
6. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. Math. Pures et appl(RPR) — 1962. — Т. 7. — № 2. — С. 239—263.
7. Попов Ю.И. Нормали гиперполосного распределения аффинного пространства // Сб. «Дифф. геом. многообразий фигур». — 1988 — Вып. 19 — с. 69—79.
8. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. — 1975. — Т. 7. — С. 117— 151.
30
