CC BY
28
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 51:621.891+06 й01: 10.12737/1278
Гидродинамический расчёт двухслойного пористого подшипника бесконечной
*
длины с учётом анизотропии проницаемости пористого слоя и сил инерции
К. С. Ахвердиев, М. А. Мукутадзе, В. С. Новгородова, Т. С. Черкасова
(Ростовский государственный университет путей сообщения)
Приводится асимптотическое решение задачи гидродинамического расчёта радиального двухслойного пористого подшипника бесконечной длины с учётом анизотропии проницаемости пористых слоёв. Данное решение основано на полных нелинейных уравнениях Навье — Стокса и уравнении Дарси. Рассматривается случай, когда проницаемости пористых слоёв меняются непрерывно в радиальном направлении, а затем — случай, когда оси меняются как в радиальном, так и в окружном направлениях. В результате найдено поле скоростей и давлений в смазочном и пористом слоях. Получены аналитические выражения для основных рабочих характеристик подшипника. Дана оценка влияния нелинейных факторов, а также анизотропии на основные рабочие характеристики подшипника. Найдены условия, при которых радиальный неоднородный двухслойных подшипник по несущей способности обладает свойством подшипника двойного действия. Установлены наиболее рациональные значения конструктивных, режимных и других функциональных параметров, определяющих работоспособность подшипника.
Ключевые слова: пористый подшипник, двухслойная пористая втулка, несущая способность, коэффициент трения, коэффициент нагруженности.
Введение. Как известно [1, 2], применение вкладышей из спечённых пористых металлокерами-ческих сплавов позволяет улучшить работу подшипников скольжения. Эти сплавы обладают антифрикционными свойствами. Они работают с меньшим износом, чем изготовленные из цветных металлов, и позволяют создать режим жидкостного трения за счёт замены масла в порах. Гидродинамический расчёт радиальных пористых однослойных подшипников — достаточно исследованный вопрос. В работах [3—5] приводятся расчётные модели однослойных пористых подшипников бесконечной и конечной длины. Здесь проницаемость пористого слоя в радиальном направлении считается постоянной. В то же время на поверхности пористой плёнки, прилегающей к смазочному слою, и в пористой втулке проницаемость задаётся скачкообразно. Это не позволяет написать непрерывные условия сопряжения при использовании многослойных пористых втулок, что является существенным недостатком приведённых в [3—5] расчётных моделей. До настоящего времени в известной нам литературе не представлено теоретическое исследование работ многослойных пористых подшипников с учётом анизотропии проницаемости пористых сло-ёв в радиальном направлении. Ниже приводится решение этой задачи для двухслойного пористого подшипника бесконечной длины с учётом анизотропии проницаемости пористых слоёв и нелинейных факторов.
Постановка задачи. Рассматривается установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости в зазоре двухслойного пористого подшипника бесконечной длины с учётом анизотропии проницаемости пористых слоёв в радиальном направлении. Предполагается, что подшипник неподвижен, а шип вращается с угловой скоростью Ф.
Поместим начало полярной системы координат в центре подшипника.
* Работа выполнена в рамках инициативной НИР.
Тогда уравнения контуров шипа и подшипника (рис. 1) можно записать в виде
1 e
c0: г = a(1 + H), г = b, г = b + h1, H = ecosQ - ^£2 sin2 0, £ = a < 1
(1)
где h — толщина двухслойного пористого слоя, а — радиус шипа, Ь — радиус подшипника, е — эксцентриситет.
Рис. 1. Схематическое изображение радиального двухслойного пористого подшипника
Проницаемость пористых слоёв зададим таким образом, чтобы на границе раздела слоёв они совпадали и кроме того удовлетворяли уравнению Дарси для каждого слоя. Пусть
1 b+h ¡.i 2 b+h
к; = Ае , к2 = Ае . (2)
Здесь А — заданная постоянная величина, характеризующая проницаемость на границе раздела слоёв; Л;, Л2 — характеризуют распределение проницаемости слоёв в радиальном направлении. Основные уравнения и граничные условия. Будем исходить из безразмерных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, уравнения неразрывности и уравнения Дарси [2]:
Re
ди U0 диё U0 i —г + —0 + u7 г дг г дё z г
1
др д2иг
+—г+—
Re
ди0 U0 ди0 иги0
и—0 + ——- + uz - г 0 г дг ' ^ z
г д0
ди
г
1 ди
(1 - а)2 дг 1
1 ди
дг2 г дг
2
ди
г "зё2"
д2иг 5?
1 др д2и0 1 ди0 --- + —0 +--0 +
1 д2и0
(1 - а)2 г дё дг2 г дг г дё2
д?2
- 2 диё
г2 г2 д0 '
- U0 дЦг.
' г2 + "д^
(3)
д2Ф 1 дФ 1 д2Ф
—г + - —0 + = 0, -2- + -—+
дг г дё
дг2
г дг г2 дё2
ди 1 диё и n д^ 1 SF 1 52F
—- +--ё + — = 0, —- +--+ -
дг г дё
дг2
г дг г2 дё2
Л1 дФ г дг '
г дг '
Здесь иг, и0 — безразмерные компоненты вектора скорости; р, Ф, F — гидродинамическое давление соответственно в смазочных и пористых слоях.
+
+
+
Размерные величины г,иг ,и0, р,Ф, F, к/ связаны с безразмерными г,иг ,и0, р,Ф, F, к;
соотношениями:
г = Ьг, иг = Фаиг, и0 = Фаи0, р = ^ПаЬ2 Р,
(ь " а)
ф=нм ф, F=^р, к;=Ак,,/=1,2. ь - а ь - ^ ; ;
(4)
В дальнейшем знак ~ у безразмерных переменных опускается. Рассмотрим граничные условия, при которых решается система уравнений (3).
Пористая поверхность, прилегающая к смазочному слою, характеризуется следующим образом:
1. На контуре с1 выполняется условие непрерывности гидродинамического давления, а компоненты вектора скорости определяются законом Дарси:
, к дФ
и I =—1— г|г=г1 ^ дг
2. На поверхности пористого вкладыша, прилегающего к непроницаемому корпусу, дФ / дг = 0 .
3. Выполняется условие замкнутости смазочного слоя р(0) = р(2п), Ф^г, 0) = Ф^г, 2п), Ф2(г, 0) = Ф2(г, 2п).
4. На поверхности шипа выполняются следующие условия
ди
иг (а + аН) = ига +| "Т" | аН + ... = -£sin0,
и0 (а + аН) = и0|г=а + (^1 0Н + ... = 1.
V /г=а
5. На границе раздела слоёв — равенство давлений, а также условие
дФ дF ^ с -= —, Ф = F.
дг дг
(5)
Асимптотическое решение задачи. Решение системы (3), удовлетворяющее выше приведённым граничным условиям, будем искать в виде
Р = 1 Р^, иг = , и =1 ^, Ф = £Фк£к, Р =^кек .
к0 к0 к0 к0 к0
(6)
Для определения коэффициентов разложений (6) с точностью до членов О(е2) придём к следующей системе уравнений и граничных условий к ним:
ке
и ^0 и0
ип —:---
с/г
1 ср0 + +1 с
(1 - а)2 с/г с/г2 г с/г
+ Л-^о ке
г
си
с
0 + ^Ца.
г
сЧ +1 си^ - и
с1г2 г с!г г
и + и = 0,
сг г
с2Фп 1 сФп
дг2
• + —
ке
дих ~дг
+ и
си0 , и0 ди1
+ - 2мм-
г сг 1"
^ сф0, +1Р
г с ' <сг2 г с
1 с г д0
1
Л2 ср г с
я2.
(1 - а)2
др д2и 1 ди 1 д2и и
■ + —^ +--L + - 1 1
дг дг2 г дг г2 д0
г
5и1 г2 д0 ,
ке
ди, си,
и — + и
дг
0 + Ца. дЦк + и1и0 + и0и1
1 с г д0
(1 - а)
ди 1 ди- и- _ д2Ф. 1 дФ. 1 д2Ф.
—1 +--:т + — = 0, -21 +--1 + ^-21 = -
- + — дг г д0
Л дФ,
г дг г2 д02
д2Р 1 др 1 д2Р
■ +--1 + - 1
г дг дг2 г дг г2 д02
Л2 др г дг
(7)
1 1 др д2и 1 ди 1 д2и и 2 ди
-г--;т +—+--1 + ^ —1 -~т + ^ —;г, (8)
2 г д0 дг2 г дг г2 д02 г2 г2 д0
г=а
Системы уравнений (7) и (8) решаются при следующих граничных условиях:
и0 (а) = 0, и0 (а) = 1, и0 (1) = -Ф (1 - а)-Ф0 (1), ^ ^ ) = Ф0 ^), F¿ (в1 ) = Ф0 (в1), и (1) = 0, Ф0 (1) = Р0 (1), F' (З2 ) = 0.
дФ
ul ( а,0) = - sin 0, U1 (а,0) = -uQ ( а)-cos0, ul (1,0) = -ф (i - а) —
,Ui (1,0) = -Ф (i - а)дФ
(9)
=i (iQ)
р (1,9) = ф(1,0), f(з) = o, p (r,0) = p (r,2n), Ф; (p1,e) = f (p1,e), ф; (p1,e) = F'(P1,e).
О 0 л К 0 л h Abe b+h; a Здесь 3; =1 + b 32 =1 + -b, ф = -¡j—^-' а = bb ■
Решение системы (7), удовлетворяющее граничным условиям (9), легко находится непосредственным интегрированием. В результате получим
u0 = 0, p0 = Re (l - a2 )J—dr + c, Ф0 = const = p0 (1), u0 = 2а ; |r - —J, F0 = const. (11)
Исходя из вида граничных условий, решение системы (8) для первого приближения будем искать в виде
U; = U;l (r)cose + U12 (r)sine, u; = u;l (r)cose + ul2 (r)sine, p; = p;l (r)cose + p12 (r)sine,
ф; = Ф;1 (r) cos e + Ф12 (r) sin e, f; = F;1 (r) cos e + f12 (r) sin e.
Подставляя выражение (12) в уравнения (8) и граничные условия (10) и приравнивая выражения слева и справа при cose и sine, получим следующие уравнения и граничные условия:
(12)
i
2
2
uii + ru" 1- uii- 72Ui2 =
i
U12 + rUi 2 - U12 - =
(i - а) i
,, i , 2 2
U1 1 + r uli- 72U11 + Ui2 =
(i - а) i i
2 Pi 1 + Re 2 Pi'2 + Re
r U
2uq
r
2U
U \2 r (i - а) r
-P12 + Re
uq UQ uq
uQull + uQull + + —u„ + —u
Ui2 + r 12 - r2Ul2 - U11 =-
i i
—7 Pll + Re
(i - а)
r u„
r
r u„
UQU12 + U12UQ - —u,, + —U„ + — u
r
(13)
uii + Tu!2 + т = Q, Ui2 -luii + r = Q,
Ф " + 1Ф" -Аф =-^ф' ф " + 1Ф" -=-^ф'
r 11 r2 Г ll' ^ r 12 r2 r 12 '
i
F" + - F" - — F =- —F' F" +1 F" - — F =-—F'
' 11 T ,, ' 11 „2 11 r 11' n r 12 -2 12 „12
i
Ai
r
(14)
U ( а) = 0, u12 (а) = -1, un ( а) = -и0 (а)- а, и12 (а) = 0, un (1) = -ф (1 - а)- Ф;х (1), U12 (1) = -Ф (1 - а) - Ф12 (1), Un (1) = -ф (1 - а) - Ф12 (1), U12 (1) = ф (1 - а) - Фп (1), P11 (1) = Ф11 (1) , P12 (1) = Ф12 (1) , F2 (ß2 ) = 0, F1 (ß2 ) = 0, Фп (ß! ) = F1 (ß! ) , Ф12 (ß1 ) = f12 (ßt ), Ф11 (ßt ) = F1'1 (ß1 ), Ф12 (ß1 ) = F2 (ß1 ). Заменяя в выражениях системы (13) и (14) производные слагаемые конечноразностными представлениями, получим систему алгебраических уравнений, которая решается методом Гаусса — Зейделя.
и
Q
и
2
2
i
UU1 2 + UU12 --т uii -
и
r
r
1
2
2
r
r
Определение основных рабочих характеристик подшипника. Определив поле скоростей и давлений в смазочном слое, можно перейти к определению основных рабочих характеристик подшипника. Для составляющих вектора поддерживающей силы Rx и Ry, а также для момента трения получим следующие выражения:
„ enua2bQ / ч „ £п • ua2bQ / ч .. 2a3uQn , / ч _./ 2\ ,.,,-л
Rx = \2 Pli (а), Ry = \2 Р12 (а), =-b-U0 (а) + 0(£2). (15)
(b - a) (b - a) b
Коэффициент нагруженности с;, коэффициент сопротивления вращению ? и коэффициент трения f являются основными рабочими характеристиками рассматриваемого подшипника. Они определяются по формулам:
N (1 - а)2 ¡—2-7 M(1 - а) f ?
С = —--, N = jRx + R2, ? = —Ц—— = ±. (16)
s 2/ам^ V x y 2/a2^ 1 - а с
Кроме того, на работоспособность рассматриваемого пористого подшипника влияют следующие параметры:
— постоянная проницаемость стенки вкладыша k* = Ae r2+h , характеризуемая параметром Ф = k*b/(b-a)3;
— радиальный относительный эксцентриситет £ = e/(b-a);
— толщина вкладыша, характеризуемая безразмерной величиной в = (b+h)/b;
— отношение толщины пористых слоёв h2/h^
— длина подшипника /;
— число Рейнольдса (Re);
— параметры A1 и A2, характеризующие распределение проницаемости в радиальном направлении в подшипнике.
Следует отметить, что в случае учёта анизотропии проницаемостей пористых слоёв в радиальном и окружном направлениях имеем
A^n-r^ A2ln-r-
k' = A cos we e b+h1, k2 = A cos we e b+h1. Осредняя по окружности выражения для k[ и k2', получим
A л^п^— A л2 in——
k = -— sin2nwe b+h , k2'= — sin2nwe b+h . (17)
2пш 2nw
Полученные выше аналитические выражения для основных рабочих характеристик подшипника,
определяемые формулами (15), в рассматриваемом случае остаются без изменения, если здесь
Л ln—^ b
Abe b+h' Ab sin2nw Л1 ^bbr выражение для ф =-— заменить выражением ф =-- e 1 .
[b - а) 2пш (b - a)
Численный анализ полученных результатов.
Рис. 2. Зависимость безразмерной несущей способности подшипника от параметров р и ш (при значениях параметра ш>1), Л1 = Л2 = 0, а = 0,998: 1 — без учёта сил инерции; 2 — с учётом сил инерции
Рис. 3. Зависимость безразмерной несущей способности
подшипника от параметров р и ш (при значениях параметра ш<1), Л1 = Л2 = 0: 1 — без учёта сил инерции; 2 — с учётом сил инерции
Рис. 4. Зависимость коэффициента нагруженности
от параметра ф, а = 0,998: 1 — > 1, ^ < 1, ш = 0;
Л1 ^
2 — Л1 = Л2 = 0, ш = 0; 3 — < 1, ^ > 1, ш = 0
Рис. 5. Зависимость коэффициента трения от параметра ф: 1
^ > 1, ^ < 1, ш = 0; 2 — Л1 = Л2 = 0, ш = 0; Л1 hl
3 — < 1, > 1, ш = 0
Л
1
Выводы.
1. Поддерживающая сила не перпендикулярна линии центров при:
— Л1 = Л2 = 0, т. е. проницаемость однослойного пористого вкладыша определена формулами (17) (к = к2 = 0)
— учтены силы инерций.
Значение Ry — составляющей поддерживающей силы на 5—10 % больше, чем при ке = 0.
2. Если Л1 = Л2 = 0, к = к2' = 0, при ш =1 подшипник по несущей способности обладает
свойством подшипника двойного действия. При ш < 1 значение несущей способности стабилизируется.
3. Если Л1 ф Л2, с увеличением значения параметра ф значение коэффициента нагруженности уменьшается. Наиболее резкое снижение значения коэффициента нагруженности наблюда-
ется при ф«102. При — < 1, — > 1 значение коэффициента нагруженности больше, чем при
Л2 —
± > 1, — < 1.
Л1 —
4. Если Л1 ф Л2, с увеличением значения параметра ф значение коэффициента трения снижается. Наиболее резкое снижение значения коэффициента трения наблюдается при ф «102. При значениях ф «101 зависимость коэффициента трения от параметра ф минимальна.
Таким образом, учитывая анизотропию проницаемости пористых слоёв, определяемых формулами (17), можно обеспечить повышенную несущую способность подшипника при достаточно низком значении коэффициента трения. Библиографический список
1. Кочетова, С. Ф. Сложнонагруженный подшипник конечной длины с вкладышем в виде ряда сплошных и пористых втулок, запрессованных в непроницаемый корпус / С. Ф. Кочетова, И. С. Стасюк // Вестник РГУПС. — 2003. — № 2. — С. 34-41.
2. Математическая модель течения смазки в зазоре радиального подшипника конечной длины со слоистым пористым вкладышем переменной толщины / К. С. Ахвердиев [и др.] // Проблемы машиностроения и надёжности машин. — 2000. — № 6. — С. 85-91.
3. Никитин, А. К. Об установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в пористом подшипнике конечной длины / А. К. Никитин, С. С. Савченкова // Механика жидкости и газа. — 1968. — № 2. — С. 132-140.
4. Ахвердиев, К. С. Об одном точном решении задачи о радиальном пористом подшипнике конечной длины / К. С. Ахвердиев, Л. И. Прянишникова // Трение и износ. — 1991. — Т. 12, № 1. — С. 24-32.
5. Ахвердиев, К. С. Гидродинамический расчёт пористых подшипников с переменной проницаемостью вдоль оси с учётом нелинейных факторов / К. С. Ахвердиев, Л. И. Прянишникова, Ю. И. Пустовойт // Трение и износ. — 1993. — Т. 14, № 5. — С. 813-821.
Материал поступил в редакцию 31.05.2013.
References
1. Kochetova, S. F., Stasyuk, I. S. Slozhnonagruzhennyy podshipnik konechnoy dliny s vkladyshem v vide ryada sploshnykh i poristykh vtulok, zapressovannykh v neproniczaemyy korpus. [Complex-loaded finite length bearing with bush in a range of solid and porous liners pressed in an impenetrable shell.] Vestnik RGUPS, 2003, no. 2, pp. 34-41 (in Russian).
2. Akhverdiyev, K. S., et al. Matematicheskaya model techeniya smazki v zazore radialnogo pod-shipnika konechnoy dliny so sloistym poristym vkladyshem peremennoy tolshchiny. [Mathematical model of lubricant flow in journal finite length bearing clearance with layered porous pad of tapered thickness.] Problemy mashinostroyeniya i nadezhnosti mashin, 2000, no. 6, pp. 85-91 (in Russian).
3. Nikitin, A. K, Savchenkova, S. S. Ob ustanovivshemsya dvizhenii vyazkoy neszhimayemoy zhidkosti v poristom podshipnike konechnoy dliny. [On steady flow of viscous incompressible fluid in porous finite length bearing.] Mekhanika zhidkosti i gaza, 1968, no. 2, pp. 132-140 (in Russian).
4. Akhverdiyev, K. S., Pryanishnikova, L. I. Ob odnom tochnom reshenii zadachi o radialnom poristom podshipnike konechnoy dliny. [On an exact solution to the problem of radial porous finite length bearing.] Treniye i iznos, 1991, vol. 12, no. 1, pp. 24-32 (in Russian).
5. Akhverdiyev, K. S., Pryanishnikova, L. I., Pustovoyt, Y. I. Gidrodinamicheskiy raschet poristykh podshipnikov s peremennoy pronitsaemostyu vdol osi s uchetom nelineynykh faktorov. [Hydrodynamic
calculation of porous bearings with variable axial permeability with account for nonlinear factors.] Treniye i iznos, 1993, vol. 14, no. 5, pp. 813-821 (in Russian).
HYDRODYNAMIC CALCULATION OF TWO-LAYER POROUS BEARING OF INFINITE LENGTH WITH ACCOUNT FOR PERMEABILITY ANISOTROPY OF POROUS LAYER AND INERTIA FORCES*
K. S. Akhverdiyev, M. A. Mukutadze, V. S. Novgorodova, T. S. Cherkasova
(Rostov State Transport University)
The asymptotic solution to a problem of the hydrodynamic calculation of the radial two-layer porous bearing of infinite length with account for the permeability anisotropy of porous layers is presented. The solution is based on full nonlinear Navier — Stokes equations and Dairy's equation. The case when the porous layer permeability changes continuously in the radial drrection, and then — the case when axes change both in radial and in circumferential directions are considered. /4s a result, a velocity and pressure field in the lubricant and porous layers is found. Analytical expressions for the main performance data of the bearing are obtained. The effect of nonlinear factors and anisotropy on the bearing basic performance is assessed. The conditions under which a radial non-uniform two-layer bearing according to the carrying capacity offers the double action property are determined. The most rational values of the design, operating, and other functional data defining the bearing operability are established. Keywords: porous bearing, two-layer porous plug, bearing capacity, friction coefficient, loading coefficient.
* The research is done within the frame of the independent R&D.
43
