Гидродинамическая неустойчивость отрывного обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

(V ■ Р5 - V X q + р¥) =0, (V ■ ^ - V X т + 2q + рш)

((V • Р5 - V X q + р¥ - рди 5 = 0, (V ■ - V X т + 2q + рш - Jд<p) ^ = о),

то из уравнений (20) и (21) (аналогичных уравнений, получаемых с учетом инерционных членов) следует,, что они имеют место во всей области V.

Эта теорема позволяет дать новую постановку задачи в тензорах напряжений и моментных напряжений. Следует отметить, что исходя из условий (11) в аналогичной (20)—(22) форме можно получить обобщенные уравнения, а затем дать новые постановки задач как на основании уравнений (20) и (21), так и на основании получаемых из (11) обобщенных уравнений в тензорах напряжений и моментных напряжений. На новых постановках задач в данной работе останавливаться не будем, однако заметим, что для классической теории новая постановка задачи (постановка Б.Е. Победри) подробно изложена в [6, 7].

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 08-01-00231-а и 08-01-00353-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sandru N. On some problems of the linear theory of the asimmetric elastisity // Int. J. Eng. Sci. 1966. 4, N 1. 81-94.

2. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

3. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.

4. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. 1. Foundation and Solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

6. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.

7. Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988.

8. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

9. Никабадзе М.У., Мардалейшвили Н.В. Тензор несовместимости и его обобщение // Научные труды. № 4. Кутаиси: Кутаис. техн. ун-т, 1997. 25-28.

10. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.

11. Никабадзе М. У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. I // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 67-95.

12. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. II // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 96-130.

13. Никабадзе М.У. Применение систем полиномов Лежандра и Чебышева при моделировании упругих тонких тел с одним малым размером. Деп. в ВИНИТИ РАН 21.08.08. № 720 - B2008. М., 2008.

Поступила в редакцию 24.09.2009

УДК 532.5.013.4

ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

А.И. Алексюк1, В. П. Шкадова2, В. Я. Шкадов3

Проведены численные исследования обтекания круговых цилиндров однородным потоком вязкой жидкости в диапазоне чисел Рейнольдса 0 < Re ^ 500. Показано, что существование и основные свойства автоколебательных режимов определяются развитием их

1 Алексюк Андрей Игоревич — асп. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aleksandrey@mail.com.

2 Шкадова Валентина, Петровна — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: shkadov@mech. math. msu. su.

3 Шкадов Виктор Яковлевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shkadov@mech.math.msu.su.

гидродинамической неустойчивости. Установлено, что вихреобразование в ближнем следе связано с динамикой зоны отрыва в основном течении. Получены значения критических чисел Рейнольдса для четырех последовательных бифуркаций автоколебательных режимов обтекания. Дано истолкование экспериментальных данных о вихрях в ближнем следе.

Ключевые слова: вязкая жидкость, уравнения Навье-Стокса, круговой цилиндр, завихренность, функция тока, гидродинамическая устойчивость, аэродинамический след.

A uniform viscous flow around a circular cylinder is studied numerically in the Reynolds number range from 0 to 500. It is shown that the existence and the basic properties of self-oscillatory regimes are specified by the evolution of their hydrodynamic instability. It is found that the vortex formation in the near wake is connected with the dynamics of the separation zone in the main flow. The values of critical Reynolds numbers for the four successive bifurcations of the self-oscillatory flow regimes are obtained. An interpretation of experimental data on the vortices in the near wake is discussed.

Key words: viscous liquid, Navier-Stokes equations, circular cylinder, vorticity, stream function, hydrodynamic stability, aerodynamic wake.

Обтекание цилиндра набегающим стационарным потоком сопровождается развитием нестационарных структур, вызываемым гидродинамической неустойчивостью. Основной из таких структур является вихревая дорожка в следе за цилиндром, состоящая из последовательности вихрей, уносимых потоком от тела. Связь проблемы обтекания тела с теорией гидродинамической устойчивости была рассмотрена в [1]. Для исследования устойчивости дальнего аэродинамического следа за телом в предположении плоско-параллельности течения был применен метод Рэлея и было показано, что стационарное течение в следе неустойчиво и что наиболее растущие возмущения описываются симметричной составляющей функции тока, а несимметричная составляющая соответствует основному течению.

Существует также слабо растущее возмущение, которое имеет тот же тип симметрии, что и основной поток. В [2] способ разделения по свойству симметрии основного течения и возмущений успешно применялся для исследования нелинейного развития гидродинамической неустойчивости ряда плоскопараллельных течений.

В реальном потоке механизм формирования вихревой дорожки более сложный: неустойчивым оказывается двумерное поле течения вблизи цилиндра в целом, в возникновении и развитии автоколебаний существенную роль играет зона отрыва за кормовой частью тела.

Метод расчета автоколебательных нестационарных режимов обтекания цилиндров с разделением поля течения на основной поток и возмущения с несимметричной и симметричной функциями тока соответственно впервые был применен в [3]. Были исследованы обтекания вращающихся круговых цилиндров для стационарных и автоколебательных режимов в следе (при числе Рейнольдса Re = 80), вычислены коэффициенты сопротивления и боковой силы. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах [4-6], где было также исследовано обтекание профилей крыла и цилиндров квадратного сечения.

Условия ветвления решений, соответствующих двумерным обтеканиям круговых цилиндров, под воздействием гидродинамической неустойчивости в линейном приближении исследовались в [7, 8]. В работе [7], где основным потоком служило двумерное стационарное поле течения с зоной отрыва, решена задача на собственные значения и вычислено критическое значение числа Рейнольдса, при котором возникает дорожка Кармана. В работе [8] основной поток соответствует нелинейному периодическому режиму с вихревой дорожкой, методом Флоке исследованы собственные решения линеаризованной задачи и установлены условия существования двух трехмерных мод неустойчивости.

В данной статье проводится прямое численное решение краевых задач для уравнений Навье-Стокса, устанавливается развитие полной структуры потока вязкой жидкости, обтекающей цилиндр, вычисляются все возможные нелинейные бифуркации решений при изменении числа Рейнольдса, выявляются все важные детали структуры потока и дается сопоставление с экспериментальными измерениями.

1. Пусть ф(г,9,Ь) — функция тока; u(r,9,t) — вихрь; r, в — полярные координаты. Введем безразмерные переменные и параметры:

,, Ф / wa ' r . tU^ 2U^ a Vigb -i, -in

ф =-, to =-, r = -, t =-, Re =-, e =-, z = 7Г In г, т] = тг в.

Ua U^ a a v U^

Здесь a — радиус цилиндра, U^ — скорость набегающего потока, VnGB — скорость точек поверхности цилиндра.

Уравнения Навье-Стокса для двумерного плоского течения имеют вид

Дф =

2 (1)

— Аш + ,]{ф,ш), Ке

д2 д2

где А = Й2 + Ъ^'' = ^ ~ ^^ в = 7г2е2^'

Краевые условия ставятся на границах прямоугольной области 0 ^ п ^ 2, 0 ^ х ^ хс:

ф = 0, фх = пе, ^ш = ф^ при х = 0; (2)

ф = епх 8ш(пп), ш.^ = 0 при х = хс

Представим каждую из искомых функций системы в виде суммы симметричной и несимметричной частей относительно линии п = 1:

ф = фн + фс, ш = шн + шс.

Такое представление позволяет разбить исходную систему (1) на две связанные подсистемы, каждая из которых решается в области 0 ^ п ^ 1, 0 ^ х ^ хс:

' Дфн = £шн,

2 (3)

Бш? = —Аш* + ,00«) + .1(фс

' Дфс = £шс,

2 (4)

= — Ашс + J(фн,шc) + J(фc,шн).

Отметим, что система (4) линейна по фс и фс = 0 — возможное решение этой системы. В силу этого фс следует рассматривать как возмущение, поэтому полная система (3), (4) описывает нелинейное взаимодействие основного потока, которому соответствует функция тока фн(£, п), и возмущений.

Граничные условия (2) на поверхности цилиндра (х = 0), на бесконечности и условия симметрии и периодичности приводятся к следующему виду:

х = 0 : фн = 0, фн = 0, н = ф^,

Фс = 0, ф<; = пе, £шс = ф£г; х = хс : фн = ежх 8т(пп), ш^ = 0, (5)

фс = пе + М, £шс = фПп;

п = 0, п = 1 : фн = шн = фП = шс = 0.

Для системы (3), (4) с краевыми условиями (5) ставится и численно исследуется задача Коши с начальными данными при £ = 0. При этом предельные автоколебательные решения слабо зависят от начальных условий для фн и фс. Параметрические исследования решений удобно проводить малыми шагами по числу Ке. Основное время счета уходит на решение задач Пуассона для определения полей фн, фс по полям шн, шс.

Для повышения устойчивости численного алгоритма на каждом шаге по времени соблюдалось точное выполнение интегральных соотношений

1 1 z<x

! шсг(0, п) ¿п = 0, М = У У £шс ^п-0 0 0

Более подробно численный метод изложен в [3, 4].

Важное преимущество этого подхода заключается в том, что возникает возможность поставить два разных условия на бесконечности — отдельно для симметричной и кососимметричной частей решения — в тех случаях, когда асимптотическое поведение решений различное.

Разделение ф, и на симметричную и кососимметричную части, не уменьшающее необходимого объема вычислений при построении решения, может быть проведено в общем случае. Если симметричная и кососимметричная части оказываются сильно различающимися по абсолютной величине, то их разделение позволяет вычленить и точно рассчитать малую, но быстро меняющуюся часть решения. В случае обтекания неподвижного цилиндра однородным потоком фн, ин описывают основное течение, а фс, ис — колебательную часть решения, которая возникает и развивается вследствие гидродинамической неустойчивости основного течения. Взаимодействие и установление квазистационарных структур дорожки Кармана происходят за счет нелинейных членов в (3).

2. При стационарном обтекании цилиндра, как и любого плохообтекаемого тела, в кормовой области образуется зона отрыва. Рециркуляционное течение в этой зоне проявляется в двух симметрично расположенных вихрях, длина зоны ограничена точкой торможения на оси симметрии потока и точками отрыва на теле. Длина вихрей и расстояние до центра каждого вихря от оси симметрии однозначно определяется числом Рейнольдса.

При превышении числом Рейнольдса бифуркационного значения Rei возникает периодический след, в который поступает завихренная масса жидкости, попеременно отрывающаяся от верхней и нижней поверхности цилиндра. Понятие зоны отрыва теряет определенность, характерную для стационарного обтекания; в этом случае мы можем наблюдать лишь разделительную линию тока ф, которая совершает волновые перемещения. Представление потока в виде взаимодействующих антисимметричного фн (основного) и симметричного фс (возмущенного) полей течения открывает новую возможность как для качественного описания гидродинамики ближнего следа, так и для вывода количественных соотношений, характеризующих периодический режим.

На рис. 1, а, б показаны мгновенные картины полей основного потока фн и возмущения фс для четырех моментов времени на полупериоде T/2 установившегося режима колебаний. На мгновенных картинах основного потока (рис. 1, а) вновь отчетливо видна зона отрыва, однако, в отличие от стационарного обтекания, она подвержена периодическим изменениям: зона отсутствует при t = 0 и полностью формируется к моменту t = 3T/8. Пульсирующая зона отрыва представляет главный структурный элемент основного потока в режиме автоколебаний. Отметим, что число Струхаля St и период колебаний T связаны соотношением St = 2/T.

Обратимся к анализу свойств отрывных течений в режиме автоколебаний, используя поля течений фн и фс.

На рис. 2 представлены зависимости от числа Рейнольдса главных параметров основного течения фн: максимальной Lmax и минимальной Lmin длины зоны отрыва, максимального значения |фн| в зоне отрыва (интенсивности), расстояния Y от оси симметрии до точки, в которой это значение достигается. При Re = Rei (Rei ~ 50) стационарное решение ф = фн(x,y) бифурцирует в автоколебательный режим ф = фн + фс, а при Re > Rei реализуются решения, которым соответствуют сплошные линии 1-4 на рис. 2. В интервале значений Rei < Re ^ Re2 на каждом периоде колебаний существует зона отрыва конечной ненулевой длины, при Re > Re2 (Re2 ~ 200) имеем Lmin = 0. Это означает, что на части периода колебаний зона отрыва полностью разрушается, а затем вновь полностью восстанавливается.

Явление разрушения и восстановления зоны отрыва в основном потоке отчетливо видно на рис. 1, а, где поле фн представлено в четырех моментах времени на полупериоде колебаний. Можно отметить также еще два характерных значения числа Рейнольдса Re3 ~ 250, Re4 ~ 450, при которых кривая интенсивности вихря в зоне отрыва имеет локальные максимумы. Сопоставим характерные значения числа Re (Rei, Re2, Re3, Re4), при которых изменяются свойства решения для основного потока фн, с экспериментальными наблюдениями. Основной вывод заключается в том, что с каждым из этих значений Re можно связать соответствующую бифуркацию в потоке [9]: двумерные возмущения формируют дорожку Кармана при Re = Rei ; трехмерные возмущения формируют моду A [9] с длиной волны Л = 3,96 d при Re = Re2 и моду B с длиной волны Л = 0,822 d при Re = Re3, где d — диаметр цилиндра. При бифуркационном значении Re4 ~ 450 в расчетах настоящей работы установлена неустойчивость основного течения фн к двумерным возмущениям с той же симметрией, что и у фн. На рис. 1, г имеется замкнутая зона возмущения в ближнем следе, которая отсутствует в поле фн при Re < Re4 (рис. 1, в). Эта зона возмущений связана с механизмом конвективной неустойчивости Рэлея [1] и проявляется в одномерных течениях, в

дф

которых профили средней скорости имеют точки перегиба. Профили средней скорости U = —— в поду

следовательных сечениях следа обладают этим свойством. Для таких профилей существуют две моды неустойчивости, коэффициенты усиления которых различаются почти на порядок. Быстро растущая мода возмущений вызывает переход типа фн ^ фс и проявляется в формирующейся вихревой дорожке. Медленно растущая мода связана с переходом типа фн ^ фн и проявляется лишь при достаточно боль-

ших значениях И,е > И,е4. Вследствие развития этой моды след теряет пространственную регулярность, что отчетливо видно на рис. 1, г, где представлено поле завихренности и.

Рис. 1. Картины течения вблизи обтекаемого цилиндра: а, б — поле основного течения фн и поле возмущенного течения фс при И,е = 300, в — периодический регулярный след при И,е = 400, г — нарушение регулярности следа при И,е = 500. Момент времени Т = 0 для случаев а, б, а также моменты времени для случаев в, г соответствуют

максимальному значению коэффициента боковой силы Су

Наличие пространственных мод неустойчивости А и В приводит к тому, что реальный след за длинным цилиндром становится нерегулярным, а затем и турбулентным при И,е > И,ез [9]. Двумерное течение удается получить в специально организованных экспериментах с короткими цилиндрами. В [10] такие течения получены лишь при И,е < 500, что согласуется с обнаруженным явлением неустойчивости следа к двумерным возмущениям, совпадающим по типу симметрии с основным течением.

3. Рассмотрим механизм вихреобразования в ближнем следе. На рис. 1, а, б показаны картины течения для четырех моментов времени на полупериоде колебаний. В поле возмущений фс в следе за телом (рис. 1, б) наблюдается последовательность подвижных вихрей (вихревых волн), первый из которых присоединен к кормовой части тела, остальные — свободные вихри с чередующимися направлениями враще-

Рис. 2. Бифуркации автоколебательных режимов: 1, 2 — максимальная и минимальная на периоде колебаний длина зоны отрыва Ь, О = 1п(1 + Ь); 3 — у-координата (У) максимума |фн|, О = 1п(10У); 4 — максимальная интенсивность зоны отрыва фн, О = 1п(67тах |фн|); 1', 3', 4' — неустойчивые (нереализуемые) режимы

ния частиц жидкости. В наветренной части потока имеется слабый пульсирующий вихрь. Последовательные по времени картины полей на рис. 1, б раскрывают механизм формирования начальных вихрей в ближнем следе и вихревой дорожки в целом. Начало отсчета времени на рис. 1, б соответствует моменту, когда присоединенный вихрь имеет наибольшую интенсивность, что проявляется в максимальном значении коэффициента боковой силы Су. В момент t = T/8 начинается отрыв присоединенного вихря, который в момент t = T/4 переходит в состояние первого свободного вихря дорожки. Одновременно в окрестности точки отрыва возникает новый затравочный вихрь, развитие которого включает интервал интенсивного роста при t = 3T/8 и преобразование в состояние присоединенного вихря с наибольшей интенсивностью в момент t = T/2. На следующем полупериоде колебаний начиная с t = T/2 сценарий отрыва повторяется с одним существенным различием: знак в присоединенном вихре изменяется на противоположный, что обеспечивает последовательный срыв суммарного

присоединенного вихря wH + wc в верхнюю и нижнюю полуплоскости. В начальный момент t = 0 присоединенный к телу вихрь ограничен линией тока , выходящей из точек отрыва ± 0н. В последующий момент влияние присоединенного вихря распространяется вверх по потоку и положение отрыва смещается в точку 0с. Далее ограничивающая линия тока начинает смещаться вниз по потоку, замыкается и образует отрывной свободный вихрь, при этом точка отрыва перемещается в 0н.

Экспериментальные измерения распределения завихренности в ближнем следе кругового цилиндра, проведенные рядом авторов, были собраны в работе [11]. Цель измерений — определение длины зоны вихреобразования. На основе анализа различных измерений эта длина определяется по начальному положению полностью оторвавшегося в поток вихря, который, как оказалось, имеет максимальную интенсивность. При качественном соответствии наблюдается значительный количественный разброс результатов и, что наиболее существенно, не установлен явный механизм вихреобразования.

Эмпирические представления [11] о зоне вихреобразования согласуются с динамикой формирования первого свободного вихря дорожки, определяемой по полю , а результаты расчетов позволяют ввести точные координаты для положений присоединенного и свободных вихрей. На рис. 3 представлены зависимости от числа Рейнольдса координат первого и второго свободного вихря. Эти координаты указывают положение точек, в которых имеет место сгущение линий = const на оси симметрии.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00595.

Рис. 3. Положение вихрей в ближнем следе в момент времени, когда значение Су максимально. Координата х отсчитывает-ся от задней кромки цилиндра (х = г/а — 1). Сплошные линии — результаты расчетов фс: 1 — присоединенный вихрь перед отрывом, 2 — первый свободный вихрь дорожки Кармана. Точки взяты из работы [11]

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петров Г.И. Об устойчивости вихревых слоев // Тр. ЦАГИ. 1937. 304.

2. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Науч. тр. НИИ механики МГУ. 1973. 25. 1-196.

3. Шкадова В.П. Вращающийся цилиндр в потоке вязкой несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1982. № 1. 16-21.

4. Зеленое И.В., Шкадов В.Я. Обтекание профиля крыла потоком вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1986. № 4. 29-36.

5. Кулаго А.Е., Шкадоеа В.П., Шкадов В.Я., Зеленое И.В. Неустойчивость и автоколебания потока при обтекании цилиндров квадратного сечения // Тр. ИЭИ. 2004. 4. 172-186.

6. Алексюк А.И., Шкадоеа В.П., Шкадов В.Я. Исследование нестационарных отрывных обтеканий цилиндров методом численного решения уравнений Навье-Стокса // Модели и методы аэродинамики: Мат-лы 8-й Междунар. школы-семинара. Евпатория, 4-13 июля 2008 г. М.: Изд-во МЦНМО, 2008. 9-10.

7. Zebib A. Stability of viscous flow past a circular cylinder //J. Eng. Math. 1987. 21. 155-165.

8. Barkley D., Henderson R.D. Three-dimensional Floquet stability analysis of the wake of a circular cylinder //J. Fluid Mech. 1996. 322. 215-241.

9. Williamson C.H.K. Vortex dynamics in the cylinder wake // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1996. 28. 477-539.

10. Wen C.-Y., Lin C.-Y. Two-dimensional vortex shedding of a circular cylinder // Phys. Fluids. 2001. 13. 557-560.

11. Griffin O.M. A note on bluff body vortex formation //J. Fluid Mech. 1995. 284. 217-224.

Поступила в редакцию 25.12.2009