CC BY
42
УДК 681.51.015
ГИБРИДНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧА СТОТ МУЛЬТИСИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА4
А.А. Бобцов, А.А. Ведяков, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
Рассматривается задача идентификации неизвестных частот мультисинусоидального сигнала на примере двух гармоник. На базе метода каскадной редукции предложен алгоритм идентификации, позволяющий ускорять процесс параметрической сходимости оценок неизвестных частот мультисинусоидального сигнала. Ключевые слова: синусоидальный сигнал, редукция, идентификация.
Рассмотрим мультисинусоидальный сигнал, представленный в виде суммы двух гармоник
y(t) = A1 sin(ro1i + ф1) + A2 sin(ro2t + ф2), (1)
где A1; ю1; ф1; A2; ю2; ф2 - неизвестные постоянные параметры. Ставится задача синтеза алгоритма идентификации неизвестных параметров ю1, ю2 - частот мультисинусоидального сигнала y(t). Очевидно, что такая задача решается не впервые (например, [1-3]). Однако проблема быстродействия сходимости настраиваемых параметров к истинным значениям для мультисинусоидального сигнала, насколько известно авторам, ранее не обсуждалась. В основном предлагается решение данной проблемы и анализируется устойчивость полученных алгоритмов. В этой работе предлагается новый алгоритм идентификации частот сигнала вида (1) и аналогично [4] даются конкретные рекомендации по ускорению процессов параметрической сходимости.
Осуществим параметризацию модели (1) следующим образом:
p4 y(t) = 61 p2 y(t) + e2 y(t), (2)
где p = d/dt, 61 = -®2 -®2, 62 =-ю2ю2 - неизвестные параметры, подлежащие идентификации.
Введем новые обозначения:
4 2 1
-Р—-y (t), с (t) =—Р—- y(t), q2(t) =- 4
(p + X)4^ 1 (p + X)4^ 2 (p + X)4
где X > 0 - некоторый выбираемый при синтезе коэффициент. Тогда, используя преобразования (2)-(3), для модели (1) имеем
z(t) = eiq1(/) + 62 с2 (t) + E(t) = qT0 , (4)
где 0 = co/{61, 62}, q = col{q1, q2} и e(t) - экспоненциально затухающее слагаемое, обусловленное ненулевыми начальными условиями.
Аналогично [4], пренебрегая e(t), можно воспользоваться алгоритмом идентификации вида
0 = -kqqT 0 + kqz, (5)
где 0 - оценка вектора 0, а k > 0 - некоторый коэффициент, либо задаваемый при синтезе, либо настраиваемый в процессе работы.
В скалярном случае за счет увеличения коэффициента k > 0 можно достигать увеличения быстродействия параметрической сходимости [4]. Однако в более общем случае, как, например в (5), увеличение коэффициента k > 0 не позволит гарантировать увеличения быстродействия параметрической сходимости. Решение данной проблемы может быть найдено с использованием гибридной схемы настройки параметров, базирующейся на методе каскадной редукции [5]. Преобразуем (4), следуя данному методу. Для этого последовательно умножим (4) на с и проинтегрируем полученное уравнение, т.е.
z (t) =,,л .4 y (t), с (t) = \ 4 y (t), C2 (t) =7-т-т y (t), (3)
zq
1 =61^ +62q2C1, Jzqd 1 = 61 Jqi2d 1+62J^Cdт .
Введем обозначения 4 = |гq1dг , 42 = ^г и 43 = 2qldг и последовательно сначала разделим
0 0 0 на 42, а затем продифференцируем последнее соотношение. Тогда получаем
4-а2^ =02(4Чз42^)
или
^2 2 =62(^3^2 -^3^2). (6)
4 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» (государственный контракт № 11.519.11.4007).
А.А. Бобцов, А.А. Ведяков, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
Введем следующие обозначения: z = 2 и q2 = £3^2 2. Тогда уравнение (6) примет вид
z (t) = 62 q2. (7)
Из (7) легко получить алгоритм идентификации параметра 62
6 2 = -У 2 Í22 6 2 +Y 2?2 Z , (8)
где у2 > 0 - некоторый параметр, увеличение которого позволяет повысить скорость сходимости 62 к 62. Пренебрегая в уравнении (4) экспоненциально затухающим слагаемым e(t), для идентификации параметра 6, будем использовать алгоритм вида
6, =-y1q261 + у, q z', (9)
где z' = z -62q2 и у, > 0 - некоторый параметр, увеличение которого, как и в предыдущем случае, позволяет повысить скорость сходимости 6, к 6,.
Таким образом, получаем гибридную схему идентификации 6, = -raf -ю2 и 62 = -ю2®2, подразумевающую использование редуцированной модели (7) и параметрическую настройку с использованием алгоритмов (8)-(9). На основе оценок 6, и 6 2 нетрудно получить оценки частот двух гармоник исходного сигнала ra, и ra2, решив квадратное уравнение. Для ускорения процесса параметрической сходимости оценок неизвестных частот мультисинусоидального сигнала (!) необходимо увеличивать коэффициенты X, у, и у2.
Для иллюстрации работоспособности предлагаемой схемы идентификации вида (8)-(9) приведем результаты компьютерного моделирования алгоритмов оценивания частот сигнала y(t) = sin t + 6 sin (2t - 2) при X = , и у, = у 2 = Ю (рисунок).
^ 2 ' отн. ед.
2
1,5 1
0,5
2 *
h
i / _ _
1 /'
1, 2' отн. ед.
2
1,5 1
0,5
Iv"^ j—л —. 2 *
i
vvr 1 '—'----
1 г
0 10 20 30 40 t, c 0 10 20 30 40 t, c
а б
Рисунок. Результаты моделирования алгоритмов оценивания частот сигнала y(t) (й1 - кривая 1; ю2 - кривая 2): оценка частот алгоритмом (8)-(9) (а); оценка частот алгоритмом [4] (б)
Из рисунка видно, что новый алгоритм оценивания частот (8)-(9) на базе метода каскадной редукции работает быстрее и точнее при одинаковых настроечных коэффициентах X и у , чем метод, опубликованный в [4]. В заключение следует отметить, что предлагаемый подход к идентификации частот сигнала вида (1) предусматривает дальнейшее изучение, поскольку при синтезе алгоритма идентификации не были учтены помехи в измерении, а также было опущено экспоненциально затухающее слагаемое e(t), влияющее на качество процессов.
Литература
1. Obregon-Pulido G., Castillo-Toledo B. and A.A. Loukianov. Globally Convergent Estimator for n-Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - V. 47. - P. 857-863.
2. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - V. 47. - P. 1188-1193.
3. Marino R., Tomei P. Global Estimation of n Unknown Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - V. 47. - P. 1324-1328.
4. Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O. Identification of frequency of biased harmonic signal // European Journal of Control. - 2010. - № 2. - P. 129-139.
5. Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Каскадная редукция в задачах идентификации // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 3 (79). - C. 149150.
Бобцов Алексей Алексеевич
Ведяков Алексей Алексеевич
Колюбин Сергей Алексеевич
Пыркин Антон Александрович
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, bobtsov@mail.ifmo.ru
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, инженер, vedyakov@gmail.com
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, s.kolyubin@gmail.com
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, a.pyrkin@gmail.com
УДК 681.5
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ СКОРОСТНОГО ГРАДИЕНТА В ЗАДАЧАХ КРАТНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ ВИБРАЦИОННЫХ УСТАНОВОК5 А.Л. Фрадков, О.П. Томчина, В.А. Галицкая, Д.В. Горлатов
Описываются интегро-дифференцирующие алгоритмы скоростного градиента, частными случаями которых являются пропорциональные, интегральные и пропорционально-интегральные алгоритмы скоростного градиента. Вводится определение кратной приближенной частотно-координатной синхронизации, синтезируются интегро-дифференцирующие алгоритмы управления кратной синхронизацией вибрационных установок. Приводятся результаты сравнительного компьютерного исследования пропорционального и пропорционально-интегрального алгоритмов, показывающие, что предложенные алгоритмы обладают рядом преимуществ перед уже известными. Ключевые слова: интегро-дифференцирующие алгоритмы, скоростной градиент, кратная синхронизация, вибрационная установка, вибротранспортирование.
Введение
При проектировании вибрационных установок, осуществляющих грохочение, дробление, вибротранспортирование сыпучих материалов и другие технологические операции, повышение производительности в значительной мере определяется стабильностью синхронного режима вращения вибровозбудителей. Традиционный подход базируется на явлении самосинхронизации, открытом и изученном И.И. Блехманом [1]. Дополнительные технологические возможности использования виброустановок предоставляет режим кратной синхронизации, при котором вибровозбудители вращаются со средними угловыми скоростями, кратными друг другу. Кратный синхронный режим, вносящий асимметрию в систему, способствует возникновению и усилению эффекта вибрационного перемещения, особенно для таких трудноосуществимых технологических процессов, как транспортирование пылевидных, влажных и липких грузов. При этом синхронность обеспечивает максимальную скорость вибротранспортирования. Кроме того, наличие двух различных частот вращения роторов позволяет транспортно-технологическим машинам осуществлять одновременно вибротранспортирование, возбуждаемое низкой частотой, а также просеивание и сепарацию сыпучих материалов, осуществляемые за счет большей кратной частоты. Но при рассмотрении задач кратной синхронизации стабильная самосинхронизация может и не наблюдаться. Условия на соотношение масс и на взаимное расположение роторов и несущей платформы, обеспечивающее кратную самосинхронизацию, были получены в работах [2-4]. Однако в ряде практически важных случаев эти условия не выполняются, и режим кратной самосинхронизации оказывается неустойчивым.
В связи с этим разработка новых подходов к решению задачи обеспечения стабильного кратного синхронного вращения вибровозбудителей является актуальной технической задачей. Одним из перспективных подходов является подход, основанный на управляемой синхронизации. Управлению синхронизацией колебательных механических систем посвящен целый ряд работ [5-7]. В настоящей работе рассматривается подход, основанный на применении интегро-дифференцирующих алгоритмов скоростного градиента [8, 9], синтезируемых из условия обеспечения стабильного кратного синхронного режима. Предложены и исследованы новые алгоритмы управления кратной синхронизацией, обеспечивающие улучшенные характеристики процессов в системе.
Интегро-дифференцирующие алгоритмы скоростного градиента
В данном разделе, следуя [8], описывается общий подход к синтезу нелинейных систем управления - так называемый метод скоростного градиента, предложенный в конце 70-х годов прошлого века первона-
5 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Кадры» (соглашения 8846, 8855),Программы 10 ОЭММПУ РАН, и РФФИ (грант 11-08-01218).
