Геометрия тензора конгармонической кривизныас-многообразий класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Рустанов А.Р.1, Герасименко С.А.2, Щипкова Н.Н.2

1Московский педагогический государственный университет E-mail: aligadzhi@yandex.ru 2Оренбургский государственный университет,

E-mail: gsa_57@mail.ru ; ningeom@pochtamt.ru

ГЕОМЕТРИЯ ТЕНЗОРА КОНГАРМОНИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ АС-МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА Сп

Основной целью работы является изучение геометрии тензора конгармонической кривизны почти контактных метрических многообразий класса Сп. С этой целью решены следующие задачи:

1. Подсчитать основные существенные компоненты тензора конгармонической кривизны на пространстве присоединенной G-структуры.

2. Исследовать конгармонически плоские многообразия класса Сп.

3. Получить тождества, которым удовлетворяет тензор конгармонической кривизны АС-многообразий класса Сп.

4. Выделить и изучить некоторые подклассы АС-многообразий класса Сп по дифференциально-геометрическим инвариантам второго порядка.

В работе решены эти задачи. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Конгармонически плоское АС-многообразие класса Сп является риччи-плоским многообразием.

Теорема 2. Конгармонически плоское АС-многообразие класса Сп является многообразием Эйнштейна.

Теорема 3. Конгармонически плоское АС-многообразие класса Сп является плоским многообразием.

Теорема 4. АС-многообразие класса Сп является многообразием класса K, тогда и только тогда, когда АС-многообразие класса Сп является риччи-плоским многообразием.

Теорема 5. АС-многообразие класса Сп является многообразием класса K 2 тогда и только тогда, когда АС-многообразие класса Сп является риччи-плоским многообразием.

Теорема 6. АС-многообразие класса Сп является многообразием класса К3 тогда и только тогда, когда АС-многообразие класса Сп является плоским многообразием.

Теорема 7. АС-многообразие класса Сп, являющееся многообразием класса К4 является

многообразием Эйнштейна с космологической константой равной /А

/о

2(n - 2)

. В частности, в слу-

чае полноты и связности оно компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

Теорема 8. АС-многообразие класса С,, размерности больше 5 является К4 -многообразием тогда и только тогда, когда оно является Риччи плоским многообразием.

Ключевые слова. Тензор римановой кривизны, тензор Риччи, тензор конгармонической кривизны, конгармонически плоское многообразие, плоское многообразие.

Конформные преобразования римановой структуры являются важным объектом изучения в дифференциальной геометрии. Значительный интерес представляет специальный тип конформных преобразований - конгармонические преобразования, т. е. конформные преобразования, сохраняющие свойство гармоничности гладких функций. Этот тип преобразований был введен в рассмотрение Иши [7] в 1957 году и в настоящее время изучается с различных точек зрения

[8]-[15]. Известно, что такие преобразования имеют тензорный инвариант - так называемый тензор конгармонической кривизны. Этот тензор является алгебраическим тензором кривизны, т. е. он обладает классическими свойствами симметрии тензора римановой кривизны. Пополнение римановой структуры до почти контактной метрической структуры позволяет выделить еще несколько конгармонических инва-

риантов - элементов спектра тензора конгармо-нической кривизны, а также дополнительные свойства симметрии тензора конгармонической кривизны.

В настоящей работе изучаются связи между этими инвариантами и дополнительными свойствами симметрии тензора конгармоничес-кой кривизны почти контактных метрических многообразий класса С11, а также геометрический смысл обращения в нуль этих инвариантов.

Почти контактные метрические многообразия (короче, ЛС-многообразия) класса Сп в классификации Чинья и Гонзалеза [6] исследовались в работах [2]-[5]. Данный класс многообразий обобщает наиболее хорошо изученный класс косимплектических многообразий. В данной работе мы продолжим изучение данного класса многообразий и изучим некоторые воп-

54 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)

Рустанов А.Р. и др.

Геометрия тензора конгармонической кривизны...

росы геометрии тензора конгармонической кривизны.

Пусть м2n+1 - АС-многообразие класса Cjj . Тензор конгармонической кривизны АС-структуры в терминах компонент вычисляется по формуле [7]:

к )м = R‘kl+211 - s;sjk + gi — gjksi),

1) K =-

0a0b 2n — 1 ab

S ;

S 5a + S Sd =

2) K = R +—^~

abed abed 2n — 1

=Abacd+-^-( Abh+s dAeh; )

2n — 1

3) K =(S Sa — S Sa + S 5d — S Sb |=

abed 2П — 1 l bd be ae

= 1 M Abh —Sa Abh + Sb Aah — 5b Aah )

, , V5 eAdh 5 dAeh + 5 dAeh 5 eAdh f

(6) 2n — 1

(1)

где R jki - компоненты тензора римановой кривизны, Sk - компоненты тензора Риччи, gji - компоненты метрического тензора.

Как легко показать из (1), тензор конгармонической кривизны обладает всеми классическими свойствами симметрии тензора Рима-на-Кристоффеля.

Компоненты тензора Римана-Кристоффе-ля {R‘jkl} на пространстве присоединенной G-структуры АС-многообразия класса C11 имеют вид [2]:

1)Ra$ = ; 2)Ra $ =— A", (2)

bed bcd

а остальные компоненты нулевые. Компоненты тензора Риччи имеют вид:

s $ = s $ = Abe,

ab b a

(3)

остальные компоненты нулевые. В частности, скалярная кривизна c вычисляется по формуле [2]

Х = gj 2Abb = 2S $. (4)

aa

На пространстве присоединенной G-структуры матрица метрического тензора имеет вид:

1 0

0 0

0 In

0 2 In

у

0

(5)

где In - единичная матрица порядка п. Расписав компоненты тензора конгармонической кривизны на пространстве присоединенной G-структуры с учетом (2), (3), (5), получим, что на пространстве присоединенной G-структуры тензор конгармонической кривизны АС-многообразия класса C11 имеет следующие ненулевые компоненты:

плюс соотношения, полученные с учетом вещественности и свойств симметрии этого тензора как алгебраического тензора кривизны. Остальные компоненты тензора конгармонической кривизны равны нулю. Эти выражения (и им сопряженные) задают компоненты ненулевых основных конгармонических инвариантов АС-многообразия класса C11.

Скажем, что псевдориманово многообразие (м, g ) называется конгармонически плоским, если метрика g в некоторой окрестности каждой точки m е м допускает конгармоническое преобразование в плоскую метрику [7]. Хорошо известен геометрический смысл обращения в нуль тензора конгармонической кривизны псевдоримано-ва многообразия размерности свыше 3 - это равносильно конгармонической плоскости многообразия [7].

Пусть (м 2n+1 ,%,Ц, Р, g ) - конгармонически плоское АС-многообразие класса C11, т. е. компоненты его тензора конгармонической кривизны обращаются в нуль. а) Поскольку

K $

0а 0 b

1

2 n — 1

S $ =

ab

1

2n —1

A

be

= 0

у

то

s $ = Aac = 0. Таким образом, получили, что

конгармонически плоское АС-многообразие класса C11 является риччи-плоским многообразием.

То есть, доказана следующая теорема. Теорема 1. Конгармонически плоское АС-многообразие класса C11 является риччи-плос-ким многообразием.

б) Свернем равенство

K - - = —^-(s$ Sea — s$ Sda + Sdbs$ — Sebs$

abed 2 П — 1 l bd be ae ad

0 по

индексам a и c. Тогда после необходимых преоб-

ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184) 55

Физико-математические науки

s _ X яь _

разований получим sbd ~ 2(n - 2) d , т. е. АС-

многообразие класса C11 является многообразием Эйнштейна с космологической константой

е_______

£ 2 (п - 2)-

Теорема 2. Конгармонически плоское АС-многообразие класса Сп является многообразием Эйнштейна. в) Так как

K$ $ _ R$ $ +—1 S $5: + 8bs$ |_ abed abed 2 n -1 ^ bd ae J , в силу

_ < +^(+5 dA:h)_ о

2n -1

риччи-плоскости многообразия, получим R $ $ _ Л£ _ 0 .

abed

Теорема 3. Конгармонически плоское АС-многообразие класса C11 является плоским многообразием.

Исследуем геометрический смысл обращения в нуль основных конгармонических инвариантов АС-многообразия класса C11.

Сначала рассмотрим некоторые тождества на тензор конгармонической кривизны АС-многообразия класса C11.

1) Применим процедуру восстановления

K 0о: _-

1

2 n-1

тождества [1] к равенствам

K L _-

1

2 n-1

Aa0ee _ 0; Aabee;

1

K boa _--------— АГ _ 0

00a 2 n-1

т. е. K0oa _-“---- A-l,

2 n -1

получим

K (^£a )^_~T^ A(£ a )

2 n -1

где ото-

бражение a :X(M) ^ X(M) задается форму-

лой A(X)_ A^Xbe„ + AbXbC., Ab _ Abe.За-

a

метим, что оператор a • X(M ) ^ X(M ) обла-

1 )A(()_ 0; 2)n o A _ 0; дает свойствами. 3)А(/зХ)_ /зА(Х)

4)/з2 a(x)_-a(x) VXe x(m)

Т. к. [ea} является базисом подмодуля D/3-1 , а проектором на этот подмодуль является эндо-

морфизм п_оoI_-2( W-!/з) [1], то k(2X W-T/3X )_

_ -J--'a(x W-1/3X)vxe X(M). Выделяя действительную и мнимую части данного тождества, получим эквивалентные равенства. Поэтому выпишем только действительную часть, т. е.

к(p2x)=-2n!-TA(x)= (7)

_АтА(Х)vxe X(M)

2 n -1

Тождество (7) равносильно следующему тождеству

K(I,X) _ A-A(X)VX e X(M). (8)

2n -1

Определение 1. Скажем, что АС-многообразие класса C11 удовлетворяет первому дополнительному тождеству конгармонической кривизны или является многообразием класса К1, если тензор конгармонической кривизны удовлетворяет тождеству

K(,/з2X) _ 0,VX e X(M). (9)

Пусть АС-многообразие класса C11 является многообразием класса K1 , тогда согласно определению 1 имеет место равенство K(,/з2X) _ 0,VXe X(M). Поскольку

/з2 _ -id + п I, то тождество (9) равносильно тождеству K(|,X| _ 0,VX e X(M), которое на пространстве присоединенной G-структуры K0i0Xi _ 0. С учетом (6) последнее равенство $ запишется в виде:

K;bXb + Ka $ Xb _ 0. Полученное равенство 00b 00b

выполне-но тогда и только тогда, когда K a0b _ Ka $ _ 0. Согласно (6:1) последнее ра-

00b ae

венство равносильно соотношению Abe _ 0. С учетом (3) последнее равенство означает, что тензор Риччи равен нулю, т. е. многообразие является Риччи плоским.

56 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)

Рустанов А.Р. и др.

Геометрия тензора конгармонической кривизны...

Обратно, для Риччи плоского ЛС-многооб-разия класса C,, имеем, что К ооь — К $ — 0 . т.

^ 11 ^ 00b

е. многообразие является многообразием класса Kj.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 4. ЛС-многообразие класса C11 является многообразием класса Kj тогда и только тогда, когда ЛС-многообразие класса C11 является риччи-плоским многообразием.

2) Аналогично, применяя процедуру восстановления тождества к равенствам:

а) K

— 0 Kc — 0К

0 ab 0,К 0 ab °’К 0 ab

0,К c

0;

б) К0 . — 0,Кc . — 0,Кc . — 0;

0ab 0ab 0ab

в) к i—0,к a„s—0,к a„,—0,

получим тождества:

К ( X ,f32Y) — К (X ,f3Y ) — 0; К( f32 X )f32Y - К (fJf3X )f3 Y — 0; VX,Y e X(m )

3) Теперь распишем соотношения:

к 0 ■ — ~г~ г АЙ0;

«0 ь 2n — 1

Кc , — —

«0 ь 2 n 1

АХc — 0;

Кc , — —

«0 ь 2n 1

АХc — 0

(10)

т. е.

К$ — ■

1

АХ.

a 0 b 2n — 1

Последнее равенство запишем в виде

К(Х,£- ^a — ^ A(^a ),£'Х .

V ь ) 2n — 1 ь

Так как k } $ } образуют базис подпространств Df3"1 и 1, а проекторами модуля

Х(М ) на эти подпространства являются эндоморфизмы

К (—f32 X W—1f3X ) Y + yf—1f3Y )—

— A^— f32 x ^I1f3X ) )—If3^ Х;

VX,Y e X(m )

Полученное тождество равносильно следующему тождеству:

К (f32 X )f32Y + К (J3X )f3Y —

2 (a(x)yWx,Ye X(m).

(11)

2n — 1'

С учетом (10) последнее тождество запишется в виде:

K((f32 X )f32Y — K(X,f3X) Y —

2

2n — 1

A(x)YfcVX,Ye X(m). (12)

Назовем тождество (12) вторым дополнительным тождеством конгармонической кривизны АС-многообразия класса Сп.

Определение 2. Скажем, что ЛС-многооб-разие класса C11 удовлетворяет второму дополнительному тождеству конгармоничес-кой кривизны или является многообразием класса K2, если тензор конгармонической кривизны удовлетворяет тождеству.

К (, f32 X )2у — к(, f3X )Y — 0. (13)

Пусть ЛС-многообразие класса Сп является многообразием класса K2. Тогда, по определению 2, имеет место равенство К (, f3X )f3Y — 0. Последнее равенство на пространстве присоединенной G-структуры запишется в виде К j 0k (f3X )k (f3Y ) — 0 . С учетом (6) и вида матрицы Ф, последнее равенство за-

пишется в виде: К0 - XbYa + К0 XbYa — 0.

a0b a0b

Полученное равенство выполнено тогда и толь-К0 —К0 — 0

ко тогда, когда К $ _ К $ _ 0. Согласно (6:1)

a0b a 0b

полученные равенства равносильны соотноше-

п — a o / — — 1 (32 W—Гf3)

и п —ao / — 2 ((32 W—T/3),

то

нию А^С — 0 . Полученные соотношения согласно (3) означают, что многообразие является Риччи плоским.

Обратно, для Риччи плоского ЛС-многооб-

К0 —К0 — 0

разия класса C, имеем, что К $ _ К $ _ 0. т.

F 11 ’ a0b a 0b

ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184) 57

Физико-математические науки

е. многообразие является многообразием класса K 2.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 5. ЛС-многообразие класса C11 является многообразием класса K2 тогда и только тогда, когда ЛС-многообразие класса Сп является риччи-плоским многообразием.

Замечание 1. Из теорем 4 и 5 следует, что ЛС-многообразия класса K являются многообразиями класса K2.

4) Применяя процедуру восстановления тождества к соотношениям

к L = 0,K aCd = 0,K aCd = 0, получим тождество

K ( X, fs2Y ) Z - к(/з2 X ,f3Y )z -- к(х,f32Y)f3Z - K(X,f3Y)f32Z = 0; (14) VX,Y, Z e X(M)

5) Рассмотрим соотношения: , т. е.

к' $ = Abd +-±-(s( +8bA‘ ).

bed 2n - 1

Последнее соотношение запишем в виде:

K{£e ,£d У = ,£e ,£d ^ [с ^ ^ + ^ У A( e )[ .

Так как i£a ]{- ]образуют базис подпространств Dff-1 и Df3^“j, а проекторами модуля X(M) на a f f

эти подпространства являются эндоморфизмы

п = о o l = - 2 (f32 W-Tf3) и П = GO l = 2 (- ( W-Гf3), то

K (ф2 X + (ТФХ ,-Ф2 Y W-1ф Y )ф(Z + )ФХ )=

= А(Ф2 Z W-ТфХ, Ф2 X + V-TФX ,-Ф2 Y W-Гф Y) +

+ ^^ (ф 2 X + V-ГфХ ) A( Ф2 Z + 4-ТФZ ),-Ф2 Y + V-ТФ Yj +

+ ^—^ а(ф2X + V-ГфХ)(Ф2Z + V-^Z),-Ф2 Y + V-Тф Yj; VX, Y, Z e x(M).

Раскрывая по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим, что последнее тождество равносильно следующему тождеству:

K (ф2 X, Ф 2Y )2 Z + K (ф2 X, Ф Y ) - K (фX, Ф 2Y )z + K (ФХ , Ф Y )ф2 Z =

= А(Ф2 Z, Ф2 X, Ф2 Y) + a( Ф2 Z, ФХ, Ф Y) + A^Z, Ф2 X, Ф Y) - A^Z, ФХ, Ф2 Y) +

+^—^ {2 х( А(Ф2 z ), Ф {+ф2 {А( ФZ), Ф y^+фх( А(Ф2 z ), Ф y^ ]+

+^—^ {-фх( А( фх ), Ф{+А(ф2 х )(Ф2 z ), Ф 2y)+А(ф 2 х )(фх ), Ф^ ]

+ у^{фХ)(Ф2Z),{y)-Л(ФХ)(ФХ),Ф2y)} VX,Y,Ze X(M)

Используя свойства тензора A [3] и равенство ^f32 Z, f32 Y^ = (f3Z, fW'j

последнее тождество

можно переписать в виде:

58 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)

Рустанов А.Р. и др.

Геометрия тензора конгармонической кривизны...

K (ф2 X, Ф 2Y )2 Z + K (ф2 X, Ф Y ) - K (фХ, Ф 2Y )z + K (фу , Ф Y )ф2 Z =

= -4 A( Z, X, Y) + ^~^ { A( Z), y{2 X - {ф Z), Y )х - A(X ^Z, ф Y) - ф A(X )q(z, Y )}

VX, Y, Z ёХ(м ).

Полученное тождество с учетом (14) запишется в виде:

K ф2 X, ф 2Y )2 Z - K фх, ф 2y )z =

= -4A( Z, X, Y) + ^j- {a( Z), Y^ ф2 X - q(A( Z), y )x - A(x ^Z, ф y) - ф A(x )q(z, y )}

VX, Y, Z ёХ(м )

(15)

Назовем тождество (15) третьим дополнительным тождеством конгармонической

кривизны АС-многообразия класса Сп.

Определение 3. Скажем, что ЛС-многооб-разие класса Сп удовлетворяет третьему дополнительному тождеству конгармоничес-кой кривизны или является многообразием класса K3, если тензор конгармонической кривизны удовлетворяет тождеству

кф2 X, /32Y )2 Z - кфх, Z32Y )/3Z = 0;

VX, Y, Z e X(m ) (16)

Пусть (ф 2"+', |, n, /3, g ) является ЛС-мно-

гообразие класса C11, удовлетворяющее третьему дополнительному тождеству конгармоничес-кой кривизны, т. е. является многообразием класса K 3. Тогда согласно определения 3 имеем

K ф2 X, /32Y )/з2 Z - K фх, /32Y )z = 0; VX, Y, Z e X(M) .

На пространстве присоединенной G-структуры это равенство, с учетом (6) и вида матрицы

эндоморфизма Ф, примет вид: к ~ = 0,

т. е. < +5,'А" )= 0.

2 n -1

Свернем последнее равенство по индексам c и d, 2 n +1

тогда получим:

2 n -1

Abc = 0 . Отсюда,

Acc = 0. С учетом полученного равенства имеем: Aa = 0 . Таким образом, многообразие

класса K3 является плоским многообразием. И поскольку для плоского многообразия выполнено равенство кbed ~ 0 , то доказана следующая теорема.

Теорема 6. ЛС-многообразие класса C11 является многообразием класса K3 тогда и только тогда, когда ЛС-многообразие класса C11 является плоским многообразием.

6) Наконец рассмотрим соотношения: , т. е.

K.. = —!—

bed 2n -1

SUd -SeAa + SdbAh -8‘-АЦ

d h eh d

Полученное соотношение перепишем в форме:

K

ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184) 59

Физико-математические науки

Так как

fea} ^ } образуют баз

ис подпро- доморфизмы

к=о o i = - - ( W-T/3)

странств ДУ- и D-f~-,

а проекторами модуля

Ж=Оо I = 2 (- /З2 +yf-T/з),

Х(М) на эти подпространства являются эн- то

K (-Ф2 X + (TФХ ,-Ф 2Y + V—Тф Y )ф(Z +V—Тф Z )= у—-(-ф 2 х W-Гфх )(ф 2 z+V—T>z )-ф 2y W-Гф y^-

+

T—j- (- Ф2 Y W-Тф Y ) (ф 2 Z + V-Тф Z )-Ф2 х +V—Тфх ^ -^ А(-Ф2 X W-ТФХ )ф 2Z W-TФZ )-Ф 2Y + V—T>y)-

T— А(-Ф 2Y + V—T>Y ) 2 Z W-TФZ )-Ф2 X W-TФХ^;

VX, Y, Z g X (М )

2n -1

2n -1

2n -

Раскрывая по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим, что последнее тождество равносильно следующему тождеству:

K (ф2 X, Ф 2Y )ф2 Z)+ K (ф2 X, Ф Y )z)+ K (фХ, Ф 2Y )(ФZ)- K (ФX, ФY )ф2 Z )=

‘1Ф2 x(A(> 2 z ) ф 2y^+ф 2 x^A(>z) ф^->x^A(> 2 z )[ ф^ }+ j- {>X^ A (ФZ ) Ф2 Y J - А(ф 2 Y )> 2 Z, Ф2 х) - А(ф 2 Y )>Z, ФХ }+

-!-j-{A(>Y )ф 2 z, >Х - A(>y )>z, ф 2 X+А(ф 2 х )ф 2 z, ф 2Х}+

{а(ф 2 х )>z, ф X - А(фх )ф 2 z, ф X}+

-!-|-{А(фх )>z, ф 2Х-ф 2^А(ф 2 z ) ф 2 х^-ф 2y^A(>z ) фх^ }+

-T- {> ^А(ф2 Z)[ ФХ^ - Ф Y^A(>Z) Ф2х)} VX, Y, Z G X(M)

2n -1

2n -1 +

+

+

+

2n -1

Согласно (15), свойств тензора а и равенства (/з2Z, P2Y ''j = (/3Z, /X, последнее тождество можно переписать в виде:

K (ф2 X, Ф 2Y )ф2 Z)- K (ФХ, Ф Y )ф2 Z )=

- {2 x{z ) y^ - ф 2 y{z {{+>xo(a(z ) y )- ф yo(a(z ) х )}+

-{a(y )>z, >X - A(x )>z, >X+A(>2 x )ф 2 z, ф 2X}+ (17)

- { A(y )q(x, z )- ф A(x )q(y, z )} VX, Y, Z g x (m )

2n -1

2n-1

2n -1

60 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)

Рустанов А.Р. и др.

Геометрия тензора конгармонической кривизны...

Назовем тождество (17) четвертым дополнительным тождеством конгармонической кривизны АС-многообразия класса

с„.

Определение 4. Скажем, что ЛС-многооб-разие класса Сп удовлетворяет четвертому дополнительному тождеству конгармонической кривизны или является многообразием класса K4, если тензор конгармонической кривизны удовлетворяет тождеству

K (р2 X, /з2г))2 Z - K рХ, f3Y )2 Z = 0; VX, Y, Z е X(m) .

(18)

Пусть (м f з, g ) является ЛС-мно-

гообразием класса Сп удовлетворяющее четвертому дополнительному тождеству конгар-монической кривизны, т. е. является многообразием класса K4. Тогда его тензор конгармо-нической кривизны удовлетворяет тождеству (18), которое на пространстве присоединенной G-структуры запишется в виде:

к )и (з2 X ) (f32Y Z ) - K )kl (f3X )k (f3Y)l (f32 Z ) = 0 .

С учетом (6) и вида матрицы Ф, последнее равенство запишется в виде:

K XbYcZa + K..XbYcZa = 0. Получен-

abc abc

ное равенство выполнено тогда и только тогда, когда Kd = Kd-- = 0 . Согласно (6),

abc abc

K.. =—L-fS- Sca -S- 8°, + SdbS- -SbS. 1= 0 .

abcd 2H — 1 у bd bc ac ad J

Последнее равенство свернем сначала по индексам a и c, тогда --- { (п - 2)+SdS- J= 0.

2П - 1 L bd aa J

Из последнего равенства следует, что

Таким образом, имеем следующую теорему. Теорема 7. ЛС-многообразие класса C11, являющееся многообразием класса K 4 является многообразием Эйнштейна с космологической

константой равной

е = Х

Ь 2 (п - 2)

. В частности, в

случае полноты и связности оно компактно и имеет конечную фундаментальную группу. Теперь свернем равенство

1

2 п -1

=0,

т. е. S- (n 2)+ SdS- = 0 по индексам b и d,

bd aa

тогда получим 2(n - 1)Saa = 0 . Из последнего

равенства имеем: а) п = 1, т. е. dimM = 3 ; б)

S - = 0 . Из равенств S- (n - 2)+SdS- = 0

aa bd aa

и Saa = 0 следует, что либо п = 2 , т. е. dimM = 5 , либо Sab = 0, т. е. многообразие

является Риччи плоским многообразием.

Обратно, если ЛС-многообразие класса C11 размерности больше 5 является Риччи плоским

многообразием, то K abcd = 0, т. е. многообразие является K4 -многообразием.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 8. ЛС-многообразие класса C11 размерности больше 5 является K 4 -многообразием тогда и только тогда, когда оно является Риччи плоским многообразием.

Замечание 2. Поскольку тензор конгармо-нической кривизны обладает свойствами тензора кривизны, в частности,

Ka $ +Ka$ +Ka = 0

bc d c d b d cb

то из

Ka $ = 0

bc d

следу-

Sbd = 2(n -2)Sd , т. е. многообразие являет-

ся многообразием Эйнштейна с космологичес-

й й йе=_Х_

кой константой равной fc _

2(п - 2)

ет, что K - = 0 , т. е. многообразие класса K3

d cb 3

является многообразием класса K 4 .

Кроме того, мы имеем следующую теорему. Теорема 9. Тензор конгармонической кривизны ЛС-многообразий класса C11 обладает следующими тождествами:

ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184) 61

Физико-математические науки

1) к (, я2 x ) = --^- a (я2 x )=-J— A(X )

2n -1 2n -1

2) K(ф2X,Ф2Y) - K(ФХ,ФY) = 0;

3) K (ф2 X, Ф 2Y ) + K (ФХ, ФY ) = 0;

4) K (, Ф2 X ) 2Y - K (, ФХ ф = 0;

r\

5) K(,Ф2X)2Y + K(I,ФХ)&Y = ---(A(X), y)I;

6) K (, Ф2 X ) 2y = K (, фх Ф = 22T1{~A(x ) y)!;

7) K (2 X, Я2 Y )2 Z - K (2 X, /3Y )z - K (x , /з2 Y ) - K (X, /3Y )2 Z = 0;

8) K (ф2 X, Ф 2Y )ф2 Z - K (ФХ, Ф 2Y )z = -4A(Z, X, Y) +

2 Г/—

2n

- {(z), y) Ф2 x - q(A(z ), y )x - A(x )ФZ, Ф y) - Ф A(x )q(z , y )}

9) K (ф2 X, Ф 2Y )ф2 Z )- K (ФХ, ФY )ф2 Z ) =

= 2 x(A(z ) y) -Ф 2y(A(z ), x)+ фхп() y )^yq(A(z) x )+

^^-j-|A(Y (z, фх) - A(x )ФZ, Ф^+А(ф 2 x )ф 2 z , Ф 2y) }+

+ -

2n -1

{фA(Y)Q(x,Z)-ФA(X)Q(y,Z)} VX,Y,Z e X(M).

Список литературы

1. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квазисасакиевыхмногообразий. // Математический сборник, т. 193, №8, 71-100.

2. Рустанов А.Р., Щипкова Н.Н. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий класса С11. // Вестник ОГУ, №9 (115), сентябрь 2010, с. 65-68.

3. Рустанов А.Р., Щипкова Н.Н. Тождества кривизны многообразий класса С11. // Вестник ОГУ, № 6 (125), июнь 2011, с.

169-171. 11

4. Рустанов А.Р., Щипкова Н.Н. Геометрия тензора конциркулярной кривизны AC-многообразий класса С11. // Вестник ОГУ, № 9 (170), сентябрь 2014, с. 114-120.

5. Рустанов А.Р., Щипкова Н.Н. Геометрия тензора Вейля конформной кривизны AC-многообразий класса С11. // Актуальные проблемы математики и смежные вопросы. Материалы международной научной конференции «Мухтаровские чтения». 22-23 апреля. Махачкала, 2014, с. 89-96.

6. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures. // Annali di Matematica pura ed applicata (IV), v. CLVI, 1990, p. 15-36.

7. Ishii Y. On conharmonic transformations. // Tensor, 7(2), 1957, 73-80.

8. U.C. De, R.N. Singh, Shravan K. Pandey. On the Conharmonic Curvature Tensor of Generalized Sasakian-Space-Forms. // International Scholarly Research Network ISRN Geometry. Volume 2012, Article ID 876276, 14 pages doi:10.5402/2012/ 876276.

9. V.F. Kirichenko, A.A. Shihab. On the geometry of conharmonic curvature tensor for nearly Kahler manifolds. // journal of Mathematical Sciences, September 2011, Volume 177, Issue 5, pp 675-683.

10. Mohit Kumar Dwivedi,Jeong-Sik Kim. On Conharmonic Curvature Tensor in K-contact and Sasakian Manifolds. // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (2) 34(1) (2011), 171-180. http://math.usm.my/bulletin

11. V. F. Kirichenko, A. R. Rustanov, A. A. Shikhab, Geometry of the Conharmonic Curvature Tensor of Almost Hermitian Manifolds, Mat. Zametki, 2011, Volume 90, Issue 1, 87-103. http://www.mathnet.ru/eng/agreement

12. Ali Akbar, Avijit Sarkar, On the Conharmonic and Concircular curvature tensors of almost C(?) manifolds, International Journal of Advanced Mathematical Sciences (IJMSEA), 1:3 (2013), 134-138.

13. Ali A. Shihab. On the geometry of conharmonic curvtuar tensor of nearly kahler manifold. // Journal of Basrah Researches ((Sciences)) Volume 37. Number 4 C ((2011)), 39 - 48.

62 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)

Рустанов А.Р. и др._________________________Геометрия тензора конгармонической кривизны...

14. Ghosh Sujit; De U.C.; Taleshian A. Conharmonic Curvature Tensor on N(K)-Contact Metric Manifolds // ISRN Geometry;2011, Special section p1.

15. Харитонова С.В. Тензор конгармонической кривизны нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий // ВЕСТНИК ОГУ №12 (161)/декабрь“2013, 182 - 186.

Сведения об авторах:

Рустанов Алигаджи Рабаданович, доцент кафедры теории и истории социологии Московского педагогического государственного университета, кандидат физико-математических наук 142735, г. Москва, пр-т Вернадского, дом 88, тел.: (495) 4381845, e-mail: tsi@mpgu.edu

Герасименко Сергей Алексеевич, декан математического факультета Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, дом 13, корп. 20, тел.: (3532) 372530, e-mail: mf@mail.osu.ru

Щипкова Нина Николаевна, доцент кафедры геометрии и компьютерных наук Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, дом 13, корп. 1, тел.: (3532) 372539, e-mail: ais@mail.osu.ru

ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)

63