Геометричне застосування подвійного інтеграла з використанням команд пакету Maple Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК378.1 Доц. О.Ю. Чмир, канд. ф1з.-мат. наук; доц. О.О. Карабин,

канд. фЬ.-мат. наук - Львiвський ДУ безпеки життедшпьност1

ГЕОМЕТРИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ПОДВ1ЙНОГО 1НТЕГРАЛА З ВИКОРИСТАННЯМ КОМАНД ПАКЕТУ MAPLE

Обгрунтовано доцшьшсть поеднання сучасних шформацшних технологш та тра-дицшних методiв навчання пiд час викладання вищо! математики студентам технiчних спещальностей. Наведено приклади реалiзацií розв'язування деяких задач з роздшу "1н-тегральне числення функцiй багатьох змiнних" засобами програмного пакету Maple. З'ясовано необхщшсть глибокоí фундаментальноí пiдготовки з вищоí математики для оволодiння прийомами розрахунюв програмними засобами, за допомогою яких розв'язування складних задач спрощуеться.

Ключовi слова: шновацшш методи, програмнi засоби навчання, шформацшш тех-нологií, область штегрування.

Сучасне суспгльство ставить висою вимоги до молодих фахшщв, якГ завершили навчання у вищих навчальних закладах. Техшчний прогрес значно ви-переджуе сучасну нащональну освтау. У Нацюнальнш доктрин! розвитку освгга на чшьному мкщ стойъ теза, що освГта е визначальним чинником полтаично!', сощально-економГчно!', культурно!' та науково! життедаяльноста суспгльства. В УкраМ потрГбно забезпечувати прискорений, випереджальний шновацшний розвиток освгга, а також створювати умови для розвитку, самоствердження та самореалГзацп особистоста протягом життя [1]. Знания, здобута в процес навчання у вищш школ1, повинт мати утверсальний, фундаментальний характер. Особа - молодий фах1вець використовуючи здобутий багаж знань, повинен вмь ти адаптуватись до нових умов. Цього можна досягнути лише здобуттям фунда-ментальних знань, з яких можна видшити все необхщне для свое!' дгяльностГ Досягнути такого рiвия знань можна завдяки впровадженню в навчальний про-цес освiтнiх технологiй в поеднанш iз традицiйними методами навчання. У На-цiональнiй доктрииi розвитку освтаи зазначено, що прiоритетом розвитку освгги е впровадження iнформацiйно-комунiкацiйних технологiй, що забезпечують дальше вдосконалення навчально-виховного процесу, доступшсть та ефектив-нкть освтаи, шдготовку молодого поколшня до життедгяльноста в шформа-цшному сустльствГ [1].

У педагопчнш науцi е дуже багато наирямш у дослiдженнi проблеми вировадження iнновацiйних технологiй в навчальний процес. Багато досль джень спрямоваш на проблеми iнновацiйних технологiй в загальноосвташх навчальних закладах. Проблема впровадження iнформацiйних технологiй в навчальний процес вищо!' школи також не залишена поза увагою. Зокрема, в робота [2] розглянуто суть поняття "Гнноваидя" i подано окремi iнновацiйнi методи навчання у вищш школГ, якГ стосуються лекцшних занять. Проте iнновацiйнi технологи е неможливими без використання сучасних техшчних i ирограмних за-собГв. Саме в роботах [3] та [4] порушена проблема створення високотехноло-пчного шформацшно-комушкацшного середовища, в якому мае знаходитись сучасний студент. У робота [3] визначено новий клас педагопчного програмного забезпечення математичних дисциилш - мобшьне математичне середовище, основною складовою якого е обчислювальне ядро (математичний пакет). Таке

навчальне середовище значно актив1зуе навчальний процес, унаочнюе його, пришвидшуе процес розв'язування задач на практичних заняттях, проте вимагае дорогого обладнання, наявностД шд час лекцц достатньо! кДлькостД комп'ютери-зованих робочих мДсць.

У роботД [5] обгрунтовано доцшьшсть використання пакета Mathcad для розв'язування прикладних математичних задач, наведено приклад програмно! реалДзацл. Такий шдхвд до використання програмних засобДв е найбшьш дДевий i зручний, оскДльки не потребуе значних матерДальних затрат, а набуття студен-тДв знань i навичок використання прикладних математичних пакетДв е одним iз найбiльш перспективних шляхДв пiдвищення якостД та ефективностi навчально-го процесу.

Але поряд iз цим всi щ сучасш засоби навчання не будуть дiевими без глибоких базових знань дисциплши, до яко! застосовуються щ технологи. Метою нашо! роботи е показати тДсний взаемозв'язок традицшних методДв навчання Дз методами, якД використовують сучасш програмш обчислювальнД пакети. Вивчення вищо! математики у вищому навчальному закладД передбачае наяв-нДсть мДцних базових знань зД шильного курсу математики, а застосування прикладних математичних пакетов потребуе вДд студенпв вмДння розв'язання задач аналДтичними методами, прикладний пакет дае змогу студенту, який вмДе розв'язати задачу, бачить шлях ц вирДшення, спростити громДздкД обчислення, побудувати графДки, побудувати модель задачД. Покажемо на кДлькох прикладах, що використання програмних пакетДв потребуе глибокого розумшня методов з курсу вищо! математики.

Розглянемо приклад знаходження плошд фДгури, обмежено! лДнДями

8

x2 = 4y, y = —— (локон АньезД). x2 + 4

Побудуемо графДк фДгури, площу яко! будемо обчислювати. 3i тыльного курсу математики вДдомо, що перше рДвняння зображуеться параболою, а для побудови криво!', що зображае друге рДвняння, треба провести повне дослДджен-ня функцп, використовуючи такий роздДл з курсу вищо! математики, як " Дифе-ренцДальне числення функцп одше! змшноГ. Студент, який знае, що необхДдно зробити, може уникнути громДздко! роботи, застосувавши команди пакету Maple. Для побудови областД штегрування потрДбно знайти точки перетину лшш, тобто розв'язати систему рДвнянь

x2 = 4y, = 8 IУ = x2 + 4.

ВмДння знаходити розв'язки тако! системи рДвнянь, а отже, i точки перетину лшш, входить в межД шильно! програми. На допомогу знаючому студен-товД приходить пакет Maple. Вводимо ряд команд:

> restart;

> eqnl :={ xA2-4*y = 0, y - 8/(xA2 + 4) = 0}:

> solve (eqnl, {x, y});

натискаемо J.

Внаслвдок одержуемо координати точок перетину цих лшш

(x = 2, у = 1}, (x = - 2, у = 1}, (у = - 2, x = 2 RootOf (_Z + 2)} Зауважимо, що першi два результати - це дайсш розв'язки системи piB-нянь, а тpетiй - це розв'язок, який отримуеться з piвняння x2 + 8 = 0, що виникае пiд час розв'язування системи. Як бачимо, використання програмного пакету потребуе не тальки знати хвд розв'язування задачi, а й вмiння прочитати одержа-нi результати. Тепер побудуемо гpафiки функцiй. Для цього введемо команди

> with (plots):

> implicitplot ({xA2-4*y = 0,у - 8/(xA2 + 4) = 0}, x = - 2.2,у = - 5.5, linestyle = 25, color = black);

та натискаемо J. Отримуемо графiчне зображення системи piBMHb.

Рис. 1. Графiчне зображення системи piB^Hb

Для обчислення площ отримано! ф^ури потpiбно перейти ввд подвшно-го iнтегpала до повторного, розстававши правильно межi iнтегpування, а цього програма Maple зробити не зможе. Тому студентовi потpiбно знати основш по-няття з курсу математичного аналiзу щодо обчислення подвшних iнтегpалiв. Засво!вши теоретичний та практичний курс вищо! математики, студент зможе швидко та якiсно продемонструвати та пеpевipити сво! знания на комп'ютер^ ввiвши такi команди в пакета Maple:

> with (student):

> Doubleint (1,у = xA2/4. 8/(xA2+4), x = - 2.2);

Пiсля цих команд натискаемо J. Ц команди визначають такий под-вiйний iнтегpал:

8

2 x2+4

II 1 dуdx.

-2 Ix2

4

Вводимо команду

> simplify (value (")); та натискаемо J. Отримуемо число 2л - 4/3, що е пло-

щею задано! фiгури.

Розглянемо ще одну задачу з курсу вищо! математики, яка полягае в зна-ходженш об'ему тала, обмеженого поверхнями: x = 0, у = л, у = x, z = cos(x + у).

Зобразити такий просторовий об'ект зможе та особа, яка володie крес-лярськими здiбностями. У такiй ситуацií пакет Maple приходить на допомогу викладачу. Для побудови поверхш введемо ряд команд:

> with (plots):

> A1 :=plot3d([(u),(v),(cos(u + v))], u = O.Pi, v = u. Pi, axes = normal):

> A2:=plot3d([(u),(v),(0)], u = O.Pi, v = u. Pi, axes = normal):

> A3:=plot3d([(o),(u),(v)], u = O.Pi, v = O.cos(u), axes = normal):

> A4:=plot3d([(u),(Pi),(v)], u = O.Pi, v = 0. - cos(u), axes = normal):

> A5:=plot3d([(u),(u),(v)], u = O.Pi, v = O.cos(2*u), axes = normal):

> display ({A1, A2, A3, A4, A5}, labels = [x, y, z], scaling = constrained, linestyle = 15, color = black, labelfont = [TIMES, BOLD, 14]);

натискаемо J. Отримуемо зображення шуканого тша:

Рис. 2. Зображення просторового тгла в пакетг Maple

Зауважимо, що командою А1 описуемо верхню частину поверхнi, А2 -нижню частину, A3 - проекцiю поверхню на площину zOy, А4 - проекцию по-верхнi на площину y = p, А5 - проекщю поверхнi на площину y = x. Причому, треба розумiти як змiнюються межi змiнноí y.

Як бачимо, за побудовою, двi частини поверхш знаходяться в першому октантi, а одна частина - у п'ятому октанп. Розб'емо поверхню на три частини i знайдемо об'ем кожно1 з них. Тодi V = V1+ V2 + V3.

Для побудови першо1 частини поверхш необхвдно знайти лiнiю перетину з площиною xOy. Розв'язуючи тригонометричне рiвняння cos(x + y) = O за

умови, що O<x,y<p, одержуемо y = pp-x та y = f -x. Для зручностi побу-

p p

дуемо першу частину поверхш, де O < x < —, x < y <--x, O < z < cos(x + y). За-

уважимо, що межа по змшнш x = — виникае при перетинi двох прямих y = x та

y = p- x. Вводимо команди: 2

> restart:

> with (plots):

> A1

> A2

> A3

> A5

=plot3d([(u),(v),(cos(u+v))], u=O.Pi/4, v=u. Pi/2-u, axes=normal): =plot3d([(u),(v),(O)], u=O.Pi/4, v=u. Pi/2-u, axes=normal): =plot3d([(O),(u),(v)], u=O.Pi/2, v=O.cos(u), axes=normal): =plot3d([(u),(u),(v)], u=O.Pi/4, v=O.cos(2*u), axes=normal):

> display ({A1, A2, A3, A5}, labels = [x, y, z], scaling = constrained, linestyle = 15, color = black, labelfont = [TIMES, BOLD, 14]); HaracKaeMO J. OTpHMyeMO nepmy nacTHHy noBepxHi:

Рис. 3. Перша частика просторового тЫа, побудована в пакет{ Maple

Обчислимо об'ем фиури за допомогою пакета Maple, ввшши ряд команд, для опису яких обов'язково треба знати область тегрування (рис. 3).

> with (student):

> V_1:=Doubleint (cos(x+v), у=x. Pi/2-x, x = 0.Pi/4); натискаемо J. Ц команди дають змогу обчислити такий подвшний iнтеграл:

1 1

—ж—ж—х 4 2

V _1 = J J cos(x + у) dуdx

За допомогою команди

> simplify (value (")); натиснувши J, одержуемо результат штегрування - ве-

11 личину ——--.

4 2

У пакет Maple юнуе команда, яка дае змогу обчислювати потршш штег-рали. Для 11 використання треба чiтко уявляти область тегрування i правильно виставити межi змiнних iнтегpування.

> V_1 :=Tripleint (1, z = 0.cos(x + у), у = x. Pi/2 - x, x = 0.Pi/4);

та натискаемо J. Ц команди дають змогу обчислювати такий потршний ш-теграл:

11

-— -—-x , . 4 2 cos^+у)

V _1 = j j j 1 dzddx

Для одержання результату вводимо команду

> simplify (value ("")); та натискаемо J. Одержуемо такий самий результат

11 ———. 42

Побудуемо другу частину поверхш. Зауважимо, що область в площиш

. — 3—

xUу утворюеться при пеpетинi чотирьох прямих: у = x, у = — - x, у = —- x,

у = —. Зобразимо цю область за допомогою пакета Maple. Вводимо команди:

> restart:

> with (plots):

0

x

0

0

л

> inequal ({x+y>=Pi/2, x+y<=3*Pi/2, y<=Pi, y>=x}, x =0.4, y =0.4, labels=[x, y], labelfont = [TIMES, BOLD, 14], optionsfeasible = (color = gray), optionsclosed = (color = black, thickness = 3), optionsexcluded = (color = white)); натискаемо J. Одержуемо рис. 4.

Рис. 4. Область у площит xOy другог частини просторового тгла, побудована в пакетг Maple

З рис. 4 видно, що для обчислення об'ему область штегрування noipi6ro

розбити в на три обласп, правильш в напрямку ос Ох: p p

Di: 0<x< —,--x<y < p;

1 4 2 pp

D2: —< x < —, x < y <p;

2 4 2

n . p < < 3p < < 3p

D3: —< x < —, x < y <--x.

2 2 2

Пiсля всього описаного вище побудуемо другу частину фiгуpи.

> restart:

> with (plots):

> A11 :=plot3d([(u),(v),(cos(u+v))], u = 0.Pi/4, v = Pi/2 - u. Pi, axes = normal):

> A12:=plot3d([(u),(v),(cos(u+v))], u = Pi/4.Pi/2, v = u. Pi, axes = normal):

> A13:=plot3d([(u),(v),(cos(u+v))], u = Pi/2.3*Pi/4, v = u.3*Pi/2 - u, axes = normal):

> A21:=plot3d([(u),(v),(0)], u = 0.Pi/4, v = Pi/2 - u. Pi, axes = normal):

> A22:=plot3d([(u),(v),(0)], u = Pi/4.Pi/2, v = u. Pi, axes = normal):

> A23:=plot3d([(u),(v),(0)], u = Pi/2.3*Pi/4, v = u.3*Pi/2 - u, axes = normal):

> A3 :=plot3d([(0),(u),(v)], u = Pi/2.Pi, v = 0.cos(u), axes = normal):

> A4:=plot3d([(u),(Pi),(v)], u = 0.Pi/2, v = 0. - cos(u), axes = normal):

> A5:=plot3d([(u),(u),(v)], u = Pi/4.3*Pi/4, v = 0.cos(2*u), axes = normal):

> A99:=spacecurve ([u, u,0], u = 0.Pi, color = red, thickness = 3):

> display ({A11, A12, A13, A21, A22, A23, A3, A4, A5}, labels = [x,y, z], scaling = constrained, linestyle = 15, color = black, labelfont = [TIMES, BOLD, 14]); та натискаемо J. Матимемо

Рис. 5. Друга частина просторового тгла, побудована в пакетг Maple

З рис. 5 видно, що ця частина просторово! ф^ури знаходиться у п'ятому октант!, тому з теорй' математичного аналiзу обчислений iнтеграл треба взяти за абсолютною величиною i тодi одержимо об'ем друго! частини просторового ттла. > with (student): > V_2: =Doubleint (cos(x+y),у = Pi/2 - x. Pi, x = 0.Pi/4) + Doubleint (cos(x+y), у = x. Pi, x = Pi/4.Pi/2) + Doubleint (cos(x+y), у = x.3 *Pi/2 - x, x = Pi/2.3*Pi/4); та натискаемо J. Bei щ команди виражають суму подвшних iнтегралiв:

1 1 3 3

—п —п -n—n-x

4 п 2 п 4 2

V _2 = J J cos(x + y)dydx + J J cos(x + yyfydx + J J cos(x + y)dydx

0 -n-x -nx -n x

2 4 2

Для одержання числового значения вводимо команду

> abs (simplify (value (")));; Ta HaTHCKaeMO J. Ogep^yeMO pe3ynbTaT +1

ÄHarorinHO öygyeMO TpeTro nacTHHy noBepxHi.

> restart:

> with (plots):

> A1 :=plot3d([(u),(v),(cos(u+v))], u = 3*Pi/2 - v.v, v = 3*Pi/4.Pi, axes = normal):

> A2:=plot3d([(u),(v),(0)], u = 3*Pi/2 - v.v, v = 3*Pi/4.Pi, axes = normal):

> A4:=plot3d([(u),(Pi),(v)], u= Pi/2.Pi, v = 0. - cos(u), axes = normal):

> A5:=plot3d([(u),(u),(v)], u = 3*Pi/4.Pi, v = 0.cos(2*u), axes = normal):

> A99:=spacecurve ([u, u,0], u = 0.Pi, color = black, thickness = 3):

> display ({A1, A2, A4, A5, A99}, labels = [x, y, z], scaling = constrained, linestyle = 15, color = black, labelfont = [TIMES, BOLD, 14]);

Ta HaTHCKaeMO J. Togi

Рис. 6. Третя частина просторового тгла в пакетг Maple

Знаходимо об'ем частини просторового тша, зображеного на рис. 6. > with (student):

> V_3:=Doubleint (cos(x+y), х = 3*Pi/2 -y .y,y = 3*Pi/4.Pi);

та натискаемо J. Ц команди визначають iнтеграл

p y

V _3 = J J cos(x + y)dxdy

3 3

—p — p- y

4 2

Одержуемо числове значення -^p-1 за допомогою команди

4 2

> simplify (value (")); та J.

Додамо отримаш об'еми й одержимо V = V + V2 + V3 = p.

Зауважимо, що Bci рисунки у пакетi Maple можна побачити з рiзних ра-курав, притримуючи клавiшу мишки на рисунку та протягуючи ïï в той чи ш-ший бiк. Це е дуже зручно для розумшня як виглядае той чи шший рисунок з тих ракyрсiв, ят не можливо вiдобразити на дошщ маючи тiльки крейду. У цьому випадку варто використовувати мультимедшш засоби.

Як бачимо з наведених прикладш, застосування програмних засобiв мо-же здайснювати лише той студент, який мае грунтовну теоретичну i практичну пiдготовкy не тiльки з математики, а й з шформатики. Ц дв дисциплiни повин-нi бути ткно пов'язанi в навчальному процесс Використання в навчальному процесi засобiв iнформацiйних технологiй iстотно розширюе можливосп по-дання навчального матерiалy та полегшуе роботу стyдентiв у вщповвдному на-yково-освiтньомy просторi навчання, але поряд iз цим вимагае ввд студента гли-боких, фундаментальних знань з дисциплiни, до яко1 застосовуеться програм-ний пакет, а ввд викладача - вмiння поеднати сучасне i фундаментальне в навчальному процесс

Лiтература

1. Нацюнальна доктрина розвитку осв™. - К. : Вид-во "Либщь", 2002. - 16 с.

2. Стеблюк С.В. 1нновацшш технологи навчання в вищш школ1 / С.В. Стеблюк // Науковий вюник Ужгородського надiонального университету : зб. наук. праць. - Сер.: Педагаогжа. Сощ-альна робота. - 2011. - Вип. 20, № 20. - С. 141-146.

3. Триус Ю.В. Мобiльнi математичш середовища: сучасний стан та перспективи розвитку / Ю.В. Триус, К.1. Словак, С.О. Семершов // Науковий часопис НПУ îm. М.П. Драгоманова. - Сер.: 2. Комп'ютерно-ор1ентован1 системи навчання : зб. наук. праць. - Сер.: Педагогша. - К. : Вид-во НПУ îm. М.П. Драгоманова. - 2011. - № 12(19). - С. 102-109.

4. Триус Ю.В. Комп'ютерно-ор1ентоваш методичш системи навчання математичних дисциплин у ВНЗ: проблеми, стан i перспективи / Ю.В. Триус // Науковий часопис НПУ îm. М.П. Драгоманова : зб. наук. праць. - Сер.: 2. Комrïютерно-орiштоваm системи навчання / Педрада. - К. : Вид-во НПУ îm. М.П. Драгоманова. - 2010. - № 9(16). - С. 16 -29.

5. Сжора Я.Б. Використання шформацшно-комунжацшних технологий в систем приклад-но'1 математично'1 подготовки майбутшх фахгвщв з шформатики / Я.Б. Сшора // 1нформацшш технологи i засоби навчання : зб. наук. праць. - 2011. - № 1, т. 21. [Електронний ресурс]. - Доступ-ний з http://www. journal.itta.gov.ua.

Чмыр О.Ю., Карабын О.А. Геометрическое применение двойных интегралов с использованием команд пакета Maple

Обоснована целесообразность сочетания современных информационных технологий и традиционных методов обучения при преподавании высшей математики студентам технических специальностей. Приведены примеры реализации решения некоторых задач из раздела "Интегральное исчисление функций многих переменных" средствами

программного пакета Maple. Показана необходимость глубокой фундаментальной подготовки по высшей математике для овладения приемами расчетов программными средствами.

Ключевые слова: инновационные методы, программные средства обучения, информационные технологии, область интегрирования.

Chmyr O.Yu., Karabyn O.O. Geometric applications of double integrals using the commands of packet Maple

In the article a combination of modern information technology and traditional teaching methods in the teaching of Mathematics to students of technical specialties are considered. Examples of solving some problems from the section "Integral calculus of functions of several variables" by means the software package Maple are demonstrated. The need for deep fundamental training in higher mathematics to master the methods of calculations by software are showing.

Keywords: Innovative methods, software training, information technology, region of integration.

УДК 656.13 Ст. викл. Д.В. Руденко; курсант ОД. Лагодюк -

Львiвський ДУ безпеки життeдiяльностi

ПОБУДОВА МОДЕЛ1 РОБОТИ ЛОГ1СТИЧНО1 СИСТЕМИ З МЕТОЮ ПОКРАЩЕННЯ ТЕХН1КО-ЕКОНОМ1ЧНИХ ПОКАЗНИК1В РОБОТИ АВТОТРАНСПОРТУ

Запропоновано критерш ефективност функщонування лопстично! системи - очь куваний фшансовий результат дае змогу враховувати втрати учасниюв системи в1д ¡м-мобшзаци кашталу. Розглянуто схему лопстично! системи на стадн розподшу товарш. Побудова модел1 роботи лопстично! системи дае змогу визначити параметри роботи системи, за яких досягаеться максимум очшуваного фшансового результату. З точки зо-ру використання транспортних технологш доставки товар1в, пропонуеться використо-вувати показник транспортна привабливють канал1в розподшу товар1в.

Ключовi слова: транспортна система, витрати лопстично! системи.

Вступ. Розгляд автотранспорту як пiдсистеми лопстично! системи вияв-ляе конфлiкти мiж критерiями ефективностi пiдсистем. Так, планування роботи логiстичноí системи за критерieм мiнiмум витрат спричинюеться до таких кон-флiктiв: зменшення витрат на транспорт призводить до збiльшення складських витрат, зменшення витрат на упаковку призводить до збшьшення витрат на транспорт i iнше [7].

Розвиток ринкових вiдносин призводить до яккно! i кiлькiсноí змiни пiдприемств автомобшьного транспорту; змiнюеться роль окремих технологш перевезень вантажiв. Виникае необхiднiсть в отриманш нових наукових знань з питань взаемодп автомобiльного транспорту з шшими видами транспорту i шд-системами логiстичною системи [3, 5-7, 9, 12, 13]. У мiру розвитку економiчних вiдносин дедалi бшьш актуальним стае визначення ролi державних i приватних структур в робоп i розвитку логiстичноí системи (зокрема транспорту) [9].

Виклад основного матерiалу. Роботу автомобiльного транспорту ощ-нюють технiко-експлуатацiйними показниками [8]. Анатз лiтературних джерел свiдчить, що iснуючi закономiрностi роботи автотранспорту в системах розподшу товарiв вщображають вплив технiко-експлуатацiйних показникiв на про-