Геометрические свойства однородного изотропного Вакуума Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. №19 (310)

Физика. Вып. 17. С. 66-71

ВАКУУМ И ГРАВИТАЦИЯ

А. В. Клименко, В. А. Клименко

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНОГО ИЗОТРОПНОГО ВАКУУМА

Показано, что в отсутствие обычных форм материи существует семь типов решений, описывающих в рамках общей теории относительности (ОТО) геометрические свойства однородных изотропных трёхмерных пространств. Решение уравнений ОТО, описывающее динамику однородной изотропной Вселенной, в предельном случае исчезающе малого влияния обычной материи на метрические свойства пространства-времени, должно переходить в одно из них.

Ключевые слова: космология, общая теория относительности, уравнения Эйнштейна, Л-член, вакуум.

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе рассматриваются геометрические свойства Вакуума. Термином «Вакуум» обозначаем идеализированную однородную изотропную Вселенную, в которой отсутствует обычные формы материи: «барионная компонента», состоящая из электронов, протонов и нейтронов; «релятивистская компонента», состоящая из фотонов и нейтрино; а также «тёмная материя», состоящая из частиц, физическая природа которых пока понятна не вполне [1; 2].

Геометрические свойства четырёхмерного пространства-времени описываются метрикой

Лв2 = д^уЛх^Лх4. (1)

Метрические коэффициенты д^у являются функциями пространственно-временных координат ха = (х0, х1, х2, х3) (см., например, [3-6]). В основе ОТО лежит гипотеза о взаимосвязи гравитационного поля и метрических свойств пространства-времени. Функции д^у дают описание этого поля.

В основополагающей работе «Основы общей теории относительности» (1916 г.) [8] Эйнштейн показал, что уравнения, описывающие гравитационное поле в вакууме (областях пространства, свободных от обычных

форм материи), могут быть записаны в виде

х д^В = °ї (2)

где X — некоторая константа; д^В^ = В — след тензора Эйнштейна В^; В^ — симметричный тензор, полученный свёрткой из тензора кривизны Римана Ярот:

В^ = Я°оу- (3)

Тензор В^ может быть записан в виде

В\1У = 2 Яд^> (4)

где — тензор Риччи, а Я — его след (см.,

например, [3-6]). Тензор Риччи имеет вид

дГа дГа

я = дГ + га гв — Гв Га (5)

дХа дХ + Г^Гав Г^а1ув- (5)

Символы Кристофеля Г^ определяются формулой

^ = давГв,^ =

= 2 дав / ддв£ + ддві _ дд^Л (6)

2 \ дху дх^ дхв / -

Эйнштейн полагал, что с выбором уравнений гравитационного поля в виде (2) связан минимум произвола, поскольку, кроме В^, нет другого тензора 2-го ранга, который был бы составлен из метрического тензора

д^ и его производных, не содержал бы производных более высокого порядка, чем второй, и был бы линейным относительно последних.

Эйнштейн считал (см, [8]), что уравнения (2) для гравитационного поля в вакууме сводятся к уравнениям

В^ = 0.

(7)

Я(1 + 4Х) = 0.

(8)

Значение коэффициента перед параметром X равно четырём и это связано с четырёх-мерностью пространства-времени. Из (8)

следует, что при всех X = —0, 25, скалярная кривизна четырёхмерного пространства-времени Я равна нулю и уравнения (2) приводятся к стандартным уравнениям Эйнштейна для вакуума

я; = о.

(9)

В общем случае это не так. При выполнении (7) уравнения (2) выполняются автоматически. В тоже время не все решения уравнений (2) являются решениями (7). В случае однородных изотропных пространств возможны два решения уравнений (7). Первое описывает плоское однородное трёхмерное стационарное пространство, расстояние между любыми точками которого остаётся постоянным. Второе — кривое открытое однородное трёхмерное пространство, радиус кривизны которого увеличивается (уменьшается) со скоростью света. В настоящей работе покажем, что уравнения (2) для Вакуума имеют и другие решения.

Пространства в Вакууме рассматриваем как предельный случай пространств реальной Вселенной, заполненных обычной материей при стремлении её плотности к нулю. В этом случае решения, описывающие однородные изотропные пространства в Вакууме, являются предельными для решений, описывающих динамику однородных изотропных пространств Вселенной. В связи с этим важно знать свойства этих предельных решений.

2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.1. Космологические уравнения Фридмана

Используя соотношение (4), находим, что след тензора Эйнштейна В = —Я, где Я — след тензора Риччи. Учитывая это, из уравнений (2) находим

В тоже время, как видно из (8), при X = —0,25 пространство-время в вакууме может иметь скалярную кривизну Я отличную от нуля. Это означает, что при X = —0,25 могут существовать решения уравнений (2), не являющиеся решениями уравнений (9).

Покажем, что скалярная кривизна Я в вакууме не может быть переменной величиной. Взяв ковариантную производную от левой части уравнения (2) и учитывая, что

Я _ 1Я 8!

И О и

0

(см., например, [1; 3]), находим

дЯ дхи

0.

(10)

(11)

Это означает, что при X = —0, 25 скалярная кривизна четырёхмерного пространства-времени Я в вакууме хотя и может быть не равной нулю, но является постоянной величиной. В тоже время отметим, что это вовсе не означает, что кривизна соответствующего трёхмерного пустого пространства остаётся постоянной.

В случае, когда скалярная кривизна Я отлична от нуля, используя обозначение

Л = _1 Я,

4

(12)

уравнение (2), учитывая (4), запишем в виде

Я! _ 1Я 8И и о и

Л8И-

(13)

Это уравнение является уравнением Эйнштейна с Л-членом для вакуума. Константа Л называется космологической постоянной (см., например, [4; 7]). Эйнштейн трактовал Л-член как описывающий неустранимую кривизну пространства-времени. В настоящей работе мы придерживаемся этой точки зрения.

Найдём решения уравнений (2) для Вакуума. Предполагаем, что в рассматриваемом случае соответствующие трёхмерные пространства являются однородными и изотропными.

Для описания геометрии однородных изотропных нестационарных трёхмерных пространств удобно исходить из геометрической аналогии, рассматривая эти пространства как однородные и изотропные трёхмерные гиперповерхности в четырёхмерном пространстве (см., например, [3]). Геометрия этих трёхмерных однородных изотропных пространств определяется параметром k, а также масштабным фактором а, который часто называют радиусом кривизны.

Параметр k может принимать три значения: k = -1, 0, +1. При k = +1, -1, 0 реализуются случаи трёхмерных пространств положительной, отрицательной и нулевой кривизны, соответственно. В нестационарных пространствах радиусы их кривизны а изменяются во времени. Метрику четырёхмерного пространства-времени, соответствующую рассматриваемым трёхмерным пространствам, можно записать в виде

ds2 = c2dt2 — (I.)

—a2(t) {dx2 + f (x)(d02 + sin2 0 dф2)} , ( )

где

!sin2 x при k = +1,

sh2 x при k = —1, (15)

x2 при k = 0

(подробности см., например, в [3; 4]).

Используя метрику (14), уравнения (2) стандартным образом преобразуем в космологические уравнения Фридмана:

Формула, определяющая скалярную кривизну Я четырёхмерного пространства-времени через масштабный фактор а(і), имеет вид

R—-

б

с2 а2

(kc2 + ай + а2).

(19)

2.2. Трансформационные свойства уравнений Фридмана

Отметим, что уравнения Фридмана (16), (17) не меняются при преобразованиях вида: а ^ _а; і ^ _і; і ^ і + Ді, где Ді -константа. Этот результат является ожидаемым, поскольку в уравнение (14), которое определяет метрику пространства, масштабный фактор а(і) входит в квадрате, а время і не входит явно.

3. ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ТРЁХМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВАКУУМА

3.1. Плоское трёхмерное стационарное пространство

При к = 0 и значении параметра X = 0, решением уравнений (16), (17), удовлетворяющим условию (18), является функция

а — а0 — const.

(20)

Это решение описывает стационарное плоское трёхмерное пространство, расстояние между любыми точками которого остаётся постоянным. Скалярная кривизна Я четырёхмерного пространства-времени в этом случае равна нулю.

а2

„ , „ kc2\ „, (а2 kc2 а .

3 ( ~тт +-) + бХ ( ~тт +-;т---1-) — О,

а2 а2 а2 а2 а

й a2 kc2

а2 kc2 а

(16)

2—I—2 +----2" +6Х I —2 I-2—I— ) — О. (17)

а а2 а2 а2 а2 а

Уравнения (16), (17) совместны при выполнении условия

3.2. Плоские трёхмерные инфляционные пространства

Кроме стационарного решения (20), при значении параметра X = —0, 25 уравнения (16), (17) для плоского трёхмерного пространства имеют нестационарные решения

а^) — а0 exp ( ±— t0

йа - а2 - kc2 — О.

(1В) где а0 — ct0, t0 — свободный параметр.

Решения со знаком плюс описывают экспоненциально расширяющиеся, а со знаком минус сжимающиеся плоские пространства. Функции (21) не являются решениями стандартных уравнений Эйнштейна (9). Они являются решениями уравнений Эйнштейна с Л-членом (13). Взаимосвязь между характерным временем £о и космологической постоянной Л определяется формулой

Л

3

,2+2 '

с2 і

(22)

Согласно решениям (21), относительные скорости сближения (разлёта) точек этих трёхмерных пространств могут быть сверхсветовыми.

Замечание. В настоящей работе факт экспоненциальной расходимости масштабного фактора а(і) определяем словом инфляция.

4. ОДНОРОДНЫЕ КРИВЫЕ ТРЁХМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВАКУУМА

При значении параметра X = _0, 25 трёхмерные однородные пространства могут быть не только плоскими, но и кривыми. Параметр к, определяющий тип геометрии этих пространств, может принимать значения +1 и _1.

При к = +1 кривое трёхмерное однородное изотропное пространство имеет конечный объем и является замкнутым. Кривые однородные трёхмерные пространства бесконечного объёма являются открытыми и описываются метрикой (14), в которой параметр к = _1. Найдем решения уравнений (16), (17), соответствующие случаям к = _1, X = _0, 25 и к = +1, X = _0, 25.

4.1. Открытые однородные трёхмерные кривые пространства

4.1.1. Равномерно расширяющееся (сжимающееся) открытое пространство

При к = —1 условие (18) выполняется, если радиус кривизны

а(£) = И .

Функция (23) описывает равномерное расширение (сжатие) однородного трёхмерного открытого кривого пространства со скоростью света. Она удовлетворяет уравнениям (16), (17) в случае, когда скалярная кривизна Я = 0, а, следовательно, значение космологической постоянной Л = 0.

4.1.2. Осциллирующие трёхмерные пространства

Кроме решений (23), при к = —1 имеются и другие решения уравнений (16), (17), удовлетворяющие условию (18). Они описывают осциллирующие однородные трёхмерные открытые кривые пространства. Эти решения имеют вид

а(£) = ат

і

81П — £і

(24)

где атах = с £ 1, £1 — свободный параметр. Имеется бесконечное множество таких решений. Они отличаются амплитудами атах и периодами колебаний Т = п £1.

В случае, когда радиус кривизны а определяется формулой (24), скалярная кривизна

Я=

12

> 0,

космологическая 2

(25)

постоянная (24) явля-

Л = —3/атах < 0. Решения ются вполне физичными. Остаётся лишь понять физический смысл Л-члена.

4.1.3. Открытые инфляционные пространства

При к = —1 и Л > 0 решения, описывающие открытые однородные пространства, имеют вид

а = а2

вИ — £2

(26)

где а2 = с £2, £2 — свободный параметр. Космологическая постоянная Л и характерное время £2 связаны соотношением

(23)

Л

3

22

с2 і

(27)

и

2

а

а

4.1.4. Особая точка решений

Все три типа решений, описывающие открытые однородные трёхмерные пространства, содержат точку а = 0. Значение а = 0 является допустимым в решениях уравнений Фридмана (16), (17). В тоже время не совсем ясно, что происходит с пространством при а, обращающемся в ноль. Возможно, что в этот момент происходит уничтожение пространства и рождение нового. Полагаем, что в этом случае естественно продолжать решение далее, предполагая, что «новое» пространство продолжает эволюцию «старого».

4.2. Замкнутые инфляционные трёхмерные однородные пустые пространства

При к = +1 уравнения (16), (17) имеет решения

а — атт СЬ Г- , (28)

где ат;п = £3с, £3 — свободный па-

раметр. Область существования решений: —то < £ < +то. Они удовлетворяют начальным условиям

а(0) = атщ, а(0) = 0. (29)

Согласно (28), замкнутые однородные трёхмерные пространства, рождаясь в бесконечности, сжимаются до некоторого минимального объёма, а затем, обратимым образом расширяясь, снова уходят на бесконечность. В любой момент времени £ объём трёхмерного пространства конечен и определяется формулой:

V = 2 п2а3(£) (30)

(см., например, [3]). Функция (28) является решением уравнений (16), (17) лишь при значении параметра X = —0, 25. Недостаток решений (28) заключается, как и в случаях (21) и (26), в их экспоненциальной расходимости, а вследствие этого, сложности физической интерпретации этих решений. Скалярная кривизна пространств, описываемых решениями (28):

12

Я =-----< 0. (31)

а2

тт

Соответствующее значение космологической постоянной Л = Э/а^ш > 0.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ

Показано, что ОТО допускает возможность существования семи типов решений, описывающих геометрические свойства однородных изотропных трёхмерных пространств Вакуума. Они могут быть не только плоскими, но также кривыми, открытыми и замкнутыми. Характер эволюции этих пространств схематично изображён на рисунке.

Динамика этих пространств описывается функциями:

1) a(t) = ао = const;

2) a(t) = а0 exp(t/t0), t0 = а0/с;

3) a(t) = а0 exp(—t/t0);

4) a(t) = amax |sin(t/ti)|, ti = amax/c; (32)

5) a(t) = |ct| ;

6) a(t) = a2 |sh(t/t2)|, t2 = a2/c;

7) a(t) = amin ch(t/t3), t3 = amin/c.

Решения уравнений ОТО, описывающие динамику однородной изотропной Вселенной, в предельном случае исчезающе малого влияния обычных форм материи материи на метрические свойства пространства, должны переходить в одно из перечисленных выше решений, описывающих динамику однородных трёхмерных пространств Вакуума.

Считаем, что физически интересными среди них являются решения 1, 4 и 5, не являющиеся инфляционными (см. рисунок). Полагаем, что правильный учёт влияния материи на свойства пространства-времени может устранить особенность в точке а = 0, присущую решениям 4 и 5.

Плоские (а), кривые открытые (Ь), и кривые замкнутые (с) пространства.

ЗАМЕЧАНИЯ

1. Термин «вакуум» широко используется в научно-технической литературе и имеет много различных смыслов. Приведём некоторые из них. Технический вакуум — разреженный газ. Физический вакуум — состояние квантового поля, соответствующее минимуму его энергии. Эйнштейновские ваку-умы — решения уравнений ОТО для пустого, без обычной материи пространства. Введённый в работе термин «Вакуум» — это краткое обозначение однородных изотропных эйнштеновских вакуумов.

2. Решения, записанные в настоящей работе, описывают геометрические свойства однородного изотропного Вакуума. Эти же решения могут быть интерпретированы и как описывающие свойства Вакуума, заполненного двумя видами вакуумных форм материи: тёмной энергии и гравитационнонейтральной материи (см. [9]). Согласно последней интерпретации, Вакуум не бывает пустым.

В ОТО физика и геометрия тесно взаи-

мосвязаны. Обе интерпретации дополняют друг друга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Горбунов, Д. С. Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего большого взрыва / Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков. М.: ЛКИ, 2008.

2. Чернин, А. Д. Тёмная материя и всемирное антитяготение // УФН. 2008. Т. 178, №3. С. 267-300.

3. Ландау, Л. Д. Теория Поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц М.: Наука, 1988.

4. Зельдович, Я. Б. Строение и эволюция Вселенной / Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. М.: Наука, 1975.

5. Вайнберг, С. Гравитация и космология. М. : Платон, 2000.

6. Мизнер, Ч. Гравитация : в 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн, Д. Уиллер. М.: Мир, 1977.

7. Эйнштейн, А. Вопросы космологии и общая теория относительности // Собр. науч. тр.: в 4 т. Т.1. М.: Наука, 1965.

8. Эйнштейн, А. Основы общей теории относительности // Собр. науч. тр. : в 4 т. Т. 1. М. : Наука, 1965.

9. Клименко, А. В. Вакуумные формы материи / А. В. Клименко, В. А. Клименко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19(310). Физика. Вып. 17. С. 72-77.