Геометрическая модель трехпараметрического семейства эллипсоидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М. В. Кретов

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ЭЛЛИПСОИДОВ

Рассмотрено трехпараметрическое семейство эллипсоидов в трехмерном аффинном пространстве со специальными геометрическими свойствами. Построена геометрическая модель этого многообразия.

A three-parametrical family of ellipsoids in three-dimensional affine space with special geometric properties is considered. A geometrical model of this manifold is constructed.

Ключевые слова: комплекс, эллипсоид, характеристическая точка, фокальное многообразие, аффинное пространство, асимптотическая линия, репер, цилиндрическая поверхность, трехпараметрическое семейство.

Ключевые слова: complex, ellipsoid, characteristic point, focal manifold, affine space, asymptotic line, frame, cylindrical surface, three-parametrical family.

Продолжается исследование трехпараметрических семейств (комплексов) эллипсоидов в трехмерном аффинном пространстве, рассмотренных в работе [1].

Исследование проводится в каноническом репере R = {A, e^ e2, e3}, где A — центр эллипсоида q; векторы e1, e2 и e3 направлены по тройке сопряженных диаметров эллипсоида, а концы их A{, i, j, k = 1, 2, 3 лежат на эллипсоиде. Деривационные формулы репера R запишутся в виде

dA = ю'ei, det = ajei, причем формы Пфаффа ю', ю' удовлетворяют уравнениям структуры

Dai = юк люк, Daj = юк люк.

Уравнение эллипсоида q запишется в виде

F = (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 0.

© Кретов М. В., 2014.

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 4. С. 163—167.

164

М. В. Кретов

В работе [1] изучены комплексы К3, в которых на эллипсоиде ц имеются по крайней мере три характеристические точки [2] А, которые не лежат на одной прямой и на одной плоскости, проходящей через центр, если прямая, проходящая через центр и одну из точек Аь описывает цилиндрическую поверхность.

В настоящей работе исследуются трехпараметрические семейства (комплексы) К3 эллипсоидов — подклассы многообразия К0, когда асимптотические линии на поверхности (А1) являются координатными и при движении точки А по поверхности касательная на индикатрисе вектора е2 параллельна плоскости (А, е1, е2).

Система уравнений Пфаффа комплекса К30 имеет следующий вид [1]: ю‘ = -ю1, ®2 = 0, юЗ = аю2 + Рю3, ю3 = 0, ю3 = Рю2 + ую3, ^

= Хю3 -ю3, ю3 = (ХЬ - 1)ю2 + Ью3.

Для этого многообразия имеют место формулы

йе 1 = -ю1е1, йе2 = (аю2 +Рю3)е 1 -ю2е2 + (ХЬ - 1)(Хю2 + ю3)е3,

(2)

йе3 = (Рю2 + ую 3 )е 1 + ((ХЬ - 1)ю2 + Ью3)е2 -ю3 е 3,

йА1 = ю2е2 + ю3е3, йА2 = (ю1 + асо2 + Рсо3)е1 + ХюЗе3, йА3 = (ю1 + Рю2 + ую3)е 1 + Ь(Хю2 + ю3)е 2.

Обозначим через 11 и 12 асимптотические линии на поверхности (А1), ассоциированной с К 3, задаваемые уравнениями ю2 = 0 и ю3 = 0 соответственно.

Теорема 1. Комплексы К3 существуют и определяются с произволом одной функции одного аргумента.

Доказательство. Используя формулы (2), находим асимптотические линии на поверхности (А1), ассоциированной с комплексом К0 :

а(ю2)2 + 2Рю2 о3 + у(о3)2 = 0.

Из определения К3 следует, что а = у = 0. Тогда в системе (1) ю2 = Рю3, ю3 =Рю2. Замыкая эти уравнения, получим й 1пР = Вт3 + Ш1 +ю2—2ХЬт2, где В = 1 - 2ХЬ. Из формул (2) и определения комплекса К3 следует X = 0. Тогда система дифференциальных уравнений Пфаффа К3 примет вид

ю" = —ю", ю2 = = 0, ю2 = Рю3, ю3 = Рю2, ю2 = —ю3, (3)

ю3 =—ю + Ью , й 1пР = ю +ю + ю .

Чистое замыкание [3] этой системы состоит из одного уравнения

йЬ лй3 — 2Ью2 лю3 = 0. (4)

Система (3) —(4) в инволюции и ее решение определяется с произволом одной функции одного аргумента. □

Теорема 2. Комплексы эллипсоидов К3 имеют геометрические свойства:

1) прямая I = (А2, ег) неподвижна;

2) при движении точки Аг вдоль асимптотической линии 12 прямая т = (Аа, е2) и координатная плоскость (А, ег, е2) неподвижны, а векторы ег и е2 смещаются параллельно сами себе;

3) на поверхности (Аг) направление ю2 + ю3 = 0 сопряжено направлению ю2 — ю3 = 0;

Геометрическая модель трехпараметрического семейства эллипсоидов

4) поверхность (А3) - цилиндрическая с образующей, параллельной прямой Ь, причем касательная к этой поверхности в точке А3 параллельна координатной плоскости (А, еа, е2);

5) точка Р = А2 - Рег неподвижна при движении точки Аг по асимптотической линии 11 при ю1 = 0;

6) смещение точки А3 при переходе с одной образующей цилиндрической поверхности (А3) на другую происходит в направлении вектора е2.

Доказательство. 1) Имеем

йе1 = -ю1 е 1, йе2 =Рю3е 1 -ю2е2 -ю3е3, йе3 =Рю2е1 + (-ю2 + Ью3)е2 -ю3е3. (5)

Пусть Мг = А2 + Х1е1 — текущая точка прямой Ь = (А2, ег). Тогда йМ1 = (йХ1 + (1 - X 1)ю1 +Рю3)е1.

2) Пусть М2 = Аг + Х2е2 и М3 = А + Х1е1 + Х2е2 — текущие точки соответственно прямой т = (Аа, е2) и координатной плоскости (А, e1, е2). Тогда, используя формулы (5), получаем

йМ2 =РХ2 ю3 е1 + (йХ2 + (1 - Х2 )ю2 )е 2 + (1 - Х2 )ю3 е3,

йМ3 = (йХ1 + (1 - Х1 )ю1 + РХ2 ю2 )е: + (йХ2 + (1 - Х2 )ю2 )е2 + (1 - Х2 )ю3 е3.

При движении точки Аг вдоль асимптотической линии 12 эти формулы принимают следующий вид:

йМ2 = (йХ2 + (1 - Х2 )ю2 )е2, йМ3 = (йХ1 + (1 - Х1)ю1 +РХ2ю2)е1 + (йХ2 + (1 - Х2 )ю2 )е2, откуда следует неподвижность прямой т при движении точки А1 вдоль асимптотической линии 12.

Из формул (5) непосредственно вытекает, что в этом случае векторы е! и е2 смещаются параллельно сами себе.

3) Из определения многообразия К3 следует, что асимптотические линии поверхности (Аг) задаются уравнением ю2ю3 = 0, которое равносильно (ю2 + ю3)2 - (ю2 - ю3)2 = 0, откуда ясно, что направление ю2 + ю3 = 0 сопряжено направлению ю2 - ю3 = 0.

4) Имеем йА3 = (ю1 + Рю2)е! + Ью3е2. Уравнение асимптотических линий поверхности (А2) принимает вид (ю3)2 = 0. Из этих формул следует, что поверхность (А3) — цилиндрическая с образующей, параллельной прямой Ь, а касательная к этой поверхности в точке А3 параллельна координатной плоскости (А, е1, е2).

5) Из формул (5) и (3) получаем йР = (ю1 - Рю2^, откуда и следует соответствующее утверждение теоремы.

6) Последнее утверждение теоремы непосредственно вытекает из формулы йА3 = (ю1 + Рю2)е! + Ью3е2. □

Теорема 3. Фокальное многообразие [2] эллипсоида ц, ассоциированного с комплексом К3, состоит только из трех точек Ау А2 и А3.

Доказательство. Фокальное многообразие эллипсоида ц, ассоциированного с комплексом К3, задается следующей системой уравнений: (Х1)2 - Х1 = 0, (Х2)2 - Х2 - РХгХ3 + Х2Х3 = 0,

(Х3)2 - Х3 - РХХ + (1 - Ь)Х2Х3 = 0, (Х1)2 + (Х2)2 + (Х3)2 - 1 = 0.

165

М. В. Кретов

Эта система уравнений имеет четыре решения, два из которых совпадают. Этой системе удовлетворяют координаты точек Ах, А2 и А3 причем последняя точка является двукратной [4] фокальной точкой. □

Приведенные в теореме 2 свойства позволяют построить геометрическую модель многообразия К3, то есть дать его безынтегральное представление [5]. Для того чтобы построить комплекс эллипсоидов К 3, необходимо задать в трехмерном аффинном пространстве следующие геометрические образы:

1) произвольную прямую I;

2) произвольные точки Е и О на прямой I;

3) произвольную цилиндрическую поверхность ст с образующей, параллельной прямой I.

Для выбора цилиндрической поверхности сначала задаем плоскость, а на ней выбираем направляющую цилиндрической поверхности.

Проведем следующие построения:

1) на цилиндрической поверхности ст выбираем произвольную точку А3, в которой проведем касательную плоскость щ к поверхности ст;

2) через прямую I проводим плоскость щ2, параллельную плоскости щх;

3) проводим в плоскости щ2 через точку Е прямую т;

4) в плоскости щ2 выбираем точку А, не инцидентную прямым I и т. В пересечении с прямыми т и I получим соответственно точки Ах и А2.

Эллипсоид ц с центром в точке А, ассоциированный с комплексом К3, определяют инцидентные ему точки Ау А2 и А3, касательные прямые I и т и касательная плоскость п1.

При движении точки А в плоскости щ2 получается двухпараметрическое семейство эллипсоидов ц. При этом векторы ех и е2 смещаются параллельно себе. Точка А3 смещается по образующей цилиндрической поверхности таким же образом, как точка О по прямой I, а при переходе с одной образующей цилиндрической поверхности на другую точка А3 смещается на величину, равную сумме смещения точки А2 и величины, пропорциональной смещению точки А1 с коэффициентом, равным расстоянию от точки О до точки А2.

При вращении плоскости щ2 вокруг прямой I получается трехпараметрическое семейство эллипсоидов ц, которое назовем комплексом К3 .

Докажем, что всякий комплекс Кз является комплексом К3, и, наоборот, всякий комплекс К3 — это комплекс Кз Для этого отнесем комплекс К3 к реперу {А, е;), начало которого выбрано произвольно на плоскости щ2, векторы ех и е2 сопряжены и параллельны соответственно прямым I и т, а вектор е3 сопряжен векторам ех и е2, и конец его лежит на цилиндрической поверхности ст.

Прямая I задана уравнениями X3 = 0, X2 = 1. Из условия неподвижности этой прямой следует, что «3 = 0, «3 = -«3, «2 = 0, «2 = -«2. Касательная плоскость щ параллельна векторам ех и е2, поэтому «3 = -«3. Замыкая последнее уравнение, получим «2 = -ю2 + Ь«3.

Геометрическая модель трехпараметрического семейства эллипсоидов

Прямая m определяется уравнениями X3 = 0, X1 = 1. Так как эта прямая неподвижна при движении точки А1 вдоль асимптотической линии l2, то с»1 = —»1, »2 = fa»3. Замыкая последнее уравнение, находим, что с»3 = k»2 + у»3, dk = k»1 + k»2 + т»3.

Пусть точка D = А2 + ße1, тогда dD = (dß + (1 — ß)»1 + k»3)e1. Точка A3 смещается по образующей цилиндрической поверхности ст таким же образом, как точка D по прямой L, поэтому dß = ß»1 + k»2 + тю3. По построению точка D смещается на величину, равную сумме смещения точки А2 и величине, пропорциональной смещению точки A1 с коэффициентом, равным расстоянию от точки D до точки А2. Значит, dD » =0 = (| dA2|) + ß| dA1|)e1, откуда dß = ß»1 + ß»2 + ц»3.

Из двух формул для dß следует, что »3 = ß»2 + (ц —т)»3. Сравнивая последнюю формулу с формулой »3 = k»2 + у»3, получаем k = ß.

Таким образом, »2 = ß»3, »3 = ß»2 +у»3, dß = ß»1 + ß»2 + т»3. Отсюда и из уравнения dß = ß»1 + ß»2 + ц»3 вытекает, что ц = т, а значит, »3 = ß»2.

Используя 5-е утверждение теоремы 2, получаем т = ß.

Следовательно, система уравнений Пфаффа комплекса К3 имеет следующий вид:

= —»', »2 = »3 = 0, »2 = ß»3, »3 = ß»2, »2 = —»3,

»2 = —»2 + b»3, d ln ß = ra1 + »2 + »3,

то есть системы уравнений Пфаффа комплексов К3 и К3 совпадают, а значит, геометрическая модель многообразия К3 построена правильно.

Список литературы

1. Кретов М. В. Комплексы эллипсоидов в аффинном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1979. Вып. 11. С. 41 — 47.

2. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в и-мерном проективном пространстве // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Т. 6. С. 113 — 133.

3. Малаховский В. С. Некоторые проблемы дифференциальной геометрии многообразий фигур // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1974. Вып. 6. С. 64— 84.

4. Малаховский В. С. Индуцировано оснащенные многообразия фигур в однородном пространстве // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Т. 6. С. 319—334.

5. Кованцов Н. И. Безынтегральное представление некоторых специальных классов комплексов // Математический сборник. М., 1956. Т. 38, № 1. С. 107—128.

Об авторе

Михаил Васильевич Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: kretov1@mail.ru

About the author

Dr Michail Kretov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: kretov1@mail.ru