CC BY
65
2015 Дискретные модели реальных процессов № 1(27)
УДК 519.856, 519.854.3
ГЕНЕРАЦИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОРИСТОЙ СТРУКТУРЫ С ПОМОЩЬЮ ТОТАЛИСТИЧЕСКОГО
КЛЕТОЧНОГО АВТОМАТА1
А. Е. Киреева
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
г. Новосибирск, Россия
Описывается двухслойный тоталистический клеточный автомат, позволяющий генерировать компьютерное представление пористых сред со сложной неоднородной морфологией. Двухслойный клеточный автомат представляет собой композицию двух клеточных автоматов: тоталистического (первого слоя) и асинхронного (второго слоя). Наличие второго слоя даёт возможность формировать сложные неоднородные структуры, похожие на наблюдаемые в природе. Для анализа формируемых структур в процессе моделирования вычисляются численные характеристики: пористость, перколяция, процент единичных (заполненных) клеток, на основании которых может быть выбран пористый материал с нужной морфологией.
Ключевые слова: тоталистический клеточный автомат, параллельная композиция клеточных автоматов, активатор, ингибитор, устойчивые структуры, пористые среды.
GENERATION OF POROUS MEDIA COMPUTER REPRESENTATION BY TWO-LAYER TOTALISTIC CELLULAR AUTOMATON
A. E. Kireeva
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, Novosibirsk,
Russia
E-mail: [email protected]
In the paper, two-layer totalistic cellular automaton allowing to generate porous materials computer representation is presented. Two-layer cellular automaton is constructed as a parallel composition of a totalistic cellular automaton and an asynchronous cellular automaton. The second layer gives an opportunity to form complex inhomogeneous structures similar to a patterns emerging in natural phenomena. The investigation aims to create a method for porous media morphology synthesis according to a given set of properties such as porosity, percolation, density, etc. Two-layer totalistic cellular automaton allows to obtain a set of patterns representing different porous media morphology. In addition, a porous medium characteristics such as percolation degree, porosity, the number of connected components are calculated and can be used for the analysis and selection of materials with necessary morphology.
Keywords: totalistic cellular automaton, parallel composition of cellular automata, activator, inhibitor, porous media, stable patterns.
1 Работа поддержана грантом РФФИ №14-01-31425 мол-а.
Введение
Пористые материалы — это твердые тела, содержащие в своем объёме свободное пространство в виде полостей, каналов и пор. Исследование пористых материалов представляет интерес для многих областей науки и техники. В промышленности пористые материалы применяются в качестве фильтров, теплоизоляционных материалов, катализаторов и осушителей. По сравнению с плотными материалами пористые структуры являются более износоустойчивыми и могут подвергаться воздействию более высоких и низких температур, благодаря чему они эффективно используются в автомобиле- и самолётостроении. Кроме того, пористые материалы являются незаменимыми в медицине и фармацевтике для изготовления имплантов, повязок, протезов и других инновационных биотехнологических продуктов. Эффективность применения материалов зависит от их пористых характеристик: диаметра и объёма пор, наименьшего сквозного диаметра, проницаемости, распределения пор, гидрофобности и гид-рофильности пор. Важно также знать, как структура вещества может меняться при внешнем воздействии, например при влиянии температуры и давления.
Компьютерное моделирование позволяет конструировать виртуальные пористые материалы с различной морфологией, исследовать их и подбирать образцы с нужными характеристиками. Однако построение неоднородных пористых сред со сложной морфологией сопряжено с определёнными трудностями, так как пористые среды — это сложная нерегулярная система сообщающихся пустот, трещин и каверн, в которой трудно выделить отдельные поровые каналы. В простых случаях для описания пористых сред часто используют идеализированные модели, например представление среды в виде множества шаров и трубок различного диаметра. Для конструирования пористых материалов со сложной морфологией более эффективным является клеточ-но-автоматный (КА) подход.
КА-метод получения компьютерного представления пористых сред [1] основан на формировании устойчивых структур в результате эволюции КА. В основе КА-моделей структурообразования [2-4] лежит активаторно-ингибиторный механизм, описанный в [5-7]. Суть этого механизма заключается в том, что новые состояния клеток вычисляются в зависимости от взвешенной суммы состояний соседних клеток. Такие КА называются тоталистическими (ТКА). Для создания компьютерного представления пористых сред со сложной неоднородной морфологией в работе предлагается использовать двухслойный ТКА, который позволяет формировать устойчивые структуры, сходные с реальными паттернами, возникающими в природе.
Целью работы является разработка двухслойной ТКА-модели процессов струк-турообразования, позволяющей генерировать компьютерное представление пористой среды, а также исследование зависимости морфологии генерируемой среды от значений активаторов и ингибиторов.
В п. 1 приводятся определения ТКА и двухслойного ТКА. В п. 2 представлены устойчивые структуры, формирующиеся в результате эволюции ТКА в двумерном и трёхмерном случае, приведены примеры компьютерного представления пористых сред для различных значений активаторов и ингибиторов, а также описаны характеристики пористых сред, вычисляющиеся в течение эволюции КА.
1. Двухслойный тоталистический клеточный автомат 1.1. Определение т о т а л и с т и ч е с к о г о клеточного автомата
ТКА, согласно [2, 8], определяется следующими понятиями:
^ТОЛ = (АТОЛ) ХТСА, ©тол(1)
где Атсл — алфавит состояний клеток; Х—сл конечное множество имён клеток, определяющих координаты клеток в дискретном пространстве; вТсл — локальный оператор, задающий правила изменения состояний клеток; V — режим функционирования клеточного автомата.
Каждая клетка КА определяется парой (а,х), где а € АТСл — состояние клетки; к € Х^сл — имя клетки. Множество клеток, не содержащее клеток с одинаковыми именами, называется клеточным массивом П. Алфавит состояний ТКА булев: АТсл = {0,1}. Множество имён Х^сл в двумерном случае (^ = 2) представимо в виде решётки Х|сл = {(г,]) : г = 1,... , М^] = 1,... , М^}, а в трёхмерном (^ = 3) — в виде куба Х^сл = {(г,.7, к) : г = 1,..., М^, = 1,..., М^, к = 1,..., Мк}. На множестве имён Х^сл задаются именующие функции ^ : Х^сл ^ Х^сл, определяющие для клетки х € Х^сл одного из её соседей. Конечное множество именующих функций называется шаблоном соседства Ттсл(х). Далее в качестве шаблона соседства используется квадрат К х К клеток в двумерном случае и куб К х К х К в трёхмерном случае:
Ттсл(х) = {х} и {х + а : а € ЫК/2],... , 0,... , |К/2]}^}.
Локальный оператор вТсл(х) определяется на основании активаторно-ингиби-торного механизма формирования структур; он вычисляет новое состояния клетки х в зависимости от взвешенной суммы состояний соседних клеток (и к, (х)), к = 1,..., |Ттсл(х)|, по следующей формуле:
|Ттса(х)|
, . ° если 5(х) = Е ик ^ В втсл(х) : (и, х) ^ (и , х), где и = \ д=о
1 иначе.
Здесь и>к — это элементы матрицы весов Ш, |Ш| = |Ттсл (х)|. Константа В € К — порог функции з(х), далее в экспериментах используется В = 0. Весовые коэффициенты и>к € Ш принимают положительные и отрицательные значения. Положительные коэффициенты играют роль активаторов (р), а отрицательные — ингибиторов (п). Активаторы отвечают за распространение и рост устойчивых структур, а ингибиторы являются фактором, сдерживающим их рост.
Применение локального оператора Отсл(х) ко всем клеткам х € Хтсл называется итерацией. Далее используются синхронный (а) и асинхронный (а) режимы применения локального оператора вТсл(х) к клеткам массива. При синхронном режиме для вычисления новых состояний клеток используются состояния, полученные на предыдущей итерации, и только после применения вТсл(х) ко всем клеткам массива х € ХТсл их состояния одновременно изменяются. При асинхронном режиме локальный оператор применяется к случайно выбранным клеткам массива, сразу же изменяя их состояния, таким образом, новые состояния клеток вычисляются от состояний, полученных на предыдущей и на текущей итерациях.
Множество состояний всех клеток х € ХТсл на ¿-й итерации называется глобальной конфигурацией клеточного массива П(£). Последовательность глобальных состояний
Е(П) = П(0),... , n(i),... , n(ifin), полученная в результате итеративного функционирования КА, называется эволюцией, П(0) —это исходное состояние клеточного массива, Q(t) —состояние массива на t-й итерации, fin —число итераций.
1.2. Определение двухслойного т о т а л и с т и ч е с к о г о
к л е т о ч н о г о а в т о м а т а
Двухслойный тоталистический КА является однонаправленной параллельной композицией двух КА [9]: тоталистического Ktca и асинхронного КА второго слоя K2l:
Ks = T(Rtca, N2l).
Между множествами имён X2l и Xtca определяется взаимно-однозначное соответствие: XTca = Y(X2dL), |XTcaI = |X2l|. Состояния клеток Ktca зависят не только от состояний их соседних клеток, но и от состояний клеток второго слоя K2l.
В результате исследования эволюции двухслойного ТКА при различных K2l в качестве второго слоя выбран КА «Лесной пожар» (Forest fire) [10], так как в общем случае эволюция этого КА имитирует пространственно-неоднородное динамически изменяющееся распределение трёх произвольных веществ: химических реагентов, молекул либо атомов.
КА-модель распространения огня в лесу, описанная в [10], определяется следующими понятиями:
«2L = (A-2L, X2l, ©2L, а).
Алфавит состояний клеток A2l = {0,1, 2}, где 0 — это свободный участок поверхности, 1—дерево, 2 — горящее дерево. Режим функционирования — асинхронный. Шаблон соседства T2L(y) = {y + a}, где a — вектор сдвига: a G {(-1, 0), (0,1), (1, 0), (0, — 1)} для d =2 и a G {(—1, 0, 0), (1, 0,0,), (0, —1, 0), (0,1, 0), (0, 0, —1), (0, 0,1)} для d = 3. Локальный оператор 02L(y) вычисляет новое состояние клетки y по формуле
Ö2L(y):(v,y) ^ (г/,y),
{0, если v = 2,
1, если v = 0 & randi < Pt,
2, если v = 1 & 3(vfc, ^k(y)) (vfc = 2, ^k(y) G X2L) & rand2 < Pf.
Здесь (y) G T2L(y) определяет для клетки y одну из соседних клеток, выбираемых равновероятно по шаблону T2l (y); rand1, rand2 G R — случайные числа в интервале (0, 1); Pf и Pt — вероятности самовозгорания и появления дерева соответственно.
Тоталистический КА Ktca = (Atca,XTca, ©Tca,v) определяется аналогично (1), за исключением локального оператора ©Tca (х) , который вычисляет новые состояния клеток в зависимости от коэффициентов, являющихся функцией f (vk) от состояний клеток K2L:
{|Ttca(x)|
0, если Е f (vkН ^ k=0
1 иначе.
Здесь vk — состояние k-й клетки с именем y = 7(х) для х G Ttca(х) С Xtca.
Функция f (vk) используется следующая:
N (1) — N (2)
. -:-:-, если wk > 0 (активатор),
f (vk) = { |Ttca| (2)
wk, если wk ^ 0 (ингибитор),
где N(1) и N(2) — количества клеток у = 7(х) с состояниями V = 1 и V = 2 соответственно, х € Ттсл(х).
2. Генерация компьютерного представления пористой среды с помощью двухслойного тоталистического клеточного автомата 2.1. Устойчивые структуры, формируемые с помощью тоталистического клеточного автомата НТсл Основными параметрами, влияющими на эволюцию НТсл, являются начальное состояние клеточного массива П(0), значения весовых коэффициентов ид € Ш и размер шаблона соседства К.
В качестве начального состояния П(0) в вычислительных экспериментах используются следующие глобальные конфигурации:
— П1: одна клетка с состоянием и =1 в центре клеточного массива, состояния остальных клеток — нулевые;
— случайное равномерное распределение клеток с состоянием и =1 с вероятностью РП1;
— П3: случайное неравномерное распределение клеток с состоянием и = 1. Клеточный массив делится на т € N частей, в каждой из которых задаётся своя вероятность распределения единичных клеток , I € т.
Весовые коэффициенты ид задаются с помощью матрицы весов Ш, имеющей следующий вид:
Ш
( п п
п п1
п п1
п п1
п п1 п
п
п
п1 р
р
п1 п
пп п1 п1 р п1
р п1 п1 п1 пп
п п п
п п п
где п ^ 0; п1 ^ 0; р > 0.
Таким образом, в двумерном случае (^ = 2) матрица весов определяется выражением
'р, если |к| < ([К/2] — 1) & |1| < ([К/2] — 1),
иы
п1, если |к| = ([К/2] — 1) &
([К/2] — 1),
п иначе
а в трёхмерном случае (^ = 3) —выражением
р, если |к| < ([К/2]—1) & |1| < ([К/2] — 1) & |т| < ([К/2]—1), ыыш =\ пь если |к| = ([К/2] — 1) & |1| = ([К/2]— 1) & |т| = ([К/2] — 1), п иначе.
Здесь к, /, т = — [К/2],..., 0,..., [К/2].
Размер шаблона соседства К выбран равным 7, так как экспериментально установлено, что такой размер шаблона является оптимальным для получения большого многообразия устойчивых структур. При моделировании используются периодические (Вр) и нулевые (В0) граничные условия.
Эволюция тоталистического КА Нтол (1) моделирует процессы структурообразова-ния. С помощью проведения вычислительных экспериментов при различных начальных состояниях, матрицах весов и режимах функционирования в результате эволюции Нтол получено большое многообразие различных устойчивых структур (рис. 1).
a б в г
Рис. 1. Устойчивые состояния Htcä при Bp: а, б — чередование двух структур при ß = а для |XTcaI = 500 х 500 клеток, Q(0) = Qi, n = n1 = —1,p = 0,54; в — структура, формирующаяся при ß = а для |X|CA| = 200 х 200 клеток, Q(0) = Q1, n = —0,27, n1 = —0,07, p = 1; г — структура, формирующаяся при ß = а для |X|caI = 50 х 50 х 50 клеток, Q(0) = Q1, n = n1 = —1, p = 1,6
Для графического представления глобального состояния клеточного массива клетки с состоянием u =1 отображаются чёрным цветом, а клетки с состоянием u = 0 — белым цветом.
В результате вычислительных экспериментов обнаружено, что при синхронном режиме функционирования Htca сходится преимущественно к чередованию двух устойчивых структур, т. е. через определённое число итераций t' происходит чередование двух глобальных состояний: Q(t' + 2k) = Q(t') и Q(t' + 2k + 1) = Q(t' + 1), k G N. При асинхронном режиме Htca сходится к одному устойчивому состоянию, т. е. через определённое число итераций t' глобальное состояние клеточного массива не изменяется: Q(t) = Q(t') для всех t > t'.
Устойчивые структуры, формирующиеся в результате эволюции Htca, даже при неоднородном начальном распределении единичных клеток являются довольно простыми (рис. 2). Использование двухслойного ТКА позволяет получать более сложные пространственно-неоднородные мотивы, похожие на наблюдаемые в природе.
а б в
Рис. 2. Структуры, формирующиеся с помощью ^тол при
|Хт0Л1 = 500 х 500 клеток и Во: а — начальное состояние клеточного массива П(0) = П3, Р^ = 0,0005, Р^з = 0,0001; б — устойчивое состояние ^тол при у = а, п = -0,5, Н\ = -0,1, р = 1; в — устойчивое состояние ^тОл при у = а, п = -0,5, П1 = -0,1, р = 2
2.2. У с т о й ч и в ы е с т р у к т у р ы , ф о р м и р у е м ы е с п о м о щ ь ю двухслойного тоталистического КА Н^ Двухслойный ТКА Н^ при различных значениях весовых коэффициентов позволяет генерировать компьютерное представление пористых материалов с различной морфологией. Например, в результате эволюции Н^ при начальном состоянии П(0) = Рп2 = 0,01, значениях весовых коэффициентов п = —0,5, п1 = —0,1, р =3 и Pf = 0,01, Pt = 0,7 возникают структуры, похожие на изображение бетона (рис. 3, а, б). Аналогично в трёхмерном случае при значениях весовых коэффициентов п = —0,5, п1 = —0,1, р =2 и начальном состоянии П(0) = П3 с вероятностями распределения единичных клеток Р^3 = 0,01, Р^3 = 0,1, Р^3 = 0,3 в результате эволюции Н^ формируется пористая структура, представленная на рис. 3, в. На рис. 3 представлены осреднённые глобальные состояния Н^, серый цвет соответствует меньшей концентрации единичных клеток, чёрный — большей концентрации.
Рис. 3. Структура, формирующаяся в результате эволюции Hs при у = а в двумерном случае |X|CA| = 200 х 200 для n = -0,5, т = -0,1, p = 3 и Pf = 0,01, Pt = 0,7 (a); фотография пористого материала (б); структура, формирующаяся в трёхмерном случае при XTCAI = 100 х 100 х 100, n = -0,5, ni = -0,1, p = 2 и Pf = 0,5, Pt = 5 ■ 10-5 (в)
Морфология формирующихся пористых структур меняется в течение эволюции Hs. Для её анализа на каждой итерации вычисляются следующие численные характеристики:
1) L(1) и L(0) —число компонент связности для единиц и нулей. Компонента связности - это множество клеток с одинаковыми состояниями (u =1 либо u = 0), в котором для всех клеток есть путь из одной клетки в другую;
2) Pv (1), Pg (1) и Pv (0), Pg (0) —степень перколяции вдоль клеток с u =1 ис u = 0 по вертикали (Pv) и горизонтали (Pg). Степень перколяции — это количество клеток, принадлежащих правой (или нижней) границе массива, в которые есть путь из клеток, принадлежащих противоположной границе;
3) Porosity — пористость; вычисляется как отношение количества клеток с u = 0 к размеру всего массива;
4) Np(1) —процент клеток с состоянием u =1; вычисляется как отношение количества единичных клеток к размеру всего массива, умноженное на 100 %;
5) Tortuosity — степень извилистости; вычисляется как число углов на границах связных компонент.
Возможность визуального наблюдения за эволюцией Н^ и вычисления значений характеристик в процессе моделирования позволяет получать компьютерные представления пористых материалов с нужной морфологией.
При заданных начальном распределении единичных клеток, значениях активаторов и ингибиторов на каждой итерации формируются структуры с различными характеристиками (рис. 4). При получении компьютерного представления пористого материала с требующимися характеристиками вычислительный процесс может быть остановлен, а глобальное состояние Н^ сохранено в файл для дальнейшего анализа.
Np(1) = 12,6, Porosity = 0,87 Np(1) = 20,1, Porosity = 0,799 Np(1) = 24,7, Porosity = 0,75 П(0) П(1) П(2)
Np(1) = 26,99, Porosity = 0,73 Np(1) = 20,07, Porosity = 0,799 Np(1) = 9,14, Porosity = 0,91 П(4) П(6) П(8)
Рис. 4. Изменение морфологии компьютерного представления пористого материала, формирующегося в течение эволюции Н^ при начальном распределении П(0) = Пз с Рлз = 0,05, Р£з = 0,001, р3з = 0,0001 и |Х|ол| = 100 х 100 х 100, п = -0,5, щ = -0,1, р = 3 и Р7 = 0,5, Р4 = 5 ■ 10-5
Заключение
Разработана двухслойная тоталистическая КА-модель Н^ процессов структурооб-разования, являющаяся параллельной композицией тоталистического КА НТол и асинхронного КА второго слоя. Предложенная КА-модель Н^ позволяет генерировать компьютерное представление двумерных и трёхмерных пористых материалов с различной морфологией. В зависимости от начального распределения единичных клеток, значений активаторов и ингибиторов в результате эволюции Н^ формируется большое многообразие различных устойчивых структур. Для анализа формирующихся структур в процессе моделирования вычисляются численные характеристики глобального состояния КА: число компонент связности, степень перколяции, пористость, процент единичных клеток. Двухслойный ТКА Н^ является эффективным инструментом для генерации компьютерного представления пористых материалов с нужной морфологией, так как визуальное отображение глобальных состояний Н^ и вычисление значений характеристик на каждом шаге моделирования позволяет подбирать пористые структуры с требующейся морфологией.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bandman O. L. Using Cellular Automata for porous media simulation //J. Supercomputing. 2011. V. 57. No. 2. P. 121-131.
2. Бандман О. Л. Метод построения клеточно-автоматных моделей процессов формирования устойчивых структур // Прикладная дискретная математика. 2010. №4. C. 91-99.
3. Chua L. O., Hasler M., Moschytz G. S., and Neirynck J. Autonomous cellular neural networks: A unified paradigm for pattern formation and active wave propagation // IEEE Trans. Circuits and Systems. 1995. V.42. P. 559-577.
4. Young D. A. A local activator-inhibitor model of vertebrate skin patterns // Math. Biosciences. 1984. V. 72. P. 51-58.
5. Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Ser. B. Biol. Sci. 1952. V.237. No. 641. P. 37-72.
6. Gierer A. and Meinhardt H. A theory of biological pattern formation // Kybernetik. 1972. V. 12. No. 1. P. 30-39.
7. Gierer A. Generation of biological patterns and form: Some physical, mathematical and logical aspects // Progress in Biophysics and Molecular Biology. 1981. V. 37. P. 1-47.
8. Бандман О. Л. Клеточно-автоматные модели пространственной динамики // Системная информатика. Методы и модели современного программирования. 2006. №10. С. 59-113.
9. Bandman O. L. Cellular Automata composition techniques for spatial dynamics simulation // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Ser. Comp. Sci. 2008. V. 27. P. 1-39.
10. Chopard B. and Droz M. Cellular Automata Modeling of Physical Systems. Cambridge University Press, 1998. 337 p.
REFERENCES
1. Bandman O.L. Using Cellular Automata for porous media simulation. J. Supercomputing, 2011, vol.57, no. 2, pp. 121-131.
2. Bandman O. L. Metod postroenija kletochno-avtomatnyh modelej processov formirovanija ustojchivyh struktur. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2010, no. 4, pp. 91-99. (in Russian)
3. Chua L. O., Hasler M., Moschytz G. S., and Neirynck J. Autonomous cellular neural networks: A unified paradigm for pattern formation and active wave propagation. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1995, vol.42, pp. 559-577.
4. Young D. A. A local activator-inhibitor model of vertebrate skin patterns. Math. Biosciences, 1984, vol. 72, pp. 51-58.
5. Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Ser. B. Biol. Sci., 1952, vol.237, no. 641, pp.37-72.
6. Gierer A. and Meinhardt H. A theory of biological pattern formation. Kybernetik, 1972, vol.12, no. 1, pp. 30-39.
7. Gierer A. Generation of biological patterns and form: Some physical, mathematical and logical aspects. Progress in Biophysics and Molecular Biology, 1981, vol.37, pp. 1-47.
8. Bandman O. L. Kletochno-avtomatnye modeli prostranstvennoj dinamiki. Sistemnaja Informatika. Metody i Modeli Sovremennogo Programmirovaniya, 2006, no. 10, pp. 59-113. (in Russian)
9. Bandman O. L. Cellular Automata composition techniques for spatial dynamics simulation. Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Ser. Comp. Sci., 2008, vol.27, pp. 1-39.
10. Chopard B. and Droz M. Cellular Automata Modeling of Physical Systems. Cambridge University Press, 1998. 337 p.
