Гармонический анализ на паре гиперболоидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.

2. Молчанов В.Ф., Малашонок H.A. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного. V Державинские чтения: Матер, научн. конф. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2000, 5-7.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ПАРЕ ГИПЕРБОЛОИДОВ

© В.Ф.Молчанов

Пусть С = 80о(1,2), - связная группа линейных преобразований пространства Е3, сохраняющих билинейную форму [а:, у] = —жіУі+Х2У2+*зУз- Она действует транзитивно на однополостном гиперболоиде X : [ж, ж] = 1, и на верхней поле двуполостного гиперболоида У : [у, у] — — 1, у\ ^ 1. Рассмотрим полуторалинейную форму Qif.il>) на Т>{Х) х Т>(У) :

QU.V0= J

XxY

где dx = \х\\~1 (1хо(1хз, dy = yj~1 г/уг^Уз, ~ инвариантные меры на X и У, соответственно, ó(¿) - дельтафункция Дирака. Наш результат состоит в разложении этой формы по компонентам Фурье:

ОО

QUJ>)= [ ЦсгХ^.о/.б^) , ч ¿P, (1)

J <r = -(l/2 )+tp

— ОО

где

/\ 1/-. .\ /(Т -f 1 1

“(|Т) = Ifür^ + )ctg<T,r' v ~~2~“' 2

В - бета-функция Эйлера, другие обозначения см. ниже.

Эта задача, как мы полагаем, может быть началом некоторой теории - гармонического анализа на парах "двойственных” пространств, в частности, на парах двойственных гиперболоидов в Еп. С другой стороны, эта теория тесно соприкасается с интегральной геометрией: в самом деле, оператор с ядром <Ч[Х'У]) есть не что иное, как преобразование Радона на У (или на А", если интегрировать по х). Объясним величины, входящие в (1), и укажем этапы доказательства.

Основная (неунитарная) серия группы G состоит из представлений Та,(т (Е С, действующих в Т>($), где S - окружность .s = (1, sin a, coso;), по формуле

(Ta{g)<p)(s) = <p(sg/(sg)i)(sg)^

(индекс 1 - номер координаты, G действует в Ж3 справа). При нецелых сг они неприводимы. При & = — (1/2)-f ip, р € М, они унитаризуемы относительно скалярного произведения (•,•) в L~(S,da). Преобразования Фурье F„i£ : V(X) —* T>(S) и Ga '• T*(Y) —*■ V(S) определяются формулами:

(K,ef){s) = J[x,s]<r'£f(x)dx, (Gaifr)(s) = J \[y,s)\arp(y)dy.

X Y

Мы используем обозначение ta,e = \t|crsgn£í, <r £ (C, £ = 0,1. Эти преобразования Фурье сплетают представления группы G сдвигами G на X и на У и представление Та. Определим ” смешанную” сферическую функцию как обобщенную функцию на У формулой

(Ф<Г,С) Ф) = {Qo,c,GaÍ>),

где 0<7,Л5) — [®° >«]*’*• Фактически она оказывается классической функцией на У. Она инвариантна относительно Я (так что зависит только от уз) и является собственной функцией оператора Лапласа-Бельтрами А у на У с собственным числом а(сг+1). Она выражается через функции Лежандра от мнимого аргумента:

*„.,(!/) = + (-1)Т'{Мп*>) + (-1Г ^(-¿Уз)}-

Разложение (1) есть следствие разложения дельта-функции ¿>([л?0, г/]) по сферическим функциям:

оо

<Н[*°>у]) = / Ц*)Ф<М> ¿р. (2)

J <т=-(1/2 )+»/>

— ОО

В свою очередь, разложение (2) получается из спектрального разложения оператора (d/di)(t2 4- 1 )(d/dt) на всей оси. Этот оператор есть Я-радиальная часть оператора А у.

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НАДГРУППА ДЛЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

© В.Ф. Молчанов

Настоящая работа примыкает к [1], см. также [2]. Мы выясняем взаимодействие алгебры Ли надгруппы с преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями на однополостном гиперболоиде в Е3.

Пусть G = SOo(l,2) - связная группа линейных преобразований пространства Е , сохраняющих билинейную форму [ж, у] = — х12/1 4- Х2У2 4- х-зУз- Она транзитивно действует на однополостном гиперболоиде X : [ж,ж] = 1.

Канонические представления А £ С, и = 0, 1, группы G на гиперболоиде Л' действуют в некоторых пространствах функций на Л', мы определяем их как ограничения на G представлений Яд,и надгруппы G = SOo(2,2), связанных с конусом. Напомним их определение (обозначение Яд)£, приспособлено к нашему случаю).

Группа G действует в Е4 с координатами жо, х\ , #2, и сохраняет форму [ж, у] = — жоУп — х\у\ 4 хпУч 4 х3уз- Пусть С обозначает конус [ж, ж] = 0, ж / 0, в I4. Пусть Т>\<и(С) обозначает пространство функций / класса С°° на С однородных степени Л,//: f{tx) = tx,vf{ж). Мы используем обозначение t, = |¿|Asgn"£,£ £ Е*. Представление Яд*, группы G действует в Т>_а-2,</(0 сдвигами: R\tU(g)f(x) = f(x.g),y £ G (считаем, что G действует справа, векторы - это строки). Для ж £ Е4 обозначим |ж| = \/х1 + х\. Рассмотрим два сечения конуса: X = {жо = 1} и Í2 = {|гг| = 1}. Первое из них можно отождествить с гиперболоидом Л': точке ж = (жi, Ж2, Ж3) ставится в соответствие точка ж = (1, жь жг, жз). Второе есть тор: и — (cos«, sino;,sin/?, cos/?). Евклидова мера на 12 есть du = dadfl. При ограничении функций ИЗ T>_A-2,//(£-) на X получим некоторое пространство функций Р_Л-2,|/(‘^) (оно содержит Т>(Х) и содержится в С°°(Л^)). При ограничении на Q получим пространство X>„(Q) функций из Х>(Г2) четности

и. Представление Яд,^ действует в Р„({)) по формуле ^Äa,»/(<7V) (u) — iU(J/\ия\) \ия\~Х~'2■ Вложим G

в G как подгруппу, сохраняющую Жо. В реализации на X = X представление Яд,// группы G действует сдвигами в T>_A-2,t/('V).

Возьмем следующий базис в алгебре Ли 9 группы G: Lo = £32 — £23, L\ = £21 4- £i2> — E31 4 E13,

и дополним его до базиса в алгебре Ли д группы G матрицами М0 = — Ею + Eoi, М\ = £20 4 £02,

М2 = £30 4- Еоз, здесь Eij - матричная единица, г, j £ {0,1,2,3}. Е^озьмем в д " элементы = L2 ± iL\, М± = -М2 Т iM\.

'Элементарные представления Т„ группы G действуют в V(S), где S - окружность s = (1,sint, cosí), по формуле: Ta(g)<p(s) = <p(sg/(sg)\)(«</)?. Соответствующие операторы Ли таковы: T<j{Lq)<p —

= e±lt(aip ± iip').

Преобразование Пуассона, связанное с Ял, 1/, определяется формулой

(f\,</;<r,e<¿>)(u) = u-x-rJ-¿'u~£ J [и>s\<r'e(p(s)ds