Гафниан тёплицевых матриц специального вида, совершенные паросочетания и полиномы Бесселя Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 3 (28). 2018

УДК 519.1

ГАФНИАН ТЁПЛИЦЕВЫХ МАТРИЦ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА, СОВЕРШЕННЫЕ ПАРОСОЧЕТАНИЯ И ПОЛИНОМЫ БЕССЕЛЯ1

Д. Б. Ефимов

В работе приводится простая и удобная аналитическая формула для точного вычисления гафниана тёплицевых матриц специального вида. В частных случаях дана интерпретация полученных результатов на языке совершенных паросочетаний и полиномов Бесселя.

Ключевые слова: гафниан, тёплицевые матрицы, полиномы Бесселя.

1. Введение

Пусть A = (aij ) — симметричная матрица порядка n = 2m над коммутативным ассоциативным кольцом R. Ее гафниан определяется как

Hf(A) = Y^ aili2 •••ain-lin '

(ili2 |...|in-lin)

где суммирование ведется по всем разбиениям множества {1, 2,... , n} на непересекающиеся пары (i), • • •, (¿n-1in) с точностью до порядка пар и порядка элементов в каждой паре. Так, если n = 4, то Hf(A) = a12a34 + a13a24 + a14a23. Эквивалентно, гафниан можно определить следующим образом:

Hf(A) = mï^Yl ^(1М2) • • • av(n-1),cт(n)•

n

1 Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект 18-1-1-7.

© Ефимов Д. Б., 2018.

Здесь суммирование ведется уже по всем перестановкам из Sn. Заметим, что диагональные элементы матрицы не участвуют в определении гафниана. В дальнейшем для удобства будем считать, что они равны нулю. Понятие гафниана ввел итальянский физик-теоретик Э.Р. Кая-ньелло в одной из своих работ по квантовой теории поля [1]. Название новой матричной функции он дал в честь г. Копенгагена (лат. Hafnia), места, где к нему впервые пришла идея данного математического понятия. В названии он также подчеркнул связь с введенной еще в XIX веке А. Кэли функцией пфаффиана, от которого гафниан отличается только знаком некоторых слагаемых. В дальнейшем стало понятно, что гафниан обладает также полезным комбинаторным свойством, связанным с решением важной задачи в теории графов: если M — матрица смежности неориентированного графа четного порядка, то Hf(M) равен общему числу совершенных паросочетаний данного графа.

К сожалению, широкое применение гафниана ограничивается тем, что, в отличие от пфаффиана, для его вычисления в общем случае не существует эффективных алгоритмов. Так, в недавней работе [2] описан наиболее быстрый на данный момент алгоритм для точного вычисления гафниана произвольной комплексной n х n матрицы. Он работает за время O(n32n/2). При этом тесты, проведенные на суперкомпьютере Titan, имеющем производительность 27 петафлопс (7 место в рейтинге Топ 500 по данным на июнь 2018 года), показали, что для вычисления на нем с помощью данного алгоритма гафниана случайно сгенерированной комплексной матрицы порядка 100 понадобилось бы полтора месяца!

В связи с тем, что в общем случае вычисление гафниана является труднорешаемой проблемой, большую актуальность имеет задача нахождения хороших, удобных в применении аналитических формул, выражающих гафниан для более узких классов матриц. Так, во многих важных случаях (например, при рассмотрении матриц смежности пла-нарных графов) вычисление гафниана матрицы можно свести к гораздо более эффективному вычислению пфаффиана некоторой матрицы, связанной с исходной несложными преобразованиями. Подробное описание данного подхода на русском языке можно найти в [3]. Напомним, что матрица называется тёплицевой, если элементы любой ее диагонали, параллельной главной, одинаковы. В работе [4] приведен алгоритм вычисления гафниана ленточных тёплицевых матриц порядка n с шириной ленты m, который работает за время O(23m log n).

В данной работе мы получаем простую и удобную аналитическую формулу для вычисления гафниана тёплицевых матриц специального

вида (отличного от вышеупомянутого). В частном случае она сводится к вычислению значения полинома Бесселя соответствующего порядка в определенной точке. Используя данную формулу, можно вычислить гафниан рассматриваемых матриц за линейное время.

2. Основная часть

Рассмотрим сначала два свойства гафниана, которые понадобятся нам в дальнейшем. Первое свойство вполне очевидно.

Предложение 1. Пусть А — симметричная матрица порядка 2т над коммутативным ассоциативным кольцом Я и с е Я. Тогда

Ш(сА) = ст Ш(А). (1)

Пусть Qk,n обозначает множество всех неупорядоченных к-элементных подмножеств множества {1, 2,..., п}. Если А — матрица порядка п и а = {р\ , ...,рк} е Qk,n, то через А [а] обозначим подматрицу в А, образованную пересечением строк и столбцов с номерами из а, а через А(а) — подматрицу, которая получается из А удалением строк и столбцов с номерами из а. В работе [5] приведено и доказано следующее свойство гафниана.

Предложение 2. Пусть А, В — симметричные матрицы порядка п = 2т. Тогда

т

Ш(А + В) = £ £ Ш(А[а])Ш(В(а)), (2)

к=0 аеЯ2к,п

где И£(А[а]) = 1, если а е Q0nn, и И£(В(а)) = 1, если а е Qnn.

Для доказательства основного результата нам также понадобится одно комбинаторное свойство, касающееся подграфов линейных графов. Напомним, что совершенным паросочетанием неориентированного графа называется его подграф без петель того же порядка, что и сам граф, в котором каждая вершина инцидентна ровно одному ребру. Рассмотрим линейный граф Ьп с п вершинами (рис. 1). Понятно, что

1 2 3 п- 1 п

Рис. 1. Линейный граф с п вершинами

как сам такой граф, так и любой его подграф может обладать максимум одним совершенным паросочетанием. Пусть к < п/2. Обозначим

через Рк общее число подграфов данного графа, состоящих из 2к вершин и обладающих совершенным паросочетанием. Другими словами, Рк — это количество способов, которыми в Ь п можно выбрать к ребер так, чтобы никакие два различных ребра не имели общих вершин.

Предложение 3. Значение Рк равно числу различных сочетаний

из и — к по к :

Рк _ Ск _ (и к)! /о\

Рп _ °п-к _ к!(и - 2к)! * (3)

Доказательство. Отметим к различных ребер в Ьп. Очевидно, что это можно сделать С1к_1 способами. Перейдем от данного линейного графа к новому линейному графу по следующему правилу: после каждого из первых к — 1 отмеченных ребер, считая слева направо, вставим дополнительное ребро. В результате мы получим линейный граф с и + к — 1 вершиной и к отмеченными ребрами, любые два из которых не будут иметь общих вершин (рис. 2). Нетрудно видеть, что с помощью такой

V IV

Рис. 2. Переход между линейными графами

процедуры и обратной к ней между выборками к ребер в линейном графе с и вершинами и выборками к ребер, любые два из которых не имеют общих вершин, в линейном графе с и+к — 1 вершинами устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, справедливо равенство С-! _ Р?к+к_1. Отсюда сразу следует, что _ С^_к. □

Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат. Теорема. Пусть Я — коммутативное ассоциативное кольцо и а,Ь е Я. Рассмотрим симметричную матрицу Та,ь порядка 2т с нулевой главной диагональю, у которой элементы диагоналей, примыка-

ющих к главной, равны а, а все остальные элементы равны Ь:

/0 а Ь\

ГТ1 __а ' '

Т а,Ь —

Ь

.а а0

(4)

Если положить, что 00 — 1, то гафниан матрицы Та,ь можно вычислить по следующей формуле:

1\т-кьк (т + к)!

Н^ь) — > (а — Ь)т-кЬк

к=0

к!(т - к)!2к

(5)

Доказательство. Обозначим через Jq симметричную матрицу порядка 2т, у которой на главной диагонали стоят нули, а все остальные элементы равны q. Непосредственно из определения гафниана следует, что

, (2т)!

над) — qm

(6)

т!2т

Обозначим через и(} матрицу порядка 2т, у которой элементы на диагоналях, примыкающих к главной, равны q, а все остальные элементы равны нулю. Так как Та,ь — Jь — иь-а, то, применяя формулы (1), (2) и (6), получаем:

Ш(Та,ь) — НВД — иь-а) — ^ ^ Hf(Jь[а])Hf( —иь-а(а)) —

к=0 а^2к,п

— ±(а — Ь)т-кЬк £ т(1Ма)).

(7)

к=0

Здесь мы использовали тот факт, что для любого а £ Q2k,n матрица Jь[а] имеет тот же вид, что и исходная матрица Jь, то есть является симметричной матрицей порядка 2к, у которой на главной диагонали стоят нули, а все остальные элементы равны Ь.

Обозначим через п^ общий элемент матрицы и1. Если а £ Q2k,n, то матрица и^а) имеет порядок п — 2к и по определению

Е Н£(и1(а))

к,п

Е Е

аё^2к,п (г1г2\...\гп-2к-11п-2к)

п

1112

■ п

-2к-1»п-2к 1

(8)

т

п

где внутреннее суммирование ведется по всем разбиениям множества {1, 2,..., п}\а на непересекающиеся пары (М2), • • •, (¿п-2к-1яп-2к) с точностью до порядка пар и порядка элементов в каждой паре. Так как в матрице и1 единичными являются только элементы вида Пг^+1 и то слагаемое ... игп_2к-1гп_2к в сумме (8) равно 1 тогда и только тогда, когда каждая пара в разбиении (г1г2),..., (1п-2к-11п-2к) представляет собой два соседних индекса. В противном случае это слагаемое будет равно 0. Отсюда следует, что вся сумма (8) равна числу различных способов выделить из {1, 2,... , п} множество т — к непересекающихся пар (г1г2), • • • , (¿п-2к-1гп-2к) с точностью до порядка пар и порядка элементов в каждой паре так, чтобы каждая пара представляла собой два соседних индекса. А это не что иное, как число способов выбрать т — к ребер в линейном графе Ьп так, чтобы два различных ребра не имели общих вершин, что в силу предложения 3 равно СП-т+к = Ст+к • Таким образом, подставляя это значение в (7), получаем:

Ш(Гв1ь) = ¿(а — Ь)т-к ьк ® Ст+кк = ¿(а — Ь)т-к Ьк ^ + ^к • к=0 ' к=0 '( )!

□

Сделаем несколько замечаний по поводу полученного результата. Пусть а,Ь — целые неотрицательные числа. Обозначим через Гв,ь граф с 2т вершинами, матрицей смежности которого является матрица Тв ь. Если представить Гв ь в виде дуговой диаграммы, то соседние вершины будут соединены между собой а дугами, а все остальные пары вершин — Ь дугами. В этом случае формула (5) выражает число совершенных паросочетаний графа Гв,ь. Рассмотрим, например, граф Г2>1. Если вычислить с помощью (5) гафниан его матрицы смежности для последовательных т начиная с т = 1 , то получим последовательность:

2, 7, 37, 266, 2431, 27007,...

Ее к-й член равен числу совершенных паросочетаний в графе Г2>1 с 2к вершинами (рис. 3). Отметим, что данная последовательность имеет номер А001515 в [6], но в ее описании не указана приведенная здесь интерпретация.

Напомним (см. [7], [8]), что полиномом Бесселя порядка т называется полином вида:

( ) = (т + к)' (х\к к=0 к'(т — к)' \2) .

Рис. 3. Совершенные паросочетания четырехвершинного графа Г2,1

Из формулы (5) следует, что гафниан матрицы Tb+1,b порядка 2m равен значению полинома Бесселя порядка m при x = b:

Hf(Tb+i,b) = ym (b).

Это довольно любопытный и неожиданный факт, объяснение которого пока не совсем понятно.

3. Заключение

Мы получили простую и удобную в применении аналитическую формулу (5) для точного вычисления гафниана тёплицевой матрицы специального вида (4). Опираясь на эту формулу, нетрудно написать алгоритм, который вычислял бы гафниан матрицы n-го порядка за время O(n). Попутно мы установили любопытную связь между гафнианом тёплицевых матриц и полиномами Бесселя, которая еще требует более детального изучения. В дальнейшем можно попытаться получить с помощью приведенных выше методов эффективную аналитическую формулу для вычисления гафниана других видов тёплицевых матриц.

Автор выражает благодарность рецензенту за внимательное прочтение работы и полезные замечания, способствующие улучшению текста статьи.

Список литературы

1. Caianiello E. R. On quantum field theory - I: Explicit solution of Dyson's equation in electrodynamics without use of Feynman graphs // IL Nuovo Cimento. 1953. V. 10 (12). Pp. 1634-1652.

2. Bjorklund A., Gupt B., Quesada N. A faster hafnian formula for complex matrices and its benchmarking on the Titan supercomputer // arXiv:1805.12498v2 [cs.DS] 25 Sep 2018.

3. Вялый М. Н. Пфаффианы, или Искусство расставлять знаки // Математическое просвещение. 2005. Вып. 9. С. 129-142.

4. Schwarz M. Efficiently computing the permanent and Hafnian of some banded Toeplitz matrices // Linear Algebra and its Applications. 2009. V. 430. Pp. 1364-1374.

5. Efimov D.B. The hafnian and a commutative analogue of the Grassmann algebra // Electronic Journal of Linear Algebra. 2018. V. 34. Pp. 54-60.

6. Sloane N. J. A., editor The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, published electronically at https://oeis.org.

7. Krall H. L., Frink O. A new class of orthogonal polynomials: The Bessel polynomials // Transactions of the American Mathematical Society. 1949. V. 65. Pp. 100-115.

8. Chatterjea S. K. On the Bessel polynomials // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova. 1962. V. 32. Pp. 295-303.

Summary

Efimov D. B. The hafnian of Toeplitz matrices of special type, perfect matchings and Bessel polynomials

In this paper, we present a simple and convenient analytic formula for exact computing of the hafnian of Toeplitz matrices of a special type. An interpretation of the obtained results in the language of perfect matchings and Bessel polynomials is given.

Keywords: hafnian, perfect matching, Bessel polynomial.

References

1. Caianiello E. R. On quantum field theory - I: Explicit solution of Dyson's equation in electrodynamics without use of Feynman graphs, IL Nuovo Cimento, 1953, v. 10 (12), pp. 1634-1652.

2. Bjorklund A., Gupt B., Quesada N. A faster hafnian formula for complex matrices and its benchmarking on the Titan supercomputer, arXiv:1805.12498v2 [cs.DS], 25 Sep 2018.

3. Vyaly M. N. Pfaffiany, ili iskusstvo rasstavlyat' znaki (Pfaffians, or the art to set signs), Matematicheskoe prosveshchenie, 2005, vyp. 9, pp. 129-142.

4. Schwarz M. Efficiently computing the permanent and Hafnian of some banded Toeplitz matrices, Linear Algebra and its Applications, 2009, v. 430, pp. 1364-1374.

5. Efimov D. B. The hafnian and a commutative analogue of the Grassmann algebra, Electronic Journal of Linear Algebra, 2018, v. 34, pp. 54-60.

6. Sloane N. J. A., editor The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, published electronically at https://oeis.org.

7. Krall H. L., Frink O. A new class of orthogonal polynomials: The Bessel polynomials, Transactions of the American Mathematical Society, 1949, v. 65, pp. 100-115.

8. Chatterjea S. K. On the Bessel polynomials, Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova, 1962, v. 32, pp. 295-303.

Для цитирования: Ефимов Д. Б. Гафниан тёплицевых матриц специального вида, совершенные паросочетания и полиномы Бесселя // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 3 (28). C. 56-64.

For citation: Efimov D. B. The hafnian of Toeplitz matrices of special type, perfect matchings and Bessel polynomials, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2018, 3 (28), pp. 56-64.

ФМИ КомиНЦ УрО РАН

Поступила 06.11.2018