Функциональная модель управления в сетях пиринговой связи Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.772

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ В СЕТЯХ ПИРИНГОВОЙ СВЯЗИ

ПОПОВСКАЯЕ.О., МОСКАЛЕЦН.В._

Предлагается математическая модель управления потоком фрагментов в пиринговой сети P2P-TV при передаче видеоконтента с использованием критерия минимума суммарной потери времени на обслуживание N-фрагментов информационной последовательности. Описывается решение, приводящее к процедуре динамического программирования. Рассматривается влияние различных факторов, влияющих на динамику воспроизведения в пиринговой сети (P2P-TV) при представлении услуги видео по запросу и живого потокового видео.

Ключевые слова: пиринговая сеть, видео по запросу, загрузка, скачивание.

Key words: рееп^ network, video on demand,

downloading.

1. Введение

За последние годы наблюдается устойчивый рост пользовательского трафика, составляющего порядка 80 петабайт/мес, из них более половины принадлежит видеотрафику. Особенно быстрыми темпами растет использование Р2Р-технологии, в частности P2P-TV, предназначенной для просмотра видеоконтента через интер-нет-TV. Имеется достаточно много разновидностей популярных Р2Р-сетей: Bit Torrent Live, Torrent Stream, PPLive, UUSee, SopCast [1]. Особенностью Р2Р-сетей является процедура задействования машин других клиентских пользователей, с которых скачиваются соответствующие видеофрагменты. В живом потоковом видео TV-контент распространяется всем пользователям в режиме реального времени. В процессе предоставления услуги принимается ряд решений, осуществляется большое число управлений: выбор пира, присоединение и отсоединение пира, обмен информацией между пирами, оценка задержек, организация буфера, планирование фрагментов. Соответствующие процедуры выполняют целый ряд управляющих машин: сервер, глобальный и локальные трекеры и др. Планировщиком обеспечивается необходимая координация всех проколов и указанных органов управления в соответствии со своими алгоритмами и выбранными моделями. В данной статье предпринимается попытка продемонстрировать возможность выбора объединенной математической модели x(t) - процесса функционирования пиринговой сети и соответствующей универсальной процедуры оптимального управления в технологии P2P-TV. Процесс скачивания какого-либо файла x(t) сопровождается разбитием его на отдельные фрагменты, получаемые в общем случае от различных пиров.

Планирование процесса фрагментации осуществляется таким образом, чтобы за минимальное время 1 □ Т = ] обеспечить предоставление услуги с требуемым качеством. Сам процесс х(1) на интервале Т представляет собой управляемую последовательность отдельных фрагментов с независимыми значениями на границах стыка. Данная задача относится к классу магистральных, когда управление транспортом осуществляется по выбранным участкам (этапам) и на каждом этапе выбирается лучший режим по скорости, минимизации задержек, уровню затрат

[2,3].

2. Методы управления потоком фрагментов в одноранговых сетях

Исходящий от источника в сеть поток фрагментов определяется совместным распределением случайных величин = 1к - 1к-1, где 1к - моменты поступления к -го фрагмента (к > 1, 10 = 0, 0 < 11 < 12 <...). Очевидно, последовательность фрагментов 7к образует случайный поток, где для каждого пира значения 7к независимы в совокупности. Такой поток называют потоком с ограниченным последействием и для его определения достаточно задать набор функций распределения Гк(1) = Р^к < 1}, к > 1. Частным случаем такого случайного потока является пуассоновский поток, для которого Рк(1) = 1-ехр{-Х 1}, где X - интенсивность потока, зависящая от общего числа фрагментов, передаваемых в сети.

В силу спецификации пиринговую сеть можно считать однородной, а экспоненциальный характер функции распределения вероятностей допускает использование для ее исследований методов теории массового обслуживания. Для сетей этого типа характерна мультипликативная форма стационарных вероятностей. Это позволяет достаточно просто находить условия глобального и локального балансов, что составляет основу для исследования и проектирования сети. Вместе с тем, для модели потока фрагментов при скачивании соответствующего файла методы теории массового обслуживания не подходят, поскольку в данном случае имеет место случайный управляемый поток обслуживания, а не чисто случайный. В нашей задаче необходимо найти оптимальный план (управление) поступления фрагментов от различных пиров, предписывающий каждому [ -му фрагменту время поступления на обслуживание:

и = Фил (11,12,-,1п). В процессе обслуживания необходимо учесть следующую специфику:

а) случайное время поступления 1 -го фрагмента на обслуживание 10 (ф;), отличающееся от некоего планируемого ^;

б) случайное время обслуживания 1 -го фрагмента 0; (ф;) .

В результате различных случайных факторов и управляющих воздействий возможны две причины потерь времени, приводящих к соответствующим задержкам:

- потери, связанные с тем, что 1 -й фрагмент поступил раньше, чем завершилось его считывание

80(Ф;,и);

- потери при задержке поступления 1 -го фрагмента, если считыватель простаивает 8П(ф;,и). Суммарные потери времени при обслуживании п -фрагментов составят:

Ф(и) = £(ш{80(фЬи)} + сш{8П (ф;,и)}), (1) 1=1

где с - коэффициент, учитывающий стоимость потерь; ш{^}- знак математического ожидания.

Задача оптимального планирования процесса считывания файла состоит в минимизации функционала Ф(^).

Рассмотрим к-й шаг процесса. Обслуживание к -1 фрагмента завершается в случайный момент *к4 , функция распределения вероятностей которого

Рц(1) = Р{1к-1 < 1}.

Фрагмент к поступает в случайный момент :к, функция распределения которого:

Fk0(t) = P{t° < t}.

причем 0к не зависит от времени канала обслуживания.

Время конца обслуживания к-го фрагмента 1к является композицией двух независимых величин:

= 1н +0к .

С функцией распределения, определяемой интегралом свертки:

да

Бк(1) = I Ркн(1- т)ао к(1). (3)

да

При известном распределении Р^Ш можно определить потери времени для фрагмента §к и для считывателя 8П на к -м шаге управления:

я0 8 k =

10

пРи tk ^ tk-i =

ltk-i-tk пРи tk < tk-i;

m{8k} = J J (t -t)dFk-i(t)dFk0(t);

яП 8 k =

tk < tk-i,

да t

|o,

t0k-i-tk,tk > tk-i;

да е

ш{8П} = I I (1- т)аРк.1(т)аГк0(1).

да да

Суммарные потери времени на к -м шаге зависят от выбора управления на к -м шаге от функции

распределения Р^ф:

= J

fk(tkFk-i(t)) = m{8k} + cm{8n } =,

да t

J(t -t)dFk-i(t) + c J(t- x)dFk-i(t)

dFk0(t) =

При этом среднее:

да

J tdFk0(t) = tf .

да

Обслуживание k -го фрагмента начинается в случайный момент времени:

t^ = max(tk-i,tk) с функцией распределения:

FkH(t) = P{tH < t} = P{tk i < t, tk < t}. Значения случайных величин tk-i и tk порождаются различными процессами, связанными соответственно с выбором k - i пира и процессом считывания, что позволяет считать их независимыми, поэтому:

FkH(t) = Fk-i(t)Fk0(t). (2)

Время обслуживания k -го фрагмента 9k является случайной величиной, заданной функцией распределения

Фk(t) = P{9k < t},

= J

m{tk-i}-t + c J(t-x)dFk-i(x)

dFk0(t),

Функция Р^ф в силу монотонности интегрируема для непрерывного и дискретного распределений, следовательно:

} (х -1)аРк_1(х) = }рк.1(т)ат.

В результате получаем:

да t

fk(tk,Рk-l(t)) = ш{1к-1}-1к + с I IРк.1(х)ахар,0(1) .(4)

да да

Полученная функция потерь на к-м шаге (4) позволяет применить метод динамического программирования. Состояние системы на к-1 шаге

характеризуется функцией распределения Рк-1 (I), поэтому уравнение Беллмана имеет вид [3]:

§к 1(Рк 1(1)) = шт^к(1ьРк-1а) + Бк(фк(1к,Рк-1(1))15

где Рк(1) = фкФРыФ) - уравнение состояния в рекуррентной форме, заданной выражениями (2) и (3).

Функция (4) является функцией с монотонным включением переменных

fk(tk, Fk-1 (t)) = fk(tk,<P k-l(tk-1,Фk-2(tk-2,...,Ф1 (t1))...))) . (5) Минимизация функционала (1) является задачей Майера, схема которой изложена в [4]. Очевидно, состояние на k-1 шаге, которое характеризуется одной из возможных реализаций

функции Fk-1 (t), наиболее существенно зависит

от ближайших шагов процесса. Таким образом,

можно считать, что Fk -1(t) определяется выбором

управления t; на N -х предыдущих шагах:

Fk_1(t) = F(tk_1,tk_2,...,tk_N). Если управление tj аппроксимируется m дискретными значениями, то число различных комбинаций управления на N шагах:

M = mN,

где состояние F^Ct) может принимать M соответствующих дискретных значений. Конкретные значения N и M выбираются после корреляционного анализа управляемого процесса с учетом требуемой точности.

Функции Fk0 (t) и Фk (t) определяются по статистическим данным, коррекция функций позволяет адаптировать систему с учетом опыта предыдущего планирования. Для реализации данного алгоритма следует представить (2), (3) и (4) в дискретной форме, заменить знаки интегралов соответствующими суммами. 3. Анализ динамики пиринговой сети Особую популярность пиринговые сети обрели при представлении услуги видео по запросу и живого потокового видео. Преимуществом видео по запросу является более высокое качество воспроизведения, которое можно смотреть в любом месте в любое время. Недостаток - необходимость наличия буфера большого размера для хранения всего файла. Живое потоковое видео -это видео реального времени, что во многих случаях является критично важным. Рассмотрим влияние различных факторов, влияющих на динамику воспроизведения P2P-TV [5]. Динамические характеристики пиринговой сети определяются скоростью скачивания контента Vd (download) и скоростью его загрузки Vu (upload). Для конкретного пира Pi эти характеристики определяются

Vd = dX d(t)/dt,

Vu = dX u(t)/dt,

где Xd, Xu - соответственно интенсивности потоков скачивания и загрузки.

(6)

В соотношениях баланса между скоростями загрузки и скачивания равенство определяет скорость загрузки видеосервера [6]:

N(1) N(1)

} Уи(1,у)ау+и = } Уа(1,у)ау, (7) 0 0 где и - скорость загрузки видеосервера. Каждый из [ -пиров имеет свою стратегию поведения. В частности, возможна полностью эгоистическая стратегия, при которой пир только скачивает информацию со скоростью Уи;, по другим - не загружает Уи; = 0 . Степень эгоизма пира определяется отношением скоростей:

8(1) = Уи(1)/Уй(1). Показатель Б(1) может изменяться в пределах от 8; = 0 до достаточно больших чисел. При Б; > 1 соответствующий пир демонстрирует щедрую альтруистическую стратегию. Очевидно, качество работы пиринговой сети в целом определяется значениями данного показателя, приведенного к текущему числу активных пиров:

1 N

Q(t) = — ZSi(t),

N i=1

(8)

где N - число активных пиров, переменная величина, от которой зависит качество Q(t). При

достаточно большом числе пиров можно заменить сумму на интеграл, а N - на N(1). В этом случае (8) представляется в виде

1 N(t)

Q(t) = — 1 Si(t)t1vdv. N(t) о

(9)

Получим явную зависимость изменения качества Q(t) от параметров. Для этого найдем производную функции Q(t). Дифференцирование сложной функции нескольких переменных под знаком интеграла представляет собой сложную задачу, особенно для случая, когда пределы интегрирования зависят от параметров. При нахождении производной предположим, что функция N(1) -непрерывна на интервале интегрирования и имеет непрерывные производные. С учетом этого общее выражение дифференциала имеет вид [7]:

IДх,у)1х = / ах + Р'(уЖР(у),у) - а'(у^ (а(у),у) .(10)

1у а(у) а(у) ду

В результате дифференцирования (8) получаем:

с10(1)

dt

^'(t)Q(t) dS(iiV)dv+

N(t) N(t) 0 dt + Nr(t)S(t,N(t)).

N(t)

(11)

Уравнение (11) может быть упрощено с учетом особенностей пиринговой сети. Примем во внимание тот факт, что вновь включающийся в сеть пир еще не имеет ресурса для скачивания, т.е.

БО,у) = = 0 при N(1 = 0) .

В результате производная (11) примет вид:

т = _ .Ш^) 580^. (12)

а: N(1) N(1) 0 51

В стационарном состоянии пиринговой сети скорость потоковой передачи V(t) постоянна. Очевидно, это допущение с увеличением числа пиров становится все более справедливым за счет усреднения. Поэтому можно осуществить замену:

dQ(t) N'(t)

Q(t)+-

1 ..^f dVu('-V)dv.

(13)

а1 N(1) N(1) Уа 0 д где Уа = Уа (1) - предположение о постоянстве скорости скачивания.

В условиях баланса выполняется равенство, определяющее реакцию сети:

( 5Уи(1,у)ау ^

St

dt = -VdN'(t)dt.

(14)

Отсюда

N'(t) =-L? dVL^dv.

V

d 0

dt

(15)

Заменяя N'(1), из (12) получаем

ао(1) = _ N(1) д _ + N0) а1 N(1) 0 N(1) '

Уравнение выполняется при любых 1. Заменяя 0(1) и N(1) на 0(10), Щ0) получаем

N(102(1-0(10)) N(1) "

Очевидно, с увеличением N(1) показатель качества 0(1) ^ 1.

С учетом Уа(1,у) = Уа можно упростить условие баланса (14):

N(1)

I Уи(1,у)ау + и = N(1)• Уа. (18)

Q(t) = 1

(16)

(17)

С учетом (8) получаем

Q(t) = 1 -

U

(19)

Уа • N(1)

Причиной монотонного возрастания показателя 0(1) является все возрастающее количество предложений на скачивание (рисунок).

0-01

Качественная характеристика роста скорости загрузки в пиринговой сети с увеличением числа активных пиров

Особенно важно это для вновь включающихся пиров у которых еще отсутствуют видеоматериалы, которыми он мог бы поделиться с другими. 4. Выводы

1. Не удалось воспользоваться теорией массового обслуживания, поскольку имеет место управляемый поток фрагментов, а не чисто случайный поток.

С использованием критерия минимума суммарной потери времени на обслуживание N-фрагментов информационной последовательности получено решение, приводящее к процедуре динамического программирования.

2. Проведен анализ показателей качества пиринговой сети на основе использования показателя отношения скоростей скачивания и загрузки приведенных к текущему числу активных пиров, в результате которого получена аналитическая зависимость качества пиринговой P2P сети, транслирующей живое потоковое видео от составляющих компонент данной сети. Получена качественная характеристика роста скорости загрузки в пиринговой сети с увеличением числа активных пиров.

3. Пиринговые P2P интернет-сети предоставляют весьма популярную услугу по доставке TV-контента в реальном времени. В целях повышения качества услуг пользователям рекомендуется не уходить быстро из сети, этим самым предоставляя возможность другим пирам скачивать необходимые фрагменты.

Литература: 1. Cisco Visual Networking Index: Forecast and Methodology. 2012-2017. Cisco Public. 2013. 2. Zhi-Hui Lu, Ye Wang, and Yang Richard Yang. An Analysis and Comparison of CDN-P2P-hybrid Content Delivery System and Model // JCM. 2012. 7(3). Р. 232-245. 3. Bellman Richard. Dynamic programming. Princeton University Press. 1957. 363 р. 4. Моисеев, Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. Монография. [Текст] / Н.Н. Моисеев. М.: Наука, 1971. 428 с. 5. Setton E., Girod B. Peer-to-Peer Video Streaming // Springer. 2007. 150 p. 6. Popovskij V., Barkalov A., Tita-renko L. Control and Adaptation in Telecommunication Systems. Berlin Heidelberg Springer-Verlag, 2011. 173 р. 7. Бронштейн, И.И. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.И. Бронштейн, К.Л. Семендяев. М.: Наука, 1986. 608 с. Транслитерованый список литературы.

1. Cisco Visual Networking Index: Forecast and Methodology. 2012-2017. Cisco Public. 2013.

2. Zhi-Hui Lu, Ye Wang, and Yang Richard Yang. An Analysis and Comparison of CDN-P2P-hybrid Content Delivery System and Model // JCM. 2012. 7(3). Р.232-245.

3. Bellman Richard. Dynamic programming. Princeton University Press. 1957. Р.363.

4. Moiseev, N.N. Chislennye metody v teorii optimal'nyh sistem. Monografija. [Tekst] / N.N. Moiseev. M. Nauka. 1971. 428 s.

5. Setton E., Girod B. Peer-to-Peer Video Streaming // Springer. 2007. 150 p.

6. Popovskij V., Barkalov A., Titarenko L. Control and Adaptation in Telecommunication Systems. SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2011. 173 р.

7. Bronshtejn I.I. Spravochnik po matematike dlja inzhenerov i uchashhihsja vtuzov [Tekst] / I.I.Bronshtejn K.L., Semendjaev; M.:Nauka, 1986. 608 s.

Поступила в редколлегию 15.04.2017 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Безрук В.М. Поповская Екатерина Олеговна, ассистент кафедры Инфокоммуникационной инженерии ХНУРЭ. Научные интересы: сети передачи информации. Адрес: Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Науки 14, тел. +380675701213.

Москалец Николай Вадимович, канд. техн. наук, доцент кафедры Инфокоммуникационной инженерии ХНУРЭ. Научные интересы: беспроводная и мобильная связь. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Науки 14, тел.: +380675701213.

Popovskaja Ekaterina Olegovna, assistant of Department «Infocommunication engineering», Kharkiv National University of Radioelectronics. Scientific interests: communication networks. Address: ave. Nauky, 14, Kharkiv, 61166, Ukraine, tel.: +38068-759-60-75 Moskalets Mykola Vadymovych, associate professor of Department "Infocommunication engineering", Kharkiv National University of Radioelectronics. Scientific interests: wireless and mobile communication. Address: Nauky ave. 14, Kharkiv, 61166, Ukraine, tel.: +38068759-60-75.