CC BY
26
УДК 539.22
A.B. Круподеров, канд. физ.-мат. наук, ассис., (+37529) 7916092, krupoderov@tut.by (Республика Белорусь, БГУ)
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ ОСНОВАИЙ
Приводится решение задачи о воздействии поверхностной нормальной нагрузки на упругое трансверсалъно-изотропное основание, состоящее из горизонтально залегающих слоев. Слои считаются неограниченными. Задача решается в объемной постановке. Методика решения основана на использовании преобразования Фурье.
Ключевые слова: напряженно-деформомированное состояние, трансверсально изоторопное полупространство, сосредоточенная сила.
Изучение свойств и НДС слоистых упругих тел имеет большое значение и широкий диапазон приложений в геомеханике, механике грунтов и геофизике. Породный массив, как правило, представляет собой многослойное тело. При этом отдельные слои, составляющие массив, могут быть анизотропными. В большинстве своем грунты и породные слои являются трансверсально-изотропными.
Одним из первых, наиболее полно изучившим НДС трансверсаль-но-изотропного слоя, покоящегося на жестком основании, был С.Г. Лехницкий [1]. Исследованием НДС многослойного трансверсально-изотропного полупространства также занимались такие авторы, как
Н.Р. Гарг и Р.К. Шарма [2], C. Синг [3], П.К. Хадхури и С. Бовал [4], Ж. Куо [5], И. Пэн [6]. Более полный обзор работ приведен в [2].
Особое значение как для теории, так и для практики представляют собой аналитические выражения для осадки свободной поверхности слоистого полупространства, вызванной действием единичной сосредоточенной силы и называемой ядром основания[7-9].
В данной работе описывается подход к изучению объемного НДС многослойного трансверсально-изотропного полупространства в случае воздействия на полупространство нормальной нагрузки, распределенной по некоторой площади на его поверхности. Также получены аналитические формулы для ядер оснований для слоя, покоящегося как на недефор-мируемом, так и на упругом основании. Данный подход может быть использован и для получения решения для большего количества слоев [10]. Однако в силу громоздкости формул, здесь приводятся конечные формулы только для слоя на недеформируемом и упругом основаниях.
Итак, рассмотрим многослойное трансверсально-изотропное основание. На его поверхности воздействует нормальная нагрузка, распределенная по некоторому закону. Будем предполагать, что массовые силы отсутствуют. В данной работе рассматриваются условия идеального контакта между слоями, хотя разработанный метод позволяет учитывать и другие
типы условий. Уравнения равновесия и граничные условия для слоя записываются в виде [11]
ч2 Л
■'її
Эх2
■ + сі
Эу2
■ + с!
Эъ2
■ і ■ ■ \д2иУ / . . чЭ2и!
иХ + (сІ2 + С66 )^у + (с1з+ ■);—- = о
(с12 + с66 +
1 12 64 ЭхЭу
2
11
Эх2
■ + с
66
Эъ
Эи! + 9иУ
Эх Эу
Эу л / +
2 + с44
Эъ2
г д2
44
2
Эх Эу
+ с..
Эъ
ЭхЭъ
э2и
ЭхЭъ
и! = о,
(1)
и
І 1ъ=Ь;
и
І+1
*1 1г°^3 I1 ^3 1^Ь1. ^1=0 = 0,1 = 1..3,] = 1...П,
.Л J J J
их,иу,и2 —> 0при^/х2 + у2 +22
где индекс 7 обозначает номер слоя; и - количество слоев; (с)к1, к,1 = 1,6 -матрица упругих констант, связывающая напряжения с деформациями (т.е. компоненты напряжений ^ = Охх ^ = Оуу,03 = а22 ,а4 = ,а5 = Ох2 ^ = Оху
СДеформациями £1 — £хх, £2 — £уу, £3 — £, £4 — 2£у2, £5 — 2£^6 _ 2^ху ).
Для трансверсально-изотропной среды существует направление, в данном случае вертикальное, поворот вокруг которого на любой угол не влечет за собой изменение упругих свойств, а ее состояние определяется заданием пяти констант: Е1,у1,Б2,у2,02 . Здесь Е1,у1 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона в горизонтальной плоскости (или плоскости изотропии); а Е2,у2,02 - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и модуль сдвига в вертикальном направлении. Матрица упругости имеет следующий вид (за вертикальную ось принята ось 2):
1 - У12 у 2 Е1Е2 Д У1 + У 2 У12 Е1Е2 ^
У 2 + У 2 У1 2 Е1Е2 ^
У1 + У 2 У1 2 Е1Е2 ^
1- У 2 У1 2 Я Е1Е2 ^
У 2 + У 2 У1 2 Е1Е2 ^
У 2 + У 2 У12 Е1Е2 ^
У 2 + У 2 У12 Е1Е2 ^
Е2 А
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о о о о
о о
а 2 о о а
о
о
о
о
о
о
о
Е1
2(1 + У1)
Б, . (1 + у1)(1 - V, - 2у2у12)
где V,, =— V,, А = -----——^.
12 Б Б2Б
^2 12
Для нахождения решения поставленной задачи воспользуемся методом, описанным в [6]. В дальнейших выкладках верхний индекс _/ опускаем, подразумевая, что выкладки ведутся для каждого слоя. Представляем перемещения в следующем виде: если Б, Ф Б2,
если Б, = Б2,
их =Е
дщ +дфъ
“1 Эх ду
иу =Ё
дф{ дуъ
“1 ду Эх ’
Uz =
1=1
д^_ дz■ '
= 0^ + + 5%
Эх Эх Эу
и = М . z М. 8Уз
у Эу 1 Эу Эх
Uz =«1
гд?1 + z э^ Л
V
Эz1 1 Эz1
^3^2,
У
(2)
где
(С с,з)(С + С13 + 2с44)
4С33С44
^ (_ 1)1+1 1(С + С13)(С С13 2с44) ;
4С33С44
Б3 =
л1 66 ,С - у/С11С33 V С44
С33 ,Б^.
В общем случае упругие параметры таковы, что б, ф б2 . Тогда с учетом данного обстоятельства величины, входящие в формулы (2), имеют следующий вид (в дальнейшем будем рассматривать только этот случай, так как случай б, = б2 получается с помощью предельного перехода):
=
С11 С44Б1
(С13 + С44)б2
Подставляя выражения (2) в (1), найдем, что каждая из функций ф;-должна удовлетворять уравнению
= 0,(і = 1,2,3),
1 /
а также системе граничных условий, которые получаются подстановкой выражений (2) в исходные граничные условия.
Для решения сформулированной выше системы уравнений применим преобразование Фурье по переменным х, у:
* х х
^^1^2) = — | I Ц^уУ^1+У№2)ёхёу .
Таким образом, получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения для трансформант функций (р1:
¿у
где w2 = w12 + w2.
Общее решение данных уравнений представляется в следующем виде (здесь возвращаемся к индексу _/, т.к. для каждого слоя константы свои):
ср1 = С^е^ + С^е-Б> . (3)
Если подставить выражения (3) в систему граничных условий, то получится система линейных уравнений относительно констант С . Данная система довольно громоздка, поэтому представляется целесообразным решать ее с помощью систем компьютерной алгебры. В нашем случае решение проводилось с помощью метода Краммера. Стоит отметить, что в данном случае (действия нормальной нагрузки) можно без ограничения общности положить С]3 = 0 . В итоге некоторые из уравнений системы становятся линейно зависимыми и таким образом уменьшается порядок системы, и, следовательно, она упрощается.
Опуская промежуточные вычисления, приведем аналитические выражения для ядер оснований для слоя, покоящегося на недеформируемом основании, и для слоя, жестко сцепленного с упругим полупространством. В первом случае ядро имеет следующий вид:
.0« = 1 ««Т)^™^, (4)
где
P(w) = -+((Н + e2"”' )(1 + e21'- )«, - (1 + e21'”1)(-1 + e2h- )a2)(k32a, - k31«2)), 2n
Q(w) = c66(-k*(-4ehw(s1+s2)k3ia2 + k32((1 + e2hws1 )(1 + e2hws2M -_(_1 + e2hws1 )(-1 + e2hws2 )a2)) + k22(4ehw(s1+Sl)k32a1 +
+k31((-1 + e2hws1 )(-1 + e2hws2 )a, - (1 + e2hws1 )(-1 + e2hws2)a2)));
k _ + si k _ C33^isi ~ c13
k3i 2 ’k2i •
S3 C66
Для слоя, сцепленного с упругим основанием, функции Р И 0 имеют гораздо более сложный вид:
PH =^-((04л2 - к3,а2)(-(С2б)2(к22к21 - к^ХН+е21“^) -
2п
_(1 + e2hwБl2 )ц1 _ (1 + e2hwБl )(_1 + e2hWБl2 )^) -
-(Сбб)2((-1+e2hWБl)(1+^^32 - (1+e2hWБl)(-1+e2hWБ2)k2lk32)(al2-а2) + +Сб6С26(к22к32Ц1(-1+e2hWБl + e2hWБl2 -e2hw(Б2+б1)) +
+к22к31ц2(-1+e2hWБl -e2hWБl2 + e2hw(Бl2+б1))+к22к32а22(1+e2hWБl -e2hWБ2 +
+e2hw(Бl2+б1))++к21к22ц2(1+e2hWБl + e2hWБ2 + e2hw(Бl2+б1)) +
+к22к32а^(1- e2hWБl -e2hWБl2 + e2hw(Б2+б1))+к21к21а^(1+e2hWБl - e2hWБ2 -e2hw(Бl2+б1)) +
+k21k22a!(-1 - e2hws1 + e2hws2 + e2hw(s2+s1))+k21k21a22(-1- e2hws1 - e2hws2 - e2hw(s2+s1)) + +(1+e2hws2 )k22(-k22 ((-1+e2hws1 )«1 + (1+e2hws1 )of) +
+k21((-1+e2hws>1 + (1+e2hws>2)+k21((-1+e2hws2)k32((-1+e2hws1)«1 +
+(1+e2hws1 )a22) - (-1+e2hws1 )k31((-1+e2hws2 )al2 + (1+e2hws2 )a22))))));
С помощью предельного перехода нетрудно убедиться, что для случая изотропного слоя и полупространства эти функции совпадают с известными решениями [4, 5].
На практике дробь P(w) удобно представлять в виде
Q(w)
P(w)
= C + g(w) ,
Q(w) J
где C = lim P(w) - константа, соответствующая решению Буссинеска Q(w)
[12], g(w) - гладкая функция.
Выражение для константы С в рассмотренных случаях имеет следующий вид
- для слоя на недеформируемом основании
С
1 кз2«1 кз1«2
2^ С66(к22к31 к21к32)
- для слоя, сцепленного с упругим полупространством,
С __ 1 к32^1 ~ к31^2
2^ ^66 (к22к3, -к121к32) ’
= С66(-(С626)2(к22к31 -k2lk22)(k2l(-4ehW(Бl+Б2)к31«2 + к32((1 + e2hWБl)(1 + -
-(-1 + e6hWБl)(-1 + e6hWБ6)a^)) + k26(-4ehw(Бl+Бб)к36«2 + к32(-(-1 + e6hWБl)(-1 + e6hWБ6)a1 +
+(1 + e6hWБl)(1 + e6hWБl6)a^))) - (с66)6(-(-1 + e6hWБl)(-1 + e6hWБl6)(k26k31)6 + 2(1 + e6hWБl +
+e6hWБl6 - 4ehw(Бl+б2) + e6hw(Бl+Б1б))к22к26к32к36 - (-1 + e6hWБl)(-1 + e6hWБl6)(k21k36)6)(a2 -а2) + +С1бвС26(-(-1+e6hwБ2)(k26)6k3l(-к36б((-1 + + (1 + e6hwБl)«2)+к362 ((-1 +e6hwБl)«2 +
+(1 + e6hWБl)«2)) + к21к3б(к6б(-(-1 + e6hWБl6)k36((1 + e6hWБl )«2 + (-1 + e6hWБlK) +
+к32((1 + e6hWБl + e6hWБl6 - 4ehw(Бl+4) + e6hw(Бl+4))а26 + (1 + e6hWБl)(-1 + e6hWБl6)a^)) +
+(-1 + e6hWБl )к22 (к366((1 + e6hWБl6 )а2 + (-1 + e6hWБl6 )сс\) - к362 ((-1 + e6hWБl6)«2 + (1 + e6hWБl6)a2)) + +к62((-1 + e6hWБl6)k36((1 + e6hWБl)a2 + (-1 + e6hWБl)a66) + к32(-(1 + e6hWБl)(-1 + e6hWБl6)a^ -_(1 + e6hWБl + e6hWБl6 -4ehw(Бl+б2) + e6hw(Бl+4))а2))) + к26(к66к32(к36((-1 + e6hWБl)(1 + e6hWБl6)a2 + +(1 + e6hWБl + e6hWБl6 - 4ehw(Бl+4) + e6hw(Бl+4))а26) - (-1 + e6hWБl)к32((-1 + e6hWБl6)а2 +
+(1 + e6hw4)a2)) + к62к32((-1 + e6hWБ2)k31((1 + e6hw4)a6 + (-1 + e6hw4)a2) --к36((-1 + e6hWБl)(1 + e6hw4)a22 + (1 + e6hWБl + e6hWБl6 - 4ehw(Бl+4) + e6hw(Бl+4))а2)) +
+к22(-к36(к36((1 + e6hw4)a22 + (1 + e6hWБl + e6hw4 - 4ehw(Бl+4) + e6hw(Бl+4))а22 +
+(-1 + e6hWБl )(1 + e6hWБl6 )а26) + к32 ((1 + e6hWБl)(-1 + e6hWБl6 )а26 +
+(1 + e6hWБl + e6hWБl6 - 4ehw(Бl+4) + e6hw(Бl+б2))«^)) +
+к362 (к32((1 + e6hWБl + e6hWБl6 -4ehw(Бl+4) + e6hw(Бl+4:>2 +
+(1 + e6hWБl)(-1 + e6hw4)a2) + к36((1 + e6hWБl + e6hWБl6 -
_4ehw(Бl+б2) + e6hw(Бl+Б1б))а22 + (-1 + e6hWБl)(1 + e6hw4)a2)))))).
Использование формулы (4) в том виде, в котором она приведена,
является крайне затрудннительным, поэтому дробь Р(^ приближают
0^)
некоторым выражением [3 - 5] так, чтобы интеграл в (4) брался аналитически. Для случая, когда полупространство изотропно, зачастую пользуются взятием нескольких членов ряда в следующем представлении:
= С2 + e-6" У akwk, (5)
Q(w/h) 2 & к ^
где ак - коэффициенты ряда Маклорена функции
г P(w/h) с Л
2w
Q(w/h)
Выбор двойки связан с оценкой асимптотического поведения функции ^ бесконечности. Однако попытка применить данный подход
для трансверсально-изотропного массива оказывается неудачной, так как требуется довольно большое количество членов ряда, для хорошей аппроксимации.
Нами предлагается следующее представление для исходной функции
0^ = С, + e-2wБ6 ¿а^), (6)
где Lk - полиномы Лагерра, ак =[e“w _ С2 e2Б6WLk(w)dw - ко-
0 ^ Q(w/h) )
эффициенты Фурье. Аналитическое вычисление этих коэффициентов не всегда возможно. Однако при конкретных упругих постоянных их легко расчитать численно. Для случая слоя на упругом основании в формуле (5)
S2 заменяется на ¿2.
Нарис. 1, 2 приведены примеры указанного приближения. Нарис. 1 для слоя на недеформируемом основании. При этом были взяты следующие упругие свойства слоя: Е2 = Е2 = 1010Па,г2 =у2 = 0,3,0 2 = 0,3502 . В этом случае получаем следующие значения коэффициентов: а0 = -6,45788-10“11 Па_1,а2 = 1,56765 • 10"11 Па_1,а2 = 4,38728 • 10"12 Па"1
На рис. 2 приведен пример приближения для слоя на упругом основании. При этом были взяты следующие упругие свойства слоя и полупространства:
Е, = Е6 = 1010 Па ,у22 = у, = 0,2,06 = 0,350,,
Е22 = Е2 = 5 • 109 Па ,у22 = г22 = 0,3,02 = 0,20,.
В данном случае имеем следующие значения коэффициентов:
а0 = 7,89831 • 10“11 Па"1,а1 = 3,79173 • 10“12 Па_1,а2 = -1,51824 • 10“11 Па"1.
И в том, и в другом случаях п принималось равным 2.
Максимальная погрешность не превышает 10 % и, как известно из теории рядов Фурье, будет уменьшаться при добавлении новых членов ряда.
Р МЩ
Рис. 1. Пример аппроксимации на основанииразложения вряд Фурье для слоя на недеформируемом основании
ЙЖШШ
1.2 х 10"1П
Рис. 2. Пример аппроксимации на основании разложения вряд Фурье для слоя, сцепленного с полупространством
В итоге на основании укзанного приближения интеграл в формуле (4) берется аналитически и вертикальные перемещения границы слоя от сосредоточенной вертикальной силы имеют следующий вид (г = ^1 x2 + у2 ) :
ч(г)| -^ + a 1 + a (г/h)2 + 2s2(-1 + 2sг) .
()и г %((г/11)2 + 482)1/2 1 h((г/h)2 + 4s2)3'2 ^..
Приведем графики (рис. 3) перемещений поверхности основания, вызванных сосредоточенной силой, для трех случаев: упругое полупространство (сплошная кривая), слой на недеформируемом основании (длинный пунктир), слой на упругом полупространстве (мелкий пунктир). Графики строились в соответствии с полученными выше приближениями.
Таким образом, получены решения для случая воздействия нормальной нагрузки на упругое многослойное трансверсально-изотропное
основание. Приведены аналитические выражения для ядер основания для случая упругого слоя на недеформируемом и упругом основаниях. Предложен подход для аппроксимации ядра основания с помощью полиномов Лагерра. Приведны примеры аппроксимации.
№]
2.5 х 10 -3 _■ 1
2.x 10 -9
1.5 х 10 -9
1.x 10 -9 1
5.^10“ 10 _
: ' V: - - ч
1 yj~—Л--г-л-г_^Т ~ г т 1 -I-.-I
0.5 1.0 1.5 2.0 3.5 3 0
Рис. 3. Перемещения поверхности дляразличных типов основания
Указанные решения могут быть использованы при анализе напряженно-деформированного состояния грунтов, вызванного поверхностной нагрузкой.
Список литературы
1. Лехницкий С.Г. Упругое равновесие трансверсально-изотропного слоя и толстой плиты // Прикладная механика и математика. Т. 26. №4. С. 687-696.
2. Garg N.R., Sharma R.K. Displacements and stresses at any point of a transversely isotropic multilayered half-space due to strip loading// Indian. J. pure appl. Math. 1991. 22(10). P. 859-877.
3. Garg N.R., Singh S.J. Residual response of a multilayered half- space to two-dimensional surface loads // Bull. Ind. Soc. Earthq. Tech. 1985. 22. P.39-52.
4. Chadhuri P.K., S. Bowal Two-dimensional static response of a trans-versely-isotropic multilayered nonhomogeneous half-space to surface-loads // Geophys. Res. Bull. 1989. 27. P. 77-87.
5. Kuo J.T. Static response of a multilayered medium under inclined surface loads // J. Geophys. Res. 1969. 74. P. 3195-3207.
6. Pan E. Static response of transversely isotropic and layered halfspace to general surface loads // Phys. Earth Planet Inter. 1989. 54. P. 353-363.
7. Босаков С.В. Статические расчеты плит на упругом основании/ М.: БИТУ, 2002. 128 с.
8. Алейников С.М., Кутенков Е.В. Развитие метода специальной аппроксиамции в контактных задачах теории упругости // Труды Всероссийской конференции “Математическое моделирование и краевые задачи”. 2004 г. Самара, 2004. С. 9-13.
9. Алейников С.М., Кутенков Е.В. Аппроксимация ядер упругих слоистых оснований // Труды Всероссийской конференции “Математическое моделирование и краевые задачи”, Самара, 2005. С. 17-20.
10.Круподеров А.В., Журавков М.А. Решение задачи о воздействии нормальной нагрузки на многослойное трансверсально-изотропное основание с помощью использования преобразования Фурье в объемной постановке // Труды VI Международного симпозиума по трибофатике МСТФ 2010, Минск 25 окт.-1 нояб. 2010 г. 4.2/ Минск: БГУ, 2010. С. 359-364.
11.Ding H., Chen W., Zhang L. Elasticity of transversely isotropic materials. Springer, 2006. 444 p.
12.Johnson, K. L. Contact Mechanics. Cambridge University Press, 1985. 438 p.
A. V. Krupoderov
FUNDAMENTAL SOLUTIONS FOR TRANSVERSELY ISOTROPIC MULTILAYERED
The problem of act of normal loading on transversely isotropic half-space consisted from horizontal layers in is solved. The layers are unbounded. Problem is solved in 3D. The method of solution is based on using of Fourier transform.
Keywords: stress-strain state, transversely isotropic half-space, concentratedforce.
Получено 20.04.11
УДК 622.793.2
И.В. Пестряк, канд. техн. наук, доц.,
О.В. Морозова, асп. (Россия, Москва, МГГУ)
РАЗРАБОТКА ТЕХНОЛОГИИ КОНДИЦИОНИРОВАНИЯ ОБОРТНЫХ ВОД ГОРНО-ОБОГАТИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА
Проведенными исследованиями обоснована возможность снижения концентрации меди в стоках лежалых хвостов обогатительных фабрик до 0,15 и менее мг/л иона меди, что приемлемо для использования таких вод в технологических процессах измельчения и флотации.
Ключевые слова: горно-обогатительное производство, флотация, технологические процессы.
Стоки хвостохранилищ обогатительных фабрик одновременно представляют собой источник ценных компонентов и источник загрязнения окружающей среды. Негативное воздействие обусловлено загрязнени-
