CC BY
36
ФИЗИКА
ФИЗИКА И ТЕХНОЛОГИЯ НАНОСТРУКТУР,
АТОМНАЯ И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Андреев А.И.
Кандидат физико-математических наук E-mail: andranatoliy@yandex.ru
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ
АЛГЕБРЫ
В прикладных направлениях спектральные задачи имеют широкое применение. В квантовой теории спектральные задачи объясняют природу атомных и молекулярных спектров, дискретную природу строения атомных ядер.
В цифровой обработке спектральный анализ исходных данных занимает первое место. Основой спектрального анализа является быстрое преобразование Фурье [1]
Целью предлагаемой работы является дальнейшее развитие основных прикладных направлений математики, физики.
С произвольной матрицей A(n,n) связан спектральный полином, определяемый выражением:
¿а; (ХБ(п,п) - А(п,п)) = ¿а; (ХБ - A) = 0, где Х - неизвестный параметр, E(n,n) -единичная матрица.
Вычисление определителя det(ХБ -A)=0 определяет спектральный полином Д(Х) порядка п:
Д(Х) = Х п + Pl Х 11-1 + P2 Х п--2 +...+ Pn = 0, где p1, p2,...pn - коэффициенты спектрального полинома.
По основной теореме алгебры любой полином степени п имеет ровно п корней Х1, Х2,... Хт, обращающих полином в нуль. Кратные корни считаются столько раз, какая у них кратность. Собственные значения Хk обычно записывают в форме диаго-
нальной матрицы D(n,n) = D(Х) с повторением кратных корней.
Полином Д(х) = Х п + pl Х 11-1 + p2 Х 11-2 +...+ рп скалярной переменной Х называют скалярным полиномом [2].
Существует полином матричной переменной ДА) = А1 + р1Ап-1 + ...+ рпЕ, в котором переменной является матрица А(п,п) скалярного полинома Д(Х) и ее степени. Полином матричной переменной называют матричным полиномом [2]. Матричный полином представляет линейную комбинацию степеней матрицы А(п,п) с коэффициентами скалярного полинома Д(Х). Коэффициентами линейной комбинации Д(А) являются ТОЛЬКО коэффициенты рк скалярного полинома матрицы А(п,п)
В предлагаемой работе вводится матричный полином диагональной матрицы собственных значений D(Х) исходной матрицы А(п,п):
Др) = Dn + р^11-1 + p2Dn-2 +.. ,+рпЕ. Полином f(D) в дальнейшем называется полиномом диагональной матрицы D(Х).
Полином f(D) диагональной матрицы D(Х) представляет линейную комбинацию степеней диагональной матрицы D(Х) собственных значений матрицы А(п,п) скалярного полинома. Коэффициентами линейной комбинации являются только коэффициенты скалярного полинома Д(Х).
=■ 1/2015
Андреев А.И.
Линейная комбинация целых степеней любой диагональной матрицы Б(Х) также диагональная матрица. Поэтому справедливо выражение: Д(Б) = Бп + р^11"1 + р2Бп"2 ...+рпЕ = '^п,п), где '^п,п) - диагональная матрица с нулевыми внедиагональны-ми элементами.
Полином ДБ) диагональной матрицы имеет определенные особенности, отражаемые следующей теоремой.
ТЕОРЕМА. Полином ДБ) диагональной матрицы собственных значений Б(Х) является нулевой матрицей, т.е. ДБ) = Бп + Р1Бп-1 +...+ рпЕ = 0(п,п).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подставим в выражение ДБ) = Бп + р1Бп"1 +.+ рпЕ вместо матрицы Б(Х) любое собственное значение, например,
ДБ) = Бп + р1Бп-1 + р2Бп"2.+ рпЕ ^
V + рАЛ1 + р2^1п"2.+ рп = 0.
Каждое собственное значение Хк является корнем скалярного полинома Д(Х) и обращает полином в нуль. Матрица ДБ) = Бп + р1Бп-1 + р2Бп"2.+ рпЕ = диаго-
нальная, все внедиагональные элементы в W(n,n) нулевые. Но и диагональные элементы 'М'тт = 0 также нулевые. Действительно, 'М'тт = Хтп + р1Хтп-1 + р2Хтп"2...+ рп = 0. Следовательно, каждая строка в W(n,n) нулевая, поэтому справедливо равенство, доказывающее теорему:
Д(Б) = Бп + р1Бп-1 + р2Бп"2.+ рпЕ = W(n,n) = 0(п,п).
Применим теорему Д(Б) = 0(п,п) в произведении матричного полинома Д(А) на матрицу собственных векторов 8(п,п). Используя фундаментальный закон спектральных матриц АкБ = ББк, для полноос-ных матриц А(п,п) получим:
Д(А)8(п,п) = (Ап + р1Ап-1.+ рпЕ)Б = Б(Бп + р1Бп-1.+ рпЕ) = Б Д(Б) = 8(п,п) 0(п,п) = 0(п,п).
Для неполноосных матриц справедливо Д(А)Б(п,к) = Б(п,к) Д(Б) = Б(п,к) 0(к,к) = 0(п,к), где к - число собственных векторов неполноосной матрицы А(п,п).
Все матрицы А(п,п) в алгебре делятся на полноосные и неполноосные (дефектные). Матрица А(п,п) полноосная, если в спектральной задаче ей соответствует невырожденная квадратная матрица собственных векторов 8(п,п). Матрица А(п,п) неполноосная (дефектная), если в спектральной задаче число ее собственных векторов к меньше размерности матрицы п. Неполноосной матрице соответствует прямоугольная матрица собственных векторов Б(п,к), к < п.
Учитывая особенности матриц, введем ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАКОН спектральных матриц. Каждая матрица А(п,п) связана с матрицей своих собственных векторов 8(п,п) и с диагональной матрицей собственных значений Б(п,п) выражением АБ = ББ.
Используя АБ = ББ, определим произведения:
А2Б = А(АБ) = А(ББ) = ББ2, А3Б = А(А2Б) = А(ББ2) = ББ3,. АкБ = ББк или
АБ = ББ, А2Б = ББ2, А3Б = ББ3,... АкБ = ББк.
Равенство АкБ = ББк выражает ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАКОН спектральных матриц. Выражение АкБ = ББк справедливо для любых полноосных или дефектных матриц с простыми и кратными собственными значениями.
Для дальнейшего изложения введем и докажем теорему о матричном полиноме.
ТЕОРЕМА. Матричный полином Д(А) преобразует каждый собственный вектор скалярного полинома sk(n), к = 1,2.п, в нулевой вектор.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Справедливо равенство:
Д(А>к(п) = (Ап + р1Ап-1 .+ рпЕ)8к = (Хкп + р1Хкп-1+ р2Хкп"2.+ рп>к = 08к = 0(п).
Действительно, каждое собственное значение Хк является корнем полинома Д(Х) и обращает полином Д (Х) в нуль: Д(Хк) = 0, к = 1,2.п.
Умножим матричный полином Д(А) справа на матрицу собственных векторов
=■ 1/2015
Б(п,п) = ^ 82...8п], учитывая Д(А)8к(п) = 0(п) для любого к = 1,2. п:
Д(А)8(п,п) = ЦА)[81 82.8п] = [081 082.08п] = [81 82...8п]Б(п,п) = 8(п,п)0(п,п) = 0(п,п),
где D(n,n) = 0(п,п) - нулевая квадратная матрица.
Равенство Д(А)Б(п,п) = 0(п,п) доказывает теорему.
Матрица 8(п,п) собственных векторов полнооосных матриц квадратная Б(п,п), а неполноосных - прямоугольная Б(п,к), к < п.
Следствием теоремы о матричном полиноме Д(А) является фундаментальное тождество матричного полинома ДА):
ДА)8(п,п) = 0(п,п) для полноосных матриц, ДА)8(п,к) = 0(п,к), к < п - для не-полноосных.
Из тождества ДА)8(п,п) = 0(п,п) для полноосных матриц А(п,п) следует:
ДА)88-1 = Д(А) = 0(п,п)Б-1 = 0(п,п) или ДА) = 0(п,п) - тождество Гамильтона-Кели..
Для матриц А(п,п) с прямоугольной матрицей собственных векторов 8(п,к), к < п связь тождества ДА)8(п,к) = 0(п,к) с равенством ДА) = 0(п,п) не очевидна.
С любой матрицей А(п,п) связана диагональная матрица собственных значений D(n,n). В матрице D(n,n) выделим диагональные блоки D1(n1,n1), D2(n2,n2), ... Dk(nk,nk). Блок D1(n1,n1) содержит все простые (однократные) собственные значения Хк исходной матрицы А(п,п). Любой блок кратных собственных значений Dk(nk,nk) является скалярной матрицей согласно Dk(nk,nk) = ХкЕ(пк,Пк).
С любой скалярной матрицей аЕ(к,к) связан скалярный (спектральный) полином ДХ) = ¿е* (ХЕ - Бк) = det (ХЕ - аЕ) = ¿е* ((Х - а)Е) = (Х - а)к = Хк + р1Хк-1 + р2Хк-2.+ Рк = 0
Со скалярным полиномом связан матричный полином ДА) = ДБк) = ДаЕ(к,к)).
Для скалярной матрицы Б(3,3) = аБ(3,3) определим скалярный полином ДХ)
ДХ) = ¿еДХБ - аБ) = ¿е* ((Х - а)Е) = (Х -а)3 = Х3 + Р1Х2 + Р2Х + рз = Х3 - 3аХ2 + 3а2Х -а3 = 0, где р1 = - 3а, р2 = 3а2, р3 = - а3. 1/2015
С полиномом ДХ) связан матричный полином ДА) = ДБ) = ДаЕ(3,3)), где Б = аЕ(3,3):
р2Б + р3Е = а3Е - 3а "0 0 0"
ДБ) = Б3 + Р1Б2 +
(а2Е) + 3а2(аБ) - а3Е =
000 000
= 0(3,3).
Матричный полином любой скалярной матрицы аЕ(п,п) является нулевым: ДаЕ) = 0(п,п).
В качестве примера определим матричный полином ДА) для матрицы А(3,3) в форме жордановой клетки:
а2 2а 1
А =
А2 =
А3 =
а 1 0 0 а 1 00а
а3 3а2 3а 0 а3 3а2 0 0 а3
0 а2 2а 0 0 а2
Определим скалярный полином ДХ) = ¿е* (ХЕ - А) = 0:
АТХ) = (Х - а)3 = Х3 - 3аХ2 + 3а2Х - а3 = Х3 + Р1Х + Р2 Х + р3, где р1 = -3а, р2 = 3а2, р3 = - а3.
Определим матричный полином ДА) =
0 0 0"
А3 + Р1А2 + Р2А + Р3Е =
000 000
= 0(3,3).
Равенство ДА) = 0(3,3) является тождеством Гамильтона-Кели.
Из предыдущего изложения следует: с любой матрицей типа полноосной, скалярной, в форме жордановой клетки, связан матричный нулевой полином ДА) = 0(п,п).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ГАМИЛЬТОНА-КЕЛИ
Применим приведенные результаты для доказательства теоремы Гамильтона-Кели. Гамильтон опубликовал эту теорему
МИР современной науки
9
Андреев А.И.
в1853 году для матриц 2*2. Позднее Кели сформулировал более общее утверждение без доказательства [3]. Первое полное доказательство опубликовал Фробениус в 1878 году.
В предлагаемой работе доказательство теоремы Гамильтона-Кели отличается простотой.
Рассмотрим два полинома - скалярный Д(Х) и связанный с ним матричный Д(А):
Д(Х) = Х п + р1 Х п-1 + р2 Х п-2 +...+ рп = 0, Д(А) = Ап + р1Ап-1 + р2Ап-2 .+ рпЕ.
С полноосной матрицей А(п,п) связано равенство Д(А)8(п,п) = 0(п,п), из которого следует Д(А)8Б-1 = Д(А) = 0(п,п) Б-1 = 0(п,п) или Д(А) = 0(п,п). Равенство Д(А) = 0(п,п) доказывает теорему Гамильтона-Кели для полноосных матриц А(п,п).
Для скалярных матриц А(п,п) типа А(п,п) = Б(п,п) = аЕ(п,п) или матриц в форме жордановой клетки согласно изложенному выше матричный полином Д(А) = 0(п,п) является нулевым.
С любой матрицей А(п,п) связан скалярный (спектральный) полином Д(Х):
Д(Х) = ёе1(ХЕ - А) = Х п + р1 Х п-1.+ рп = (Х - Х1) (Х - Х2) (Х - Х3)т (Х - Х4)р .(Х - Хп) = 0.
С другой стороны, с каждой матрицей А(п,п) связана диагональная матрица Б(п,п) = Б(Х) собственных значений Хк.
Каждый столбец ак(п) диагональной матрицы Б(п,п) представляет одномерное
пространство п-мерного пространства. Собственным значениям кратности к в диагональной матрице Б(п,п) соответствует к столбцов - к одномерных пространств, в объединении составляющих подпространство размерности к в п мерном пространстве. Множество т однократных собственных значений определяют т мерное подпространство. Каждое собственное значение кратности к порождает подпространство размерности к. В целом простые и кратные собственные значения в диагональной матрице собственных значений Б(п,п) представляют расщепление п мерного пространства на подпространства меньшей размерности. С каждой матрицей Ак(к,к) подпространства связан матричный нулевой полином Д(Ак) подпространства.
С любой матрицей А(п,п) связана матрица нулевых диагональных блоков - нулевых матричных полиномов Д(Бк) = 0(к,к):
Б(п,п) =
/ (А)...о..........0
0.........../(А)..о
0.
0.
■■/ (А)
0(п,п).
Предлагаемая работа представляется полезной широкому кругу специалистов по математике, физике.
ЛИТЕРАТУРА
1.Андреев А.И. Способ сверхбыстрого преобразования Фурье. Журнал Геофизика, № 2, 2003 г., М., изд. Евро-Азиатского геофизического общества.
2.Гантмахер Ф.Р. ТЕОРИЯ МАТРИЦ. М., НАУКА, 1988.
3.Ланкастер П. ТЕОРИЯ МАТРИЦ. М., НАУКА, 1982.
1/2015
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ. ФИЗИКА КРИСТАЛЛОВ
Андреев А.И.
Кандидат физико-математических наук E-mail: andranatoliy@yandex.ru
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ СИММЕТРИИ
КРИСТАЛЛОВ
КРИСТАЛЛОГАФИЯ, ТЕОРИЯ ГРУПП.
В теории кристаллов учение о симметрии является исключительно важным. Любой кристалл относится к одному из 32 классов симметрии, которые были определены в работе Гесселя 1830 г. Более полная теория 32 классов симметрии содержится в работе Гадолина 1867 г. В работе [1] 2014 г. определены все 32 класса симметрии кристаллов на основе теории групп, включая определение и состав каждого класса
Целью предлагаемой работы является дальнейшее развитие фундаментальной теории симметрии кристаллов путем введения инверсионных операций симметрии, включая инверсионные плоскости симметрии, инверсионные оси второго порядка
Существенной в дальнейшем изложение является теория составных и простых матриц, теория установки пересекающихся осей симметрии.
ТЕОРИЯ СОСТАВНЫХ И ПРОСТЫХ
МАТРИЦ. ТЕОРИЯ УСТАНОВКИ ОСЕЙ СИММЕТРИИ.
Необходимость определения простых и составных матриц связана с тем, что поворотам относительно пересекающихся осей симметрии соответствуют произведения матриц. Матрица, которая является произведением двух и более матриц, называется составной в отличие от простой, не составной матрицы.
1/2015
В кристаллах кубической сингонии элементарная решетка в форме куба содержит три оси симметрии четвертого порядка 4Х, 4У, 42.. С осями 4Х, 4У, 42 связаны матрицы вращения пространства МХ, МУ, М2. Явной формой матриц вращения является:
Mx =
1 0
0
My =
mz =
0 cos a - sin a 0 sin a cosa cos /3 0 - sin /3 0 1 0 sin 3 0 cos 3 cos y - sin y 0
sin y cos y 0
0 0 1
Значениям углов a = в = у = 0° соответствуют три единичные матрицы Mx(0°) = My(0°) = Mz (0°) = E(3,3).
С другой стороны, любая группа элементов G(n) содержит единственный элемент тождественного преобразования e и связанную с ним единственную матрицу E(n,n) тождественного преобразования. Поэтому существование трех матриц тождественного преобразования не соответствует постулатам существования групп. Оси симметрии 4x, 4y, 4z и связанные с ними матрицы Mx, My, Mz не могут рассматриваться как независимые.
С другой стороны, любую из трех осей симметрии 4x, 4y, 4z можно принять за независимую. Обычно независимую ось обозначают 4z.
МИР СОВРЕМЕННОЙ науки
11
