Фундаментальная теория классов симметрии кристаллов Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ. ФИЗИКА КРИСТАЛЛОВ

Андреев А.И.

Кандидат физико-математических наук E-mail: andranatoliy@yandex.ru

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ СИММЕТРИИ

КРИСТАЛЛОВ

КРИСТАЛЛОГАФИЯ, ТЕОРИЯ ГРУПП.

В теории кристаллов учение о симметрии является исключительно важным. Любой кристалл относится к одному из 32 классов симметрии, которые были определены в работе Гесселя 1830 г. Более полная теория 32 классов симметрии содержится в работе Гадолина 1867 г. В работе [1] 2014 г. определены все 32 класса симметрии кристаллов на основе теории групп, включая определение и состав каждого класса

Целью предлагаемой работы является дальнейшее развитие фундаментальной теории симметрии кристаллов путем введения инверсионных операций симметрии, включая инверсионные плоскости симметрии, инверсионные оси второго порядка

Существенной в дальнейшем изложение является теория составных и простых матриц, теория установки пересекающихся осей симметрии.

ТЕОРИЯ СОСТАВНЫХ И ПРОСТЫХ

МАТРИЦ. ТЕОРИЯ УСТАНОВКИ ОСЕЙ СИММЕТРИИ.

Необходимость определения простых и составных матриц связана с тем, что поворотам относительно пересекающихся осей симметрии соответствуют произведения матриц. Матрица, которая является произведением двух и более матриц, называется составной в отличие от простой, не составной матрицы.

1/2015

В кристаллах кубической сингонии элементарная решетка в форме куба содержит три оси симметрии четвертого порядка 4Х, 4У, 42.. С осями 4Х, 4У, 42 связаны матрицы вращения пространства МХ, МУ, М2. Явной формой матриц вращения является:

Mx =

1 0

0

My =

mz =

0 cos a - sin a 0 sin a cosa cos /3 0 - sin /3 0 1 0 sin 3 0 cos 3 cos y - sin y 0

sin y cos y 0

0 0 1

Значениям углов a = в = у = 0° соответствуют три единичные матрицы Mx(0°) = My(0°) = Mz (0°) = E(3,3).

С другой стороны, любая группа элементов G(n) содержит единственный элемент тождественного преобразования e и связанную с ним единственную матрицу E(n,n) тождественного преобразования. Поэтому существование трех матриц тождественного преобразования не соответствует постулатам существования групп. Оси симметрии 4x, 4y, 4z и связанные с ними матрицы Mx, My, Mz не могут рассматриваться как независимые.

С другой стороны, любую из трех осей симметрии 4x, 4y, 4z можно принять за независимую. Обычно независимую ось обозначают 4z.

С независимой осью 42 связаны 12 простых (не составных) матриц симметрии, образующих подгруппу из 12 операций симметрии, обозначаемую М2 = 42:

М2 = 42 =

40 4+ 2 4; тХ тУ тХУ тХУ 2X 2У 2ХУ 2ХУ,

2 2 где 4++ = 2

"2 г

В дальнейшем для обозначения операции симметрии используется символ волнистой черты. Например, 4° - операция поворота на нулевой угол относительно оси симметрии 42. Символ 40 без волнистой черты обозначает матрицу симметрии

"1 О о"

40 =

0 1 0 0 0 1

С операцией 4* связана

матрица

4+ =

поворота на +90°

01 0 1 0 0

0 0 1

относительно оси 4z.

Матрицы 40, 4+, 2 , 4" определены подстановкой значения угла у = 0°, 90°, 180°, 270° в матрицу вращения относительно оси 4z:

cos у - sin y 0 0 1

Mz =

sin у 0

cos у 0

В матрицах m , m

m

xy

xy

m отра-

Iх,...

2 ' 2

жений относительно плоскостей симметрии, продольных к оси 42, нижний индекс обозначает ось симметрии четвертого порядка. Верхний индекс обозначает направление нормали к плоскости симметрии.

Например, ту обозначает матрицу отражения в плоскости 0X2.

В обозначениях осей симметрии второ-

2 х ~ У ~ ХУ ~ Ху „

2 ,2 ,2 нижний индекс показывает направление оси четвертого порядка, с которой связаны оси симметрии второго порядка. Верхний индекс

определяет направление оси второго порядка. Например, ось 2 уг направлена по

координатной оси 0У и связана с осью симметрии 42.

Подгруппа 42 полной группы симметрии куба.

40 4+ z 2 z 4- z

mx z my z mxy z mx z

"1 0 0" "01 0" "10 0" "0 1 0

0 1 0 1 0 0 0 10 10 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

"1 0 0" "1 0 0 " "010" "0 1 0"

0 1 0 0 10 10 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

2x z 2 y z 2 xy z 2xy z

"10 0 " "10 0" "01 0" 0 10"

0 10 0 1 0 10 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Подгруппа матриц 42 используется для определения смежных классов симметрии по известной подгруппе. Группа симметрии куба содержит 48 матриц симметрии в линейном представлении. Подгруппа 42 порядка 12 используются для определения смежных классов по подгруппе.

Существенным при определении смежных классов симметрии является использование строго определенных матриц - матриц перестановок Р3-1 и Р3-2 - генераторов смежных классов и матрицы инверсии пространства (—Е) = Е .

В работе [1] доказана справедливость выражений:

"О О 1"

4x = 4z P3-1 = 4z

0 1 0 1 0 0

1/2015

"1 0 0" "0 0 1" "0 0 1" "01 0" "0 10"

4у = 42 Р3-2 = 42 0 0 1 0 10 0 1 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 10 0 10 0 10 0 _ 1 0 0_

Классы 4х, 4у, 4_ = 4z Е

представляют разложение группы симметрии куба порядка 48 на смежные классы по подгруппе 42 порядка 12. По теореме Лагранжа отношение порядка группы к порядку подгруппы всегда целое число, т.е.48/12 = 4.

Каждая матрица любого смежного

класса 4х, 4у, 4 = 42 Е является СОСТАВНОЙ, представляет произведение каждого элемента подгруппы 42 на соответствующую матрицу - генератор смежного класса. Оси симметрии 4 , 4 , 4 не

являются независимыми, так как пересекаются с независимой осью 42.

Определение операций симметрии с

осями 4х, 4у, 4 включает умножение каждой матрицы подгруппы 42 на матрицы Р3-

1, Р3-2, Е . Умножение на матрицу Р3.1 соответствует перестановке первого и третьего столбца в исходных матрицах подгруппы 42. Умножение на матрицу Р3-2 переставляет второй и третий столбец исходной матрицы. Инверсия 42 Е изменяет все знаки в исходных матрицах на противоположные. В соответствии с этим определим все матрицы симметрии куба.

Смежный класс 4х группы симметрии куба.

4 т

4

т.

2 т

X

уг

X

"0 0 1" "01 0" "0 0 1"

0 1 0 , 0 0 1 , 0 10

1 0 0 1 0 0 1 0 0

"0 0 1" "0 0 1" "0 1 0"

0 1 0 , 0 10 , 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

4 т

X

"0 1 0

0 0 I

1 0 0 0 1 0 0 0 1 100

Смежный класс 4У группы симметрии

куба. 40 у 4+ у 2 у 2 г 4" у

тх у т г у тхг у тхг у

"1 0 0" "01 0" "10 0 " "0 1 0

0 1 0 , 1 0 0 , 0 10 , 10 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

"1 0 0" "1 0 0 " "0 1 0" "0 1 0"

0 1 0 , 0 10 , 10 0 , 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

2 х у 2 г у 2 ^ у 2 __ у

"1 0 0 " "1 0 0" "01 0" "0 10"

0 10 , 0 1 0 , 10 0 , 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Смежный класс 4 симметрии куба.

40 г 4+ г 2 г 4" г

тх г ту г тху г тх г

10 0" "0 1 0" "10 0" "0 10

0 10 , 10 0 , 0 1 0 , 1 0 0

0 0 1 0 0 1 _0 0 1 _ 0 0 1

10 0 " "1 0 0" "0 10" "0 10

0 10 , 0 1 0 , 1 0 0 , 10 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

2

2

2

ху г

2

ху г

2у

X

1/2015

2

2уг X

2уг X

"Т 0 0" "10 0 " "01 0" "0 1 0"

0 1 0 , 0 Т 0 , 1 0 0 , 10 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Дальнейшим является определение классов симметрии кристаллов с учетом существующих операций симметрии и связанных с ними матриц линейного представления.

ТЕОРИЯ КЛАССОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ.

Определим классы симметрии кристаллов кубической сингонии. Введем обозначение 3(4.; m), которое определяет класс симметрии кубической сингонии порядка 12. Символ б принимает последовательно значения х, у, ъ и используется в обозначениях трех осей симметрии четвертого порядка 4х, 4у, 4ъ. С каждой осью симметрии 4х, 4у, 42 связаны 4 поворота на углы 0°, 90°, 180°, 270°. Символ т в выражении 3(4; т) обозначает 4 плоскости симметрии, продольные к каждой из осей четвертого порядка. В целом подгруппа 3(4; т) содержит 24 операции симметрии и является подгруппой симметрии куба порядка 24.

Определим класс симметрии 3(4; 2), который содержит 3 оси четвертого порядка 4х, 4у, 4ъ и связанные с ними повороты на углы 0°, 90°, 180°. 270°. С каждой осью четвертого порядка 4х, 4у, 42 связаны 4 ортогональные к ним оси второго порядка. Подгруппа симметрии куба 3(4; 2) имеет порядок 24.

Определим класс симметрии 3(4; 4 ), который содержит 3 оси симметрии четвертого порядка 4х, 4у, 4ъ и связанные с ними 3 инверсионные оси четвертого порядка 4, 4 , 4 . Класс 3(4; 4 ) порядка 24 является подгруппой симметрии куба.

Определим класс симметрии 3( 4 ), который содержит 3 инверсионных оси четвертого порядка 4 , 4 , 4 и имеет порядок 12 (тетартоэдрия группы симметрии куба).

Полная группа симметрии куба (голоэдрия) обозначена символом 3(4; т 2 4 ), включает 3 оси четвертого порядка 4х, 4у, 4ъ. С каждой осью четвертого порядка связаны 4 поворота на углы 0°, 90°, 180°. 270°, 4 продольные плоскости симметрии т, 4 ортогональные оси симметрии второго порядка и 4 инверсионных поворота.

В целом полная группа симметрии куба содержит 48 операций симметрии, 48 матриц линейного представления, 5 классов симметрии в обозначении:

3(4; т 2 4 ), 3(4; т ), 3(4; 2), 3(4; 4 ), 3( 4 ).

В литературе 5 классов симметрии куба определены с использованием осей

симметрии третьего порядка 3 и 3 , имеют международные обозначения согласно СПРАВОЧНОМУ РУКОВОДСТВУ [3]:

т 3 т, 4 3т. 432, т 3 , 23

Ближайшей к кубической сингонии является тетрагональная сингония. Сжатие / растяжение куба вдоль любого ребра определяет прямой параллелепипед с квадратным основанием. Это - элементарная ячейка тетрагональной сингонии. При указанной деформации куба исключаются две оси симметрии четвертого порядка и все 4 оси третьего порядка. Сохраняется единственная ось симметрии порядка 4 с четырьмя продольными к ней плоскостями симметрии и четырьмя ортогональными к ней осями второго порядка.

В тетрагональной сингонии определены следующие классы симметрии:

4 и 4 , 4т и 4 т , 42 и 42 , голоэдрия 4т2 4 т 2.

Класс 4 содержит 4 поворота 0°, 90°,

180°, 270°. Повороты в классе 4 инверсионные. Класс 4т порядка 8 содержит 4 поворота относительно оси четвертого порядка и 4 продольных к оси плоскости

симметрии. Класс 4 т является инверсионным по отношению к исходному классу 4т. Класс 42 порядка 8 содержит 4 поворота относительно оси четвертого порядка и 4 ортогональные к оси 4 оси симметрии

второго порядка. Класс 4 2 является ин-

=■ 1/2015

версионным к классу 42. Полная группа симметрии тетраэдрической сингонии порядка 24 содержит 4 поворота относительно осей 4 и 4, по 4 отражения в плоскостях т и т , по 4 поворота относительно

осей второго порядка 2 и 2 .

В литературе инверсионные плоскости

т и инверсионные оси второго порядка 2 обычно не рассматриваются.

Порядок полной группы симметрии тетрагональной сингонии в излагаемой работе равен 24. В литературе порядок пол-

ной группы тетрагональной сингонии составляет 24.

ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ.

В наглядной форме связь классов симметрии кристаллов отображает иерархия классов, определенная в работе [1]..В текущей работе классы симметрии в иерархии определены с учетом принятых обозначений классов симметрии кристаллов.

ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ.

3(4 т 24 ),3(4,т),

(6т2,6 т 2), 6т, 6 т ,62,62,6,6

Кубическая т3т

I

3(4, 2), 3(4, 4^ ),3(4,), л = 1,2,3

Тригональная

Я 3 т

3т, 32, 3, 3

Тетраго

нальная й

4/ ттт

7

(4т2,4 т 2), 4т, 4т ,42,42,4,4

Ромбическая О

3т2

[3т, 32]

Моноклинная

М 2/т

[2,т]

I

Триклинная

Т 1

[1]

1/2015

Полная группа симметрии гексагональной сингонии содержит 36 операций симметрии, а по литературным данным 24. С другой стороны, определение состава операций симметрии гексагональной призмы (6т2, 6т 2) делает обоснованным значение порядка симметрии 36

Предлагаемая работа представляется полезной кристаллографам, специалистам по физике твердого тела, специалистам по теории групп.

СОКРАЩЕННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦ СИММЕТРИИ КУБА.

Матрицы симметрии куба Мк(3,3), к = 1,2,...48 являются перестановочно инверсионными согласно [2] Обозначим столбцы единичной матрицы Е(3,3) = [е1 е2 е3] числами 1,2,3, включая надчеркнутые

числа 1,2,3.

Любой столбец перестановочно инверсионной матрицы содержит единственный ненулевой элемент +1 или (-1) Применим к перестановочно инверсионным матрицам

0 10"

обозначения типа

1 0 0 0 0 1

= 213,

0 10 0 0! 1 0 0

= 312, и т.д. Сокращенные

обозначения для подгруппы порядка 24 симметрии куба приведены ниже.

Подгруппа матриц симметрии куба Mk, k = 1,2,...24 с det M = 1.

123,123,123,123,213,2l3, 213, 213,231,231, 231, 231, 321,321, 321, 321, 312, 312, 312, 3l2,132,132,132,132

Группа симметрии куба порядка 48 является двойной, содержит 24 пары матриц. В каждой паре одна матрица отличается от другой противоположным знаком своих элементов. Матрицы Mk, k = 1,2,...24 с det M = +1 составляют подгруппу, матрицы

(-1)Mk = Mk, k = 1,2,.. .24 с det Mk = -1 составляют смежный класс по подгруппе. Для определения всех 48 матриц симметрии куба с учетом связи матриц Mk и

Mk достаточно определить только 24 матрицы подгруппы.

Работа представляется полезной для специалистов по кристаллографии и теории групп.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев А.И.Фундаментальная теория симметрии кристаллов. Изд-во ПЕРО, ж. Мир Современной Науки, № 1 (2014) М., 2014.

2. Андреев А.И. Группы матриц перестановок в теории симметрии кристаллов. Депонировано в ВИНИТИ РАН, 02.06.2009, № 341-В 2009.

3. Ковалев О.В.. Неприводимые и индуцированные представления и ко-представления федоровских групп. М., НАУКА, 1986 г.

1/2015

1/2015