CC BY
32
УДК 625.731.824
ЛУКАШЕВИЧ ВИКТОР НИКОЛАЕВИЧ, докт. техн. наук, профессор, lukvintsuab@mail. ru
ЛУКАШЕВИЧ ОЛЬГА ДМИТРИЕВНА, докт. техн. наук, профессор, odluk@yandex. ru
ХАРИЙ РУСЛАН ИГОРЕВИЧ, аспирант, ruslan 7102@sibmail. com
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ФРАКТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОБРАЗОВАНИЯ АРМИРУЮЩИХ СТРУКТУР В ОСНОВАНИЯХ ДОРОЖНЫХ ОДЕЖД, ВЫПОЛНЕННЫХ ИЗ ДИСПЕРСНО-АРМИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ, УКРЕПЛЕННЫХ НЕОРГАНИЧЕСКИМИ ВЯЖУЩИМИ
С применением теории фракталов разработана модель образования армирующих структур из дискретных химических волокон при дисперсном армировании оснований дорожных одежд, укрепленных неорганическими вяжущими. Компьютерное моделирование процесса образования армирующих структур позволило сделать заключение, что для получения равнопрочного материала дисперсно-армированного укрепленного основания дорожной одежды необходимым условием является наличие момента перколяци-онного перехода, свидетельствующего о заполнении отрезками арматуры всего объема армируемого пространства.
Ключевые слова: укрепленное основание дорожной одежды; дисперсная арматура; трещиностойкость; фрактал; кластер; перколяция.
LUKASHEVICH, VIKTOR NIKOLAYEVICH, Prof., Dr. Tech. Sc., lukvin@tsuab. ru
LUKASHEVICH, OLGA DMITRIYEVNA, Prof., Dr. Tech. Sc., odluk@yandex. ru
HARIY, RUSLAN IGOREVICH, P.D., ruslan7102@sibmail. com
Tomsk State University of Architecture and Building,
2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia
FRACTAL MODEL OF REINFORCING STRUCTURES FORMATION IN SUBGRADE FROM DISPERSED REINFORCED MATERIALS, STRENGTHENED BY INORGANIC BINDERS
Using the fractal theory the model of reinforcing structures formations from discrete fibers at disperse reinforcement of subgrade strengthened by inorganic binders has been developed. As a result, the durability of road surfaces increased. Computer simulation of the reinforcing structures formation has allowed the authors to make conclusion that, to obtain equally strong material for dispersion reinforced base pavement the necessary condition is the existence of
© В.Н. Лукашевич, О.Д. Лукашевич, Р.И. Харий, 2013
the percolation transition point, which indicates the filling by valve segments of total reinforced space.
Key words: reinforced bottom of the pavement; dispersed reinforcement; cracking resistance; fractal; cluster; percolation.
К основным недостаткам асфальтобетонов как материала покрытия автомобильных дорог относятся низкая сопротивляемость сдвиговым усилиям, значительное влияние температуры окружающей среды на прочностные свойства, низкая трещиностойкость. Указанные недостатки асфальтобетонов приводят к возникновению таких деформаций, как колееобразование, гребенка, сдвиги. Эти деформации проявляются преимущественно на остановках общественного транспорта, в местах торможения и трогания автомобилей, а также на мостах, путепроводах.
Особенно много разрушений асфальтобетонных покрытий происходит, когда они располагаются на трещиновато-блочных основаниях, к которым относятся основания из цементобетона, тощего бетона, из материалов, укрепленных неорганическими вяжущими. В этих случаях кроме вышеперечисленных деформаций имеют место температурные и отраженные трещины, возникающие в результате копирования на поверхности асфальтобетонного покрытия трещин старого покрытия и швов цементобетонного основания. В результате снижается распределяющая способность покрытия, ухудшается комфортабельность движения по дороге, уменьшается срок службы покрытия.
Чтобы снизить риск возникновения трещин на поверхности покрытия, используют ряд методов, направленных на повышение трещиностойкости асфальтобетонов. Однако многие из них являются методами борьбы со следствием процесса. Больший эффект может быть достигнут путем борьбы с причинами возникновения трещин, одной из которых является низкая тре-щиностойкость так называемых трещиновато-блочных оснований. Дисперсное армирование дискретными отрезками химических волокон является одним из методов, позволяющих улучшить реологические и физикомеханические свойства укрепленных оснований дорожных одежд и тем самым снизить трещинообразование асфальтобетонных покрытий.
При дисперсном армировании оснований дорожных одежд, укрепленных неорганическими вяжущими, очень важно обеспечить создание в материале пространственной решетки из отрезков химических волокон, равномерно распределенной по объему слоя укрепленного основания и пронизывающей весь его объем. В том случае, если данное условие не будет выполнено, слой основания будет неравнопрочным, поскольку отдельные участки основания окажутся неохваченными пространственной армирующей решеткой. Более низкие прочностные характеристики таких участков приведут к началу разрушений именно в этих местах, и эффект от дисперсного армирования не будет достигнут.
При дисперсном армировании оснований дорожных одежд, укрепленных неорганическими вяжущими, повышение прочностных характеристик и улучшение реологических параметров происходит в результате формирования из волокон дисперсной арматуры протяженных структур. Близко распо-
ложенные волокна становятся связанными в единые структуры - прочностные кластеры. Размеры и форма таких структур (кластеров) определяют характеристики армируемых материалов. Поэтому вопрос о том, как зависят размер и форма прочностных структур от размеров, формы, ориентации и концентрации элементов дисперсной арматуры, имеет принципиальное значение для изучения процессов структурообразования дисперсно-армированных оснований дорожных одежд.
В последние годы был предложен новый подход к проблеме образования структур из случайно расположенных элементов, основанный на концепциях физики фракталов [1] и теории перколяции [5, 7]. Полученные к настоящему времени результаты дают основания полагать, что адекватное описание зависимости прочностных и реологических характеристик укрепленных оснований дорожных одежд от размеров, формы, ориентации и концентрации элементов дисперсной арматуры возможно на основе понятий фрактальной геометрии [1].
Фракталом называется структура, обладающая сложным строением и являющаяся в некотором смысле самоподобной. Количественной характеристикой фрактальной структуры является фрактальная размерность D, принимающая дробные значения. Величина фрактальной размерности оказывает существенное влияние на свойства структуры. Зависимость пространственного размера P фрактальной структуры от числа образующих ее элементов N определяется соотношением [1, 2]:
P ~ N ш, (1)
где P - пространственный размер фрактальной структуры; N - число элементов, образующих фрактальную структуру; D - фрактальная размерность.
Для исследования процессов структурообразования укрепленных оснований дорожных одежд интерес представляет тот факт, что возникновение фракталов обнаружено при формовании структур из случайно расположенных элементов [5, 7]. Поэтому следует сделать вывод, что при дисперсном армировании укрепленных оснований дорожных одежд армирующие элементы связываются в кластеры, обладающие фрактальной геометрией. Размеры максимального кластера Pmax зависят от объемной концентрации элементов п. Очень важной особенностью процесса кластеризации является то, что имеется критическая концентрация пс элементов - такая, что при п ^ пс размер максимального кластера стремится к бесконечности:
Pmax ~(П - п) ; П < Пс , (2)
где Ртах - размер максимального кластера; пс - критическая объемная концентрация элементов дисперсной арматуры; п - объемная концентрация элементов дисперсной арматуры.
Таким образом, при концентрации армирующих элементов меньше критической (п < пс), отдельные фрактальные кластеры не связаны между собой в единую структуру. При этом дисперсно-армированное укрепленное основание дорожной одежды характеризуется неравнопрочностью. На тех участках, где образовались прочностные кластеры, укрепленное основание дорожной одежды обладает повышенными прочностными характеристиками и реологическими параметрами. Эффект при этом достигнут быть не может, т. к. при
разрушении соседних малопрочных участков покрытия снижаются транспортно-эксплуатационные показатели всей дороги.
Размеры прочностных кластеров изменяются в широких пределах: от кластера, состоящего из одного элемента, до некоторого максимального Ртах, зависящего от концентрации дисперсной арматуры.
Зависимость числа кластеров от размера R определяется степенным соотношением [3, 4]:
N ~ Р -Т ; Р < Ртах, (3)
где х - показатель, зависящий от фрактальной размерности D.
При концентрации дисперсной арматуры п, приближающейся к критической пс, происходит формирование единого кластера, охватывающего все пространство армирования. В «ячейках» этого кластера располагаются конечные изолированные кластеры. Дальнейшее возрастание концентрации армирующих элементов приводит к уменьшению среднего размера «ячеек». Наибольший кластер, присоединяя к себе мелкие кластеры, все более плотно заполняет армируемое пространство.
Проведенный анализ фрактальных свойств дисперсно-армирующих структур позволяет сделать вывод, что наиболее оптимальным с точки зрения эффективности является использование армирующих добавок с концентрацией, незначительно превышающей критическую. В этом случае нагрузка на слой основания, благодаря пространственной решетке из дисперсной арматуры, будет распределяться на больший объем слоя.
Использование теории фракталов при исследовании структурообразова-ния дисперсно-армированных укрепленных оснований дорожных одежд позволяет сделать вывод, что введение армирующих волокон приводит к образованию из них кластеров в составе слоя основания.
Следует отметить, что преимущественная пространственная ориентация армирующих элементов приводит к зависимости величины пс от направления [5]. Этот эффект может быть использован для создания анизотропных слоев оснований, но для этого необходимо разработать технологию, позволяющую ориентировать армирующие волокна в заданном направлении. Возможность создания анизотропных покрытий подтверждает тот факт, что при уплотнении дисперсно-армированных укрепленных оснований дорожных одежд происходит частичная переориентация армирующих волокон. Под воздействием уплотняющей нагрузки армирующие волокна в той или иной степени стремятся расположиться параллельно плоскости уплотнения, в результате чего может возникнуть незначительная анизотропия свойств слоя основания.
Механизм стохастического процесса структурообразования дисперсно-армированных укрепленных оснований дорожных одежд может быть наглядно представлен и продемонстрирован посредством компьютерного моделирования с применением элементов физики фракталов и теории перколяции. Это позволяет получить с достаточной степенью достоверности более полное и более наглядное представление о закономерностях исследуемого процесса и глубже понять его суть.
Для исследования процесса структурообразования использована модель, описывающая армирование укрепленных оснований как формирование
объемной структуры из одномерных отрезков в трехмерном пространстве. Минеральный материал представляется сферами. Такое решение является оправданным, поскольку позволяет численно реализовать модель и проводить имитационные эксперименты на персональных компьютерах. Область моделирования представляет собой куб, длина ребра которого равна L (рис. 1).
Рис. 1. Схема области моделирования:
1 — минеральный материал; 2 — волокно; 3 — область взаимодействия; L — длина ребра куба
Объем куба заполняется отрезками заданной длины I. Расположение отрезков выбирается случайно в соответствии с равномерным законом распределения по области моделирования. Ориентация каждого отрезка задается углами 0 и ф в сферической системе координат (рис. 2).
Рис. 2. Ориентация отрезков дисперсной арматуры
Углы 0 и ф выбираются случайным образом так, чтобы все направления были равновероятными. Использование вероятностных законов отражает неоднородность минеральной части основания дорожной одежды и стохастич-ность реального процесса его структурообразования. Модель также дает возможность описания анизотропии ориентации волокон, которая может быть связана с уплотнением материала основания.
Распределение отрезков по углу 0 деформируется таким образом, что создается преимущественная ориентация отрезков в горизонтальной плоскости. При этом случайно выбранный угол 0 заменяется на угол 0а согласно формуле
где а - коэффициент анизотропии, выраженный в процентах.
Близко расположенные отрезки объединяются в кластеры. Повышение прочностных характеристик и улучшение реологических параметров материала связываются с формированием перколяционного кластера, соединяющего противолежащие грани моделируемого объема. Объединение отрезков в кластеры осуществляется следующим образом. Каждому отрезку приписывается параметр - расстояние взаимодействия гг-. Если два отрезка удалены друг от друга на расстояние, не превышающее сумм их расстояний взаимодействия, то они считаются связанными и принадлежат к одному кластеру. Расстояния взаимодействия выбираются равными радиусам фракций минерального материала г.. Вероятность выбора того или иного расстояния взаимодействия Р(г.) пропорциональна суммарной площади поверхности соответствующей фракции. Такое распределение расстояний взаимодействия позволяет учесть повышение вероятности контакта волокон с представителями фракции с увеличением площади данной фракции.
При добавлении нового отрезка в моделируемый объем производится анализ связи данного отрезка с близлежащими, т. е. вычисляются расстояния от нового отрезка до окружающих и сравниваются с соответствующими суммами расстояний взаимодействия. По результатам сравнения реализуется один из следующих вариантов:
1. Новый отрезок не связан ни с одним отрезком окружения. В этом случае появляется новый кластер, состоящий из одного отрезка.
2. Новый отрезок связан с одним или несколькими отрезками одного кластера. Данный кластер увеличивается, число составляющих его отрезков возрастает на единицу.
3. Новый отрезок связан с несколькими кластерами. Кластеры объединяются, возникает новый кластер, содержащий новый отрезок и связанные с ним кластеры.
Процесс последовательного заполнения области моделирования отрезками, в зависимости от задачи эксперимента, ведется либо до достижения заданной средней концентрации отрезков п в области моделирования, либо до формирования перколяционного кластера. Второй вариант позволяет определить пороговую концентрацию отрезков пс.
Таким образом, модель содержит следующие параметры: длина отрезков I, набор расстояний взаимодействия отрезков г. вместе с заданным распределением вероятности выбора этих расстояний Р(гк), коэффициент анизотропии а и концентрация отрезков п. Концентрация отрезков может не задаваться изначально, а определяться исходя из условия формирования перколяционного кластера.
Модель позволяет определять критическую концентрацию отрезков пс, соответствующую порогу перколяции, а также исследовать распределение кластеров по размерам, распределение кластеров по числу волокон и зависимость среднего размера кластера от числа составляющих его волокон в процессе армирования. Размер кластера определяется как длина главной диагонали наименьшего прямоугольного параллелепипеда, содержащего данный кластер.
На основе предложенной модели разработано программное обеспечение, позволяющее проводить имитационное компьютерное моделирование структу-рообразования и использующее в качестве исходных данных следующую информацию: размер (длина ребра) моделируемого куба (мм); длина волокон (мм); коэффициент анизотропии (%); расход цемента (% от массы минерального материала); расход волокон (% от массы минерального материала); массовые доли фракций (% от массы минерального материала); размеры (диаметры) фракций (мм); плотность материала основания, фракций и волокна (кг/м3).
Программное обеспечение, разработанное на основе предлагаемой модели, использовалось для исследования процесса формирования структуры отрезков при наличии одной фракции минерального материала в изотропном и анизотропном случаях. При моделировании использовались следующие параметры: размер области моделирования (ребро куба) L = 100 мм; длина отрезков I = 5 мм; расстояния взаимодействия г = 5 мм; коэффициент анизотропии а = 0 % (изотропный случай) и а = 50 % (анизотропный случай).
Компьютерные эксперименты показали, что в изотропных условиях перколяционный кластер формируется при концентрации отрезков п « (0,77+0,03) см 3. На рис. 3 приведены структуры, образующиеся из отрезков дисперсной арматуры при различной ее концентрации.
Рис. 3. Структуры, образующиеся из отрезков дисперсной арматуры при ее концентрации 0,2 см-3 (а), 0,6 см-3 (б), 0,8 см-3 (в) и 1,0 см-3 (г)
Утолщенными линиями выделены отрезки, принадлежащие наибольшему кластеру. Пунктирными линиями обозначены границы области моделирования. При низких концентрациях добавление новых отрезков приводит, в основном, к появлению новых кластеров (вариант 1), рис. 3, а. При концентрациях, близких к пороговой, даже небольшое увеличение числа отрезков приводит к суще-
ственному росту наибольшего кластера. Этот эффект является характерным для перколяционных процессов. В данном случае он связан с преобладанием процесса объединения кластеров (вариант 3), рис. 3, б, в. Дальнейшее увеличение концентрации преимущественно реализуется как рост числа волокон, составляющих перколяционный кластер (вариант 2), рис. 3, г.
Справедливость замеченных закономерностей подтверждает анализ соответствующих распределений кластеров по размерам (рис. 4) и по числу отрезков (рис. 5).
“ 100 т
“ 100
к
.Щтрп,,
20 40 во 80
а Размер кластера, мм
я
0-ттХЬ|7ГЛ7ПЪртн|-г
б Размер кластера, мм
ІЗ 1°° і
я
^|гг1^т|Т)гг
в Размер кластера, мм
ІЗ 1°°!
Я
|~|тітГ7|т-ггттт-гт
г Размер кластера, мм
Рис. 4. Распределение кластеров по размерам. Концентрация отрезков:
а - 0,2 см-3; б - 0,6 см-3; в - 0,8 см-3; г - 1,0 см-3. Размер наибольшего кластера: а - 24 мм; б - 108 мм; в - 179 мм; г - 180 мм
При низких концентрациях велико количество небольших кластеров (рис. 4, а; 5, а). С увеличением концентрации небольшие кластеры объединяются в более крупные (рис. 4, б; 5, б). По достижении пороговой концентрации пс в области моделирования формируется перколяционный кластер (рис. 4, в; 5, в). При концентрациях выше пороговой меньшие кластеры поглощаются перколяционным (рис. 4, г; 5, г).
Из теории перколяции известно, что при концентрациях ниже критической распределение кластеров по величине ограничено некоторым максимальным размером. С увеличением концентрации этот размер нелинейно возрастает, достигая бесконечности при критическом значении концентрации, и в пространстве формируется перколяционный кластер.
Возникающие при перколяции кластеры самоподобны. Их размер связан с числом образующих элементов (отрезков) соотношением:
^р(Х) т1Ю, (5)
где йср - средний размер кластеров, состоящих из т отрезков; Б - фрактальная размерность кластеров.
к
- о 1001 а
- класт о .... 1
1 о ■ ц к 0
Число отрезков
Число отрезков
я
ХЬтрПтп
Число отрезков
я
Число отрезков
б
а
в
г
Рис. 5. Распределение кластеров по числу отрезков. Концентрация отрезков:
а - 0,2 см-3; б - 0,6 см-3; в - 0,8 см-3; г - 1,0 см-3. Число отрезков наибольшего кластера а - 5; б - 54; в - 381; г - 780
Полученные на момент перколяционного перехода распределения кластеров (рис. 4, в; 5, в) хорошо описываются степенными функциями. На рис. 6 представлены: распределение кластеров по размерам, распределение кластеров по числу волокон и график зависимости среднего размера кластеров от числа волокон, построенные в двойном логарифмическом масштабе.
1п d
1п т
б
а
О.ОО-0.00
Т” . 98
3.96 5.94
1п т
в
Рис. 6. Распределение кластеров по размерам (а), по числу волокон (б), зависимость среднего размера кластеров от числа волокон (в) в двойном логарифмическом масштабе
Аппроксимация зависимостей прямыми линиями произведена методом наименьших квадратов.
На момент перколяционного перехода справедливы следующие соотношения. Функция распределения кластеров по размерам:
р(й) да ^1’70±0Д2, (6)
где й - размер кластера.
Функция распределения кластеров по числу волокон:
/ \ —1,45+0,08
р(т) да т , (7)
где т - число волокон в кластере.
Зависимость среднего размера кластеров от числа составляющих их волокон:
1 0,58+0,02 /о\
йср да т . (8)
Тогда фрактальная размерность формирующихся в данных условиях кластеров D = 1,72+0,06.
Компьютерные эксперименты показывают, что в анизотропных условиях критическая концентрация отрезков оказывается несколько выше, чем в изотропном случае. На рис. 7 приведена структура отрезков, сформировавшаяся к моменту перколяционного перехода при коэффициенте анизотропии а = 50 %.
Рис. 7. Структуры, образуемые отрезками дисперсной арматуры после уплотнения основания дорожной одежды
Критическая концентрация отрезков в этих условиях пс = (0,78+0,05) см3. Очевидно, что с увеличением коэффициента анизотропии возрастает количество связей, проходящих через вертикальные сечения области моделирования. Это приводит к повышению устойчивости материала к вертикальным нагрузкам.
Компьютерное моделирование позволяет также сделать заключение о том, что для получения равнопрочного материала дисперсно-армированного асфальтобетона необходимым условием является наличие момента перколя-ционного перехода, свидетельствующего о заполнении отрезками арматуры всего объема армируемого пространства.
Библиографический список
1. Григолюк, Э.И. Периодические кусочно-однородные упругие структуры / Э.И. Григо-люк, Л.А. Фильштинский. - М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. - 288 с.
2. Лукашевич, В.Н. Перколяционная модель структурообразования армированных волокнами асфальтобетонных смесей / В.Н. Лукашевич, А.В. Малиновский, М.Д. Носков // Международная конференция «Всесибирские чтения по математике и механике»: тезисы докладов. Т. 2. Механика / под ред. В.И. Зинченко, И.Б. Богоряда, А.М. Бубенчикова [и др.]. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1997. - С. 210-211.
3. Носков, М.Д. Дисперсное армирование асфальтобетонных смесей и фракталы / М.Д. Носков, В.Н. Лукашевич, С.А. Филичев // Вестник фонда поддержки вузовской и отраслевой дорожной науки. - 1995. - № 2 (Дороги Сибири). - С. 120-123.
4. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. - М. : Мир, 1991. - 254 с.
5. Balbery, I. Computer study of the percolation theshold in a two-dimensional anisotropic system of condueting sticks / I. Balbery, N. Binenbaum // Phus Rev. B. 1983. - V. 28. - P. 3799-3812.
6. Mandelbot, B.B. The Fractal Geometry of Natur / B.B. Mandelbot. - Nev-York.: Freeman, 1982. - 468 p.
7. Staffer, D. Scaling theory of percolation clusters / D. Staffer // Phus Rep. 1979. - V. 54. - P. 1-74.
References
1. Grigoljuk Je.I, Fil'shtinskij L.A. Periodicheskie kusochno-odnorodnye uprugie straktury [Periodic piecewise-homogeneous elastic structure]. - Moscow : Nauka, gl. red. fiz.-mat. lit., 1992. - 288 p.
2. Lukashevich V.N., Malinovskij A.V., Noskov M.D. Perkoljacionnaja model' strukturoobra-zovanija armirovannyh voloknami asfal'tobetonnyh smesej [Percolation model of structure formation of bitumen-concrete mix reinforced by fibers] //Mezhdunarodnaja konferencija «Vsesibirskie chtenija po matematike i mehanike»: tezisy dokladov [Proceedings of International Conference “All-Siberian reading on mathematics and mechanics”]. Vol. 2. Mehanika / pod red. V.I. Zinchenko, I.B. Bogorjada, A.M. Bubenchikova [i dr.]. - Tomsk : Izd-vo Tom. un-ta [TGU Publ.], 1997. - P. 210-211.
3. NoskovM.D., Lukashevich V.N., Filichev S.A. Dispersnoe armirovanie asfal'tobetonnyh smesej i fraktaly [Disperse reinforcing of bitumen-concrete mix and fractals] // Vestnik fonda pod-derzhki vuzovskoj i otraslevoj dorozhnoj nauki [Bulletin of the funds of support of higher schools]. - No. 2 (Dorogi Sibiri). - Omsk, 1995. - P. 120-123.
4. FederE. Fraktaly [Fractals]. - Moscow : Mir, 1991. - 254 p.
5. Balbery I., Binenbaum N. Computer study of the percolation theshold in a two-dimensional anisotropic system of condueting sticks // Phus Rev. B. 1983. - V. 28. - P. 3799-3812.
6. Mandelbot B.B. The Fractal Geometry of Natur. - Nev-York.: Freeman, 1982. - 468 p.
7. StofferD. Scaling theory of percolation clusters // Phus Rep. 1979. - V. 54. - P. 1-74.
