Формулы для «Размножения» точных решений уравнений Навье − Стокса и уравнений Эйлера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1046-1047

УДК 533+532+517.9

ФОРМУЛЫ ДЛЯ «РАЗМНОЖЕНИЯ» ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ -СТОКСА И УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА

У 2011 г. А.Д. Полянин

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва

polyanin@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Приведены формулы, позволяющие строить новые точные решения уравнений Навье - Стокса и уравнений Эйлера, исходя из известных более простых точных решений. Рассмотрен ряд примеров построения таких решений трехмерных уравнений Навье - Стокса. Полученные результаты используются для решения некоторых задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

Ключевые слова: уравнения Навье - Стокса, уравнения Эйлера, точные решения, новые формулы.

Предварительные замечания

В работах [1-4] были приведены примеры построения новых точных решений трехмерных уравнений Навье - Стокса, исходя из других более простых решений. В частности, было показано, что несколько классов точных решений трехмерных уравнений Навье - Стокса с линейной зависимостью компонент скорости жидкости от двух пространственных переменных сводятся к системе двух уравнений, одно из кото -рых является изолированным нелинейным уравнением для третьей компоненты скорости жидкости w, а второе уравнение для вспомогательной функции О зависит от w и линейно относительно О (и имеет тривиальное решение О = 0). Были описаны семейства точных решений, в которых функция О представляется в виде линейной комбинации производных от w по пространственной координате г следующего вида:

О = а($) + Ь(0 wz + е(^гг, (1)

где функции а(0, Ь(0, х(0 зависят от времени ^ и описываются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, решения которых содержат три свободных параметра (константы интегрирования). Формула (1) позволяет по любому точному решению нелинейного уравнения для функции w автоматически строить точные решения для функции О, что приводит к новым точным решениям уравнений Навье - Стокса.

Основные результаты

Излагаются новые результаты, позволяющие строить новые точные решения уравнений Навье— Стокса, исходя из известных более простых точных решений. В частности, выведены формулы, которые с помощью решений двумерных уравнений Навье — Стокса дают возможность строить более сложные решения соответствующих трехмерных стационарных и нестационарных уравнений. Эти формулы могут содержать от двух до пяти свободных параметров, которых нет в исходных двумерных решениях. Например, если распределение давления в исходном двумерном решении имеет вид

р = а1 (У) х2 + а2(У) ху + а3(У) у2 +

+ Ь1(У) х + Ь2(У) у + Ь3(У), (2)

где ап(У) и Ьп(У) — произвольные функции, то новое трехмерное решение будет содержать три дополнительных свободных параметра, а при некоторых ограничениях на функции ап(У) — пять свободных параметров. Важно отметить, что в стационарном случае полученные формулы не содержат квадратур.

Рассмотрен ряд примеров построения новых точных решений уравнений Навье — Стокса с помощью данных формул. Полученные результаты используются для решения некоторых задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. Приведены примеры неединственности решений стационарных задач.

Полученные результаты распространяются также на уравнения Эйлера для идеальной жидкости.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-01-00343.

Список литературы

1. Полянин А.Д., Аристов С.Н. Системы уравнений гидродинамического типа. Точные решения, преобразования, нелинейная устойчивость // Докл. РАН. 2009. Т. 428, №2. С. 180-185.

2. Полянин А.Д. О нелинейной устойчивости решений систем гидродинамического типа // Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 90, №3. С. 238-242.

3. Аристов С.Н., Князев Д.В., Полянин А.Д. Точ-ные решения уравнений Навье - Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // Теор. основы хим. технологии. 2009. Т. 43, №5. С. 547-566.

4. Aristov S.N., Polyanin A.D. New classes of exact solutions and some transformations of the Navier - Stokes equations // Russian J. Math. Physics. 2009. V. 17, No 1. P. 1 -18.

FORMULAS FOR CONSTRUCTING EXACT SOLUTIONS OF NAVIER - STOKES

AND EULER EQUATIONS

A.D. Polyanin

The formulas that help to construct new exact solutions of Navier -Stokes and Euler equations from the known simpler exact solutions are presented. A number of examples of constructing new exact solutions of three-dimensional Navier - Stokes equations are considered. The results are used to solve some problems of a viscous incompressible fluid.

Keywords: Navier - Stokes equations, Euler equations, exact solutions, new formulas.