CC BY
38
чественные методы и математическое моделирование» обеспечивается рассмотрение математических моделей и методов в контексте жизненных ситуаций и проблем будущей профессиональной деятельности.
В заключение приведем критерии отбора содержания интегрированной учебной дисциплины «Прикладная математика»:
• соответствие содержания интеграционным процессам в науке и образовании, современным достижениям математики как науки (развитие математического программирования, теории игр, теории принятия решений и др.);
• включение учебных материалов общекультурного и общенаучного характера, иллюстрирующего единство и целостность науки и культуры (математика как пласт истории, как часть человеческой культуры);
• создание условий для осмысления студентами профессионально значимых проблем и усвоения математических методов их решения; отражение прикладной практической направленности обучения математике, предполагающей рассмотрение учебного материала в контексте жизненных и профессиональных проблем;
• включение учебного материала, рассмотрение которого способствует формированию критического, нелинейного мышления.
Комплекс разработанных и апробированных учебных дисциплин «Основы математики», «Количественные методы и математическое моделирование», «Прикладная математика» структурирован в виде полной системы дидактических модулей, в каждом из которых
предварительно было проведено обобщение и систематизация учебного материала, актуализация наиболее профессионально значимых вопросов. Среди учебных модулей следует отметить «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Математический анализ», «Теория множеств и математическая логика», «Линейное программирование», «Теория игр», «Исследование операций», «Финансовая математика», «Теория принятия решений», «Математическая теория экономических рисков», «Численные методы» и другие.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов Д. А., Монахов Н. В., Монахов В. М. Математические модели и методы внутримодельных исследований. М.: Изд-во МГГУ, 2007. 356 с.
2. Вербицкий А. А., Калашников В. Г. Категория «контекст» в психологии и педагогике. М.: Логос, 2010. 300 с.
3. Монахов В. М. Введение в теорию педагогических технологий: моногр. Волгоград: Перемена, 2006. 315 с.
4. Пантина И. А., Синчуков А. В. Вычислительная математика: учебник. М.: МФПУ «Синергия», 2012. 176 с.
5. Смирнов, Е. И., Осташков В. Н., Богун В. В. Наглядное моделирование в обучении математике. Теория и практика: учеб. пособие. Ярославль: Канцлер, 2010. 500 с.
ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ У ОДАРЕННЫХ ШКОЛЬНИКОВ 9-11 КЛАССОВ
THE FORMATION OF IDEAS ABOUT THE THEORY OF GRAVITY AMONG GIFTED STUDENTS OF 9-11 FORMS
Е. А. Михайлов, С. Б. Рыжиков
В статье предложены методы популярного изложения наиболее интересных явлений теории гравитации для старшеклассников, основанные на опыте преподавания в Вечерней физической школе МГУ им. М. В. Ломоносова. В процессе изучения курса школьники могут проводить проектно-исследовательские работы. Данный материал может быть изложен на факультативных занятиях в школах с углубленным изучением математики и физики, в кружках по физике, астрономии или в летних школах.
E. A. Mikhailov, S. B. Ryzhikov
The article depicts the methods for popular exposition of the most interesting phenomena of the theory of gravity for high school students that are based on the experience of teaching in the Evening physical school at Moscow State University of M.V. Lomonosov. During the course, students can do researches. This material can be discussed at elective classes in schools with the in-depth study of mathematics and physics, in the circles in physics, astronomy, or in summer school.
Ключевые слова: теория гравитации, одаренные Keywords: theory of gravity, gifted students, research школьники, проектно-исследовательские работы. work.
Введение
Государственный образовательный стандарт ставит задачу формирования у учащихся представлений о современной физической картине мира. Для этого необходимо объяснять проблемы физической науки (с учетом уровня знаний школьников), активно развивающейся в наше время. Одним из фундаментальных разделов теоретической физики является теория гравитации, описывающая наиболее общие закономерности, которым подчиняются процессы космических масштабов. К сожалению, изучение гравитационных явлений в средней школе обычно ограничивается изложением ньютоновского закона всемирного тяготения и иногда дополняется небольшими сведениями о различии инертной и гравитационной масс [1]. При этом достижения науки в этом вопросе в XX в. практически не упоминаются.
Такое положение дел обычно обосновывается вполне разумными соображениями о том, что формулы современных теорий гравитации чрезвычайно громоздки и сложны для понимания. Действительно, уравнение Гильберта - Эйнштейна, являющееся в данной области основным, записано для тензорных величин, смысл которых также весьма сложен. Но для практически интересных задач оно может быть сведено к достаточно простому виду, допускающему аналогии с более привычными областями физики.
Конечно, существует возможность чисто описательного подхода, применяющегося в научно-популярной литературе. Однако такой подход не способствует формированию представлений школьников о физике как о точной науке. Поэтому представляется важным соблюсти баланс: с одной стороны, не перегрузить учащихся сложными формулами; с другой, дать возможность решать простейшие количественные задачи.
В Вечерней физической школе (ВФШ) при Физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова в течение нескольких лет проводятся занятия по данной тематике с выполнением проектно-исследовательские работ. За это время сформировалась методика изложения материала, включая рассмотрение теоретических вопросов и решение задач. Ниже мы предлагаем основные моменты нашего подхода к изучению теории гравитации.
Обратим внимание на то, что в данном случае мы считаем вполне допустимым изложение теории гравитации без отдельного изучения Специальной теории относительности (СТО). Действительно, хотя Общая теория относительности сопряжена с СТО, в простейших примерах можно обойтись без ее привлечения. Опыт показывает, что изложение СТО требует большого числа часов и не всегда вызывает интерес у учащихся.
Предлагаемый курс предназначен для учеников 9-11-х классов. Школьники должны знать закон всемирного тяготения, основы небесной механики (включая знание о II космической скорости), иметь представление о потенциале точечного заряда.
Гравитационный потенциал и собственное время
Изложение курса начинается с закона всемирного тяготения. В соответствии с ним потенциальная энергия взаимодействия двух тел, обладающих массами т и М, равна:
Еро, = -ОМт / г,
(1)
где О = 6.67 • 10-11 м3/г с2.
По аналогии с электростатикой можно ввести гравитационный потенциал и [2]:
и = ОМ / г.
(2)
В этом случае потенциальная энергия небесного тела равна
Е0 = -ти.
Основным положением курса, вводимым без доказательства, является то, что, согласно теории гравитации [2], время при наличии рядом массивного тяготеющего тела и в его отсутствие течет с разной скоростью. То время, которое течет в данной точке, называют ее собственным временем [3].
Для достаточно слабых гравитационных полей, имеющих место в Солнечной системе, собственное время т связано со временем ^, текущим в отсутствие гравитации:
т =(1 - и / С2) г.
(3)
Наиболее типичные для данной темы задачи связаны с расчетом смещения частот электромагнитных волн, испускаемых, например, Солнцем и принимаемых на Земле. При этом можно с большой точностью считать, что около Земли гравитационное поле пренебрежимо мало по сравнению с полем вблизи Солнца.
Пусть волны излучаются с его поверхности с циклической частотой ю0, или с периодом Т0 = 2п /ю0. Этот период соответствует ходу времени вблизи Солнца. Период Т, с которым волна придет на Землю, можно найти из уравнения:
То = (1 - и/с2)Т ,
(4)
где и - гравитационный потенциал у поверхности Солнца. Потенциал может быть вычислен по формуле (2). Отсюда рассчитываем циклическую частоту волны, принятой на поверхности Земли (ю1 = 2п /Т1).
Пример задачи. Атом вблизи поверхности Солнца излучает с циклической частотой ю0 = 1,5-1016 с - 1. Найдите, на какую величину Аю сместится его частота с точки зрения земного наблюдателя.
Решение. Из формулы (4): ю1 = (1 - и / с2) ю0.
Для смещения имеем: Аю = ю0 °М = 3 • 1010 с - 1
0 Яс2
Для того чтобы задача была интересна для школьников, необходимо пояснить, что существуют приборы - спектрометры, которые умеют измерять частоту излучения (можно не вдаваться в технические тонкости
устройства спектрометров). Нужно обратить внимание, что для того, чтобы заметить изменение частоты, нужно, чтобы спектрометр мог измерять с точностью до одной миллионной. Проводя аналогию, с обычной линейкой, можно сказать, что это значило бы, чтобы можно было с помощью метровой линейки измерять длину в один микрон. Знакомые школьникам механические микрометры могут измерять с точностью до 0,01 мм при максимальной длине менее 10 см, то есть с точностью всего до одной десятитысячной.
Изменение частоты приходящего с поверхности Солнца излучения - экспериментальный факт [4]. Его обнаружение стало важным подтверждением правильности описываемых законов. В настоящее время точность используемых приборов настолько высока, что позволяет измерять намного более тонкие эффекты - зависимость хода времени от высоты вблизи Земли [5].
Черные дыры
Сегодня термин «черная дыра» постоянно упоминается в средствах массовой информации, часто без понимания, что за ним стоит. Поэтому курс гравитации невозможен без рассмотрения этого понятия.
Проще всего подойти к объяснению «черных дыр» через понятие II космической скорости и2, которую нужно придать телу на поверхности планеты, звезды и пр., чтобы оно смогло преодолеть гравитационное поле этой звезды. В школьном курсе дается формула II космической скорости (иногда без вывода):
и2 =у120М/Я , (5)
где М - масса небесного тела, а Я - его радиус. Согласно современным представлениям, скорость света с = 3 • 108 м/с является максимально возможной скоростью движения всех тел. Поэтому, если и2 > с, то никакое тело не может улететь от данного массивного объекта. Такие объекты и называются черными дырами.
Отсюда можно получить формулу для вычисления радиуса Я, черной дыры массы М:
с = 7 20М / Я, (6)
или:
Я, = 2ОМ / с2.
Эту величину называют радиусом Шварцшильда, а соответствующую ему сферическую поверхность - горизонтом событий. Тело, которое попадает внутрь данного горизонта, уже не имеет возможности оттуда вернуться.
Среднюю плотность черной дыры можно оценить по формуле:
Р
М
3с
-к Я3
32п О 3М2
(8)
3
Как принято считать, черная дыра может образоваться на конечной стадии эволюции массивной (более 30 масс Солнца) звезды [6].
Пример задачи. Найти радиус Шварцшильда Я, и среднюю плотность р для черной дыры с массой Солнца.
Решение получается прямой подстановкой данных в формулы (7) и (8). Я, = 3 км, р ~ 1,8 • 1019 кг/м3.
Гравитационные линзы
Следующим объектом, представляющим интерес с точки зрения теории гравитации, является гравитационная линза. Если мы рассмотрим летящий мимо массивной звезды с массой М фотон (см. рисунок), то можно предположить, что он обладает пренебрежимо малой массой. Тогда, в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона, он отклонится на угол (в радианах) [7]:
2ОМ
Аф=-- (9)
ас
Аналитический вывод этой формулы сложен для школьников, поэтому он выводится путем численного моделирования, например, по схеме Эйлера [8-9]. Учет эффектов, связанных с изменением свойств пространства и времени, дает несколько другой результат [7]:
4ОМ
Аф=-- (10)
ас
Исторически экспериментально полученное различие между формулами (9) и (10) явилось одной из причин признания Общей теории относительности Эйнштейна [7]. Сегодня гравитационное линзирование активно используется при изучении космических объектов [10-11].
Пример задачи. Найти отклонения светового луча в поле Солнца.
Решение. По формуле (10) получаем:
Аф = 1,75'' (Я / а ) (11)
/
где Я = 7 • 108м - радиус Солнца.
Пример задачи. Выведите аналог формулы (11) для звезды Сириус В, у которой масса такая же, как и у Солнца, а радиус такой же, как и у Земли (6 тыс. км).
Решение. По формуле (10) получаем
Аф =
4• 6,67 10-11 • 2 1030 6000 рад • м
(7)
(3 108 )2 а = 0,001(Д / а ) рад
Переводя в градусы, получим: Аф = 205°(Я / а), где R - радиус Сириуса В.
Рис. Гравитационное линзирование
а
Заключение
Опыт ВФШ показывает, что школьники 9-11-х классов успешно осваивают основы теории гравитации, включая численные методы решения задач по данной теме. Выполненные по этой теме проектно-исследовательские работы докладывались на школьных конференциях, в том числе на Форуме молодых исследователей, проводимого в рамках Фестиваля науки МГУ.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бутиков Е. И., Кондратьев А. С. Физика: учеб. пособие: в 3 кн. М.: Физматлит, 2004.
2. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Изд-во ЛКИ, 2007.
3. Логунов А. А. Теория гравитационного поля. М.: Наука, 2000.
4. Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л. Гравитация, фотоны, часы // Успехи физических наук. 1999. Т. 169, № 10.С.1141-1147.
5. Optical clock and relativity / C. W. Chou, D. B. Hume, T. Rosenband, D. J. Wineland // Science. 2010. Vol. 329 (5999). P. 1630-1633.
6. Засов А. В., Постнов К. А. Общая астрофизика. Фрязино: Век 2, 2011.
7. Захаров А. Ф, Сажин М. В. Гравитационное ми-кролинзирование // Успехи физических наук. 1998.Т.168, № 10.С.1041-1082.
8. Рыжиков С. Б. Беседы и компьютерные расчеты, касающиеся нескольких занимательных задач механики: учебное пособие. М.: МГДД(Ю)Т, 2012.
9. Михайлов Е. А. Рыжиков С. Б. Проведение про-ектно-исследовательских работ со старшеклассниками на примере решения классической задачи гравитационного линзирования // Тр. Все-рос. съезда учителей физики в МГУ. М.: МГУ, 2011.С.241-243.
10. Захаров А. Ф. Поиски экзопланет с помощью гравитационного микролинзирования // Успехи физических наук. 2011. Т. 181, № 10. С. 11141122.
11. Захаров А. Ф. Оценка параметров сверхмассивных черных дыр: случай черной дыры в галактическом центре // Тез. XXIX конф. «Актуальные проблемы внегалактической астрономии». Пущино: Изд-во ФИАН, 2012. С. 23.
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ И ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ
COMPUTER MODELING OF ANALOG AND DIGITAL DEVICES
К. В. Гоголданова Д. Я. Тамарчак
Изложена методика исследования аналоговых и цифровых устройств с помощью современного лабораторного оборудования при подготовке бакалавров педагогического образования по специальности «Технология и информатика». Эксперименты проводятся на лабораторном комплексе NI ELVIS.
Ключевые слова: модель, имитационное и натурное моделирование, лабораторное оборудование.
Разработка и внедрение лабораторных стендов с использованием новых информационно-измерительных систем является важнейшим фактором повышения эффективности и качества проведения лабораторных работ при изучении электротехнических дисциплин. В Московском педагогическом государственном университете ведется разработка стендов для комплексного изучения аналоговых, а также цифровых устройств с помощью лабораторной установки NI ELVIS. Комплексное исследование начинается с разработки имитацион-
K. V. Gogoldanova D. Ya. Tamarchak
In this article the methods of research of analog and digital devices with the help of modern laboratory equipment are expounded. The experiments are carried out on laboratory complex NI ELVIS.
Keywords: model, simulated and real modulation, laboratory equipment.
ной модели, которая описывает основные законы поведения объекта с учетом воздействия условий среды. Только после тестирования и отладки имитационной модели приступают к созданию натурного (реального) устройства или системы.
В качестве примера моделирования аналогового устройства рассмотрим стенд для имитационного моделирования транзисторных усилителей.
Стенд (рис. 1) выполнен в окне программы Electronics Workbench (EWB) и предназначен для моделирования ра-
ее
