Формирование портфеля заказов при отсутствии неопределенности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 658.512

ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЗАКАЗОВ ПРИ ОТСУТСТВИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Л.А. Васин, С.В. Городничев, А.Г. Луценко

Для управления фирмой построена математическая модель. Сформулирован квадратичный критерий эффективности функционирования, отражающий суммарные потери фирмы. Получено оптимальное управление фирмой в виде закона с обратной связью, обеспечивающее оперативное управление в условиях изменения спроса. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение, которое может послужить основой для построения автоматизированной системы управления производственно-сбытовой деятельностью предприятия.

Ключевые слова: производственно-сбытовая система, портфель заказов, квадратичный критерий эффективности функционирования.

При формировании портфеля заказов могут иметь место следующие ситуации:

1. спрос на рынке высокий, а конкурентов мало или они отсутствуют;

2. спрос на рынке высокий при большом количестве конкурентов ;

3. низкий спрос при наличии конкурентов на рынке.

В первом случае неопределенность при формировании портфеля заказов отсутствует. Во второй и третьей ситуациях формирование портфеля заказов сопровождается таким явлением как неопределенность. Формирование портфеля заказов в условиях неопределенности изложено в работах [3,4]. В связи с этим, рассмотрим формирование портфеля заказов при отсутствии явления неопределенности.

Построение модели фирмы основывается на подходах Дж. Форрестера [1] к моделированию производственно-сбытовых систем. За основу взята следующая нелинейная динамическая модель:

х[7 + 1] = ^(х[/], у[/ + 1]), у[ + 1] = ^(х[7 + 1], У[1 + 1]), (1)

7 = 0,..., п -1,

где х - вектор основных переменных; у - вектор вспомогательных переменных; ^, ^2 - нелинейные вектор-функции; п - число интервалов дискретизации.

Часть переменных состояния системы (1) была взята в качестве переменных управления, а правила их регулирования из неё были удалены.

После исключения вспомогательных переменных и линеаризации отдельных уравнений математическая модель производственно-сбытовой системы описывается системой линейных разностных уравнений:

7 [/ +1] = СуИ + £ф'] +

7 = 0, ..., п - 1, ( )

где 7 - вектор переменных состояния системы размерности п; и - вектор переменных управления размерности т; С - постоянная матрица размерности пхп; В - постоянная матрица размерности пхт; w - вектор свободных членов размерности п.

Для системы (2) задано также ее начальное состояние (считается, что до начального момента наблюдения система находилась в установившемся состоянии).

Для модели производственно-сбытовой системы сформулирован квадратичный критерий эффективности функционирования, который отражает суммарные потери фирмы в переходный период, обусловленный изменением спроса, а также конечную прибыль. Построенный критерий имеет следующий вид:

N-1

X (у,[7 + №у[7 +1] + и,[7]^2и[7]) + у,[N]Р1 у[NК (3)

7=1

где % Ру - постоянные неотрицательно определенные симметричные матрицы размерности пхп; Л*2 _ постоянная положительно определенная симметричная матрица размерности тхт.

Здесь (как и везде далее) символом ' обозначена операция транспонирования.

Ставится задача найти на траекториях системы (2) управление в виде закона с обратной связью, которое доставляет минимальное значение критерию (3) при известном изменении спроса на продукцию.

В построенной модели имеется производственное звено и связанное с ним - сбытовое звено. В сбытовое звено от потребителя поступает поток заявок на продукцию. В свою очередь сбытовое звено выдает равномерный поток заказов производственному звену. В производственном звене часть деталей, заказанных сбытовым звеном, поставляется за счет запасов (решение о том, какая именно это будет часть, принимают руководители фирмы; решение по этой части отражается на темпе требований, который был взят в качестве одной из переменных управления), другая часть изготовляется специально по заказам сбытового звена. Поэтому в объем производства включен выпуск деталей, как для удовлетворения поступивших заказов, так и для пополнения складских запасов. Решение о том, сколько рабочих из общего числа будут выпускать детали для удовлетворения поступивших заказов, принимают руководители фирмы (это решение отражается на темпе производства, который был взят в качестве одной из переменных управления).

От производственного звена в сбытовое звено поступает поток готовой продукции. Эти товары с некоторым запаздыванием поступают на склад сбытового звена, с которого осуществляются поставки покупателям (темп поставки продукции покупателям - одна из переменных управления).

Предполагается, что в моделируемой фирме производство требует больших затрат труда, и, следовательно, темпы производства в значительной степени обусловлены численностью рабочих. Процесс найма рабочих характеризуется периодом обучения, во время которого рабочие приняты на работу, но к производственной деятельности еще не приступили. При составлении уравнений, описывающих процесс увольнения, учитывалось, что рабочего уведомляют об увольнении за несколько дней. При этом заработная плата ему все еще начисляется, но продукцию он уже не производит. Решение о найме и увольнении рабочих принимают руководители фирмы.

В модель включены также уравнения, характеризующие снабжение материалами и запаздывания поставок материалов (темп закупок материалов - одна из переменных управления). Предполагается, что производственные площади и состав оборудования не изменяются.

При определении динамических характеристик систем с обратной связью большое значение отводится запаздываниям, которые формулируются с помощью уравнений темпов и уровней. В модели используются показательные запаздывания третьего порядка [1]. Далее будем использовать функциональное обозначение OUT[k +1] = d(IN[k], R), которое в сжатой форме представляет систему разностных уравнений вида:

M1 [k +1] = M1 [k ] + T (IN[k ] - M1 [k ] /(R / 3)),

M 2 [k +1] = M 2 [k ] + T (M1 [k ] - M 2[k ])/(R /3),

M 3 [k +1] = M3 [k ] + T (M 2 [k ] /(R / 3) - OUT[k ]),

OUT [k +1] = M 3[k ]/(R /3), k = 0,..., n -1,

где IN - темп входящего потока; OUT - темп выходящего потока; M1, M2, M3 - вспомогательные переменные; R - величина запаздывания; Т - период дискретизации.

Кроме того, далее используются следующие обозначения для постоянных, запаздываний, переменных состояния системы и переменных управления:

С5 - производительность труда на заводе (единицы за человеко-неделю);

С8 - цена материалов (денежные единицы);

С9 - цена готового изделия на заводе (денежные единицы);

С10 - средняя недельная заработная плата (денежные единицы);

С11 - фиксированные издержки (денежные единицы в неделю);

С12 - нормативная себестоимость единицы товара в запасах (денежные единицы);

С13 - нормальная часть общего числа требований, которая удовлетворяется за счет запасов завода (относительные единицы);

R1 - запаздывание отгрузки из запасов завода (недели);

R2 - запаздывание оформления требований на заводе (недели);

Я3 - производственное запаздывание (недели);

Я9 - запаздывание оплаты счетов заводом (недели);

Я10 - запаздывание оплаты покупателем счетов завода (недели);

P8 - время регулирования уровня дивидендов (недели);

U - спрос покупателей (единицы в неделю);

у0 - требования в процессе оформления на заводе (единицы);

у1 - заказы на отгрузку из запасов завода (единицы);

у14 - поступление основных материалов на завод (эквивалентные единицы в неделю);

у15 - рабочие, обучающиеся на заводе (человек); у17 - производственный персонал на заводе (человек); у18 - рабочие, увольняющиеся с завода (человек);

и0 - темп требований, выполняемых за счет запасов завода (единицы в неделю);

и1 - производство продукции по заказам сбытового звена (единицы в неделю).

Приведем некоторые уравнения построенной модели, описывающие финансовые потоки, а также деятельность производственных подразделений фирмы, которая представлена двумя потоками: потоком продукции для пополнения запаса и потоком продукции, идущей непосредственно на удовлетворение заказов покупателей:

У5[к +1] = У5[к] + т [и0[к] - (С5У17[к] - и1[к])], где у5 - портфель не начатых производством заказов для возмещения запаса на заводе (единицы).

Аналогичное уравнение может быть записано для задолженности по работам, выполняемым с целью непосредственного удовлетворения требований сбытового звена:

у 6[к +1] = У6[к] + т

где у6 - портфель не начатых производством заказов сбытового звена (единицы).

Процесс производства в модели разделен на два этапа. На первом этапе руководство фирмы определяет количество рабочей силы, что в свою очередь определяет темп запуска изделий в производство. На втором этапе определяется выпуск продукции, который начинается по истечении запаздывания производства (время изготовления), после которого можно получить готовую продукцию.

Уравнения, характеризующие второй этап производства, имеют

вид:

у1[к + 1] = у1[к] + т(С5уп[к] - и1^] - У8[k]),

У8 [к +1] = Л(С5У17[к] - и1[к] К3),

где у7 - заказы на возмещение запаса в незавершенном производстве (единицы), у8 - темп выпуска продукции на возмещение запаса на продукцию (единицы в неделю).

Аналогично определяется производственное запаздывание выполнения заказов сбытового звена:

У9[к + 1] = У9[к] + Т(и1[к] - У10[к]),

Ую[к +1] = й(и1[к] ^, где у9 - заказы сбытового звена в незавершенном производстве (единицы), у10 - темп отгрузки продукции, изготовленной по заказам сбытового звена (человек).

Следующее уравнение определяет уровень счетов к оплате:

У23[к +1] = у„[к] + Т| С,у14[к]-.

V ^9 )

Темп платежей за материалы определяется как определенная часть имеющегося числа счетов к оплате. Денежные средства, получаемые за проданные товары, представлены в другом виде. Здесь счета за готовые изделия претерпевают запаздывание третьего порядка, прежде чем они преобразуются в поток поступающих на завод денежных средств:

У24[к +1] = С9(-ию[к] ,

V Я1

у25 [к + 1] = й(у24 [к], Rw),

У26[к + 1] = У26[к] + Т(У24[к] - У25[к]) , где у24 - темп выставления заводом счетов за готовые изделия (денежные единицы в неделю), у25 - темп поступления денежных средств за готовую продукцию в кассу завода (эквивалентные единицы в неделю), у26 - счета к получению на заводе (денежные единицы).

Общая сумма дивидендов, выплаченных акционерам к определенному моменту времени, будет составлять:

У 27[к + 1] = У 27[к ] + ТУ31[к ].

Уравнение уровня, характеризующее кассовую наличность, выглядит следующим образом:

У28[к +1] = У28[к ] +

+ Т

У25 [к] - - Сю (У15 [к] + У17 [к] + у18 [к]) - Сп - - У31 [к]

Я9 2

Темп налоговых отчислений определяется как половина темпа получения прибыли до выплаты налогов. В рассматриваемой модели текущий темп прибыли играет роль показателя системы. Он также может влиять на принимаемые руководством решения. Темп получения прибыли до выплаты налога определяется с помощью уравнения:

У29[к + 1] = (С9 - С12)

+ Ую[к] - С11 -

С

10

У15[к ] + У17[к ] + У18[к ]

У8[к ] + У10[к ] С5

Чистая прибыль будет определена с учетом ставки налога на прибыль, равной 0.5:

Узо[£ +1] = узо[* ] + Т.

Дивиденды держателей акций определяются, исходя из среднего значения чистой прибыли за некоторый период времени. Тогда величина дивидендов не будет изменяться при кратковременных изменениях прибыли. Соответствующее уравнение при этих условиях примет вид:

Т

Уз1[к +1] = уз1[к] + —

Р«

У29[к ] 2

- Уз1[к ]

В качестве целей фирмы рассматривается минимизация се издержек (3). Критерий (3) разбит на четыре составляющие части: прибыль; издержки производства; потери сбытового звена; динамические показатели. Каждой составляющей в критерии эффективности соответствует свой весовой коэффициент. Разделение критерия эффективности на отдельные части отражает противоречивость целей руководителей отдельных структурных подразделений фирмы, а также определяет основную стратегию выживания фирмы на рынке.

Приведем отдельные слагаемые, которые входят в квадратичный критерий. От сбытового эвена в производство направляется поток заказов на продукцию. В обратном направлении, от производственного звена к сбытовому звену, движется поток товаров. Следующие выражения приводят эти два потока в соответствие:

( „ ги Л2

р4 с2т 2

р4с|т 2

У1[к ]

ЛС, У10[к ]

- У 42 [к ]

1 - С

- У42[к]

13

где Р4 - весовой коэффициент динамических показателей; у42 - темп поступления требований на завод (единицы в неделю).

Аналогичное выражение может быть записано для входного и выходного потоков сбытового звена (спроса и темпа поступления требований на завод):

Р4С|Т 2 (У42[к ] - и [к ])2.

2

Прибыль включает в себя всего одну составляющую: конечное значение чистой прибыли. Издержки производства отражают цели руководителя производственного звена фирмы. Для него важнее перестроить производство под текущую ситуацию на рынке, избежав при этом больших колебаний в численности персонала на заводе, портфеле невыполненных заказов и т.д. Потери сбытового звена отражают цели руководителя сбытового звена фирмы, для которого важнее перестроить показатели сбытового звена под текущую ситуацию на рынке. Динамические показатели отражают цели общего руководства фирмы. Они содержат слагаемые, которые приводят выходные характеристики обоих подразделений фирмы в соответствие с их входными характеристиками.

Чтобы привести все слагаемые в критерии (3) к одной шкале, используется стоимостная оценка каждого слагаемого. Таким образом, элементы матриц Я3, Я2 и Р1 служат коэффициентами перевода в денежные единицы тех единиц, в которых измеряются соответствующие переменные состояния и переменные управления, а критерий (3) измеряется в денежных единицах.

Для решения задачи оптимального управления перейдем от неоднородной системы (2) к однородной путем введения дополнительной постоянной переменной состояния уп+1 = с (с - некоторая ненулевая константа):

у[/ +1] = ЛЩуЩ + Ви[г], I = 0,..., N -1,

А уШ л

где у[1]

А[і ] =

А

0

Уп+1 у

м>[]-

с

1

вектор новых переменных состояния размерности п+1;

- матрица размерности (п+1)х(п+1); В =

У

ҐВЛ

ч°у

матрица

размерности (п+1)хт.

Перепишем также критерий (3):

N-1 У У

X (У'[* + 1]язУ[7 +1] + и,[г']Я2м[Ф + У,[N]Р1У[NК /=1

где Я3 =

Я3

0

0 ^ ~ А

И Р1 =

0, 1

Рі

0

00

- матрицы размерности (п+1)х(п+1).

Данная задача решается методом динамического программирования [2]. При этом управление получается в виде закона с обратной связью:

и[1 -1] = -F[/ - 1]у[/ -1], I = 2,..., N, (4)

где матрица коэффициентов усиления Р[1 -1] размерности тх(п+1) определяется из соотношений:

І7[/ _ 1] = + В'[Я3 + Р'[1]]в} 1 X В'[Я3 + Р[і]]А[і -1]

і = 2,..., N,

Р[/ -1] = Л'[/ - 1][Д3 + Р[/]] X [Л[\ -1] - Б^[/ -1]],

I = 2,..., N,

Р[ N ] = Р~1.

Доказано, что при получении оптимального управления вида (4) значения переменных управления и[/] и исходных переменных состояния у[(] не зависят от того, какая именно константа была выбрана в качестве дополнительной переменной СОСТОЯНИЯ Уп+1.

Начиная с некоторого номера к, матрица усиления обратной связи ^[/] из (5) оставляется постоянной. Этот номер к выбирается из условия,

что норма разности матриц

р[к +1] - ^[к] должна быть меньше некото-

рой заданной малой величины.

Проведено экспериментальное проигрывание модели производственно-сбытовой системы, для которой п = 69, т = 6. При анализе свойств системы в качестве входного сигнала использовалось ступенчатое 20%-ное увеличение спроса на продукцию по сравнению с начальным значением и0 (в рассматриваемом случае и0 = 1000). Период дискретизации выбирался Т = 0,05 недели. Моделирование проводилось на 100 недель. В качестве весов составляющих в критерии был выбран следующий набор: прибыль -0, издержки производства - 1, потери сбытового звена - 1, динамические показатели - 1. Полученные результаты показывают, что новые правила управления по сравнению с [1] существенно улучшают качество работы системы, при этом уменьшаются колебания всех переменных состояния и сокращается общее время переходного процесса.

Сформулирован критерий эффективности функционирования фирмы, отражающий ее суммарные потери при изменении спроса на продукцию. Критерий разбит на четыре составляющие части, каждой из которых соответствует свой весовой коэффициент. Конкретный набор весовых коэффициентов отражает структуру предпочтений лиц, принимающих управленческие решения. Для управления фирмой построена математическая модель. Получено оптимальное управление фирмой в виде закона с обратной связью, обеспечивающее оперативное управление в условиях изменения спроса.

Список литературы

1. Форрестер Дж. Основы кибернетики предприятия. М.: Прогресс,

1971.

2. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

3. Городничев С.В, Кочетков А.Ю. Методика снижения себесто-

имости изготовления заказов // Сб. докл. Международной научнопрактической конференции «Интеллектуальный потенциал региона и управление знаниями». Москва - Тула: филиал ГОУ ВПО ВЗФЭИ в г. Туле. 2011г. 4 с.

4. Городничев С.В. Минимизация себестоимости изготовления заказов на основе технико-экономического подхода// Сб. докл. Международной научно-практической конференции «Экономика, наука, образование: проблемы и пути интеграции». Москва: ГОУ ВПО ВЗФЭИ. 2010 г. 3 с.

Васин Леонид Александрович, д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой «Экономика и управление», (4872) 33-25-00, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Городничев Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доц., (4872) 26-02-45, go-rodnichev SVamail. ru, Россия, Тула, Финансовый университет при правительстве Российской Федерации (Тульский филиал),

Луценко Алексей Георгиевич, канд. физ.-мат. наук, доц., (4872) 26-02-45, agl51@mail.ru, Россия, Тула, Финансовый университет при правительстве Российской Федерации (Тульский филиал)

OPTIMUM CONTROL OF THE PORTFOLIO OF ORDERS AT KNOWN CHANGE OF DEMAND FOR PRODUCTION

L.A. Vasin, S.V. Gorodnichev, A.G. Lutsenko

For management of firm the mathematical model is constructed. The square-law criterion of efficiency of the functioning, reflecting total losses of firm is formulated. Optimum control of firm as the law with a feedback, providing operative management in conditions of change of demand is received. It is developed algorithmic and the software, which can form a basis for construction of the automated, control system by industrial - marketing activity of the enterprise.

Keywords: mathematical model of industrial - marketing system, a portfolio of orders, square-law criterion of efficiency offunctioning.

Vasin Leonid Aleksandrovich, doctor of technical science, professor, manager of department «Economics and Management», (4872) 33-25-00, Russia, Tula, Tula State University,

Gorodnichev Sergey Vladimirovich, candidate of technical science, docent, (4872) 26-02-45, gorodnichev_SV@,mail.ru, Russia, Tula, Financial University under the Government of the Russian Federation (Tula branch),

Lutsenko Alexey Georgievich, candidate of physical and mathematical science, docent, (4872) 26-02-45, agl51@mail.ru, Russia, Tula, Financial University under the Government of the Russian Federation (Tula branch)