CC BY
55
ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ
УДК 517.9
Бабенко Алена Сергеевна
Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
alenbabenko@yandex.ru
ФОРМИРОВАНИЕ КРЕАТИВНЫХ КАЧЕСТВ СТУДЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ МНОГОЭТАПНОГО МАТЕМАТИКО-ИНФОРМАЦИОННОГО ЗАДАНИЯ «СИСТЕМЫ ТРЕХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»
В данной статье представлены методические рекомендации по изучению темы «Системы трех дифференциальных уравнений» на примере цикла заданий, направленных на формирование креативности студентов по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика».
Ключевые слова: креативность, системы трех дифференциальных уравнений, многоэтапное математико-информационное задание.
М ногоэтапные математико-информационные задания являются специально составленной последовательностью задач, которые соединяют друг с другом:
1) различные виды творческой математической деятельности;
2) построение фазовых портретов различных систем дифференциальных уравнений;
3) проведение компьютерных экспериментов при исследовании нелинейных систем дифференциальных уравнений;
4) поиск информации в Интернете;
5) решение нестандартных задач по математике;
6) прогнозирование результатов математической деятельности;
7) создание математико-информационных проектов [3].
Согласно точке зрения В.С. Секованова [3], многоэтапные математико-информационные задания являются лабораторией формирования креативности студентов. При их выполнении у студента формируются различные креативные качества: гибкость и оригинальность мышления, умение выдвигать гипотезы и проверять их, умение прогнози-
Рис. 1. Схема многоэтапного математико-информационного задания «Системы трех дифференциальных уравнений»
130
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2013
© Бабенко А.С., 2013
ровать результаты математической деятельности, преодолевать стереотипы мышления.
Рассмотрим пример такого математико-информационного задания по теме «Системы трех дифференциальных уравнений», которое состоит из трех взаимосвязанных между собой этапов (рис. 1), и опишем некоторые методические рекомендации по изучению данной темы, направленные на формирование креативных качеств студентов.
Первый этап служит подготовительным для последующих этапов и основывается на изученном ранее материале. Второй этап носит теоретический характер и служит базой для исследования систем трех нелинейных дифференциальных уравнений.
Теме «Системы трех дифференциальных уравнений» следует уделить внимание, так как именно она позволяет открыть широкий спектр развития креативных качеств и является наиболее интересной с точки зрения математики.
Опишем методические рекомендации по изучению каждого раздела рассматриваемой темы.
Этап 1. Системы трех линейных дифференциальных уравнений.
На данном этапе студентам предоставляется возможность решить и построить фазовый портрет, найти неподвижные точки и определить их характер для систем трех линейных дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга собственными значениями.
Задача 1. Решить и построить фазовый портрет, найти неподвижные точки и определить их
характер системы
х' = 2х - у - z, у' = -х + 2у - z, (1) z' = -х - у + 2z.
Собственные значения для матрицы коэффициентов данной системы: \ = 0 и Х2 = 3 кратности два.
После нахождения собственных значений матрицы коэффициентов студенты могут предложить несколько известных им способов нахождения решения. Проанализировав их, студенты решают задачу наиболее удобным способом - с помощью нахождения собственных векторов.
Затем студенты строят фазовый портрет, находят неподвижную точку О (0; 0; 0), так как собственные значения действительные и неотрицательные, то неподвижная точка О (0; 0; 0) - неустойчивая.
Задача 2. Составить системы трех линейных дифференциальных уравнений, в которых собственные значения: а) одно равно нулю, а два других отрицательные (положительные); б) два равны нулю, а третье - положительное (отрицательное);
в) все три значения положительные (отрицательные).
Задача 3. Решить и построить фазовый портрет, найти неподвижные точки и определить их
х' = 2 х + у,
< у' = х + 3 у - z, характер системы (2)
z' = -х + 2 у + 3z.
Собственные значения для матрицы коэффициентов данной системы: \ = 2 и Х23 = 3 + i.
Студенты предлагают иной способ нахождения решения системы: зная собственные значения, можно записать, чему равно х, а затем найти у = х'- 2х и 7 = х + 3 у - у'.
Затем студенты также строят фазовый портрет, находят неподвижную точку О (0; 0; 0). Так как
одно собственное значение действительное \ = 2,
а другие комплексно-сопряженные Х2Ъ = 3 + i, то
точка О - неустойчивый фокус.
Задача 4. Составить системы трех линейных дифференциальных уравнений, чтобы: а) действительная часть комплексно-сопряженных собственных значений была равна нулю, а третье собственное значение - отрицательное (положительное);
б) действительная часть комплексно-сопряженных собственных значений и третье собственное значение равны.
Задача 5. Решить и построить фазовый портрет, найти неподвижные точки и определить их
характер системы
х' = 4 х,
у' = 4 у, (3)
Собственные значения для матрицы коэффициентов данной системы: ^ 2 = 4 и Хъ = 1.
Студенты предлагают еще один способ нахождения решения системы: интегрирование каждого уравнения системы (3) в отдельности.
Затем студенты строят фазовый портрет, находят неподвижную точку О (0; 0; 0). Так как собственные значения действительные и положительные, то неподвижная точка О (0; 0; 0) - неустойчивая.
Задача 6. Найти собственные векторы для матрицы коэффициентов системы (3).
Задача 7. Решить и построить фазовый портрет, найти неподвижные точки и определить их
характер системы
х' = 4 х,
у' = х + 4 у, (4)
7 ' = х + у + 2.
Собственные значения для матрицы коэффициентов данной системы: Л12 = 4 и Хъ = 1.
Студенты предлагают еще один способ нахождения решения системы: последовательно решать каждое уравнение, начиная с первого.
Затем студенты строят фазовый портрет, находят неподвижную точку О (0; 0; 0). Так как соб-
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2013
131
ственные значения действительные, одно из которых равно нулю, а два других положительные и совпадают, то неподвижная точка О (0; 0; 0) - неустойчивая.
Задача 8. Найти собственные вектора для матрицы коэффициентов системы (4).
Задача 9. Составить системы трех линейных дифференциальных уравнений, в которых а) все три собственных значений равны нулю, б) два равны нулю, а другое отрицательное (положительное).
Задача 10. В зависимости от собственных значений, провести классификацию неподвижных точек систем трех линейных дифференциальных уравнений и определить вид устойчивости.
На данном этапе формируются такие важные креативные качества, как гибкость мышления, умение выдвигать гипотезы, их проверять. При решении каждой задачи студенты находят новый способ решения проблемы, предполагают, что данный метод даст результат. Также имеются задачи «прямые» (зная систему, студенты находят собственные значения и вектора) и «обратные» (задавая собственные значения, составляют систему трех дифференциальных уравнений). В самом конце занятия студенты анализируют полученную информацию и обобщают ее. Кроме того, в качестве одного из пунктов задач является построение фазового портрета, студенты выбирают различные способы выбора среды программирования или математические пакеты.
Этап 2. Хаотическое поведение траекторий.
Задача 1. Поиск информации в Интернете на темы «Хаос», «Хаотическое поведение траекторий».
Задача 2. Подготовка докладов по истории развития нелинейной динамики.
Задача 3. Изучение различных трактовок определения хаоса, хаотического поведения траекторий.
Задача 4. Повторить определения фрактальных размерностей (размерности Минковского и Хаус-дорфа) и способы их вычисления.
Задача 5. Изучить понятие корреляционной размерности.
Для вычисления корреляционной размерности непрерывная траектория заменяется множеством точек N. в фазовом пространстве, затем вычисляется расстояние между парами точек Sjj = |х,. - х] |.
Корреляционную размерность можно опреде-
лить:
dr, = lim
log C(r)
(5)
м0 log r
Корреляционную функцию C(r) можно вычислить, описав в фазовом пространстве сферу вокруг каждой точки х, и подсчитать число точек в каждой сфере
1 N N
C(r)=Nm ^ ЕЕ H (r-I x< - 4)
где Н^) = 1 при s > 0 и Н^) = 0 при s < 0 [2].
Задача 6. Рассмотреть основные характеристики хаотического поведения траекторий.
Согласно [2], можно выделять ряд признаков хаотических колебаний, причем рекомендуется для более адекватного описания хаотических колебаний использовать несколько методов их обнаружения:
1) чувствительность к изменению начальных условий;
2) широкий фурье-спектр движения, возбуждаемого на одной частоте;
3) фрактальные свойства движения в фазовом пространстве, которые указывают на присутствие странного аттрактора;
4) растущая сложность регулярных движений по мере изменения некоторого параметра эксперимента;
5) непериодические всплески нерегулярного движения или первоначально неупорядоченное движение, которое, в конце концов, релаксирует к регулярному.
На данном этапе формируется такое креативное качество, как преодоление стереотипов мышления. При изучении материала о хаосе и хаотическом поведении динамических систем студенты приходят к выводу о непредсказуемости поведения систем, преодолевая стереотип и желание предсказать поведение некоторых явлений, процессов. Преодоление стереотипов мышления происходит при исследовании исторических и математических фактов, приводящих к смене мнений и позиций.
Этап 3. Системы с хаотическим поведением.
Задача 1. Тремя различными способами проверить, что одна из систем Спротта [4] обладает хаотическим поведением:
x = -у + z , у' = x + 0.5у,
(7)
i=i j=i
(6)
Первый способ. Студенты находят неподвижные точки и исследуют поведение системы (7) в окрестности найденных точек.
В окрестности первой неподвижной точки О (0;0;0) траектории неустойчивы. В окрестности второй неподвижной точки А (-2;4;-2) траектории неустойчивы. Таким образом, траектории в окрестностях неподвижных точек расходятся и не притягиваются к предельному циклу.
При построении фазового портрета обнаруживаются необычные свойства фазовых траекторий, которые являются неустойчивыми в окрестности неподвижных точек и ограниченными (рис. 2), что оказывается одной из характеристик хаотического поведения траекторий.
Второй способ. Студенты проводят анализ поведения траектории точек при различных начальных условиях, тем самым обнаруживают существенную зависимость от начальных условий, ко-
132
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2013
Рис. 2. Фазовая траектория при начальных условиях (-1;Q;2)
торая относится к одной из характеристик хаотического поведения траекторий.
Третий способ. Вычислим размерность непрерывной траектории, используя формулы (5) и (6).
В результате получаем, что корреляционная размерность примерно равна 2,11, что является одной из характеристик хаотического поведения траекторий.
Задача 2. Исследовать систему Лоренца.
При исследовании системы Лоренца рекомендуется использовать тетрадную форму обучения, которая позволяет формировать креативные качества студентов [1].
Задача 3. Исследовать систему Ресслера.
Задача 4. Исследовать несколько систем Спрот-
та.
На данном этапе формируются такие креативные качества, как гибкость и оригинальность мышления, умение выдвигать гипотезы и их проверять, умение прогнозировать результаты математической
деятельности, преодолевать стереотипы мышления.
Гибкость и оригинальность мышления, умение выдвигать гипотезы и их проверять, умение прогнозировать результаты математической деятельности формируются в результате решения специально подобранного цикла заданий, позволяющих анализировать и находить несколько путей решения задач, выбирать из них наиболее оптимальный, проверять правильность найденного ответа. Преодоление стереотипов происходит в результате решения нетривиальных задач, требующих оригинального решения, изменения сложившихся взглядов на решение задачи. Преодоление одного из стереотипов мышления в математике можно проследить при изучении непрерывных динамических систем, где произошла смена парадигм, было доказано, что предсказать поведение системы и управлять ею невозможно.
Библиографический список
1. Бабенко А.С. Изучение системы Лоренца в рамках тетрады, как средство интеграции математики и информатики // Обучение фрактальной геометрии и информатике в вузе и школе в свете идей академика А.Н. Колмогорова: материалы международной научно-методической конференции, г. Кострома, 7-9 декабря 2011 г. / под ред. В.С. Се-кованова, В.А. Ивкова. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2011. - С. 238-242.
2. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. - М.: Мир, 1990. - 312 с.
3. Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучении фрактальной геометрии. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2005. - 279 с.
4. Sprott J. C. Some simple chaotic flows // Physical Review. - 1994. - V. 50. - № 2. - P. R647 - R650.
Вестник КГУ им. KA. Некрасова ♦ № 2, 2Q13
133
