Физико-математическая информатика с цепочкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Cloud of Science. 2019. T. 6. № 1 http:/ / cloudofscience.ru

Физико-математическая информатика с цепочкой

В. Ф. Очков*, М. Нори**, Н. А. Очкова***

*Национальный исследовательский университет «МЭИ» 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14

"64025, Италия, Пинето, ул. Мимозы, 18

***Московский государственный лингвистический университет 119034, Москва, ул. Остоженка, 38, с. 1

e-mail: ochkov@twt.mpei.ac.ru, massimiHano.nori.home@gmaU.com

Аннотация. В статье описана учебная лабораторная работа (реальная и виртуальная) в русле междисциплинарных связей на стыке информатики, математики и физики: исследование статического и динамического провисания замкнутой цепи с различными точками опоры, а также качание цепи как маятника. Описана технология компьютерной обработки фото- и видеосъемки физического эксперимента с последующим обсчетом медиафайлов на компьютере. Обсуждается недавно открытая константа — цепное число л (1.258... — оптимальное отношение длины цепи к расстоянию между точками ее крепления, а также граница между двумя формами провисания замкнутой цепочки на двух «гвоздях»). Найдена и исследована новая физико-математическая константа 50.34.° — критический угол провисания замкнутой цепи на равнобедренном треугольнике («на гардеробных плечиках»). Описана связь этой константы с задачей о равновесном положении замкнутой цепи на прямом круговом конусе. Оценены подходы и сделана попытка численного решения задачи о маятнике-цепи с различным числом звеньев. Исследована применимость компьютерного инструмента «оптимизация с ограничениями» для решения задач теоретической механики. Подчеркивается важность использования единиц измерения при решении на компьютере физических задач. Обсуждается методика преподавания в школах и вузах курсов математической физики, физико-математической информатики и дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: провисающая цепь, маятник-цепь, цепная функция, компьютерная графика, Mathcad.

1. Введение

До того как появились спиннеры (вертушки, крутилки), люди, не знающие, чем занять свои руки, вращали на пальцах монетку, коробок спичек или... цепочку — см. рис. 1. Будем считать рис. 1 эпиграфом к этой статье, но не традиционным текстовым (см. классический текстовый эпиграф к шестой части статьи и к послесловию),

а графическим.

Рисунок 1. Персонаж фильма1, вращающий замкнутую цепочку вокруг пальца

Давайте повертим цепочку, но не на пальце, а на... двух гвоздях, на двух подшипниках, на гардеробных плечиках, на конусе, раскачаем ее как маятник... И бу-

занных с теоретической механикой.

Вводное замечание общего свойства. В настоящее время у нас и на Западе появились компьютерные программы и сайты Интернета, автоматизирующие процесс решения задач теоретической механики. Пользователю достаточно ввести в компьютер исходные данные — схему балки, например, со значениями приложенных к ней сил или параметры подвешенной цепи (см., например, рис. 5 ниже), нажать на кнопку и получить ответ — значения реакции опор и прочие параметры конструкции. Вследствие этого лекции по теоретической механике зачастую превращаются в лекции-презентации, в лекции-инструкции по использованию данных программ. Против таких технологий обучения вполне обоснованно выступают многие преподаватели, считая их вредными, отучающими студентов думать самостоятельно. Ведь решение задачи теоретической механики — это тончайший синтез науки и искусства. Решить составленную систему уравнений в настоящее время не составляет особого труда. Труд же и весьма интеллектуальный — это умение анализировать задачу, составлять эти самые уравнения, т. е. переводить физику задачи на язык математики. Эту тему затрагивает данная статья. Программы, автоматизиру-

1 На рисунке кадр из кинокартины «Большая семья».

2 Киноперсонаж на рис. 1 был бездельником, который по мере развития сюжета фильма перевоспитался.

3 «Констант» — это довольно громко сказано. Скорее, это не константы, а некие числовые параметры, возникающие при решении определенных задач. Константа ли это или параметр — судить читателю!

дем этим заниматься не от безделья2, а в научно-познавательных и учебных целях. Попутно попытаемся открыть пару новых физико-математических констант3, свя-

ющие решение задач теоретической механики, будут хороши тогда, когда студент освоил науку и искусство под названием «Теоретическая механика», т. е. уже стал почти готовым специалистом.

Но часто преподаватели теоретической механики впадают в другую крайность — вообще запрещают использовать компьютеры при решении задач, полагая, что студенты тут только «тупо нажимают на кнопки». Но истина, как всегда, находится посередине. Студент должен уметь анализировать задачу, составлять ее математическую модель и. использовать компьютер для ее реализации. Решение же нужно уметь получать не только в виде отдельных чисел и таблиц с числами, но и в виде продвинутой графики, анимации и даже изделий, напечатанных на 3Б-принтерах.

Итак! Крутим цепочку!

2. Цепочка на двух гвоздях

В [1] описано, как отрезок цепи (незамкнутая цепочка) подвешивается за два конца (рис. 2), как все это фотографируется и отправляется на компьютер, где соответствующим образом обрабатывается. В качестве «гвоздей» были использованы пальцы двух школьников. На этом уроке (а это отличная лабораторная работа на стыке математики, физики и информатики для двух учебных кабинетов — физического и компьютерного) было еще раз показано, что цепь провисает не по параболе (это очень распространенное заблуждение и не только у школьников и студентов), а по цепной линии, формулу которой [2] мы ниже будем использовать в расчетах.

Рисунок 2. Эксперимент с провисающей цепью

Рассмотрим некоторые еще не исследованные модификации этой классической

4

задачи вариационного исчисления — задачи о провисании цепи .

4 Если погуглить слова «задача о провисании цепи», то поисковики Интернета выдадут ссылки двух видов: а) на работы авторов, перечисленных в списке литературы данной статьи; Ь) на сайты, где даются рекомендации по установке цепи на велосипеде, мотоцикле или бензопиле.

Берется замкнутая цепочка5 и вешается не на палец (см. рис. 1), а на два гвоздя, вбитых в стену6 (рис. 3). Как она провиснет? Задача предельно идеализирована: сама цепочка «классическая» (абсолютно гибкая и нерастяжимая), а силы сцепления цепочки о гвозди отсутствуют. Первое условие на практике выполнить несложно, а второе — почти невозможно, если учесть тот факт, что цепочка своими стыками звеньев в узлах крепления довольно крепко цепляется за гвозди. По этой конструкции (см. рис. 3) нужно постукивать, чтобы она пришла к какому-то приемлемому равновесию. Но на гвозди можно нанизать подшипники качения и уже на них накидывать цепочку. Это усложнит геометрию задачи, но позволит сравнить расчеты с практикой так, как это описано в [1]. Подшипники качения можно взять небольшого диаметра, а цепочку, наоборот, — максимально удлинить. Тогда места крепления замкнутой цепочки на подшипниках можно будет считать точками, и задача существенно упростится — сведется к описываемой. Далее (рис. 14), в конце этой части статьи мы дадим решение этой задачи.

Рисунок 3. Реальная замкнутая цепочка, подвешенная на две булавки

5 Еще ее можно назвать круглой в том смысле, что она не имеет ни начала ни конца. Такие цепочки без замков вешают на шею, если длина цепочки позволяет продеть ее через голову. В третьей части статьи мы поговорим о надевании цепочки на «шею без головы» — на конус. Кстати, о замках. Их можно рассматривать как некие точечные грузики на цепочке, усложняющие ее расчет и делающие задачу интереснее (задача о кулоне на цепочке, о кабине канатной дороги, о маятнике-цепи). Под «кругло-стью» можно также понимать и абсолютную гладкость цепочки — отсутствие сил сцепления в точках ее крепления.

6 На стене дополнительно можно прикрепить лист миллиметровой бумаги, с помощью которой можно измерить координаты отдельных точек провисающей цепочки и сравнить их с теми, какие были получены в результате расчета. Такая работа описана в [1] и о ней дополнительно будет сказано в этой статье.

На рис. 4 показано начало расчета провисания замкнутой цепочки на двух гвоздях: ввод исходных данных7 — длины цепочки (60 см) и координат точек крепления гвоздей, на которые цепочка накидывается (0-28 и 18-15 см).

I — 60ст Длина круглой цепочки

х^ Ост у^ 28ст Левая точка крепления цепочки %2 ■ 18ст

У2 - 15ст Правая точка крепления цепочки

( f*"^ ) . у(х.Ь.а.х0) j- h - a cosh,—— , - 11 Цег

d x " x0 ' dy(x. a. xq) - ~У(Х ■ ^ ■3 - *o) -I

dx

m. * 70 — Линейная масса цепочки ____

c cm Ю00

Производная цепной линии

^Ji*1-*2)*4yi-Y2f-22 2cm

Расстояние между точками

PElhQ.hij.ao.au.xoQ.xou)»

Л _

У|*.hD "D• *00l V1 * (/(*■ aD■ «ODll2

"1

i у|х.Ьи ац.«ou) ,/i

+ (/lx au xoull 4»

L-LO

в™с[ч>к>+Уи^-Ц>)]

Рисунок 4. Начало Mathcad-расчета провисания замкнутой цепочки на двух гвоздях

Важное замечание. Авторы не приводят в статье отдельные формулы, а помещают в ней листинги решения задач в среде физико-математической программы Mathcad. Во-первых, все формулы статьи довольно хорошо читаются благодаря тому, что пакет Mathcad использует общематематическую нотацию по технологии WYSIWIG (What You See Is What You Get). Во-вторых, такой стиль публикаций отвечает современной мировой тенденции, когда формулы в книгах и статьях набираются не в текстовых (математических) редакторах LaTeX, Word Equation, MathML и др., а в средах математических программ Maple, Mathematica, Mathcad8 и др. По таким «живым» формулам можно считать, по ним допустимо строить графики, создавать анимации, что существенно помогает работе, уменьшает вероятность ошибок и опечаток. Более того, все чаще и чаще главы книг и журнальные

7 Как правило, такие задачи решаются либо аналитически (без конкретных чисел), либо в безразмерных величинах. Но пакет МаШса(! обладает инструментом единиц измерения и этим грех не воспользоваться. Это, в частности, позволит избежать ошибок неправильного ввода формул. В расчет введена пользовательская единица грамм-силы ^11) — одна тысячная встроенной единицы килограмм-силы (к^Г). Наши расчеты настроены на систему физических величин см-грамм-сек (ее очень любят физики, отвергающие СИ), поэтому значения сил по умолчанию будут выводиться в динах, которые мы будем менять на грамм-силы.

8 Но иногда нотацию программы МаШсас! приходится слегка подправлять — см. примечание к рис. 21.

статьи представляют собой распечатки решения задач в средах математических программ, дополненные объемными комментариями. Если же такие листинги размещены не на бумаге, а в электронном виде, то они могут быть и «живыми»: читателю позволено изменить исходные данные и получить новый ответ. Пример на рис. 5: авторский расчетный сайт по технологии Mathcad Calculation Server, с помощью которого можно рассчитать длину цепи (S), задав высоты точек крепления

ее концов цепи h и h, расстояние по горизонтали между ними (L), а также ее зазор — минимальное расстояние от «пола» h (клиренс). Подобную программу мы имели в виду, когда в одном замечании говорили о том, что появились средства, позволяющие решать довольно сложные задачи теоретической механики только через ввод исходных данных и нажатие клавиши Решить (Пересчитать — Recalculate).

£ http://twt,mpei,5c.r<j/MC5/Worksheets/chairi-S.xinc<l

Расчет провисания цепи (описание задачи)

Первое приближение при решении системы уравнений

' |0.10 m S ' |0.4 | m 3 '~ |0.10 m | Recalculate Given

Фиксация на левом столбе hj = у|0 ,xg,h , а

Фиксация на правом столбе У\2 ~ УIL, xq , h, a i

V ' 0 09 4

s := Find|Xg,S,aj - 0.51079

Ч а ,0.03241 ,

Рисунок 5. Online-расчет провисающей цепи

На рис. 5 показан расчет длины нижнего участка провисающей замкнутой цепочки — 51.9 см (0.51879 м). Если в этом online-расчете заменить значение h с 5.1 на 27.1 см, то будет рассчитана длина верхнего короткого участка цепочки — 18.1 см (на миллиметр больше расстояния между точками крепления L). В сумме

это дает 70 см — такая примерно длина оказалась у цепочки, показанной на рис. 3, после того, как ее сняли с булавок и измерили ее длину с помощью линейки.

На рис. 4 показаны функции пользователя — формула цепной линии9 (у) и ее производной10 (у'). Еще одна функция с именем РЕ и с шестью аргументами возвращает значение потенциальной энергии, провисающей на двух гвоздях замкнутой цепочки в зависимости от параметров двух участков цепной линии, на которые может разделяться цепочка — см. рис. 3, 8 (внизу). Эти участки будем обозначать индексами D (down, нижний) и U (up, верхний). Но это разделение условное — нижний участок цепочки может оказаться наверху, а верхний внизу. Кроме того, эти участки могут совпадать (рис. 9).

Принцип Лагранжа-Дирихле [3, 4], приложенный к нашей задаче, указывает на то, что цепочка провиснет так, чтобы ее потенциальная энергия стала минимальной. Тут «вырисовывается» типичная задача оптимизации с ограничениями, которую можно решить с помощью встроенной в Mathcad функции Minimize11 вкупе с ключевым словом Given (Дано) (рис. 6).

9 Каноническая формула цепной линии, прописанная в всех бумажных и электронных математических справочниках и учебниках, имеет вид a cosh(x/a). В этой формуле задействован гиперболический косинус cosh. Что это? Есть такое редкое животное овцебык. С овцой его роднит густая шерсть, а с быком — размеры. Гиперболический косинус перенял от отдельной ветви гиперболы свою «провисающую» форму или форму арки. Но не от традиционной «школьной» гиперболы y = 1/x, а от такой гиперболы, повернутой на 90°. Косинусом же функция cosh называется и потому, что она подобно обычному косинусу имеет первую производную, равную синусу — гиперболическому синусу sin h, но без смены знака. Но главное потому, что гиперболические функции можно выразить не только через экспоненту (см. выше), но и через тригонометрические функции от мнимого аргумента [5]. В свою очередь, производная гиперболического синуса равна гиперболическому косинусу (четность/нечетность). Гиперболический косинус — это (ex + e- )/2, где e — это основание натурального логарифма 2.718281828.... Гиперболический же синус — это (ex - e-)/2. Правда, гиперболические функции в отличие от своих тригонометрических «тезок» периода не имеют. «Период» имеет цепь, подвешенная на ряд столбиков — на ограду памятника, например. Но в расчетах мы будем использовать не каноническую, а другую форму записи цепной линии с двумя дополнительными параметрами h их : h + a cosh(((x - x0)/a) -1). В этой формуле четко прописана особая точка этой кривой — цепная линия имеет минимум (провисающая цепь — a > 0) или максимум (арка — a < 0) в точке с координатами h - x0, которые нужно будет находить в процессе наших расчетов. В русскоязычной литературе функции cos h и sin h обычно прописываются как ch и sh (см. также примечание к рис. 21).

10 Формулу производной цепной функции генерирует сам пакет Mathcad с помощью инструмента символьной математики (оператор «правая стрелка»). Формулы же длины кривой и ординаты ее центра тяжести, которые используют определенный интеграл и также задействованы в расчетах, были найдены в Интернете, хотя их тоже несложно вывести средствами символьной математики Mathcad или «в уме», опираясь на собственные знания азов физики и математического анализа.

11 Она (и функция Maximize) появилась в этом пакете сравнительно недавно, что существенно расширило возможности Mathcad при решении математических задач.

Рисунок 6. Поиск минимума потенциальной энергии висящей замкнутой цепочки

На рис. 6 зафиксированы следующие расчетные моменты:

- ввод начального предположения для численного решения задачи минимизации; тут пользователь пакета должен задать числа, близкие к ожидаемому решению;

- ввод ограничений после слова Given; а они такие: длина цепочки L (сумма длин ее двух частей) остается постоянной, а два участка замкнутой цепочки — нижний (D) и верхний (U) закреплены на концах в двух заданных точках (1 — левая точка и 2 — правая точка);

- работа функции Minimize, которая вернула ответ: параметры a,h и x0 двух участков цепной линии (D и U), при которых их потенциальная энергия PE будет минимальна, а ограничения выполняются. Этот ответ (вектор констант) можно перенести в начальные предположения и убедиться, что ответ не изменится. Но всегда следует помнить, что этот ответ приближенный, зависящий от значения заданной точности численного решения задачи и других условий.

В расчет была введена величина шс — линейная масса цепочки. Она не влияет на форму ее провисания, но поможет нам, во-первых, проверить правильность расчета, показанного на рис. 6, с позиций баланса сил, а во-вторых, рассчитать силы, какие растягивают цепочку в местах ее крепления на двух гвоздях. Эту новую зада-

чу можно свести к численному решению переопределенной системы восьми нелинейных алгебраических уравнений с шестью неизвестными, описывающими «механику» замкнутой цепочки, провисающей без сцепления на двух гвоздях. В расчете задействована встроенная в Mathcad функция Find (Найти), возвращающая значения неизвестных, превращающих уравнения в тождества с точностью, определяемой методом и параметрами численного решения задачи.

Рисунок 7. Расчет сил натяжения цепочки на двух гвоздях

Физические закономерности, отображенные в расчете на рис. 7, такие:

- суммы значений вертикальных проекций сил крепления участков цепочки на двух гвоздях равны значениям веса участков цепочки: имя переменная

означает, что это вертикальная (у) проекция силы ^), с которой нижний (П) участок цепочки тянет левый (1) гвоздь вниз;

- значения горизонтальных проекций сил крепления участков цепочки на двух гвоздях (^д и Гхи) равны друг другу и связаны со значениями вертикальных проекций этих сил через значения производной цепной линии в данных двух точках: у'(х15 ав, х0 в ), у'(х2, ав, х00 ), у'(х15 аи, хои ) и у (Х2, аи ' Х0и )'

- силы натяжения нижнего и верхнего участков цепочки в точках их крепления равны: участки цепи друг друга не перетягивают и находятся в равновесии.

Расчет, показанный на рис. 7, проверочный. Мы убедились, что значения параметров цепной линии (переменных ав, аи, кв, ^, х00, найденных через минимизацию потенциальной энергии (см. рис. 6), соответствуют значениям сил, обеспечивающим условия равновесия нашей механической системы.

А что показал нам численный компьютерный эксперимент?!

А то, что замкнутая цепочка в зависимости от ее длины и местоположения двух гвоздей может провиснуть двумя способами (рис. 8 и 9).

Случай 1. Цепочка разделяется на два неравных участка — см. рис. 8.

Случай 2. Цепочка провисает двумя равными половинками — см. рис. 9.

Рисунок 8. Провисающая на двух гвоздях замкнутая цепочка разделяется на два неравных участка

В нижней части рис. 8 и 9 показаны графические зависимости значения потенциальной энергии двух участков замкнутой цепочки от отношения длины нижнего участка к общей длине цепочки — Ьи/Ь. На графиках видны такие особые точки:

Рисунок 9. Провисающая на двух гвоздях замкнутая цепочка разделяется на две равные части (половинки)

- рис. 8: два минимума на краях (устойчивое равновесие) и один максимум в середине (неустойчивое равновесие) — цепочка, в принципе, может провиснуть двумя равными участками (см. рис. 9), но при малейшем внешнем воздействии сползет в левую или правую потенциальные ямы;

- рис. 9: один минимум (устойчивое равновесие) — цепочка провисает двумя равными участками.

На рис. 10 показан Mathcad-документ, формирующий функцию пользователя, возвращающую значение потенциальной энергии провисающей на двух гвоздях цепочки (PE) в зависимости от отношения длины одного участка к общей длине

цепочки LU/L. Встроенная в пакет Mathcad функция Find в данном расчетном случае возвращает не вектор констант как на рис. 7, а вектор пользовательских функций — зависимостей параметров цепной линии на двух участках от переменной (аргумента функции) LU/L. Эти функции-векторы с именами AnsD и AnsU раскладываются на отдельные функции-скаляры с именами hD,aD и т. д. Такой прием позволил нам создать функцию с именем PE и далее строить ее графики в зависимости от отношения длины LU к длине L при разных координатах точек крепления замкнутой цепочки — см. рис. 8 и 9.

Рисунок 10. Создание зависимости потенциальной энергии двух участков провисающей замкнутой цепочки от отношения их длин12

12 В формуле для потенциальной энергии на рис. 10 убрано произведение шс ■ g (вес цепочки — см. рис. 6) и сделаны другие упрощения, ускоряющие расчет. А он довольно длительный. Авторы на своих довольно быстрых компьютерах рисовали «энергетические кривые», показанные на рис. 8 и 9, несколько десятков минут, т. к. расчет координат каждой точки этой кривой требует численного реше-

Найти границу, разделяющую две формы провисания замкнутой цепочки на двух гвоздях (точка бифуркации, раздвоения), нам поможет... интерлюдия.

3. Интерлюдия. Цепное число л

Задача. Насколько цепь (разомкнутая, обычная с двумя концами (см. рис. 2) должна быть длиннее расстояния между точками ее подвеса, находящимися на одном уровне, чтобы силы натяжения на концах цепи были минимальными.

Это типичная задача оптимизации: если увеличивать длину цепи, то эти силы будут расти из-за увеличения веса цепи — за счет роста ее вертикальной проекции. Если же цепь укорачивать, то силы ее натяжения в точках крепления будут увеличиваться за счет роста ее горизонтальной проекции. При приближении значения длины цепи к значению расстояния между точками ее крепления, она перестает быть просто цепью и становится. натянутой струной. А расчет струны, ее колебания — это отдельная очень интересная задача математической физики, где уже цепь, пардон, струну нельзя считать нерастяжимой. Тут нужно учитывать модуль упругости материала струны, ее удельный вес и другие параметры.

На рис. 11 показано одно из возможных решений этой задачи оптимизации (поиска минимума) в среде Mathcad.

Для этого нужно функционально связать силу F и длину цепи L, т. е. создать функцию F(L) — целевую функцию оптимизации. В расчете на рис. 11 традиционно задаются две функции пользователя: цепная функция, минимум/максимум которой попадает на вертикальную ось ординат (горизонтальная ось абсцисс проходит через две точки крепления цепи), и ее производная по x. Задача сводится к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений (равенство высот точек крепления цепи и неизменность значения длины цепи) с использованием блока Given-Find, где функция Find возвращает не два конкретных числа (численное решение системы двух уравнений), а формирует функцию пользователя с именем Ans (см. также этот прием на рис. 10). Затем эта функция-вектор (вектор, повторяем, потому, что функция возвращает два числа) раскладывается на две отдельные функции a(L) и h(L). Далее формируется целевая функция оптимизации F(L), по которой строится график и у которой уточняется минимум — точка, где значение производной равно нулю. Это делается с помощью встроенной в Mathcad функции root, которая возвращает нуль первого своего аргумента — значение второго аргумента, при котором первый аргумент будет равен нулю. Этот поиск ведется в диа-

ния довольно сложной системы нелинейных алгебраических уравнений с высокой точностью. А это задача сама по себе очень затратная по времени и другим ресурсам компьютера.

пазоне, заданном третьим и четвертым аргументами функции root. Тут, правда, можно было использовать уже знакомую нам функцию Minimize, но мы функции root задействовали для разнообразия и не только. Дело в том, что функция root в отличие от функции Minimize, доступна в бесплатной версии Mathcad — в Mathcad Express.

у(х,а,h) := h -

ЧЗ"1:

Цепная линия Производная цепной пинии

y'(x,a) = — у(х,а ,h) -» sinhl х dx

кп

X := 0.5т тг 1 — Исходные данные L т

тс L g

Fy(L) - --- Вертикальная сипа в подвеса цепи как функция ее длины

Given

а = 1m h = -0.2m Первое предположение

у(—X ,а .h) = у(Х.а .h) = 0m Равенство высотточек крепления цепи fX

L = | Vl + y'(*.a)2dx ■ -х

Ans(L) - Find (a h)

Длина цепи

a(L) Ans(L)0

h(L) Ans(L),

a(L) := atan(y'(X a(L))} Угол наклона цепи у правого подвеса FV(L)

F(L) :=

sin(u(L))

Целевая функция оптимизации

20 20 300

кдг -0.8 0.6 L \

\

1 opt := l00t( .2 1.4 1.6 1.8 L — F(L).L.2X+ — .4x1 = 1.258m dL 20 J

V(x'a(Lopl)'tl(Lop4))

\ ).4 >2 0 ( 2 С 4 /

--ft*

«(Lop,) = 56

Рисунок 11. Определение оптимальной длины цепи

Число 1.258... (отношение длины оптимальной цепи к расстоянию между точками ее крепления на одном уровне) можно считать некой новой физико-математической константой (см. сноску 3) и дать ей имя лс (цепное число п — catenary, chain) — отношение длины дуги оптимальной цепной функции к ее «диаметру» — расстоянию между точками крепления. Обычное число п — это, как из-

вестно, тоже отношение дуги (полуокружности) к ее радиусу. Можно начать вычислительную гонку — находить максимальное количество чисел в этой константе наподобие того, как это делается в отношении обычного («кругового») числа п: 3.142...

Отсюда практический совет. Если требуется повесить цепь, веревку или трос между двумя столбами на одинаковой высоте, то при отсутствии каких-то особых требований достаточно задать длину цепи, которая будет больше примерно на четверть расстояния между точками крепления. В этом случае, см. выше. Если же точки крепления цепи находятся на разных уровнях, то появится другая «константа» и ее без труда можно рассчитать по методике, описанной в этой статье.

После публикации в авторской книге [6] этого исследования и возникновения надежды на открытие новой физико-математической константы был сделан поиск в интернете по ключу «1.258 catenary», который привел к публикации «Оптимальная форма провисающего кабеля» [7], в которой уже фигурировало число 1.258. Так что мы немного опоздали с приоритетом на эту константу, но вполне обоснованно считаем себя ее соавторами.

Обсуждение данной задачи с попытками ее аналитического решение можно увидеть здесь: https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/Symbolic-solution-of-one-optimization-problem/td-p/130281. Эта константа первым автором статьи открыта случайно — подбирался хороший пример решения в среде Mathcad задачи с использованием приема создания функции пользователя, базирующейся на решении системы нелинейных алгебраических уравнений (см. рис. 10, 11), приведший к открытию этой константы.

На рис. 12 показано решение задачи о бифуркации замкнутой цепочки, подвешенной на двух гвоздях, методом, который сейчас все чаще и чаще используется для решения математических и других задач. А именно: задача о цепочке была «вывешена» на сайте https://dxdy.ru/topic129422.html с просьбой помочь решить ее. Анонимный посетитель форума с псевдонимом DeBill дал решение, показанное на рис. 12. Как он это сделал, узнать не удалось. Примерно такая же ситуация наблюдается, когда мы используем для решения задачи не постороннего человека, а постороннюю программу. Решение найдено, и оно верное, но как оно найдено, остается загадкой. Это обстоятельство дает нам основание считать этот метод решения задач таким же «законным», как численные, символьные или графические методы. Человек, столкнувшись с незнакомой задачей, может пытаться решить ее сам в уме или на компьютере с подключением необходимых программ, процедур и функций (собственных или чужих), а может. вывесить ее на специализированном форуме и дожидаться ответа. Ответы же на форумах часто сопровождаются критическим анализом и самой задачи, и ее решения.

a

x=x • sinh (x) = cosh (z) *"h 1.1996786402577338339 2.5154729123361881145

x

L„~2 а-b — 5.030945824672376229-a

;rr:=—-. 1.2577364561680940572 4 a

Рисунок 12. Интернетовское решение задачи о цепном числе п

Так вот! Давайте набросим на два гвоздя цепочку так, как это показано на рис. 8, и будем постепенно увеличивать расстояние между точками крепления, перемещая правый гвоздь вправо и/или вниз. Численный эксперимент показывает, что в момент слияния двух участков цепочки (переход от картинки на рис. 8 к картинке на рис. 9) силы, приложенные к гвоздям, приобретают минимальные значения. Это и является некой качественной границей между двумя формами провисания цепочки, показанных на рис. 8 и 9. Четкая ли это граница или размытая — вопрос пока открытый. Вывод формулы, по которой можно рассчитать этот переход, выходит за рамки данной статьи. Но читатель может попытаться сделать это сам. В этой формуле будут пять переменных — длина круглой цепочки и координаты ее крепления. В формуле можно уменьшить число переменных, приведя ее к некому каноническому виду (см. сноску 9).

Замкнутую цепочку можно вращать не только так, как показано на рис. 1, но и другим манером: повесить ее на указательные пальцы двух рук и вращать их по окружности. Так, например, делают дети, когда полушутя-полусерьезно хотят принять какое-то решение: закрывают глаза, вращают перед собой руки, а потом пытаются состыковать указательные пальцы. Промахнулись — решение не принято! На рис. 13 показаны кадры анимации такого занятия для рук с подвешенной замкнутой цепочкой в математической реализации: одна точка крепления цепочки неподвижна, а вторая вращается вокруг первой по окружности. Вернее, только по одной четверти окружности: на других трех четвертях результат будет идентичный (симметричный).

М. Нори, Н. А. Очкова

■* Воспроизвести анимацию —ОХ Ь + э-соаМ-1-11 Ьи - 12.784035 ст аи = 6 772649 ст хои=1Эст -Ьи - 7 894767 ст \ /• ар - 1.883294 ст 4--У/ хОО = 13ст ■ 1 Воспроизвести анимацию —ОХ И + а-| соэЬ]- -11 Ж ьи - 13.929381 ст / / ау = 5.01021 ст 1 х0и = 6 15977В ст \ / Кр- 10 153734 ст \___У ар- 1.234514 ст х0р= 11 583636 ст 11 Бек 1 произвести анима Ь + а цию - □ х Н^Н Ьи - 12.182755 ст аи = 1.596774 ст хои = 6 775311 ст Ьр- 10 864386 ст ар - 0 269761 ст х0р = 9 87056 ст ■' Воспроизвести анимац И-а "У-. =ц- . " =0- ■

1................................................................... ► ».......................................1................................................ - в.....................................................................V............| ► и Щ

Воспроизвести аним... - □ X ЦЧлгН 1^= 12.063057^ ад = 3 20703 с т А Хду- 12 4Ш34СГЛ / Ьр- 12 061245 ст ар = 3 286013ст Хдр = 12.413907 ст ■1 воспроизвести аним... — □ X " ■ .. К+ а ^совН^-——^ - > Ьи= 12 731035 ст Л \ ау = 2 058159 ст // хои- 11 181875ст • Ьр- 13.655799ст а0 = 2 982916ст *00= 10 419552СШ ■' Воепрои ¡вести ахи I; -ах М^Н Ьи- 13 154968ст ау - 0.776121 ст хои = 7 939224 ст И0= 12 936273 ст ар- 0.210544ст ХОО-9.523557ст ■ 1 Воспроизвести л ним,, Ь+а| и X "и-- •и- ■ «ои- ■ "0- ■ чю- ■

ГШ.................................................... ► в | ► Э Щ ► а |

Рисунок 13. Кадры анимации вращения замкнутой цепочки, подвешенной на два гвоздя: верхний ряд — длинная цепочка, нижний ряд — укороченная цепочка с фиксации дочки бифуркации

Какие выводы можно сделать, анализируя рис. 13 и другие вычислительные эксперименты, проведенные авторами?

Во-первых, то, что расстояние между точками подвеса цепочки — это не единственный критерий, определяющий форму ее провисания. Этот критерий является единственным для случая, когда эти точки находятся на одном уровне (см. рис. 11 и 12).

Во-вторых, два кадра анимации на правом краю рис. 13 лишний раз указывают на ограниченность численного решения задачи: при определенных начальных условиях решения нет. Это связано и с самой природой численных методов, и с тем, что вертикально провисающая цепочка требует другой формулы для расчета, а не той (цепная линия), какая показана в кадрах анимации на рис. 13. Но отсутствие решения — это еще полбеды. Настоящая беда может случиться, когда численная математика дает неверный ответ (см. шестую часть статьи), влекущий за собой неверные выводы. Авторы надеются, что в данной статье этого не случилось.

На рис. 14 отображено решение ранее анонсированной задачи — замкнутая цепочка вешается не на два гвоздя, а на два подшипника, которые должны свести к минимуму сцепление. Обсуждение задачи, Mathcad-документы и анимации находятся по адресу https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/One-interesting-proЫem-with-closed-cham/m-p/569018.

Здесь также ведется минимизация потенциальной энергии цепочки, которая имеет уже не два, а четыре участка: нижний провисающий участок цепочки, верхний провисающий участок, участок цепочки, охватывающий левый подшипник и участок цепочки, охватывающий правый подшипник.

На рис. 14 верхние и нижние кадры анимации иллюстрируют положение цепочки в двух потенциальных ямах: две части цепочки не пересекаются и две части цепочки пересекаются. Но при увеличении расстояния между подшипниками эти два устойчивых равновесия сливаются в одно. На кадрах анимации также отмечены кружками положения центров тяжести участков замкнутой цепочки.

Рисунок 14. Кадры анимации провисания замкнутой цепочки на двух подшипниках

Задача о замкнутой цепочке на двух подшипниках имеет важное практическое приложение, если вспомнить о велосипедной цепи, накинутой на две звездочки — на одну у педалей, а вторую на заднем колесе велосипеда (см. сноску 4). Степень натяжения этой цепи — важный параметр наладки этого очень популярного вида транспорта.

При уменьшении радиуса подшипников — при стремлении этой величины к нулю задача становится эквивалентной описанной выше.

4. Цепочка на плечиках

Плечиками13 в житейском обиходе называют вешалку, «распялку»14 в виде тупоугольного равнобедренного треугольника с крючком наверху (рис. 15). На это не-

ные стороны треугольника (на эти самые плечики), а брюки на перекладину — на горизонтальное основание. Некоторые вещи (дамские комбинации, например) часто соскальзывают с этих плечиков и падают вниз на дно шкафа или на пол. Или, наоборот, бретельки комбинаций собираются у основания крючка — у верхней вершины треугольника. Что тоже нехорошо — вещи мнутся. Так что наше исследование будет иметь не только чисто научное, но и некое прикладное, практическое значение!

Давайте посмотрим, как на таких плечиках будет держаться не дамское нижнее белье, а наша замкнутая цепочка (рис. 15).

13 Многие вещи имеют имена, образованные от уменьшительных форм других слов. Сравните: плечо человека и плечики в гардеробе, спина человека и спинка стула, нога человека и ножка стула, рука человека и ручка — письменный прибор или скоба на двери. И таких примеров можно привести множество.

14 Мама первого автора статьи часто называла этого обитателя шкафов тремпелем. Википедия подсказывает, что сведения о происхождении этого слова не вполне достоверны. Вероятно, оно происходит от немецкого строительного термина, обозначающего конструкцию из деревянных планок. Слово широко распространено на восточной Украине, откуда родом мама первого автора. В современном немецком языке слово Trempel или Drempel означает одну из конструкций крыши (Kniestock). А основа многих крыш — это треугольники из стропил и лаг.

15 Все гостиницы мира можно условно разделить на две неравные части. В одних (а таких, увы, меньшинство) в шкафах висят обычные «домашние плечики». В других же висят, можно сказать, не «домашние», а «дикие плечики», состоящие из двух частей — из «крючка», который накрепко привязан к палке в шкафу, и собственно самой вешалки без крючка, которую нужно хитрым способом соединять с крючком. Это очень неудобно, но сделано вынужденно — в целях противодействия воровству вешалок постояльцами отелей. Авторы видели одну гостиницу и третьего типа. Там вешалки были прикреплены к шкафу... цепью — объектом нашего исследования. В старые времена в общественных местах цепью часто прикрепляли кружку к бачку с питьевой водой. Сейчас нередко можно видеть, как в офисах цепочкой крепят ручки для письма, чтобы посетители случайно или намеренно не унесли их.

хитрое приспособление вешают одежду в шкафах15: пиджак, например, на наклон-

Рисунок 15. Замкнутая цепочка на плечиках

Задача. Берется уже известная нам замкнутая цепочка (см. рис. 1), которая вешается не на два гвоздя (см. рис. 3), а на два симметричных относительно центральной вертикальной оси отрезка прямых линий — на эти самые плечики (см. рис. 15, 16). Силами сцепления цепочки с плечиками мы также будем пренебрегать, а замкнутую цепочку будем считать нерастяжимой и абсолютно гибкой. Как провиснет такая цепочка?

Рисунок 16. Замкнутая цепочка на плечиках (о рисунке в центре см. ниже)

Пренебречь силами сцепления в задаче, показанной на рис. 16, еще сложнее, чем в задаче, показанной на рис. 3. Но можно поступить так: взять обычную разомкнутую цепочку и к двум ее концам прикрепить некие маленькие колесики, которые свободно катятся по наклонным рельсам-плечикам. А пока же мы, повторяем, просто будем пренебрегать силами сцепления замкнутой цепочки о плечики.

На рис. 17 показан протокол численного решения этой задачи в среде Mathcad. Используется уже знакомая нам функция Minimize, минимизирующая потенциальную энергию замкнутой цепочки при заданных ограничениях: фиксациях концов частей цепочки на плечиках. Задача похожа на предыдущую, но места контакта цепочки не зафиксированы в двух точках (на двух гвоздях), а «скользят» по отрезкам наклонных прямых — по плечикам. Реакции у таких опор будут строго перпендикулярными, и мы этот факт еще отметим ниже.

Предполагается, что цепочка на плечиках может равновесно провисать и в несимметричном положении (косо — «кривая улыбка», см. рис. 8), хотя сами плечики висят ровно. Поэтому в расчет вводятся две искомые величины — xL и xR: расстояния от вертикальной оси, где расположен крючок плечиков, до точек подвеса цепочки слева (Left) и справа (Right).

yjx.h.a.XQj := h + a- cosh

d | X - Xg

y*(x.a.XQ) := —yjx.h.a.XQ| -*■ sinh -

dx V <*

PE|xL.xR.hD.hu.aD.au.xOD.xou|- y(x.hD.aD.x0D| J1 + /(x.aD.x,)D|2 dx

*L

fXR I-2

\

| xl xR hD hy aD ay xgp хцу |:-(-1 2 2-5 2 5 7 -1 1)m Guess values Given

I + y,(x.aD.x0D|2dx+ [ yi + /(x.au.x0y|2dx=L *L *L

y(xL-hD-aDx0Dl=xLtan y(*R-hD-aD *0Dl = ""R ,an \ " 3;

y(xL.hu_au.xou|=xL tan: |-<4: y^hy-ay^y^ -xr tan | - |3j

fxL)

*R "D hU aO

au

X0D

*ou

. Minimize) PE. xL. xR. hD. hy. aD. ay. x0D. xou|.

-1 66502 1.66501 -3.35281 -3.35269 3.03114 3.03188 -0 00002 -0 00002

Рисунок 17. Расчет положения замкнутой цепочки на плечиках

Что показал наш новый численный компьютерный эксперимент?

Положение цепочки, показанное на рис. 16, не является устойчивым. Это положение искусственное, задаваемое силами сцепления цепочки с плечиками. Аналогия: брусок на наклонной плоскости (см. центр рис. 16) неподвижен, хотя должен скользить вниз, уменьшая свою потенциальную энергию. Причина неподвижности — сила сцепления бруска с наклонной плоскостью (сила трения покоя). И не сила трения скольжения, которая рассчитывается по довольно простой формуле с коэффициентом трения, а сила сцепления, расчет которой существенно сложнее. Если этих сил не было бы, то наша цепочка на рис. 16 либо провисла двумя одинаковыми половинками, симметричными относительно вертикальной оси, либо соскользнула с плечиков и провисла вертикально, зацепившись за основание крючка плечиков. И это «либо» не зависит от длины цепочки, а связано только с углом раскрытия плечиков. Тут имеется качественное отличие плечиков (см. рис. 16) от конструкции с двумя гвоздями (см. рис. 3), где две части замкнутой цепочки при достижении минимума потенциальной энергии могут провиснуть либо двумя нерав-

ными участками (см. рис. 8) либо симметрично (см. рис. 9). Цепочка же на плечиках всегда провиснет равными половинками. Начинает же она разделяться на два неравных участка в момент начала скольжения перед соскакиванием с плечиков.

С помощью численного эксперимента был нащупан критический угол раскрытия плечиков, при котором замкнутая цепочка соскакивает с вешалки. Для фиксации этого угла была создана анимация (см. https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/Round-chain-on-the-corner/td-p/553624). При увеличении угла а (угла раскрытия плечиков) на величину, большую чем примерно 50 угловых градусов цепочка соскакивала с плечиков и висла на месте крепления крючка — на вершине тупого угла. Это, повторяем, вытекает из того, что потенциальная энергия вертикально висящей цепочки становится меньше потенциальной энергии цепочки, провисающей по цепной линии.

На рис. 18 показан численный расчет этого критического угла — определение значения а, при котором потенциальная энергия цепочки, провисающей по двум одинаковым дугам цепной линии (РЕ), будет равна потенциальной энергии цепочки, висящей вертикально (—Ь2 /4) и зацепленной за вершину плечиков (константа g • тс — произведение ускорения свободного падения на линейную массу цепочки тут опять же не учитывается). Этот угол асг оказался чуть больше 50 градусов, что совпадает с данными, полученными при просмотре анимации.

В расчете на рис. 18 используется уже известный нам прием формирования функций пользователя через численное решение системы уравнений. В расчете на рис. 18 их (функций) три — X (а), к (а) и а(а), где функция с именем X — это абсцисса опоры цепочки на правом плечике (—X — на левом плечике, соответственно), а функции с именами к и а — это параметры цепной линии. Эти три уравнения отображают тройку «физических фактов»: (1-е уравнение системы — интегральное уравнение) длина цепочки остается постоянной величиной, (2-е уравнение) цепочка цепляется за плечики в определенной точке и (3-е уравнение) сила, удерживающая цепочку на плечиках, перпендикулярна плечикам.

Интересно найти не численное, а аналитическое решение задачи о критическом угле плечиков с замкнутой цепочкой, как реванш за неудачу в аналитическом решении задачи о цепном числе п (см. рис. 11). Первый шаг такого решение (отказ от трех уравнений и переход к одному уравнению) показан на рис. 19. Для этого было достаточно решить аналитически относительно неизвестной а третье уравнение системы, показанной на рис. 18, а также сделать другие несложные преобразования и подстановки, каким школьников и студентов технических вузов учат на занятиях по математике.

Рисунок 18. Численный расчет критического угла провисания замкнутой цепочки на плечиках: решение системы трех уравнений с помощью функции Find

Рисунок 19. Численный расчет критического угла провисания замкнутой цепочки на плечиках: поиск нуля функции через функцию root

Второй шаг решения — это аналитический (символьный) поиск корня интегрального уравнения, которое получилось из трех исходных (см. второй оператор на рис. 19). Эту работу авторы не могли сделать сходу и поручили ее фанатам и знатокам пакета Mathcad, «вывесив» данную задачу на форуме пользователей пакета — см. https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/Has-this-equation-one-symbolic-solution/m-p/564805. На рис. 20 показано, как было аналитически решено первое (интегральное) уравнение постоянства длины цепочки. Тут пришлось помогать компьютеру, точнее, его символьному движку: подсказывать, что переменные х, X и L хранят действительные, а не комплексные числа (real), а вспомогательная переменная T больше нуля [этой переменной заменили выражение tan(a)]. Без этой помощи человека уравнение на компьютере никак не решалось — см. первый оператор на рис. 20.

Рисунок 20. Аналитическое решение интегрального уравнения длины цепочки и попытка аналитического решения уравнения потенциальной энергии цепочки

Но аналитическое решение уравнения потенциальной энергии цепочки, соскакивающей с плечиков (см. последнее уравнение на рис. 20), не увенчалось успехом. Пришлось довольствоваться функцией f (а), один из нулей которой является решением нашей задачи (рис. 21).

Примечание. На рис. 21 нотации тангенса и гиперболического арксинуса даны в более привычном для российского читателя виде. Кроме того, показатель степени у тангенса находится сразу за тангенсом, а не за всей функцией, как это можно видеть на рис. 20. И еще. Использование префиксного оператора Mathcad позволило отказаться от скобок у тангенса. Но, повторяем, в настоящее время в условиях глобализации национальные математические нотации постепенно выходят из употребления. Этому процессу способствуют и компьютерные математические программы.

Рисунок 21. Аналитическое решение задачи о критическом угле провисания замкнутой цепочки на плечиках в виде функции, у которой нужно найти нуль

В решении, показанном на рис. 18, больше физики и меньше математики16. В рис. же 19, 20 и 21 физика отходит на второй план, а вперед выступает математика. К физике и математике можно добавить и... изобразительное искусство, а конкретнее, дизайн, оформив наше решение о замкнутой цепочке на плечиках более образно (рис. 22).

Рисунок 22. Решение о критическом угле провисания замкнутой цепочки: цепочка в виде оператора поиска нуля функции... висит на плечиках

Полученное число (0.87859. радиан или 50.3395. угловых градусов17) — можно считать новой физико-математической константой, связанной с цепной линией. Другая уже давно известная константа, напрямую связанная с это линией, — это основание натурального логарифма е. Эта константа формирует гиперболиче-

16 Отход от математики можно заметить и в том, что многие формулы не упрощались. Так, длину цепочки можно вычислить и без интеграла (см. рисунки выше), взяв его аналитически. Но формула с интегралом сразу напоминает о способе вычисления длины кривой и тем самым возвращает к «физике» задачи.

17 Другая форма приближенной записи этого угла: 50 угловых градусов, 20 угловых минут и 20 угловых секунд (50° 20' 20''). Запомнить просто 50 + 20 + 20 = 90: замкнутая цепочка висит на наклонных плечиках под прямым углом (90°). Поэтому-то она с плечиков и не соскальзывает.

ский косинус, входящий в формулу цепной линии. В этом заключается научная новизна данной статьи.

Численные методы решения задачи, которые мы использовали для расчета значения этой константы (см. рис. 18, 19 и 21), иногда называют приближенными. Но приближенными могут быть не только численные, но аналитические (символьные) решения. Пакет Maple также не решил уравнение, показанное на рис. 22, но выдал одно возможное простое выражение a tan(>/5 — 1), по которому с точностью 1.3% можно рассчитать нашу новорожденную константу. Данное решение было предложено М. Н. Кирсановым через замену tan(a) на x и разложение в ряд Тейлора.

Читатель может прямолинейные плечики заменить на округлые18 или в форме отрезка параболы, гиперболы или даже отрезка цепной линии и проанализировать поведение замкнутой цепочки на таких дизайнерских плечиках, более корректно повторяющих форму человеческих плечиков19. На цепочку можно подвесить кулон (точечную массу) и оценить свойства такой механической системы.

Еще одно задание читателям: применить при решении задачи о замкнутой цепочке теорему статики о трех силах, которая гласит, что «если <... > тело находится в равновесии под действием плоской системы трех непараллельных сил, то линии их действия пересекаются в одной точке». На нашу цепочку действуют именно три силы — реакции двух точек крепления и сила тяжести, равная весу цепочки и приложенная к ее центру масс (центру тяжести20). Координаты этой точки рассчитать несложно через уже использованные нами интегралы (см. рис. 4) или по авторской методике, описанной в дивертисменте статьи.

Примечание. Вышеприведенное описание теоремы о трех силах (курсив в кавычках) авторы скопировали из Википедии, сделав при этом небольшую купюру <...>. Тут в Википедии и в других электронных, а также бумажных справочниках и учебниках стоят слова «абсолютно твердое». Но наша цепочка — это «абсолютно мягкое тело», если так можно выразиться. Но теорему о трех силах можно применить и к нашей «мягкой» задаче, мысленно «заморозив» цепочку и превратив ее в абсолютно твердое тело. Так что «справочники и учебники» нужно будет откоррек-

18 Замкнутая цепочка бросается на вертикально стоящий диск. Половина длины цепочки меньше, естественно, диаметра диска. Размер диска увеличивается. Когда цепочка соскочит с диска? Будет ли она вообще держаться на диске без сцепления, а только за счет реакции двух опор?

19 Изысканные вечерние наряды требуют и индивидуальных «плечиков», повторяющих форму плеч того человека, кто такие наряды носит.

20 Центр масс и центр тяжести — это одна точка в том случае, когда поле гравитации однородное (наша задача). Интересной будет новая задача — подвесить нашу цепочку на двух огромных мачтах, высота которых соизмерима с диаметром Земли, и рассчитать форму провисания цепочки.

Н. А. Очкова

тировать. В Википедии это сделать несложно. В других же источниках, особенно бумажных, действует правило «Что написано пером — не вырубишь топором!».

Кстати, о заморозке цепочки. Если это с ней сделать, а потом ее перевернуть, то получится арка. Цепь можно порвать, но ее нельзя поломать изгибом. На звенья провисающей цепи действуют только силы растяжения и там нет изгибающих сил, какие имеют место в жесткой балке [8]. На элементы арки — перевернутой цепи — действуют только силы сжатия, но там не будет изгибающих сил. Это свойство арки априорно и интуитивно пытались использовать еще в древности: значение сопротивления сжатию многих строительных материалов намного выше значения сопротивления изгиба: кирпич, например, можно разломить на две половинки и руками, но практически невозможно раздавить вручную. В теоретической механике есть аксиома не о замораживании, а о затвердевании: если деформируемое тело находилось в равновесии, то оно будет находиться в равновесии и после его затвердевания.

5. Цепочка на конусе

Интересно изучить поведение замкнутой цепочки на круглом прямом конусе. Читатель может такое исследование провести сам либо почитать отчет об этой работе в [9], знакомство с которой подвинула авторов к написанию данной статьи.

Пару слов о цепочке на конусе. Она может в зависимости от угла раскрытия конуса либо соскочить с него, либо остаться на конусе (силы сцепления опять же не учитываются). Но есть и третье равновесие — неустойчивое, которое качественно отображено на нижнем графике рис. 8. Цепочка при малейшем внешнем толчке может либо соскочить с конуса, либо принять устойчивое равновесие, охватив конус окружностью в горизонтальном положении. Это доказали авторы статьи [9]. Интересно исследовать также и непрямой конус — как будет вести себя на нем замкнутая цепочка. Кстати, непрямые — косые плечики с замкнутой цепочкой можно исследовать с помощью программы, показанной на рис. 17. Результат на рис. 23.

а+ а= 75"

п+ 3 = 45°

Рисунок 23. Цепочка на «кривых плечиках»

При любых углах наклона плечиков накинутая на них замкнутая цепочка не раздваивается, а угол соединения концов цепочки с плечиками остается прямым, что исключает скольжение цепочки вдоль плечиков.

У плечиков можно не менять углы раскрытия вершины (см. рис. 23), а просто наклонять их. На рис. 24 показано, что, во-первых, этот наклон приводит к увеличению потенциальной энергии цепочки и уходу от стабильного равновесия, а во-вторых, что есть еще один критический угол, когда цепочка соскальзывает с плечиков. Этот эксперимент требует более детального анализа, выходящего за рамки статьи.

Рисунок 24. Критический угол наклона косых плечиков

6. Взбесившаяся цепь

Как-то раз за мной погналась бешеная собака. Я кинулся от нее со всех ног. Но на плечах у меня была тяжелая шуба, которая мешала мне бежать. Я сбросил ее на бегу, вбежал в дом и захлопнул за собой дверь. Шуба так и осталась на улице. Бешеная собака накинулась на нее и стала кусать ее с яростью. Мой слуга выбежал из дому, поднял шубу и повесил ее в том шкафу, где висела моя одежда. На другой день рано утром он вбегает в мою спальню и кричит испуганным голосом: Вставайте! Вставайте! Ваш шуба взбесилась! Я вскакиваю с постели, открываю шкаф, — и что же я вижу?! Все мои платья разорваны в клочья! Слуга оказался прав: моя бедная шуба взбесилась, так как вчера ее искусала бешеная собака.

Рудольф Распэ. Приключения Барона Мюнхгаузена

До сих пор мы имели дело со статикой (отдел механики, изучающий законы равновесия тел) и отчасти с кинематикой (отдел этой научной дисциплины, изучающий движение тел без учета действующих сил). Но, если быть точным, то не с кинематикой, с некой псевдокинематикой [4], полукинематикой-полудинамикой: на рис. 13 показаны кадры анимации движения цепи (кинематика), но силы, действующие на нее, учитываются не явно, а через формулу цепной линии. Но у теоретической механики есть и третья составляющая: динамика, где изучается меха-

ническое движение и причины его возникновения. В динамике действие сил учитывается явно: силы фигурируют в уравнениях, описывающих это движение.

Давайте повесим нашу цепочку одним концом на гвоздь, а другой конец оттянем в сторону и отпустим в свободный полет. Если к цепочке подвесить груз, вес которого намного превышает вес цепочки, то мы получим классический маятник. Тут авторам вспоминается еще один «старый добрый фильм» Амаркорд21, где показан учитель физики (рис. 25), демонстрирующий школьникам это нехитрое механическое устройство, с которого часто начинается освоение азов динамики как части теоретической механики. У этого учителя, кстати, в руках провисает веревочка почти по цепной линии, а у жилетки на цепочке висят карманные часы, с помощью которых также несложно показать колебания маятника. Стоит только вытащить их из кармана, подвесить на вытянутой руке за конец цепочки и слегка качнуть. Так что этот фрагмент кинокартины Феллини имеет прямое отношение к нашей «цепочечной» статье. Напольные же и некоторые настенные часы имеют настоящий ма-

22

ятник — устройство, отмеряющее время .

Рисунок 25. Кадр из фильма «Амаркорд» Федерико Феллини

21 Один из самых знаменитых фильмов, снятых гениальным итальянским режиссером Федерико Феллини — соотечественником второго автора статьи. Кроме учителя физики в этом автобиографическом фильме Феллини ярко показаны и другие школьные учителя: математики, истории, изобразительного искусства, греческого языка, обществоведения и закона божьего.

22 Кстати, от часового маятника пошла единица длины метр. У метрового маятника период колебания составляет 2 секунды. Каждый взмах такого маятника приводит к секундному перемещению (дерганью) шестеренок и прочих деталей механических часов. Интересен и маятник Фуко, с помощью которого можно показать вращение Земли и плавно перейти от физики к астрономии. У карманных и наручных часов тоже есть маятник, но не обычный, а либо крутильный с пружинкой, либо электронный с кристаллом.

Статика-кинематика-динамика! Бог, как уже было отмечено, любит Троицу. Поэтому помимо двух функций Find и Minimize, позволившим нам решать задачи статики и кинематики, мы в наших расчетах будем использовать еще одну функцию — функцию Odesolve, предназначенную для численного решения дифференциальных уравнений. А именно эти уравнения и получаются при моделировании колебания маятника. Согласно второму закону Ньютона сумма сил, действующих на материальную точку, равна произведению массы точки на ее ускорение. А ускорение — это вторая производная (дифференциал!) пути по времени. Отсюда и возникают дифференциальные уравнения, дифуры.

Замечание о дифурах. Вот что можно прочесть о дифурах в одном интернет-словаре молодежного сленга: «Значение: дифференциальные уравнения, система или системы дифференциальных уравнений. Учебный курс по дифференциальным уравнениям, системам дифференциальных уравнений или по дифференциальному счислению вообще. Также соответствующий экзамен, лекция, курс лекций, задания и т. п. Примеры: «А еще эту задачку можно решить через дифуры», «Народ, а кто у нас дифуры ведет?», «Дифуры завтра сдавать, а у меня еще шпоры не писаны».

Слово «дифуры» появилось в студенческом и преподавательском сленге в незапамятные времена. Оно означало (и означает), как отмечено выше, сокращенное название учебного курса по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

Если преподаватель видит в этом курсе только формально-схоластическую составляющую, то он быстро превращает дифуры в «орудие пытки» студентов. Ведь аналитическое решение даже самых простых дифференциальных уравнений требует знания более десятка специфических приемов и хороших навыков интегрирования. Но если преподаватель глубоко понимает смысловую суть дифференциальных уравнений, тонко чувствует баланс между аналитическими и численными методами решения дифференциальных уравнений, то он легко вовлекает студентов в этот самый «физический» раздел математики.

С элементами теории дифференциальных уравнений школьники сталкиваются практически на каждом занятии по физике. Но в школе этот факт от них по традиции скрывают. Учителя физики считают, что для ученика полезнее просто заучить расчетную формулу (формулу периода колебания маятника23, например), чем понять, откуда эта формула взялась. Учителя математики считают, что достаточно заставить ученика выучить определение производной и научить его вычислять

23 Не просто маятника, а математического маятника, в дифференциальном уравнении которого синус заменили на сам угол. Это допущение (упрощение) позволило решить его аналитически и получить набор формул.

производную, пользуясь формальными правилами и таблицами, чем обосновать необходимость изучения школьниками этого непростого математического понятия.

Раньше у учителей были оправдания — недостаток иллюстративного материала, недоступность или труднодоступность компьютерных средств решения дифференциальных уравнений. Учитель на рис. 25, к примеру, мог показать реальный физический маятник, но не мог продемонстрировать на компьютере его математическую модель. Сейчас такие оправдания несостоятельны. Многие физические и математические явления, изучаемые в рамках школьной или университетской программы, без труда моделируются с помощью вычислительных пакетов с доступным и понятным пользовательским интерфейсом. Появление этих пакетов дало нам возможность легко ввести учащегося в сложный мир динамических процессов. И сделать это следует как можно раньше — еще в школе.

Когда-то раз один из авторов проводил факультативные занятия по информатике в очень продвинутом московском лицее. В плане занятий помимо набора стандартных тем было и рассмотрение способов решения на компьютере (в среде математической программы Mathcad) дифференциальных уравнений — этих самых дифуров. Директор лицея (кстати говоря, физик по образованию, а по совместительству — профессор кафедры физики одного престижного московского вуза) сказал, что на слова «дифференциальные уравнения» в средней школе негласно наложен запрет: школьникам разобраться бы с алгебраическими уравнениями, а тут им еще подсовывают дифференциальные. Но когда директору было показано, какие уравнения будут рассматриваться на занятиях и как они будут решаться на компьютере, то он изменил свое мнение и выразил уверенность, что школьникам все это будет и интересно, и понятно, а главное, полезно. Причем всем ученикам, а не только продвинутым в математике и физике.

Давайте исследуем на компьютере поведение такого необычного маятника: семь (на счастье!) грузиков, связаны между собой невесомым и нерастяжимым стержнем24. Грузики мы будем рассматривать как материальные точки, подчиняющиеся второму закону Ньютона. Это будет некий гибрид цепочки и маятника. Такой маятник еще называют связанным маятником, маятником-четками25.

24 Обычно под множественным (двойным, тройным и т. д.) маятником подразумевают жесткие весомые стержни, шарнирно соединенные друг с другом. Типичный пример подобной замкнутой цепи — велосипедная цепь, которую можно разомкнуть, закрепить на одном конце и раскачивать. Но мы, повторяем, будем работать с другой моделью — невесомые жесткие связи материальных точек. При увеличении числа звеньев эти две модели станут практически идентичными. Так что мы можем назвать наш маятник и семиточечным, и семизвенным.

25 В alma mater первого автора статьи — в МЭИ — сохранился своеобразный памятник технической культуры — неработающий лифт непрерывного действия, в кабинки которого нужно было запрыгивать на ходу. Такой лифт имеет жаргонное название: лифт-патерностр (от новолат. paternoster — четки, дословно «Отче наш»). У этого лифта кабинки соединены друг с другом тросом и совершают движение по сильно удлиненному вертикальному овалу — как четки в руках молящегося монаха.

В Интернете есть множество сайтов, где описаны разные подходы к решению задачи о множественном маятнике — двойном, тройном и т. д. Они в основном сводятся к попыткам аналитического решения уравнения Лагранжа 2-го рода по упрощенной модели с малыми углами отклонения по вертикали и выливаются в множество замысловатых формул со сложными преобразованиями. Пример — статья [10]. Посетители этих ресурсов, как правило, быстро перестают понимать ход рассуждений автора сайта и теряют интерес к нему (рис. 26).

Вот тут-то и будут очень кстати численные методы. Они, помимо прочего, позволят нам построить траектории движения ключевых точек маятника, чего нет в многочисленных интернетовских анимациях, базирующихся на аналитических методах решения уравнения Лагранжа.

Но мы начнем не с описания метода решения задачи о маятнике-цепи, а с анализа его результатов.

На первом кадре анимации на рис. 27, созданной с помощью функции Odesolve, показано начальное положение цепочки перед ее качанием27, когда ^ = 0. Саму же анимацию можно увидеть: https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/Ridged-chain/m-p/560385. До примерно 8 секунд наша компьютерная се-

26 Можно попытаться разобраться в этом нагромождении формул (их написали на двери и на полу комнаты студенческого общежития) и понять, что они относятся к термодинамике. В этой научной дисциплине также активно используются производные и интегралы, как и в обычной «механической» динамике. Главное упрощение при математическом моделировании маятника — это замена синуса угла на сам угол, что можно делать только при малых углах. В термодинамике также есть основополагающее упрощение — это понятие идеального газа, который более-менее соответствует реальному газу только при определенных условиях.

27 Можно задавать различные начальные положения цепочки и получать различные картины (анимации) ее качания. Некоторые интересные случаи можно увидеть на сайте статьи.

Рисунок 26. Кадр из фильма «Операция "Ы" и другие приключения Шурика»'

26

мизвенная эрзац-цепочка колеблется более-менее правдоподобно, повторяя замысловатые извивы реальной цепочки, а потом.

■ -» I

Рисунок 27. Кадры анимации колебания семизвенного маятника-цепочки

Слова «цепная линия» у непосвященных в математику вызывает ассоциацию со словами «цепная собака». То есть злющая, полудикая линия, пардон, собака — собака, готовая в любой момент сорваться с цепи и всех перекусать28. А цепные и

28 В детстве первый автор одно время жил с родителями в маленьком частном доме. А в этом подмосковном поселке в одном соседском дворе сидела собака на цепи. Она охраняла гараж с личным автомобилем. Было очень жутко и жалко смотреть на этого взлохмаченного охрипшего пса, которого сам хозяин опасался и ногой подсовывал ему миски с пищей и водой. В повести Тургенева «Дворянское гнездо» описано, как новый хозяин усадьбы приказал отвязать пса, который просидел на цепи всю свою жизнь. Собаку освободили, но он от своей цепи никуда не ушел.

нецепные псы без прививок иногда и вправду бесятся — см. эпиграф к данной части статьи. Но взбеситсья может не только собака (или шуба, ею покусанная), но и... цепь — см. нижние два кадра анимации на рис. 27, а лучше — саму анимацию по вышеотмеченному адресу. Ведь, «нормальная, здоровая» колеблющаяся цепь, как и любой маятник не может без дополнительного силового воздействия подняться выше своего начального положения! Выше головы не прыгнешь!

Создать Mathcad-расчет колебания маятника несложно. Намного сложнее разобраться в результатах таких расчетов, верифицировать их — отделить, так сказать, истинные зерна от «численных» плевел.

На рис. 28 показан фрагмент Mathcad-документа расчета процесса колебания маятника-цепочки — семи материальных точек с массой щ,щ,..., щ, связанных попарно жесткой невесомой связью длиной Ц,Ц,..., Ц. На точки от первой по шестую (предпоследнюю) действуют три силы: сила тяжести и две силы, создаваемые двумя соседними связями. На седьмую (последнюю) материальную точку действует только одна «тянущая» сила верхней связи и сила тяжести. Это звено нашего маятника-цепи отличается от обычного маятника лишь тем, что точка его крепления находится в движении. Аналитического решения такой системы дифференциальных уравнений нет29. Поэтому приходится прибегать к численным методам — к генерации таблицы решений с последующей интерполяцией дискретных значений так, чтобы получились гладкие дифференцируемые функции. А дифференцировать их нужно для того, например, чтобы определить скорость движения, а по ней — кинетическую энергию материальной точки (см. ниже).

Функция Odesolve генерирует 21 функцию пользователя — по три для каждой из семи точек: абсциссу х и ординату у движущейся материальной точки, а также силу Г, действующую на связи. У этих функций аргумент время (.

Примечание. Можно отказаться от прямоугольной системы координат и работать с полярной системой, где нет вертикали (ординаты) и горизонтали (абсциссы), а есть угол и радиус. В этом случае задача будет упрощена в смысле ее постановки и решения. Но «прямоугольный» подход к решению задачи о маятнике кажется более «физичным» — сила тяжести действует строго по вертикали. Полярные коор-

29 Есть аналитическое решение задачи о колебании двойного маятника [4]. Но оно такое громоздкое, что работать с ним очень сложно, несмотря на то, что сама модель предельно упрощена — в ней синусы заменены на сам угол. А это, как известно, можно делать только для малых углов. Об аналитическом решении задачи о семи маятниках не приходится даже мечтать. Но, «мечтать не вредно» — см. попытку такого решения на сайте М. Н. Кирсановым http://vuz.exponenta.ru/PDF/SOL/cep.html. Другой пример. Есть аналитическое решение задачи о движении планеты и спутника (эллипс!). Более трехсот лет математики искали подобное решение для системы не из двух, а из трех космических тел, пока не поняли, что это сделать невозможно. Кроме того, развитие компьютерных средств решения задач резко охладило пыл тех, кто ищет аналитические решения, а внимание математиков переключилось на совершенствование численных методов, на способы верификации решений.

динаты будут уместнее при решении задач небесной механики [11], где силы тяготения действуют по радиусам и где нет вертикали и горизонтали. Но читатель может попытаться решить задачу о маятнике-цепи в полярной системе координат.

6-th pendulum Initial position (x6-yS), force (F6) and velocity (xff-yff)

x6{0s) = L, 5in(91begilJ + L2sin(li2beginS + L3sin(e3begin;, - L4âi(e4be^,) + L5sin((l5begJ + L6 s in | (îebe g in

y6(0s) = -(L1cos(e1begln) + L2cos(02begm) + L3cos(03begln) + L4cos(04beglr]) - Lscos(e6begln; - Uscos(06beg|n;;

F6(0s) = ON x6'(0s) = Omis yfffOs) = Om/s

System of equation (x6(t) - x5(t))2 + (y6[t) - y5(t))2 = L02

mG *6-[t,= - mE y6.(t) . FS« _ F7[t,M(i)

L6 7 L6 7

7-th (last) pendulum Initial position (x7-y7). force (F7) and velocity [xT y 7")

x7[0b)= L1 sin|ii1begin:, - L2sin(ii2begin:i - L3sin(Q3begin) - L^sin(iî4begin} + L5sin(S5begin| + L6sin|¡¡6begin;i - L7sài(iTb6^,)

y7(0=)= (L,co=(81bc.gn| - L2cos(02begin) + L3cos(03begin) + L4cas(e4begir]) + L6cos(e6beg,n) + lflCos(96be^,) + L7cos|e7beginH

F7[0s) = ON xr(Os) = Omis y7(»s) = Omis

System of equation (x7[t) - x6[t))2 + (y7[t) - y6{t))2 = L?2

m/.xni)=F7{t)ïMi) m/.ï7TO+ m/ g=

VP vr

yi у1

F1 F1

х2 x2

У2 У2

х4 xA

у4 = Ode solve yA ■'■'end

F4 F4-

F3 F3

х7 XT

у7 y7

,F7 ,F7

lend

tt - 0.-.. tenri

10000 епл

Рисунок 28. Фрагмент Mathcad-расчета колебания семизвенного маятника-цепочки

Известно, что у маятника потенциальная энергия переходит в кинетическую и обратно. Если не учитывать трение с диссипацией энергии, то сумма этих энергий остается постоянной30. Кстати, уравнения Лагранжа, которые получаются при анализе задачи о маятнике и других динамических систем и которые были упомянуты выше, вытекают из учета этих энергий. На рис. 29 показаны графики изменения во времени значений энергий семизвенного маятника-цепи.

30 В [3] дан расчет специфического маятника, у которого связи не жесткие, а упругие. Это пружины, которые могут растягиваться и сжиматься, подчиняясь закону Гука. Там к двум первым энергиям (потенциальная энергия положения груза и кинетическая энергия его движения) добавляется и третья энергия — потенциальная энергия сжатой/растянутой пружины. Несложно учесть в таких расчетах и силу сопротивления среды. Соответствующие анимации можно увидеть на сайтах статьи.

Рисунок 29. График изменения во времени потенциальной и кинетической энергий

семизвенного маятника-цепи

Какие выводы можно сделать после анализа рис. 27 и 29?

До примерно £ = 0.3 5 потенциальная энергия семи грузиков (материальных точек) плавно снижается, а их кинетическая энергия плавно повышается, но при этом их сумма остается постоянной. А это основной (необходимый, но недостаточный) признак правильности решения — его соответствия физике задачи. При 0.38 < £ < 88 наблюдается некий инкубационный период — накапливающаяся ошибка численного решения задачи нарушает баланс энергий (см. рис. 29). Но пока это явно не сказывается на характере качания маятника-цепи (см. рис. 27, а лучше анимацию на сайте статьи). И только при £ > 88 «бешенство» цепи становится очевидным. Задача о семизвенном маятнике-цепи оказалась не по зубам функции Odesolve. Только первые два кадра анимации на рис. 27 можно считать более-менее соответствующими физике задачи. Пришлось задачу упрощать — уменьшать число точек.

На рис. 30 показаны кадры анимации колебания пятизвенного маятника-цепи с отображением не только положения точек, но и изменения энергий системы — потенциальной, кинетической и суммы значений этих энергий. Видно, что «инкубационный период бешенства цепи» резко сократился — см. на рис. 30 последний кадр анимации с обрамленным участком графика изменения энергий. Кстати, о периоде — не инкубационном периоде, а о собственном периоде колебания маятника-цепи. На рис. 30 он явно просматривается в колебаниях значений энергий и его даже можно оценить численно. Но хорошо бы найти аналитическую формулу для этого периода, как это сделано для классического «одноточечного» маятника.

Решение систем сложных дифференциальных уравнений — это своеобразное путешествие между Сциллой и Харибдой. Аналитическое решение (назовем его Сциллой) обычно можно получить только при существенном упрощении исходной математической модели, ввода в расчет специальных функций типа функций Бесселя. Численное же решение (Харибда) часто искажается из-за накапливаемой ошибки вычислений, а то и просто прерываются на полпути из-за слишком больших или слишком малых чисел, недопустимых на данном цифровом компьютере.

Рисунок 30. Кадры анимации колебания пятизвенного маятника-цепочки с показом изменения потенциальной и кинетической энергий

Текст эпиграфа этой части статьи можно продолжить так: «Мой слуга принес с улицы не только мою шубу, но и обрывок цепи, которую потеряла взбесившаяся собака. Я решил использовать эту цепь для физических опытов, которыми я увлекался. Я стал изучать колебание этой цепи в том числе и с помощью математического моделирования через численное решение системы дифференциальных уравнений. Оказалось, что больная собака заразила бешенством не только мою шубу, но и свою цепь вместе с ее математической моделью.»

Кстати говоря, прилагательные «бешенный» и «сумасшедший» могут иметь положительный оттенок и смысл. Житейский пример. Дама перед романтическим свиданием, принимая от своего кавалера подарок (например, дорогой кулон на це-

почке), может сказать ему: «Ты сумасшедший!». Лучшей же похвалой дамы кавалеру при прощании после свидания будут слова: «Ты был бешенный!».

Но... шутки в сторону!

Читатель может скачать с сайтов статьи Mathcad-файлы и продолжить численные компьютерные эксперименты с маятником-цепочкой. В вышеприведенных примерах массы материальных точек были одинаковыми. Одинаковыми были и расстояния между ними — длины связей. Но это ограничение можно снять. Интересный случай — массы грузиков уменьшаются по мере увеличения расстояния от места крепления конструкции. Получается некий бич, пастушеский кнут, конец которого при взмахе может достигать сверхзвуковой скорости и вызывать характерный звук, пугающий скот и помогающий пастуху управлять стадом.

7. Послесловие: история написания статьи и другое

Села да поехала. В вагоне покойно,

толчков нет.

Ф. М. Достоевский «Игрок»

Первый автор по образованию — теплоэнергетик, а по сфере приложения сил — IT-специалист в области теплотехники и теплоэнергетики. Особо его привлекает проблема использования современных математических компьютерных пакетов для решения теплотехнических задач. В этом можно убедиться, зайдя на его сайт с опубликованными работами в этой области — http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/ worki.htm. Но этот автор со своими знаниями и навыками работы с матпакетами «залез» и в смежные науки (см. http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/work2.htm), в частности, в физику и математику [6]. Была, например, исследована возможность использования встроенной в Mathcad функции Minimize для решения некоторых задач теоретической механики. Традиционно решение таких задач сводилось и сводится к поиску корня системы алгебраических уравнений, описывающих баланс сил и моментов сил в механической системе. Но если такая система имеет достаточное число степеней свободы, то она может сводиться к задаче оптимизации с ограничениями, которая практически не описана в классических учебниках и задачниках по теоретической механике, ориентированных на ручное, а не компьютерное решение. Эти изыскания вылились в статью [4], которую автор послал в ведущий журнал по теоретической механике, издаваемый на механико-математическом факультете МГУ. Автор ожидал из журнала оценки экспертов его работы в области, где автор не считает себя полноценным специалистом. К удивлению автора, из редакции пришел ответ в том плане, что стиль и объем статьи не позволяет опубликовать ее в журнале, но она рекомендована под названием «Механика и Mathcad» для ежегодного сборника МГУ по теоретической механике [4, 9]. Но главное, что в статье не было

найдено никакой механико-математической крамолы. Статья вышла из печати рядом со статей «Цепь на конусе» [9], которая и послужила толчком к написанию данной статьи. И вот почему!

В статье [9] приводятся довольно сложные математические выкладки, которые остаются «китайской грамотой» для многих, не имеющих соответствующего математического образования и таланта (см., например, рис. 26). Для авторов данной статьи, например. Но подобные задачи можно решить с помощью «математического акселератора» — с помощью компьютера с математическими программами.

В данной статье приведено много аналогий. Приведем еще одну.

Полтора века назад путешествие по свету могли позволить себе только очень богатые и физически здоровые люди. Но с появлением современных транспортных средств такое удовольствие стало доступно «широким массам трудящихся», а не только избранным: сел в самолет, автомобиль или на поезд — и за короткое время с комфортом добрался до любого уголка Земли31.

Что-то подобное можно сказать и о математике. Раньше в ее дебри могли забираться только избранные люди — люди с особыми математическими способностями (с особым «математическим слухом») и имеющие соответствующее математическое образование. Но в настоящее время круг таких избранных существенно расширился за счет появления. компьютерных математических пакетов, которые облегчают путешествие в мир математики. Условно можно сказать, что возник некий массовый математический туризм.

И еще одно важное вводное замечание.

Для чего изучают математику в школе и в вузе?

Во-первых, для того, чтобы можно было освоить другие учебные профильные дисциплины: физику, химию, теоретическую механику, гидрогазодинамику, сопротивление материалов, инженерную графику, экономику, финансовое дело и т. д. Поэтому-то курс математики читают в самом начале учебы в вузе!

Во-вторых, всегда нужно помнить, что математика — это лучшая гимнастика (фитнесс) для ума. Изучая эту «королеву наук», мы развиваем свои умственные способности, которые пригодятся нам при решении не только чисто математических, но и разных производственных и житейских задач.

И в-третьих, изучение математики (путешествие в ее «дебри») — это само по себе интересное и увлекательное занятие, которое может быть высокоинтеллекту-

31 Слова в эпиграфе к Послесловию произносит парализованная «бабуленька», которая «лишилась ног» и которую переносят с места на место в кресле. Она спокойно доживала свой век в Москве (вторая половина XIX века), но разогнала врачей, села в поезд и «свалилась как снег на голову» своему родственнику — генералу, который находился в Рулетенбурге (прототип — немецкий город Баден-Баден) и который ждал смерти «бабуленьки» и наследства от нее. На такое путешествие нельзя было решиться без железных дорог.

альным хобби. Но без математических компьютерных пакетов простым людям до недавнего времени этого делать было почти невозможно, если, повторяем, не было особых математических талантов и соответствующего математического образования.

8. Дивертисмент. Центр тяжести сложной фигуры

На рис. 4 показаны определенные интегралы от х1 до х2, по которым рассчитываются ординаты (ув и уу) центров тяжести двух участков замкнутой цепочки, подвешенной на двух гвоздях. Эти ординаты и длины самих участков ЬВ и Ь — ЬВ определяют потенциальную энергию РЕ всей цепочки. По другим подобным интегралам можно рассчитать и абсциссы этих двух точек — в подынтегральном выражении достаточно будет функцию у перед квадратным корнем заменить на аргумент х. Далее можно по несложным формулам рассчитать координаты центра тяжести всей провисающей замкнутой цепочки, состоящей из двух частей.

Задача нахождения центра тяжести сложной плоской фигуры — это типичная задача курса теоретической механики в технических вузах. Студенты должны научиться разбивать сложную фигуру на отдельные простые геометрические фигуры — прямоугольник, круг, сектор круга, треугольник и т. д., у которых центры тяжести рассчитываются по известным формулам и правилам. У треугольника, например, центр тяжести находится на пересечении медиан. Далее эти фигуры попарно объединяются по правилу рычага и у них определяется общий центр массы, что в итоге дает нужный ответ — координаты центра массы всей сложной плоской фигуры. Такая же примерно методика имеет место и при определении центра тяжести тела, составленного из простых геометрических тел — параллелепипеда, конуса, полушария и т. д.

Первый автор разработал методику определения центра масс плоских фигур, объемных тел и даже объектов с размерностью более трех с использованием современных информационных технологий [12]. Эта работу в школе и вузе также можно проводить в качестве интересного и полезного практического занятия на стыке физики и информатики.

На рис. 31 показан Mathcad-расчет координат центра тяжести схемы замкнутой цепочки, подвешенной на двух гвоздях. Для этого график двух цепных линий (см. рис. 8 выше) был превращен в Ьтр-файл, который инструментами Mathcad был конвертирован в бинарную матрицу М, у которой несложным суммированием определяется «центр» тяжести. Метод, как говорил киноперсонаж еще одного куль-

тового советского фильма32, «неэстетичный, зато дешевый, надежный и практичный».

Рисунок 31. Матричный метод определения центра тяжести произвольной плоской фигуры

Если найденную ординату у центра тяжести замкнутой цепочки, отображенной на рис. 31, умножить на ее вес, то и получится в ответе та потенциальная энергия, с которой мы «поиграли» в статье и которая должна быть минимальной.

9. Выводы

Цепочку можно не только вешать на шею или крутить на пальцах — с ней можно проводить интереснейшие физико-математические эксперименты — реальные и компьютерные, в образовательных и научных целях. Наше исследование органически вписывается в ряд подобных исследований [13-21]. Более того, оно позволило: - связать «цепное число % » (термин авторов) с формой провисания замкнутой цепочки на двух скользящих опорах (на двух «гвоздях» — см. рис. 8 и 9);

32 Фильм 1968 года «Бриллиантовая рука».

- найти новую физическую константу — критический угол провисания замкнутой цепочки на равностороннем треугольнике (на плечиках — см. рис. 21 и 22);

- исследовать численные методы решения алгебраических и дифференциальных уравнений (и их комбинаций) на задаче колебания маятника-цепи с анализом баланса энергий (см. рис. 27, 29 и 30).

Литература

1. Очков В. Ф. Цепная линия = физика + математика + информатика // Информатика в школе. 2018. № 3. С. 56-63.

2. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М. : Наука, 1980.

3. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: учебник для втузов. — 10-е изд., перераб. и доп. — М. : Высш. шк., 1986.

4. Очков В. Ф. Механика в среде Mathcad // Сб. науч.-метод. статей. Теоретическая механика. Вып. 30 / Под ред. В. А. Самсонова — М. : Изд-во МГУ, 2018. С. 180189.

5. Янпольский А. Р. Гиперболические функции. Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов вузов. — М. : Физматлит, 1960.

6. Очков В. Ф., Богомолова Е. П., Иванов Д. А. Физико-математические этюды с Mathcad и Интернет. 2-е изд.: испр. и доп. — СПб. : Издательство «Лань», 2018.

7. Wang C. Y. The optimum spanning catenary cable // European Journal of Physics. 2015. Vol. 36. No. 2.

8. Lewis W. J. Mathematical model of a moment-less arch // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2016. Vol. 472. No. 2190. P. 20160019. doi: 10.1098/rspa.2016.0019.

9. Зубелевич О. Э., Самсонов В. А. Цепь на конусе // Сб. науч.-метод. статей. Теоретическая механика. Вып. 30 / Под ред. В. А. Самсонова — М. : Изд-во МГУ, 2018. С. 131-138.

10. Salisbury K. L. and Knight D. G. The multiple pendulum problem via Maple // International Journal of Mathematical Education. 2002. Vol. 33. No. 5. P. 747-755. doi: 10.1080/002073902320602905

11. Очков В. Ф., Богомолова Е. П., Иванов Д. А., Писачич К. Движения планет: расчет и визуализация в среде Mathcad или Часы Кеплера // Cloud of Science. 2015. Т. 2. № 2. С. 177-215.

12. Очков В. Ф., Кольхепп Ф. Физика и информатика: центр тяжести черного ящика //

Информатика в школе. 2017. № 7. С. 65-70.

13. Behroozi F. A fresh look at the catenary // European Journal of Physics. 2014. Vol. 35. P. 055007.

14. Wang C. Y., Watson L. T. The elastic catenary // International Journal of Mechanical Sciences. 1982. Vol. 24. No. 6. P. 349-357.

15. Chen J.-S., Li H.-C., Ro W.-C. Slip-through of a heavy elastica on point supports // International Journal of Solids and Structures. 2010. Vol. 47. No. 2. P. 261-268.

16. Boresi A. P., Schmidt R. J. Engineering Mechanics: Statics. — North Carolina : Baker & Taylor Books, 2000.

17. Christensen H. D. Analysis of simply supported elastic beam columns with large deflections // Journal of Aerospace Science. 1962. Vol. 29. P. 1112-1121.

18. Lippmann H., Mahrenholtz O., Johnson W. The heavy elastic strips at large deflections // International Journal of Mechanical Sciences. 1961. Vol. 2. P. 294-310.

19. Parbery R. D. The effect of stiffness on the shape of the elastic catenary // Civil Engineering Transaction. The Institute of Engineers, Australia. 1976. Vol. 18. P. 98-101.

20. Wang C. Y. A critical review of the heavy elastic // International Journal of Mechanical Sciences. 1986. Vol. 28. P. 549-559.

21. Ochkov V. F., Nori M. Playing with a chain Or Physical and MathematicalInformatics // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2018. Т. 14. № 2. С. 333-343. doi: 10.25559/SITITO.14.201802.333-343

Авторы:

Валерий Федорович Очков — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретических основ теплотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Массимилиано Нори — Phd в области химической инженерии, 2006 год, Университетский колледж Лондона

Наталья Алексеевна Очкова — студентка, Московский государственный лингвистический университет

Physical and Mathematical Informatics with a catenary

Valery Ochkov*, Massimiliano Nori**, Natalia Ochkova***

*National Research University Moscow "Power Engineering Institute" Krasnokazarmennaya st., 14, Moscow, Russia 111250 **Via delle Mimose, 18, Pineto (TE), Italy 64025

***Moscow State Linguistic University, Ostozhenka st., 38, Moscow, Russia, 119034 e-mail: ochkov@twt.mpei.ac.ru

Abstract. The article describes an educational laboratory work (real and virtual) along with interdisciplinary connections at the intersection of computer science, mathematics and physics: the study of the static and dynamic sagging of a closed chain with different points of support, as well as the swinging of the chain as a pendulum. A technology of computer processing of photos and videos of a physical experiment with subsequent elaboration of the media files on a computer is described. A recently discovered constant is discussed — the chain

number k (1.258... is the optimal ratio of the chain length to the distance between its support points, as well as the boundary between two forms of sagging of a closed chain supported on two nails). A new physical and mathematical constant 50.34...° is found and investigated - it is the critical angle of sagging of a closed chain supported on an isosceles triangle ("on cloakroom hangers"). The connection of this constant with the problem of the equilibrium position of a closed chain on a straight circular cone is described. Approximations are estimated and an attempt is made to numerically solve the pendulum-chain problem with different number of links. Methods of formulation of problems and of verification of the numerical solution of systems of algebraic and differential equations, as well as their combinations, are described and investigated. The applicability of the "optimization with constraints" computer tool for solving problems of theoretical mechanics is investigated. A relatively new tool for solving physical and mathematical problems — the use of Internet forums — is discussed. It is emphasized the importance of using units of measure when solving physical problems on a computer. Methods of teaching in schools and universities of courses of mathematical physics, physical and mathematical computer science and differential equations are explained. Keywords: sagging chain, chain function, derivative, computer graphics, Mathcad.

References

[1] Ochkov V. F. (2018) Informatika v shkole, 3:56-63.

[2] Merkin D. R. (1980) Vvedeniye v mekhaniku gibkoy niti. Moscow, Nauka. [In Rus]

[3] Targ S. M. (1986) Kratkiy kurs teoreticheskoy mekhaniki. Moscow. [In Rus]

[4] Ochkov V. F. (2018) Mekhanika v srede Mathcad. In book Teoreticheskaya mekhanika. Vol. 30. Moscow, MSU, pp. 180-189. [In Rus]

[5] Yanpol'skiy A. R. (1960) Giperbolicheskiye funktsii. Izbrannyye glavy vysshey matematiki dlya inzhen-erov i studentov vuzov. Moscow, Fizmatlit. [In Rus]

[6] Ochkov V. F., Bogomolova Ye. P., Ivanov D. A. (2018) Fiziko-matematicheskiye etyudy s Mathcad i Internet. Saint-Petersburg, Lan'. [In Rus]

[7] Wang C. Y. (2015) European Journal ofPhysics, 36(2):028001

[8] Lewis W. J. (2016) ProcMath Phys Eng Sci, 472(2190): 20160019. doi: 10.1098/rspa.2016.0019.

[9] Zubelevich O. E., Samsonov V. A. (2018) Tsep' na konuse. In book Teoreticheskaya mekhanika. Vol. 30. Moscow, MSU. P. 131-138. [In Rus]

[10] Salisbury K. L. and Knight D. G. (2010) International Journal of Mathematical Education, 01(5):747-755. DOI: 10.1080/002073902320602905

[11] Ochkov V. F., Bogomolova Ye. P., Ivanov D. A., Pisachich K. (2015) Cloud of Science, 2(2):177-215.

[12] Ochkov V. F., Kol'khepp F. (2017) Informatika v shkole, 7:65-70. [In Rus]

[13] Behroozi F. (2014) European Journal ofPhysics, 35(5):055007.

[14] Wang C. Y., Watson L. T. (1982) International Journal of Mechanical Sciences, 24(6):349-357.

[15] Chen J.-S., Li H.-C., Ro W.-C. (2010) International Journal of Solids and Structures, 47(2): 261-268

[16] Boresi A. P., Schmidt R. J. (2000) Engineering Mechanics: Statics. Baker & Taylor Books.

[17] Christensen H. D. (1962) Journal of Aerospace Science, 29:1112-1121.

[18] Lippmann H., Mahrenholtz O., Johnson W. (1961) Intern. Journal of Mechanical Sciences, 2:294-310.

[19] Parbery R. D. (1976) The effect of stiffness on the shape of the elastic catenary. Civil Engineering Transaction, The Institute of Engineers, Australia, 18:98-101.

[20] Wang C. Y. (1986) International Journal of Mechanical Sciences, 28:549-559.

[21] Ochkov V.F., NoriM. (2018)Modern Information Technologies andIT-Education, 14(2):333-343.