Физическая модель и математическое описание миграции радона в надработанных породах Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.3.817

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МИГРАЦИИ РАДОНА В НАДРАБОТАННЫХ

ПОРОДАХ

Н.М. Качурин, Г.В. Стась, С.А. Воробьев, Мпеко Нсендо Арди

Рассмотрена вертикальная миграция радона во вмещающих породах, описываемая первым законом Фика совместно с уравнением неразрывности диффузионного потока с учетом процессов сорбции и радиоактивного распада.

Ключевые слова: радон, диффузия, горные породы, сорбция, радиоактивный распад, математическая модель.

Расчетная схема вертикальной миграции радона от залежи урана к горной выработке представлена на рис. 1. Диффузионный поток радона от источника его образования в соответствии с законом Фика можно записать в виде

где ^ - вектор скорости фильтрации; - коэффициент эффективной

диффузии радона; Сйи - концентрация радона в породах, расположенных

над залежью урана.

Рассмотрим произвольный объем породы V, ограниченный внешней поверхностью Б, в котором находится радон. Количество радона, проходящего через поверхность можно определить следующим образом:

Тогда изменение всей массы радона в объеме V в единицу времени

\яп =~вкп &-аЛ\СКп (г, 0] ,

(1)

(2)

I Ш(м + .

(3)

V

где М, q - масса свободного и сорбированного радона в единичном объеме породы.

а

б

Рис. 1. Расчетная схема вертикальной миграции радона от залежи

урана к горной выработке: а - диффузия радона в горную выработку из подрабатываемой урановой

залежи;

б - расчетная схема к математическому описанию диффузионного

переноса радона

Из закона сохранения массы следует, что

+ ¡¡¡^(м + = 0. (4)

/• V

Преобразовав первое слагаемое уравнения (4) по формуле Остроградского - Гаусса, получим

- Ш^Ч ¡Вп )ЛУ + (М + д)ЛУ = 0. (5)

V у °г

Так как объем V выбран произвольно, то условие (5) выполняется, в том числе, если в нем сумма подынтегральных выражений равна нулю. Тогда уравнение баланса массы газа при его диффузии в пористой сорбирующей среде выразится в виде:

Ё^ + = л™ {ПВп ёгаЛ\СВп (г, г)] } . (6)

01 01

Вторым уравнением, характеризующим перенос радона в покрывающих породах, является уравнение кинетики процесса взаимодействия газообразного вещества с твердой фазой. Основным процессом взаимодействия газа с твердой фазой является сорбция [1, 2, 3].

В общем случае скорость процесса зависит от количества радона в газовом потоке и сорбированном состоянии, коэффициента диффузии и скорости потока. Эта зависимость в неявном виде записывается следующим образом:

= / [ М (СКп ), д (СКп ), V (СКп ), ^ ]. (7)

Из соотношения (7) следует, что скорость сорбции определяется как сорбционной способностью породы, так и внешними воздействиями, изменяющими диффузионное сопротивление твердой фазы и влияющими на интенсивность диффузионного газового потока. Уравнение газового состояния имеет вид:

Р = Г(Скп ) . (8)

Сложную замкнутую систему уравнений (1) - (8) можно упростить без существенного искажения физической картины переноса радона в пористой среде. Экспериментальные исследования кинетики сорбции газов показали, что скорость процесса определяется диффузией из твердой фазы в газовый поток. При этом возможны следующие два случая:

• скорость десорбции ограничивается диффузией радона к стенкам макропор (процесс протекает во внутридиффузионной области);

• скорость десорбции ограничивается интенсивностью отвода газа из макропор (процесс протекает во внешнедиффузионной области).

Уравнение диффузионной кинетики десорбции имеет вид:

§ = Рш {м (Сщ )-д' (С^)], (9)

где С^) - масса сорбированного газа, соответствующая равновесному состоянию для текущего значения концентрации радона С^; Р^ - константа скорости диффузии.

Величины М( С^), q'( С^) в явном виде можно записать следующим образом:

М (СЯп ) = тР( СКп ) = тРкг

С

Яп

V СЯп|о у

1/ п

д'(Сяп):

аЬС,

Яп

1 + аС,

(10)

(11)

Яп

где т - среднее значение коэффициента пористости пород; СКп^, рКп^ -

соответственно начальная концентрация и плотность радона; а, Ь - экспериментальные постоянные изотермы Лэнгмюра; п - показатель политропы (при п = 1 имеем изотерму; при п = 1,41 - адиабату).

Значение константы скорости диффузии Р^ будет различным для процессов, протекающих во внешне- и внутридиффузионной областях. Если процесс протекает в смешанной диффузионной области, то

+ (12)

РЯп РЯп1 РЯп 2

где РКп1, РКп2 - константы для внешне- и внутридиффузионной областей соответственно.

Введем потенциальную функцию давления Л.С. Лейбензона:

У

С = \р(СЯп )ЛСЯп =ЛсСЯп1

1+1/ п

(13)

где Я =

п

п +1

с =

РЯп

г 1п

Сяп|о

Тогда с учетом выражения (13) скорость изменения массы свободного радона в макропорах можно записать в виде:

дМ(Сяп)_ др(Сяп) лр дСяп_ тРяп\0 д

дг

= т

дг

= т

яп

дг

С

дг

(14)

Кп дг Сяп|0

Систему уравнений (6) - (9), принимая диффузионные характеристики пород постоянными и учитывая, что движение радона во вмещающих породах происходит вертикально, можно свести к дифференциальному уравнению:

~ 'яп _ 1 лР , дд

д 2С

р ЛС

яп

дг

(15)

Математическое описание (15) адаптируется к конкретным физическим условиям. При этом можно получить математические модели для расчета поступлений радона в горные выработки очистного участка в проводимую подготовительную выработку.

о

о

Список литературы

1. Качурин Н.М., Поздеев А.А., Стась Г.В. Прогноз выделения радона в горные выработки угольных шахт// Известия ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. Ч. 2. С. 133-142.

2. Качурин Н.М., Поздеев А.А., Стась Г.В. Выделения радона в атмосферу горных выработок угольных шахт// Известия ТулГУ. Науки о Земле. 2012. Вып. 1. С. 46-56.

3. Радон в атмосфере угольных шахт / Н.М. Качурин [и др.]// ГИАБ. 2012. Вып.8. М.: Изд-во МГГУ. С. 88-94.

Качурин Николай Михайлович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, ecology@tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Стась Галина Викторовна, канд. техн. наук, доц., galina_stas@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Воробьев Сергей Александрович, научный сотрудник, vorobjov@rudmet.ru, Россия, г. Белгород, Белгородский национальный исследовательский университет,

Мпеко Нсендо Арди, аспирант, galina_stas@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

PHYSICAL MODEL AND MATHEMATICAL DESCRIPTION OF MIGRATING

RADON THROUGH ROCKS

N.M. Kachurin, G. V. Stas, S.A. Vorobev, Mpeko Nsendo Ardy

Vertical migrating radon though rocks is described by the first Fick law jointly with equation of continuity for diffusion flow with taking into account processes of sorption and radioactive disintegration.

Key words: radon, diffusion, rocks, sorption, radioactive disintegration, mathematical model.

Kachurin N.M., Doctor of Science, Full Professor, Chief of a Department, ecology @,tsu.tula.ru, Russia, Tula City, Tula State University,

Stas G.V., Candidate of Technical Science, Docent, galina_stas@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Vorobev S.A., Scientific Associate, vorobjov@rudmet.ru, Russia, Belgorod, Belgorod National Researching University,

Mpeko Nsendo Ardy, Post Graduate Student, galina_stas@,mail. ru, Russia, Tula City, Tula State University