Физическая мезомеханика разработки месторождений нефти и газа Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Физическая мезомеханика разработки месторождений нефти и газа

В.А. Черных

Институт проблем нефти и газа РАН, Москва, 117701, Россия

Показано, что при моделировании процессов разработки нефтяных и газовых месторождений необходимо использовать методологию физической механики. Месторождение нефти и газа, представляет собой многоуровневую, многомасштабную систему, в которой процессы фильтрации пластового флюида и деформации массива горных пород взаимосвязаны между собой.

Установлено, что нельзя переносить математические модели фильтрации с одного масштабного уровня на другой. Математический аппарат физической мезомеханики течения флюида в мезонеоднородной пористой среде развит в рамках аналитических методов описания фильтрации флюида по схеме «поступательное движение + поворот».

Physical mesomechanics of oil and gas field development

V.A. Chernykh

Institute of Oil and Gas Problems RAS, Moscow, 117701, Russia

The paper illustrates that the processes of oil and gas field development should be simulated with the methodology of physical mesomechanics. The oil and gas field is shown to be a multilevel, multiscale system where reservoir fluid filtration and rock deformation are interrelated.

It is demonstrated that mathematical models of filtration of one scale level should not be applied for another scale level. The mathematical body of the physical mesomechanics of fluid flow in a mesoheterogeneous porous medium is developed in the framework of analytical methods of describing fluid filtration by the scheme “translation + rotation”.

1. Введение

Разработка нефтяных и газовых месторождений характеризуется огромным разнообразием сопутствующих явлений, часть из которых представлена на рис. 1. Все эти процессы имеют общую физическую основу, а именно: механическое деформирование пород земной коры и динамику пластовых флюидов. Очень важно подчеркнуть, что оба эти фактора взаимодействуют и оказывают взаимное влияние. Первый из них в настоящее время исследуется в рамках физической мезомеха-ники твердого тела [1, 2], а для исследования второго предлагается использовать методологию, основанную на идее многомасштабности процессов разработки нефтяных и газовых месторождений. Эта идея совершенно аналогична идее многомасштабности явлений в твердых телах [1, 2], однако имеет несколько другое физическое содержание.

Ниже будет сделана, видимо впервые, попытка применить методологию физической мезомеханики к фильтрации однофазного флюида в мезонеоднородной пористой среде. В качестве первого шага будет исследовано влияние размера мезоэлемента породы на процессы фильтрации. Под мезоэлементом структурно-неоднородной среды будем понимать некоторый объем породы конечных размеров, состоящий из разнородных частей: минералов, материала матрицы, инородных включений и т.д.

2. Месторождение нефти и газа как многомасштабная, многоуровневая система

Процессы фильтрации пластового флюида в залежи можно разделить по масштабности на три уровня: мик-ро, мезо и макро [3].

© Черных В.А., 2007

На микроуровне происходят процессы, протекающие в призабойной зоне пласта, т.е. в зоне, непосредственно прилегающей к скважине. Именно для этого уровня экспериментально на образцах длиной порядка несколько сантиметров определяются фильтрационно-емкостные параметры породы. Относительная однородность этих образцов позволяет использовать классическую (потенциальную) теорию фильтрации, основанную на постулатах механики сплошных сред.

В связи с этим необходимо отметить, что в основе классической теории фильтрации лежат эксперименты Дарси, которые позволили установить линейную зависимость между скоростью фильтрации и перепадом давления на образец. В опытах Дарси фильтрация флюида была одномерной, прямолинейной, поступательной и, следовательно, безвихревой (рис. 2, а).

На мезоуровне имеют место процессы, происходящие в зоне дренирования пласта, т.е. в зоне, охваченной воздейстием скважины на поле давления флюида. Эта зона характеризуется мезонеоднородностью пласта, т.е. наличием мезоэлементов (рис. 2, б). В этих условиях фильтрация флюида выражается суммой градиента ска-

Рис. 1. Схема геомеханических процессов при добыче нефти и газа: 1 — обсадные колонны; 2 — осадка поверхности земли; 3 — массив горных пород; 4 — пропласток неустойчивых пород; 5 — линии равных касательных напряжений в массиве горных пород; 6 — поперечный изгиб обсадной колонны; 7 — осадка кровли продуктивного пласта; 8 — продуктивный пласт; 9 — линии равных касательных напряжений в продуктивном пласте; 10 — продольный изгиб обсадной колонны под действием вертикальных нагрузок в процессе оседания горных пород; 11 — образование техногенной залежи; 12 — образование грифонов; 13 — аварийное фонтанирование

лярной потенциальной функции, характеризующей поступательное движение флюида, и ротора векторной функции, характеризующей вихревую компоненту скорости фильтрации. Вследствие этого не выполняется важнейший постулат классической теории фильтрации о совпадении направления вектора скорости фильтрации с направлением вектора градиента давления флюида.

Процессы, происходящие на макроуровне, приурочены к объектам, соизмеримым с размерами всего месторождения в целом. Математические модели этих процессов описывают динамику изменения средних давлений флюида по отдельным залежам, а также взаимодействие отдельных залежей между собой. Эти модели представлены системами дифференциальных уравнений первого порядка и принципиально отличаются от моделей процессов на микро- и мезоуровне.

Как следует из вышеизложенного, использование законов фильтрации, реализующихся на уровне микронеоднородности, в частности закона Дарси, для прогноза изменения гидродинамических параметров объектов разработки, относящихся к уровню макронеоднородности, может приводить к значительным ошибкам. Для сложно построенных залежей эти прогнозы зачастую не оправдываются. Одной из причин этих неудач является игнорирование мезонеоднородности пласта.

Необходимо еще раз отметить, что классическая теория фильтрации основана на экспериментах с однородными образцами, т.е. на микроуровне, и нашла широчайшее применение при проектировании разработки нефтяных и газовых месторождений. Практикующийся в настоящее время одноуровневый подход к моделированию процессов разработки правомерен только для однородных пород, в реальной же породе неоднородность проявляется на всех масштабных уровнях, а свойства породы изменяются разрывным образом. Порода характеризуется наличием иерархической системы трещин, блоков и различного вида неоднородностей.

В связи с этим можно предположить, что областью применимости классической теории является фильтрация нефти и газа в сравнительно однородных, средне-и высоко-проницаемых породах. В остальных случаях эта теория должна быть существенным образом модифицирована. В частности, необходимо учесть неодно-

Рис. 2. Схема движения флюида в опыте Дарси (а); в мезоэлементе породы (б)

родность свойств породы на любом масштабном уровне.

Впервые это оказалось возможным в рамках физической мезомеханики — нового научного направления, активно развиваемого для изучения деформаций структурно-неоднородных материалов [1, 2].

3. Математическая модель фильтрации однофазного флюида на мезоуровне

Течение флюида в мезоэлементе горной породы можно представить в виде движения макрочастиц (мезо-объемов флюида), каждая из которых эквивалентна системе многих частиц, но достаточно мала, чтобы не делиться на отдельные потоки при прохождении флюида через пористую среду [4]. Это представление позволяет использовать при исследовании фильтрации флюида методы теоретической механики механических систем. В соответствии с этой теорией в реальной породе, которая характеризуется неоднородностью свойств на всех масштабных уровнях, имеет место как поступательное, так и вращательное движение флюида (рис. 2, б). Это верно для любых механических систем. Действительно, согласно теореме Шаля всякое перемещение материальной точки из одного положения в другое может быть получено с помощью одного поступательного и одного вращательного движения [5]. В соответствии с этим закон фильтрации однофазного флюида в мезонеоднород-ной породе можно представить в виде [6]:

V = - k grad p + rotF(p), (1)

И-

где k — проницаемость породы; p, ^ — давление и динамическая вязкость пластового флюида; F(p) — неизвестная векторная функция.

Для нахождения аналитического выражения функции F(p) рассмотрим мезоэлемент породы размерами AxxAyxAz и выразим скорость флюида в окрестности вершины мезоэлемента Mx(xx, yj, Zj) через скорости поступательного, деформационного и вращательного движений в вершине мезоэлемента M(x, y, z):

Vx1 = Vx + exxAx + Ay + £xz Az + fflyAz - rnzAy,

Vy1 = Vy + e yyAy + e yZ Az + e yXAx + mzAx - rnxAz, (2)

Vz1 = Vz + ezz Az + £zxAx + £zy Ay + rnxAy - fflyAx,

где Vx = dx/dt; Vy = dy/dt; Vz = dz/dt; Vx, Vy, Vz — ком-

поненты вектора скорости в точке М;

=■

Эу

дК

___y

dz

>ЭК.

dx

dVy'

3x

J

dVz ^ ' Эу

dVx

dz

(3)

. _ = V.

dx’ yy dy’

ц = e n (h j=x y> z);

Em =-

dz

(4)

=-

l

dV,

l

®r= — x 2

dVx ^

Эу

(5)

Эх

Эу У

дz дх

Первые слагаемые в правых частях уравнений (2) представляют собой скорости поступательного движения, вторые — скорости линейной деформации, третьи и четвертые — скорости угловой деформации, пятые и шестые — скорости вихревого (вращательного) движения. Из уравнений (3)-(5) следует:

dVy )

dz

ж'

J

dx

dy

dx

Є yz + ®x -

ЭК, Эу ’ dVy dz ’

(6)

Далее рассматривается изменение скорости фильтрации флюида вдоль оси х на отрезке Ах. В результате осреднения в уравнениях (6) компонент скоростей фильтрации Уу, У2 по х получаем, что гху ~ и е2х ~<£у. С учетом этих соотношений первое из уравнений (2) принимает вид:

Ух1 = Ух + е хх + 2(ЮуAz - ю2Ду).

Для несжимаемой жидкости Е хх = 0. Таким образом, движение на отрезке Ах можно представить как сумму поступательного движения в исходной точке и вращательного движения на этом отрезке. Поскольку поступательное движение подчиняется закону Дарси, то

k др --— Т 2(Шу^

^ дх

Следовательно, в произвольной точке имеет место равенство:

k др

Vxl =■

-+ 2(rnyAz -fflzAy)-

(7)

+ 2(Юу Az -fflzAy)-

(8)

Аналогичным образом находятся равенства: k d

Vy =-----— + 2(rnzAx - rnxAz).

М- Эу

к др (9) + 2(юхАу -<йу Ах).

у. дz

Закон фильтрации для вращательного (вихревого) движения предложен автором аналогично закону Дарси в следующем виде:

rny = -C

(11)

ю = -С rotF (C = const), (10)

где F = pi + pj + pk, i, j, k — единичные векторы осей x, y, z; p — давление,

dp dp ^ dy dz dp dp dz dx dp dpл

dx dy ' J

Из уравнений (8), (9), (11) нетрудно получить выражения для компонент вектора скорости фильтрации: & _ К ^ - К

-ч Kxy ^ KXZ -ч -

ox оу oz

dp

— К

Эу dp

- К — .

„ Эг

где

=-С

V — — к — к — к

Vx ~ кxx ^ кxy ^ кxz ^ ,

Эу

Vy =~Ryx ~ кУУ ~ ~ к

dp

dx

yz dz’ dp

(12)

V = к — к — к

V z ~ кzx ^ кгу ^ кzz ^ ,

Эу

^ =-------2CAz - 2CAy;

Kxy = 2CAy; = 2CAz;

к„ = - - 2CAx - 2CAz;

H-

кта = 2CAx; кк = 2CAz;

^ =------2CAy - 2CAx;

(13)

Rzx = 2CAx; ^ = 2CAy.

Систему уравнений (12) можно записать в виде:

xy к кх2

V = - ку.x ку2

к2у к22

grad p.

(14)

Уравнение (14) учитывает поступательное и вихревое движение флюида и представляет собой обобщенный закон фильтрации Дарси-Черных.

Из уравнения (14) следует, что проницаемость неоднородной породы является тензорной величиной. Нетрудно видеть, что тензорный характер проницаемости породы связан с наличием вихревых фильтрационных течений флюида в пористой среде.

В случае притока сжимаемого флюида к скважине закон фильтрации (12)-(14) принимает вид:

Ч =-( К + К -Р + К дР ]

Чт К ГГ ^ ^ КЩ 'Л ^ Кт

ОТ ГОф

dz

J

\

к Р+к iP+к Р

фг Эг к фф гЭф + к ^ dz

V т J

f Лл Лп ЛгЛ

(15)

dP

dP

^ + Kz^ + к^— or го ф oz

где г, ф, г — цилиндрические координаты; Р = | pd^,

р, р — плотность и давление флюида; дГ, дф,°д2 — компоненты вектора массовой скорости q = pV.

Для расчета параметров потока флюида необходимо также использовать уравнение сохранения массы фильтрующегося флюида:

.• 1 Э ч dqz

divq = -— (rqr)+ ^ + ^- = 0. r dr гЭф dz

(16)

После подстановки (15) в (16) находим результирующее уравнение фильтрации сжимаемого флюида в цилиндрической системе координат:

^2п К ^ К ц2 ]

К

Э2 P + кщ+ d2P +

Эг 2

ЭгЭф

+ (Krz + к2Г)— + к-гг- — +

rz zr

oroz r dr

. к„ dP + кфф Э2P +

r dz -^'~2 +

г Эф

+ ^z + ^ _Э^ + к.

Э2 P

= 0.

(17)

г ЭфЭг 22 dz2

К сожалению, приведение уравнения (17) к канонической форме не позволяет получить приемлемое аналитическое решение вследствие искажения границ при использовании новых переменных, поэтому ниже будет использован метод разделения переменных. В случае, когда поле давления не зависит от угла ф, уравнение (17) принимает вид:

к

d2P Э2 P

+ к +

dr 2

к

drdz

_dP + к, э^+^

r dr r dz dz

= 0.

Представим решение уравнения (18) в виде: Р = F (г )Ф (z).

После подстановки (19) в (18) получаем:

(18)

(19)

кггrF.,гг +

f:+

ф

к22г-^ + кг Ф

Ф

F = 0,

(20)

где

Ф' =

ЭФ _

dz ’

Ф" =

Э2Ф _

'dzТ ’

f:=

F

dr

F" =

Э2 F dr 2

Частное решение этого уравнения можно получить, если принять, что Ф'2/Ф = с = const. Отсюда следует, что Ф = exp(cz). После подстановки этого выражения в (20) получаем уравнение для определения функции F:

(a2r + b2 )Frr. + (atr + bl )F' + (a0r + b0 )F = 0, (21)

где

J

a2 = Krr; b2 = 0; ax = К + KZr )с;

bl ~ Krr; a0 — Kzzc ; b0 — Krrc.

Общее решение уравнения (21) при c = 0 имеет вид: F = A + B ln r,

где A, B = const. В случае с Ф 0 частное решение уравнения (21) имеет вид:

F = exp(Cr) T(a, b; & (22)

где

№ + b0 . г._ a2bl - alb2 _л.

a ^ г ; b 2 1;

2a2^ + ax a|

^ r ^ . o, D ~ a i-v2 2 *

£ =-----(2a2^ + at); C = ——1; D = ax - ^a^

a2 2a2

T(a, b; £) — любое решение вырожденного гипергео-метрического уравнения

£F£ + (b -^)F|- aF = 0,

где F| = dF/d^; F£ = d2F/d^2.

С учетом полученных результатов частное решение уравнения (20) можно представить в виде:

P = A + Bln r + exp(^r + cz) T(a, b; £),

где A, B, c — постоянные, определяемые из граничных условий. Здесь A + Blnr является частным решением уравнений классической теории фильтрации, а третий член в правой части уравнения отражает влияние параметров мезоэлементов на давление пластового флюида.

Математические модели процессов разработки месторождения на макроуровне подробно исследованы автором на примере газовой залежи в работе [6].

4. Заключение

Традиционная методология одноуровневого (на микроуровне) описания процессов фильтрации может быть использована только для ориентировочных прогнозных расчетов параметров разработки месторождения углеводородов.

Принципиальным отличием новой методологии является рассмотрение базового механизма вихреобразо-вания в фильтрационном потоке на мезомасштабном уровне.

Литература

1. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В. Физическая мезомеханика

деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. 1. Физические основы многоуровневого подхода // Физ. мезомех. -2006. - Т. 9. - № 3. - С. 9-22.

2. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики деформируемого твердого тела как многоуровневой системы // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: Сборник статей к 75-летию ак. Е.И. Шемякина. - М.: Физматлит, 2006. - С. 524-544.

3. Черных В.А. Гидрогеомеханика нефтегазодобычи. - М., 2001. -С.277.

4. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. - М.: Гостоптехиздат, 1960. - 249 с.

5. Жуковский НЕ. Кинематика, статика, динамика точки. - М.-Л.: Гос. изд-во оборон. пром., 1939. - 403 с.

6. Черныгх В.А. Нелинейная динамика газовой залежи. - М., 2002. -203 с.

Поступила в редакцию 5.02.2007 г.