Научная статья на тему 'Фильтрация и прогнозирование трендсезонных временных рядов на основе искусственных нейронных сетей'

Фильтрация и прогнозирование трендсезонных временных рядов на основе искусственных нейронных сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
361
67
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бодянский Евгений Владимирович, Воробьев Сергей Анатольевич, Костюк Ольга Васильевна, Любчик Леонид Михайлович

Описаны задачи фильтрации и прогнозирования тренд-сезонных временных рядов. На примерах, представляющих особый интерес при решении практических задач, изложена адаптивная многоэтапная схема анализа. Дано решение задачи в общем виде. Показано, что адаптивная схема решения имеет ряд существенных преимуществ, одним из которых является возможность использования для обработки информации технологии искусственных нейронных сетей.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бодянский Евгений Владимирович, Воробьев Сергей Анатольевич, Костюк Ольга Васильевна, Любчик Леонид Михайлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Filtering and forecasting of trend-season time series using artificial neural networks

The trend-season time series filtering and forecasting problems are discussed. The adaptive multistage analysis schema is described for the examples that are very important in practical applications. The decision of the problem in general case also is discussed. The adaptive schema has a many essential advantages. One of them is the possibility of artificial neural network technology application for signal processing. The architectures of appropriate neural networks are described.

Текст научной работы на тему «Фильтрация и прогнозирование трендсезонных временных рядов на основе искусственных нейронных сетей»

УДК 681.513.7:519.7

ФИЛЬТРАЦИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ТРЕНДСЕЗОННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

БОДЯНСКИЙ Е.В., ВОРОБЬЕВ С.А., КОСТЮК О.В., ЛЮБЧИК Л. М.

Рассматриваются задачи фильтрации и прогнозирования тренд-сезонных временных рядов. Приводится многоэтапная адаптивная схема решения этих задач, построенная с учетом их особенностей. Основной проблемой при этом является нестационарность таких последовательностей. Показывается, что проблемы, возникающие при анализе спектрального состава, фильтрации и прогнозировании таких последовательностей, имеют весьма простое решение с помощью методов теории адаптивных систем и искусственных нейронных сетей.

Задача обработки нестационарных стохастических последовательностей с тренд-сезонной компонентой достаточно часто встречается на практике и, прежде всего, в экономическом прогнозировании и технической диагностике [1-9]. При этом предполагается, что анализируемый ряд может быть представлен в виде модели

Р ~ m

Ук = Xdjk1 + Xcos а к +

,=0 j=1

+ ~j sin0jk) +j~k,

или через оператор сдвига назад z-1:

m

(1 - z_1)p П(1 - 2cos® jZ-1 +

j=1

+ z ~2)Ук =<~k ■

Здесь p и m — порядок полиномиальной компоненты и количество гармоник в последовательности у к соответственно; dt, a j , bj — коэффициенты модели, в общем случае неизвестные; О < а j = 2nfj T0 < п — неизвестные частоты гармонических компонент, при этом а, Фа j, i Ф j; T0 — период квантования; к = 1,2,. N — дискретное время; £к — стохастическая компонента типа

белого шума с нулевым математическим ожиданием и ограниченным вторым моментом. В общем случае модель должна иметь несмещённую структуру (значение m известно заранее), что, однако, не является обременительным ограничением.

Для оценивания неизвестных параметров модели (1) в [1-9] предлагается использовать метод наимень-

(1)

(2)

тих квадратов, при этом частоты а j полагаются

известными, поскольку входят в описание ряда нелинейно и их оценивание сопряжено со значительными трудностями. Однако в ряде случаев именно частоты представляют особый интерес, в связи с чем необходимо предусмотреть возможность их оценивания параллельно с коэффициентами dt, a j , bj .

В [10-12] предложена многоэтапная схема оценивания параметров полигармонических сигналов, которая для нашего случая может быть представлена в следующем виде:

1. Исключение полиномиальной компоненты путем взятия (р +1) -й разности последовательности

~ ~ р у ,

у к или вычитание из у к компоненты X dik , где

i=0

d. — оценки, получаемые с помощью метода наименьших квадратов.

2. Оценка параметров модели

m

П (1 - 2cosjjZ _1 + z ~2)Ук =£к

j=1

с помощью метода наименьших квадратов.

3. Восстановление оценки частот а j путем нахождения корней полинома m -й степени.

4. Нахождение оценок а j, b j с помощью метода

наименьших квадратов и пересчет их в оценки а j , b j .

5. Дигрирование центрированного сигнала у к и

получение отфильтрованной оценки ряда у к.

В качестве иллюстрации данного подхода рассмотрим несколько простых примеров.

Пусть в (1) р = 0, т. е. анализируемая последовательность у к колеблется относительно среднего

уровня d0. Исключить его можно путем взятия первой разности, т. е. переходя к последовательности у к такой, что

m

у к = Z (aj cosаJk +bjsin аJk) + £к> (3)

j=1

или

m

П (1 - 2cosj jz -1 + Д2)Ук =€к , (4)

j=1

іде у к = у к - У к-1, £к =<ук -<ук-1. При этом несложно видеть, что существует однозначная связь между коэффициентами

a j = a j (1 - cos а j) + bj sin а j,

* у у (5)

bj = bj (1 - cos®j) - aj sin coj.

74

РИ, 1998, № 3

Оценивание параметров модели (3), (4) с помощью метода наименьших квадратов осложняется тем,

что шум уже не является белым, что может

привести к смещённым (ридж-) оценкам [11], хотя в [12] и утверждается, что такое смещение не возникает. Так или иначе, в ряде случаев удобнее из yk вычесть среднее

- у 1 N ~

d0 = У = —I yk (6)

N k=1

и перейти к центрированному сигналу yk с белым

шумом £k. Этот процесс можно организовать в реальном времени, вычисляя на каждом такте среднее

~ у 1 ~ k —1 ~

do,k = yk =7 yk +-Т- yk-1 (7)

kk

и центрированное значение yk = у, — у, . Если

средний уровень d0 варьирует во времени, то вместо (7) можно использовать экспоненциальное среднее

d0,k = ~k = ayk + (1 — a)yk—1 , (8)

где 0 <a < 1 — параметр сглаживания [2, 7]. Далее переходим к пункту 2 многоэтапной схемы оценивания.

Пусть тестовый временной ряд генерируется с помощью следующей модели:

2

yk = d0 + I sin 2nfjTok + %k ■

J =1

Здесь do = 2,4 ; /1 = 50 ; /2 = 120 ; To = 1 —

квант машинного времени; — последовательность случайных величин с нулевым средним и

среднеквадратическим отклонением о^ = 2 , т. е.

генерируемый гармонический ряд сильно искажен действием помехи и смещен относительно центра на величину 2,4.

Ряд yk показан на рис. 1. На рис. 2 приведена

первая разность ряда yk. Очевидно, что первая разность колеблется относительно нуля. Таким образом, последовательность yk = yk — yk—1 является центрированной. На рис. 3 также представлены среднее ряда yk, вычисленное по формуле (7), и

центрированный ряд yk = yk — d0k . Из-за действия интенсивной помехи среднее ряда j^k варьирует во времени.

Пусть теперь в (3) m = 1, т. е. в сигнале присутствует лишь одна гармоника с частотой а> . Тогда (4) можно переписать в виде

(1 — 2 cos т — + z ~2) yk =^k, (9)

(1 — в2 z-1 + z-2) yk =4, (10)

о

Рис.1. Временной ряд yk

yk = yk — yk—1

с

Рис.3. Среднее d0k и центрированный ряд

yk = yk — d0,k

yk =в2 у,—1 — yk—2 +£k (11)

и ввести критерий идентификации

N

J1 = I ((yk + yk—2) ~ P2yk—i) , (12)

k=3

минимизация которого ведёт к оценке

N

I( у, + Уk—2 ) У k—1

в = —-----N---------■ (13)

21 yk—1

k=3

Заметим, что если у, есть p -я разность

процесса у,, то нижний индекс суммирования в

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(12) начинается с k = p + 3 .

Далее несложно найти оценку частоты

т = arccos в, (14)

отфильтрованный сигнал

yk, N = 2вуk—1 — yk—2 (15)

РИ, 1998, № 3

75

и прогноз на один шаг

У N+1 = 2вуЫ - Уы-1- (16)

В принципе задачу фильтрации и прогнозирования можно на этом считать решённой, однако, если необходимо, можно перейти к пункту 4 многоэтапной схемы; ввести критерий идентификации

N

J2 = Z (Ук - a cos Ок - b sin Ок)2 =

к=3

N

f

= Z (Ук -(a b)

к=3

cos

сок Л

V sin Ок j

(17)

и получить оценки коэффициентов в виде

(а r

Vb J

Z cos2 Ок Z cos сок sin Ок

Z cos^эk sinc^ Z sin2 Ок

^Z cos^эkyk^

Z sin Окук

Y

(18)

2

)

x

x

Задача оценивания параметров о , а и b может быть решена в реальном времени, для чего целесообразно воспользоваться экспоненциально взвешенной процедурой стохастической аппроксимации [1315], обеспечивающей компромисс между фильтрующими и следящими свойствами процесса идентификации. В этом случае, если по N наблюдениям были

получены оценки О N , а N , bN , то с приходом

N +1 -го наблюдения производится уточнение согласно рекуррентной схеме

вN+1 = Pn + rN+1 (yN+1 + yN-1 -- Pn 2yN )2yN,

rN+1 = Yn + 4УІ> 0 — Y —1, (19)

О N+1 = arccos PN+b

а

N+1

V bN+1 J

Л ra..л

N

V bN J

+ RN+1 (yN+1 аы X

x cos О N+1(N +1) - bN sin О N+1(N +1)) x

cos

О N+1 (N + 1) ^

(20)

sin О N+1 (N +1)

rn+1 =7rn +1 0 — Y — 1-

Несложно видеть, что при у = 0 (20) превращается в градиентную процедуру с единичным шагом, а при у = 1 - в алгоритм Кифера-Вольфовица.

Заметим, что в многоэтапной схеме результаты каждого этапа влияют на точность последующего,

поэтому неточность в определении оценки в? влечёт за собой накопление погрешностей в оценках О , а,

I). Поэтому если для решения задачи фильтрации и прогнозирования достаточно лишь в (см. (15), (16)),

то этим и следует ограничиться.

Рассмотрим ещё один численный пример. В этот раз временной ряд генерируется моделью вида

Ук = 0,93sin 2 л/7ок + %к •

Здесь f = 50, £к — последовательность случайных величин с нулевым средним и дисперсией, равной 0,4.

Ряд у к и его прогноз у к приведены на рис. 4.

На рис. 5 показан средний квадрат ошибки прогнозирования.

Рис.4. Ряд Ук и прогноз ~к

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

На рис. 6 и 7 соответственно представлены оценки параметра модели (11) рк и частоты сезонной

составляющей ряда О к , полученные на основании алгоритма (19). Очевидно, что значение параметра в, описывающего сезонную составляющую ряда

у к, должно быть равно в « 0,6427. Однако оцениваемое значение в незначительно варьирует. Это 1,5

1

0,5 0

-0,5 -1

Рис.6. Оценка параметра Рк

-Х\ -

Рис.5. Средний квадрат ошибки прогнозирования

-2 1 к ,~ У Л

ек = YZ (~i - ~i) к i=1

76

РИ, 1998, № 3

связано с действующим шумом. Заметим, что в алгоритме (19) параметр Y был выбран равным 0,9 для усиления фильтрующих свойств алгоритма.

Далее рассмотрим процедуру идентификации параметров модели (3), (4), содержащей m гармоник неизвестных частот. Путём несложных преобразований можно привести (4) к виду

m-1

ук = Ё Р j+1(ук+j-m + Ук- j-m ) j=0

- У к-2m + £к = Pi2 yk - m + Рі(У к+1-m +

+ ук-1-m ) + в3(ук+2-m + ук-2-m ) + ••• + (2i)

+ Pm (ук-1 + ук-2m+1) - ук-2m + £к =

= рТу(к, m) - у ^2m + £к ,

(здесь Cj =--------), могут быть найдены путем

m j!(m-j)!

отыскания m корней степенного полинома от аргумента cos o .

Переходя к работе в реальном времени, записываем экспоненциально взвешенную процедуру стохастической аппроксимации, которая в данном случае имеет вид

Pn+1 = Pn + rN+1(.Pn+1 + уы-2m+1

< - PTNу(N +1 m))у(N +1 m),

rN+1 = Yn +|у(N +1,m)|2, 0 <y< 1.

При у = 1 она принимает форму алгоритма Гудвина-Рэмеджа-Кэйнеса, широко распространенного в адаптивных системах управления, а при у = 0 — алгоритма Уидроу-Хоффа, применяемого для обучения искусственных нейронных сетей.

При этом прогноз может быть записан в виде

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у N+1 = Ріу(N + 1 m) - у N - 2m+1, (28)

а отфильтрованный сигнал —

УN+1,N+1 = РN+1у(N + 1, m) - ук-2m+1 • (29)

Определение оценок частот связано с необходимостью решения на каждом такте уравнения

где в = (Р1, Р2 ,•••, Pm )Т , У(k, m) = ^Ук-m ,

у к-m+1 + У к-m-1, У к-m+2 + У к-m-2 ,•••, У к-1 +

ук-2m+1)Т - (m X 1) векторы параметров и предыстории последовательности соответственно.

Вводя далее критерий идентификации

N ~Т 2

JI = Ё ((Ук + У к-2m ) -Р У(к, m)) (22)

к=2m+1

и используя стандартную процедуру наименьших квадратов, получаем вектор оценок Д. Далее можно

построить отфильтрованный сигнал (гармонический трецд)

УкN = РТ У(k, m) - У к-2m (23)

и прогноз

у N+1 = РТ У(N + 1 m) - У N - 2m +1 • (24)

Неизвестные частоты О j связаны с параметрами

в j соотношением

m-1

в1 + Ё в j+1 cos jo = cos mo (25)

и с учётом того, что

m /"*2 m-2 • 2

cos mo = cos o - Cm cos o sin o +

m-4 . 4 (26)

+ Cm cos o sin4 o + •••

^ m-1

P\, N+1 + Ё в j+1,N+1 cos jo N+1

j=1

= cos mo N+1,

(30)

однако поскольку получение положительных действительных корней (30) в общем случае не гарантируется, этого этапа следует по возможности избегать.

Приведем пример, демонстрирующий работу по -лученного алгоритма. Ряд генерируется с помощью модели вида

ук = 0,93 sin 2п50к +1,34 sin 2п120к + £к •

Характеристики £ к следующие: математическое

ожидание равно 0 и <У ^ = 1,1. Ряд Ук и прогноз у к,

а также средний квадрат ошибки прогнозирования приведены соответственно на рис. 8 и 9.

4

3 2 1 0 -1 -2 -3

Рис.8. Ряд ук и его прогноз у к

РИ, 1998, № 3

77

2 1,5 1

0,5 0

На рис. 10 изображены оценки коэффициентов

в k и k , настраиваемые в соответствии с алгоритмом (27). Как и в предыдущем примере, в (27) Y равно 0 , 9.

- -Л /Кл. ^\/\ —

Рис.9. Средний квадрат ошибки прогнозирования ek

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

0,1 0

Рис. 10. Оценки коэффициентов в k и в2 k

Заметим, что из-за действия шума в спектре ряда на частоте / = 270 присутствует небольшой всплеск, что указывает на наличие ложной гармоники небольшой амплитуды.

В пользу адаптивного подхода к рассматриваемой задаче, кроме численной простоты, свидетельствует также следующее:

1. Возможность работы в условиях нестационарности, т. е. девиации частот. При этом следящие свойства алгоритма определяются варьированием параметра Y в (27).

2. Возможность работы в условиях “цветных”

шумов £k . При этом вектор y(k, m) расширяется

путём введения обновлений.

3. Защита от проблем, связанных с вырождением процедуры при больших N [12]. При этом объем обрабатываемой информации ограничивается в результате использования у < 1.

4. Возможность организации в реальном времени процедуры контроля над изменениями свойств обрабатываемой последовательности, т. е. раннего обнаружения разладок [8, 9, 16, 17].

5. Возможность распараллеливания вычислений и использования для обработки информации технологии искусственных нейронных сетей [18-20].

На рис. 11, 12 приведена схема искусственной нейронной сети, реализующей процесс прогнозирования и фильтрации тренд-сезонного временного ряда. Данная сеть состоит из двух независимых частей, первая

из которых (рис.11) обрабатывает полиномиальную компоненту ряда, а вторая (рис. 12) — сезонную. Входной слой сети на рис. 11 образован элементами

чистой задержки z -* 1, вследствие чего на первый скрытый слой, образованный сумматорами 2, параллельно подаются сигналы yk, Yk-1,• •, Yk_p . На выходе первого скрытого слоя формируются сигналы

разностей , V~k _!,•••> V~k - p+1, которые подаются на сумматоры второго скрытого слоя, вычисляющего вторые разности V 2 3 4 5~k, V 2~k-1,•••, V2~k_p+2. На выходе p -го скрытого слоя, образованного одним

сумматором, вычисляется сигнал p -й разности V p Yk .

Сигналы разностей подаются на усредняющие элементы а, реализующие рекуррентный алгоритм (8) и

вычисляющие средние значения yk, V~k,

V2~k, •••, VpYk . Сигналы среднего подаются на

релейные элементы, имеющие два состояния: 0, если соответствующее среднее равно нулю, и 1 в противном случае. Выходы реле подаются на входы логических

элементов Л, реализующих операцию типа

Ш = (x л у) л x и фактически фиксирующих наименьший порядок разности, не имеющей полиномиального тренда. Схема, приведенная на рис. 11, соответствует ряду с линейным трендом, у которого

V 2 ~k = 0 , что обнаружено логическим элементом,

на входы которого поданы сигналы x = 1, У = 0 . Контроль над выходами логических элементов позволяет обнаруживать в реальном времени изменения порядка полиномиального тренда. Кроме того, логические элементы управляют ключами К, которые открываются только при подаче на них сигнала, соответствующего единице. Таким образом, на входы

выходного сумматора 2 подаётся сигнал лишь той разности, которой соответствует единичный выход

логического элемента Л. В данном случае отпирается только ключ, соответствующий второй разности, в результате чего на выходе данной части сети появляется центрированный сигнал yk = V 2~k .

Вторая половина сети (рис. 12) обрабатывает сигнал Yk с исключенной полиномиальной компонентой и содержит во входном слое 2m элементов чистой задержки. Сумматорами первого скрытого слоя формируется вектор предыстории у(k, m) . Он подаётся на m -входовую адалину, обучение которой осуществляется с помощью алгоритма (27). На выходе адалины появляется отфильтрованная оценка уk, которая, будучи обработана цепочкой, состоящей из

p диграторов, даёт прогноз исходного ряда ~k • Дигрирование удобно также производить в соответствии с выражением

78

РИ, 1998, № 3

Рис. 11. Искусственная нейронная сеть для анализа полиномиального тренда

Рис. 12. Искусственная нейронная сеть для фильтрации тренд-сезонного временного ряда

РИ, 1998, № 3

79

уk = 1(-1)'Ciуk- -vpуk. (зі)

i=1

Контроль над возможными изменениями ряда y к осуществляется путём анализа поведения синаптических весов адалины в1, J32,..., вm и является

достаточно элементарной процедурой [9].

Таким образом, на основе использования методов теории адаптивных систем и искусственных нейронных сетей удаётся получить весьма простое решение задачи фильтрации, прогнозирования и обнаружения разладок в тренд-сезонных стохастических последовательностях.

Литература: 1. Бокс Дж, Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. 406 с. 2. Чуев Ю.В., Михайлов Ю.Б., Кузьмин В.И. Прогнозирование количественных характеристик процессов. М.: Сов. радио, 1975. 400 с. 3. Кобринский Н.Е. Информационные фильтры в экономике. М.: Статистика, 1978. 287 с. 4. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. 536 с. 5. Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983. 384 с. 6. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. М.: Финансы и статистика, 1986. 133 с. 7. Montgomery D.C., JohnsonL.A., GardinerJ.S. Forecasting and Time Series Analysis. N.Y.: McGraw-Hill. Inc., 1990. 384 p. 8. Isermann R. Fault diagnosis of machines via parameter estimation and knowledge processing. Tutorial paper // Automatica. 1993. 29. № 4. P.815-835. 9. Pouliezos A.D, Stavrakakis G.S. Real Time Fault Monitoring of Industrial Processes. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1994. 542 p. 10. Ивахненко А.Г., Мюллер Й.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. К.: Техніка, 1985; Берлин: ФЕБ Ферлаг Техник, 1984. 223 с. 11. Юрачковский Ю.П., Попков Н.В. Оценивание параметров в алгоритмах МГУА моделирования полигармонических процессов и полей // Автоматика. 1986. №6. С.9-16. 12. Shelekhova V. Yu. Harmonic algorithm GMDH for large data volume // SAMS. 1995. 20. P.117-126. 13. Бодянский Е.В., Плисс И.П, Соловьева ТВ. Многошаговые оптимальные упредители многомерных нестационарных стохастических процессов // Докл. АН УССР. 1986. Сер. А. №12. С.47-49. 14. Бодянский Е.В, Плисс И.П., Соловьева Т.В. Синтез квазипрямых адаптив-

ных регуляторов // Докл. АН УССР. 1987. Сер. А. №1. С.59-61. 15. Бодянский Е.В., Руденко О.Г. Адаптивные модели в системах управления техническими объектами. К.: УМК ВО, 1988. 212 с. 16. БодянскийЕ.В., Воробьёв С.А., Пл исс И.П. Адаптивная диагностика динамического объекта с периодическим выходным сигналом // Праці 3-ї Української конференції з автоматичного керування “Автоматика-96”. Т.1. Севастополь: СевГТУ, 1996. С.58-59. 17. Воробьёв С.А., Плисс И.П. Адаптивная диагностика динамического объекта с периодическим выходным сигналом // Деп. в УкрИНТЭИ 18.11.96. № 130. Харьков, 1996. 14 с. 18. Cichocki A., Unbehauen R. Neural Networks for Optimization and Signal Processing. Stuttgart: Teubner, 1993. 526 p. 19. Pham D.T., Liu X. Neural Networks for Identification, Prediction and Control. London: Springer-Verlag, 1995. 238p. 20. Scherer A. Neuronale Netze. Grundlagen und Anwendungen. Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997. 249 s.

Поступила в редколлегию 23.07.98 Рецензент: д-р техн. наук Алексеев О.П.

Бодянский Евгений Владимирович, д-р техн. наук, профессор кафедры ТК ХТУРЭ. Научные интересы: теория адаптивных систем, искусственные нейронные сети, техническая диагностика, гармонический анализ. Хобби: фелинология, восточные учения, японская поэзия, история. Адрес: Украина, 310145, Харьков, пр. Ленина, 14. e-mail: bodya@kture.kharkov.ua

Воробьев Сергей Анатольевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник ПНИЛАСУ ХТУРЭ. Научные интересы: искусственные нейронные сети, фильтрация и прогнозирование нестационарных процессов, фракталы и фрактальная размерность. Хобби: психология, иностранные языки, музыка. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14. e-mail: svor@kture.kharkov.ua

Костюк Ольга Васильевна, стажёр-исследователь кафедры САУ ХГПУ. Научные интересы: моделирование динамических систем, гармонический анализ, анализ нестационарных периодических процессов. Хобби: шитьё, горный туризм. Адрес: Украина, 310002, Харьков, ул. Фрунзе, 21.

Любчик Леонид Михайлович, д-р техн. наук, профессор кафедры САУ ХГПУ. Научные интересы: теория управления, адаптивные системы, анализ и прогнозирование случайных процессов, искусственные нейронные сети. Хобби: литература, искусство, живопись. Адрес: Украина, 310002, Харьков, ул. Фрунзе, 21. E-mail: Lyubchik@lotus.kpi.kharkov.ua

80

РИ, 1998, № 3

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.