Фазовые превращения в окрестности поверхности кристалла Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.219.3

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1416-1418

ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ПОВЕРХНОСТИ КРИСТАЛЛА

© О.И. Челяпина

Подольский институт (филиал) Московского государственного машиностроительного университета, г. Подольск, Московская обл., Российская Федерация, e-mail: chelyapina@pochta.ru

Исследована кинетика роста сферического зародыша гидрида при взаимодействии водорода с поверхностью циркония. Выполнено математическое моделирование диффузионной кинетики роста зародыша новой фазы вблизи поверхности кристалла. Для описания кинетики фазовых превращений в окрестности узлов тройных стыков деформационных границ использована сферическая система координат (упругая модель - стереодиск-линация). Результаты математического моделирования представляют интерес при обосновании прочностной надежности приповерхностных областей элементов конструкций.

Ключевые слова: диффузионная кинетика; концентрация атомов водорода; математическое моделирование.

Поверхность кристалла оказывает существенное влияние на кинетику диффузионных процессов. Это относится к образованию примесных сегрегаций с последующим формированием зародыша новой фазы. В качестве иллюстративного примера рассмотрим образование зародыша гидрида при взаимодействии поверхности циркония с водородом. Характерной особенностью атомов водорода является высокая диффузионная недвижимость в широком температурном интервале. Примесные сегрегации и зародыши новой фазы образуются, как правило, в окрестности структурных несовершенств приповерхностной области. Для сферических включений подобными несовершенствами являются узлы тройных стыков границ зерен. Упругой моделью последних служит стереодисклинация (дисклинация Маркса-Иоффе) с логарифмической зависимостью от радиальной координаты первого инварианта тензора внутренних напряжений [1-2]. Образование гидрида циркония в окрестности стереодискли-наций достаточно подробно рассмотрено в работе [3] без учета свободной поверхности. Между тем узлы тройных стыков границ зерен могут располагаться и в непосредственной близости от свободной поверхности. Вероятность образования зародыша новой фазы (например, сферического гидрида) возрастает [4]. Предлагаемая работа посвящена математическому моделированию диффузионной кинетики роста зародыша новой фазы вблизи поверхности кристалла. Конкретным примером является исследование кинетики роста сферического зародыша гидрида около свободной поверхности циркония.

Узел тройного стыка границ зерен наноразмерного кристалла расположен около свободной поверхности. Диффузионный поток точечных дефектов со стороны поверхности сопровождается образованием примесных сегрегаций в окрестности рассматриваемого структурного несовершенства. При достижении предела растворимости для данной температуры происходит формирование зародыша новой фазы. Объемные изменения последнего вызывают образование напряжений в ок-

ружающей матрице. Так, например, зародыш гидрида в цирконии приводит к формированию напряжений сжатия. Равновесная концентрация атомов водорода уменьшается по отношению к поверхностной концентрации. Это сопровождается диффузионным ростом сферического зародыша гидрида. Модельная схема представляет собой плоское сечение полупространства в окрестности сферического включения.

Характерной особенностью принятой модели является согласованность и независимость диффузионных процессов в каждом плоском сечении. Это существенно упрощает решение поставленной задачи. Радиус сферического гидрида изменяется в каждом плоском сечении и в конечном итоге происходит его объемное увеличение. Диффузионная кинетика в стационарном приближении с учетом уравнения массового баланса математически формулируется следующим образом

д2С д2С

+—т-

дг2 dz

2 2,2 г = x + y ,

= 0 , C = Cp при (z — l)

2,2 2 + Г = Г

dC,

C = Co при z = 0, (с,. — Cp У0 = D'—\r = Го

dt dr

(1)

где I - расстояние от центра гидрида до поверхности кристалла; Б - коэффициент диффузии атомов водорода; г0 - радиус зародыша гидрида; С0 - концентрация атомов водорода на свободной поверхности; Ср - равновесная концентрация атомов водорода в матрице на границе гидрида; С, - концентрация атомов водорода в гидридной фазе. Задача (1) справедлива для каждого плоского сечения. При этом выполняются следующие неравенства: (С,- - Ср) > 0 и (С0 - Ср) > 0. Первое из них означает, что концентрация атомов водорода в гидридной фазе превышает таковую в сопряженной матрице. Второе неравенство означает уменьшение равновесной концентрации атомов водорода на межфазной границе в матрице. Использование стационар-

2016. Т. 21, вып. 3. Физика

ного приближения вполне правомочно. Увеличение радиуса гидридной фазы сопровождается быстрой подстройкой концентрации атомов водорода. Кроме того, для малых расстояний от центра гидрида до свободной поверхности достаточно быстро устанавливается стационарный диффузионный процесс. Решение задачи (1) для принятой системы координат (плоское сечение) имеет вид

С" Np^ ,-

с = с0--Р - U) + r , и = . (2)

ln

I + и

Это соотношение удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям задачи (1). Приведенное выражение записано в декартовой системе координат, если учитывать равенство г2 = х2+у2 . В рамках математического формализма задачу (1) можно представить в полярной системе координат (плоское сечение)

d 2С dr 2

1 dC _

+--= 0, r0< r < R ,

r dr

C(ro) = Cp , c(r) = co , C -r )^ = DdC-\r =

(3)

dt

dr

r = r

где г0 и Я - внутренний и внешний радиусы плоского сечения матрицы в окрестности гидридной фазы. Остальные обозначения соответствуют принятым ранее. При этом плоское сечение сферической оболочки (матрица в окрестности включения) совпадает с плоским сечением цилиндрической оболочки, поскольку внешняя поверхность модельной системы остается неизмененной. Именно это условие позволяет использовать полярную систему координат для решения соответствующей задачи.

Решение задачи (3) для принятых граничных условий совпадает с решением (2)

C = Co--

(Co - Сp )ln R

ln Rr

R/ =

/r

(z + и)2 + r2

R/ -

I + и

(z - и)2 + r2

--Ф2 - ro2 . (4)

Математическая процедура перехода от одной координатной системы (декартовой) к другой (полярной) включает конформное отображение полуплоскости с отверстием в концентрическое кольцо [5]. Это вполне допустимо, т. к. внешняя поверхность остается плоской.

Диффузионный поток атомов водорода направлен от внешней поверхности на границу гидридной фазы (исходная задача) или от внешней границы кольца к внутренней (задача в полярной системе координат). Матрица когерентно связана с гидридной фазой. На границе сопряжения происходит фазовое превращение и гидридная фаза (плоское сечение) увеличивает свой радиус. Его изменение определим из уравнения массового баланса. Для простоты математических преобразований рассмотрим модифицированный вариант исходной задачи. После проведения простых математических операций получим

ro(t) - ro =

2Dt(Co - Сp )

(с - ср )in R/

v ' p> /rn

(5)

где Г - время. Остальные обозначения остаются прежними. Это соотношение справедливо для каждого плоского сечения, которые согласованно и независимо изменяют свой радиус. Рассмотрим полученное соотношение с позиции исходной задачи - рост сферической гидридной фазы вблизи поверхности циркония. Изменение радиуса гидрида зависит от величины

R/ -

L+ J?

- r

, т. е. от расстояния центра гидрида

до свободной поверхности. Если l >> r0, то

r/-2l

В этом случае радиус гидридной фазы изменяется дос-

к/ I

таточно медленно. Для I = г0 получим = — . Из/го г0

менение радиуса гидрида существенно возрастает. Математически это определяется поведением логарифмической функцией 1п ^ в зависимости от аргумента / го

^ . Кинетика изменения объема гидрида подчиняет-

'o

ся зависимости (Dtу 2 , поскольку объем сферы пропорционален r 3 .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hawie A., Marks L.D. // Philosophical Magazine, A. 1984. № 1. P. 95109.

2. Gryaznov V.G., Kaprelov A.M., Polonskii I.A., Romanov A.M., Polons-kii I.A., Romanov A.E. // Phys. Stat. Sol.(a). 1991. Vol. 167. P. 29-36.

3. Власов Н.М., Драгунов Ю.Г. // ЖТФ. 2013. Т. 83. Вып. 6. С. 118121.

4. Власов Н.М., Коноплев Е.Е., Муравин Е.Л. // ФММ. 1989. Т. 67. Вып. 5. С. 1028-1031.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: пер. с англ. М.: Наука, 1973. 831 с.

Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.

2

r,

o

o

r

o

o

r

o

o

o

r

o

UDC 539.219.3

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1416-1418

PHASE TRANSFORMATIONS NEAR THE CRYSTAL SURFACE

© O.I. Chelyapina

Podolsky Institute (branch) of the Moscow State Engineering University, Podolsk, Moscow region, Russian Federation, e-mail: chelyapina@pochta.ru

The kinetics growth of a hydride's spherical nucleus with hydrogen interaction with the zirconium surface has been investigated. Mathematical modeling of diffusion kinetics of growth of the embryo of a new phase near the surface of the crystal is studied. To describe the kinetics of phase transformations in vicinities of triple junctions nodes of the deformation limits of the used spherical coordinate system (elastic model - stereoci-liary). The results of mathematical modeling are useful when substantiating the strength reliability of near-surface areas of structural elements.

Key words: diffusion kinetics; the concentration of hydrogen atom; mathematical modeling.

REFERENCES

1. Hawie A., Marks L.D. Philosophical Magazine, A, 1984, no. 1, pp. 95-109.

2. Gryaznov V.G., Kaprelov A.M., Polonskii I.A., Romanov A.M., Polonskii I.A., Romanov A.E. Phys. Stat. Sol.(a), 1991, vol. 167, pp. 29-36.

3. Vlasov N.M., Dragunov Yu.G. Zhurnal tehnicheskoj fiziki - Technical Physics, 2013, vol. 83, no. 6, pp. 118-121.

4. Vlasov N.M., Konoplev E.E., Muravin E.L. Fizika metallov i metallovedenie - The Physics of Metals and Metallography, 1989, vol. 67, no. 5, pp. 1028-1031.

5. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York, McGraw-Hill Book Company, 1968. 1130 p. Received 10 April 2016

Челяпина Ольга Ивановна, Подольский институт (филиал) Московского государственного машиностроительного университета, г. Подольск, Московская область, Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент кафедры механики и математики, декан механико-технологического факультета, e-mail: chelyapina@pochta.ru

Chelyapina Olga Ivanovna, Podolsky Institute (branch) of the Moscow State Engineering University, Podolsk, Moscow region, Russian Federation, Candidate of Technics, Associated Professor of Mechanics and Mathematics Department, Dean of Mechanical Engineering Faculty, e-mail: chelyapina@pochta.ru