CC BY
34
ФАЗОВЫЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОДНОВРЕМЕННОГО ФОРМИРОВАНИЯ МОД ГАУССА-ЛАГЕРРА В РАЗЛИЧНЫХ ДИФРАКЦИОННЫХ ПОРЯДКАХ
В.В. Котляр, П. Лаакконен *, Р.В. Скиданов, В.А. Сойфер, Я. Турунен *, С.Н. Хонина Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара, Россия, e-mail: ipsi@smr.ru *) Факультет физики, Университет Йоенсуу, P.O. Box 111, FIN-80101, Йоенсуу, Финляндия.
Аннотация
Рассчитаны, изготовлены и экспериментально исследованы фазовые оптические элементы, формирующие моды Гаусса-Лагерра в различных дифракционных порядках. Приведены сравнительные результаты численного моделирования и эксперимента.
Введение
Моды определяются как устойчивые при распространении в волноводной среде световые пучки. Моды не расплываются и не изменяют пространственной структуры в процессе распространения в своей среде, а лишь приобретают фазовый набег [1].
Рассматриваемые моды Гаусса-Лагерра сохраняют также свою структуру и в свободном пространстве, изменяясь лишь масштабно.
Актуальной задачей является создание приборов, формирующих эталоны модовых пучков, и приборов, измеряющих модовый состав лазерных пучков. Такие приборы смогут осуществить индивидуальное возбуждение, измерение и обнаружение мод когерентного излучения.
В работах [1-3] в качестве таких приборов рассматриваются дифракционные оптические элементы (ДОЭ), рассчитанные с помощью разных методов. Особый интерес представляют фазовые ДОЭ, имеющие повышенную энергетическую эффективность и многоканальный характер работы, позволяющий сформировать несколько модовых пучков. Такие ДОЭ можно использовать для параллельного ввода излучения в набор волокон или для оптического разложения когерентного поля по ортогональному базису.
Для расчета многоканальных ДОЭ, согласованных с модами Гаусса-Лагерра, в данной работе используется итерационный метод аппроксимации фазовой функции пропускания ДОЭ конечной суммой гауссовых мод [4].
Рассчитанные 9- и 24-канальные 64-градационные ДОЭ были изготовлены в Университете Йоенсуу методом прямой записи электронным пучком на стекле.
В данной работе впервые экспериментально продемонстрирована возможность одновременной генерации набора различных модовых пучков (более 8 пучков), распространяющихся под разными углами к оптической оси.
1. Теоретическая основа
Данные элементы применяются как пространственные фильтры для анализа поперечного модового состава света и для одновременного ввода света в набор волокон [1].
Если ДОЭ, у которого функция пропускания представлена в виде линейной комбинации ограниченного числа базисных функций {фгт(х,у)}с различными несущими пространственными частотами:
N М
Т( X У) = Е Е^пт ( У )ехР[(аптх + РптУ)] (1)
п=0т=0
совмещен со сферической линзой и освещен световой волной Ж(х,у), то интенсивность света в заданных точках фокальной плоскости с пространственными частотами (апт, ¡Зпт) будет приближенно пропорциональна квадратам модулей коэффициентов разложения wnm светового поля по этому базису:
N М
Г (х, у) =ЕЕ " пт Упт (x, У). (2)
п=0т=0
Эта пропорциональность будет тем точнее, чем больше разность соседних пространственных несу-
щих частот:
>> 1,
jflnm Pp
>> 1,
'пт ^рд ' \гпт Ирд\
п Ф р, т Ф д , то есть, чем больше будут разделены
между собой в пространстве отдельные моды.
Рассмотрим метод расчета оптических элементов, формирующих высокоэффективные моды Гаус-са-Лагерра в заданных дифракционных порядках с требуемым распределением энергии света между модами.
Пусть требуется вычислить фазу оптического элемента Щх,у), который образует (будучи освещенным плоским пучком света с амплитудой А0(х,у)) моды Гаусса-Лагерра в дифракционных порядках, определенных векторами несущих пространственных частот (апт, впт), характеризующих наклон к оси распространения пучка с номерами (п,т). Комплексная функция пропускания такого элемента должна удовлетворять в полярных координатах соотношению:
А0 (г ,р)ехр[г£ (г ,ф)] = N
= ЕЕ Спт *пт (Г ,9) X , (3)
п=0| т| < п
X ехр[- /грпт С0Б(9 - Опт )] где *пт (г ,ф)- обобщенная функция Гаусса-Лагерра:
^nm (r,P( =
ц n(n-\m)
4 (n!)3
х exp
/ \ ~ / ^ \ 2 "
L HI
lCT0 1
(4)
ex
:p[imp]
2 2 2 У
r = x + y , p = arctg— , n>0, \m\<n,
m
х
Lmn (x) = (-1)'
dxm
■\bm+n(x)] - обобщенный много-
член Лагерра, u0 - радиус перетяжки. Квадраты мо-
дулей
коэффициентов |Cn
характеризуют энергетический вклад каждой моды, а аргументы Спт являются свободными параметрами задачи, (рпт, впт) - вектор несущих пространственных частот в полярных координатах.
При достаточно большой разнице между соседними векторами пространственных частот
2 = 2 +2 _ ®п,т;п+1,т+1 = Р п,т + Р п+1,т+1
_ 2 Рп,т рп+1т+1 со(@п,т _^п+1,т+1)
(5)
можно считать, что пучки пространственно разделяются в Фурье-плоскости и функции
^nm (r, V) exP[- irPnm cos(V - впт )]
почти ортогональны. Тогда коэффициенты можно вычислять по формуле:
х 2п
Cnm = J J Ao(r,v)exp[[(r,v)] *m (r, V)x
oo
x exp[irpnm cos(v -enm )]rdrdv Далее для расчета ДОЭ с фазой S(r,<p) применяется итеративный алгоритм, описанный в [4].
Функции Гаусса-Лагерра являются собственными функциями преобразования Фурье:
2п х
(6) (3)
(7)
1
2п
J J^nm (r,v)exp[- irp cos(v- в)] x
0 0
(8)
cr d r d V = (- l)n (- i )m Vnm (Р,в)
что позволяет использовать их для эффективного ввода излучения в световые волокна [1].
Заметим, что функции Гаусса-Лагерра со взаимно противоположной «закруткой» ехр[±/|да|<р] имеют одинаковые собственные значения:
*nm = (-1)n И)'
(9)
Совокупность мод Гаусса-Лагерра с одинаковыми собственными значениями можно считать "мо-довой группой", так как она также представляет собой собственную функцию преобразования Фурье.
2. Численное моделирование При численном моделировании использовались следующие параметры: 256 отсчетов по радиусу г и 256 отсчетов по угловой составляющей в, диапазон изменения аргументов гЕ [0,7мм], вЕ[0,2п], длина волны А=0.63 мкм, фокусное расстояние „/=100 мм,
радиус гауссового пучка в перетяжке а=1 мм. В формуле (3.3) рассматривались члены ряда с номерами п,т < N=7. Модули всех коэффициентов выбирались равными: |Спт| =сош1
В качестве освещающего пучка А0(г,0) выбирались плоский и гауссовый. В Таблице 1 приведены результаты численного моделирования для 9-канального и 24-канального ДОЭ для следующих параметров, характеризующих качество работы ДОЭ:
3с - относительное среднеквадратичное отклонение рассчитанных коэффициентов от заданных;
3 - относительное среднеквадратичное отклонение распределения рассчитанной амплитуды
\Ег (П)| в Фурье-плоскости от идеальной
К( £ П)|:
Jj(Er (4,п)| - \E 0(4,V)\)) d 4 d П
(10)
Ц \Е0(.4,пХ * 4 4 п
_
где ^ - область в Фурье-плоскости, в которой заключено 99% энергии идеальной дифракционной картины; п - коэффициент корреляции:
К 2П 1
|2
п= Z Iе nm I
n,meQ
J JA0(r,e)rdrde
o 0
(11)
где Р - множество заданных (полезных) коэффициентов.
Из Таблицы 1 видно, что освещение гауссовым пучком предпочтительней, чем плоским. Увеличение количества мод в фильтре почти в 3 раза приводит к увеличению относительного отклонения сформированных мод от идеальных не более, чем на 12%. Несмотря на высокую ошибку 3 в Таблице 1, поперечная структура рассчитанных пучков совпадает со структурой идеальных мод, отличие же заключено в перераспределении энергии внутри этой структуры. Коэффициент корреляции п показывает, что данные пучки будут возбуждать соответствующие моды со средней эффективностью более 70%.
На рис. 1 представлены графики зависимости среднеквадратичной ошибки 3с от числа итераций р для 9-канального (а) и 24-канального (б) фильтров, соответственно. Видно, что в обоих случаях после 5-6 итераций наступает эффект стагнации.
Таблица 1. Результаты численного моделирования для 9- и 24-канального ДОЭ.
m
d
2
8
Число Освещающий Радиус апертуры, R (mm) / Ошибка, Ошибка, 8 Коэффициент
каналов пучок Радиус осв. пучка Rg (mm) 8с (%) (%) корреляции, п (%)
9 плоский 3.5 / 3.5 6.3 41.2 76.3
9 гауссовый 6.0 / 3.0 4.6 31.3 76.5
24 гауссовый 6.5 / 4.0 5.4 43.1 73.7
0,39
0
0,53
0
а)
1
3 5 7 9 б) 1 3 5 7 9
Рис. 1. Графики сходимости после 10 итераций для 9-канального (а) и 24-канального (б) фильтров, соответственно На рис. 2 и 3 показаны результаты численного (б) распределение интенсивности в Фурье-плоскос-моделирования работы рассчитанных 9- и 24- ти, (в) схема, показывающая расположение номеров канального фильтров, соответственно: (а) фаза ДОЭ, мод по порядкам.
(2Д) (2,0) (1Д)
ф (2,2) (0,0) (1,0)
• (3,0) (ЗД) (3,2)
а б в
Рис. 2. Численное моделирование работы 9-канального фильтра при освещении гауссовым пучком: (а) фаза ДОЭ, (б) распределение интенсивности в Фурье-плоскости, (в) схема, показывающая расположение номеров мод по порядкам.
а б в
Рис. 3. Численное моделирование работы 24-канального фильтра при освещении гауссовым пучком: (а) фаза ДОЭ, (б) распределение интенсивности в Фурье-плоскости, (в) схема, показывающая расположение номеров мод по порядкам.
3. Изготовление многоуровневых ДОЭ.
Для изготовления многоуровневых элементов в Университете Йоенсуу (Финляндия) были использованы новый низкоконтрастный негативный электроннолучевой резист X AR-N 7700 фирмы AllResist GMbH (Берлин), электронно-лучевой генератор изображений Leica LION LV1 и реактивное ионное травление.
Резист был нанесен на кварцевую подложку толщиной 1100 нм и затем подложка подвергалась термической обработке при температуре 85°C в течение 30 мин. в воздушно-циркулярной печи. Алюминиевый слой толщиной 20 нм наносился на подложку. Формирование изображения на резисте выполнялось с помощью электронно-лучевого генератора изображений Leica LION LV1 при уско-
ряющем напряжении 12.5 кВ. После экспозиции алюминиевый слой был удален раствором гидрохлорной кислоты и деионизированной воды. Затем подложка подвергалась чередующейся термической обработке в воздушно-циркулярной печи (30 мин. при 110°С и 4 часа при 70°С ). Проявление было выполнено за 50 сек. с помощью проявляющего раствора ЛЯ 300-47/деионизированная вода (2/1). Для переноса профиля резиста на 8Ю2 было использовано пропорциональное реактивно-ионное травление в СИР3.
Существенного загрязнения в результате повторного осаждения продуктов травления не наблюдалось и желаемая глубина профиля может быть получена обычным способом с точностью 30 нм (не хуже 2.5%).
ö
На рис. 4 приведен пример профиля дифракционной поверхности, полученного в результате экспозиции в резисте X АЯ-М 7700 и пропорционального травления в 8Ю2. Элемент имеет 16 уровней и размер пиксела 2.5 мкм х 2.5 мкм.
набора мод в плоскости диафрагмы. Для этого убиралась часть оптической схемы, которая обведена пунктирной линией.
ш^Ш1
Рис. 5. Оптическая схема экспериментальной установки.
На рис. 6 показаны экспериментальные результаты по формированию 9-ти мод Гаусса-Лагерра с номерами (п,т): (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2) в различных дифракционных порядках.
Рис. 4. Пример 16-уровневого профиля дифракционной поверхности, полученного в результате экспозиции в резисте X АК^ 7700 и пропорционального травления в БЮ2.
4. Эксперимент Для проверки ДОЭ формирующих пучки Гаус-са-Лагерра в различных дифракционных порядках был проведен ряд натурных экспериментов. Оптическая схема экспериментальной установки приведена на рис. 5. Здесь Ь - Не-№ лазер, К - коллиматор, ^ - ДОЭ, Ь1 - первая линза, Б - диафрагма, Ь2 - вторая линза, ТУ - телекамера, РС - компьютер.
С помощью коллиматора К формируется плоский пучок, который попадает на ДОЭ - К После ДОЭ в Фурье-плоскости первой линзы формируется набор пространственно разделенных мод. Диафрагма Б вырезает из набора одну моду, затем вторая линза формирует ее Фурье-образ, который вводится в компьютер через телекамеру. В ходе эксперимента также осуществлялась регистрация всего
2) © э
э э
э § О
Рис. 6. Экспериментально зарегистрированное
распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы для 9-канального фильтра (для лучшей видимости составлено из фрагментов).
На рис. 7а,в,д,ж показаны более крупным планом экспериментально зарегистрированные порядки, соответствующие модам (1,0), (1,1), (2,1), (3,0), а на рис. 7б,г,е,з приведены их Фурье-спектры. Видно, что сформированные пучки сохраняют свою структуру, проявляя модовый характер.
б
Рис. 7. Дифракционные порядки, соответствующие модам (1,0) (а), (1,1) (в), (2,1) (д), (3,0) (ж) в 9-канальном фильтре, и их Фурье-спектры (б, г, е, з).
г
е
з
На рис. 8 показаны результаты по формированию 24-х модовых пучков Гаусса-Лагерра, представляющих собой групповые моды, инвариантные к преобразованию Фурье, с номерами (п,±т): (0,0), (1,0), (1,1)+(1,-1), (2,0), (2,1)+(2,-1), (2,2)+(2,-2),
(3.0), (3,1)+(3,-1), (3,2)+(3,-2), (3,3)+(3,-3), (4,0),
(4.1)+(4,-1), (4,2)+(4,-2), (4,3)+(4,-3), (4,4)+(4,-4), (5,0), (5,1)+(5,-1), (5,2)+(5,-2), (5,3)+(5,-3), (5,4)+(5,-4), (5,5)+(5,-5), (6,0), (6,1)+(6,-1), (6,2)+(6,-2) в различных дифракционных порядках.
На рис. 9а,в,д,ж показаны более крупным планом экспериментально зарегистрированные порядки, соответствующие композициям мод (2,0), (2,2)+(2,-2), (4,4)+(4,-4), (5,1)+(5,-1), а на рис. 6б,г,е,з приведены их Фурье-спектры. Видно, что сформированные пучки сохраняют свою структуру, проявляя модовый характер.
I ♦ И
H
- ^^^ » p-
4 i > 4 > И
Щ > и it
•
ш • • $4
Рис. 8. Экспериментально зарегистрированное распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы для 24-канального фильтра.
ж
(N
б г е з
Рис. 9. Дифракционные порядки, соответствующие пучкам (2,0) (а), (2,2)+(2,-2) (в), (4,4) + (4,-4) (д), (5,1)+(5,-1) (ж) в 24-канальном фильтре, и их Фурье-спектры (б, г, е, з).
ты:
Заключение
В данной работе получены следующие результа-
• рассчитаны и изготовлены методом прямой записи электронным пучком на стекле фазовые 64-градационные ДОЭ, формирующие с эффективностью около 90% одновременно 9 и 24 разных пучков Гаусса-Лагерра, распространяющихся под заданными углами к оптической оси;
• экспериментально показано, что пучки сохраняют свою структуру в Фурье-плоскости (в дальней зоне), то есть действительно являются модами свободного пространства.
Благодарность
Данная работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (.№98-01-00894, 9901-39012).
Литература
1. Soifer V.A., Golub M.A. Laser beam mode selection by computer generated holograms, CRC Press, Boca Raton, U.S., 1994.
2. Soifer V.A., Kotlyar V.V., Doskolovich L.L. Itera-
tive methods for diffractive optical elements computation, Taylor & Francis, London, 1997.
3. Kotlyar V.V., Khonina S.N., and Soifer V.A., Light
field decomposition in angular harmonics by means of diffractive optics, Journal of Modern Optics, v.45, No.7, pp.1495-1506 (1998)
4. Khonina S.N., Kotlyar V.V., and Soifer V.A., Dif-
fraction optical elements matched to the Gauss-Laguerre modes, Optics and Spectroscopy, vol.85, No.4, pp.636-644 (1998)
a
в
д
