CC BY
32
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 361-363
361
УДК 531.391
ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ СВЯЗКИ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАНЕТ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ МАССИВНОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ
© 2011 г. Л. С. Шатина
Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова
l_shatina@mail.ru
Поступила в редакцию 16.05.2011
Исследуется эволюция поступательно-вращательного движения двойной планеты в гравитационном поле вязкоупругой планеты много большей массы. Предполагается, что расстояние между центром масс притягивающей планеты и центром масс системы двух планет много больше расстояния между центрами масс планет, составляющих двойную планету. Все планеты, входящие в рассматриваемую механическую систему, моделируются однородными изотропными телами, занимающими шаровые области в естественном недеформированном состоянии. Рассмотрен пример двойной планеты Земля-Луна в гравитационном поле Солнца.
Ключевые слова: вязкоупругое тело, эволюция поступательно-вращательного движения, двойная планета, уравнения Рауса.
7-й планетой, к соответствующей системе осей Кенига (7 = 1, 2, 3).
Ограничимся рассмотрением частного случая движения системы, когда центры масс планет движутся в неподвижной плоскости ОХУ, а векторы угловых скоростей планет направлены по нормали к этой плоскости. В этом случае векторы угловых скоростей планет равны ®7 = = ф7е3, где е3 - орт оси ОХ, ф7 - угол между
осями
^Гих'1 )(і = 1, 2, 3).
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о движении двойной планеты в гравитационном поле планеты большей массы. Планеты будем моделировать вязкоупругими телами с массами т1 , т2 , т3 и плотностями р1 , р2 , р3 занимающими в естественном недеформированном состоянии области Уі =
= {г є Е3:| г | < гі0} (/ = 1, 2, 3) в трехмерном евклидовом пространстве. Предполагается, что т 3 << т2 << т
Введем инерциальную систему координат ОХУХ с началом в центре масс системы.
Обозначим через С1 центр масс планеты с массой т1 , через С — центр масс связки двух планет.
Взаимное расположение планет будем определять векторами Я1 = С1С и Я2 = С2С3, | Я2 | <<
<< | Я | . Для описания вращательного движения /-й планеты введем подвижную систему координат Сіх(1'))х3г) и систему осей Кенига С£П$^) (і = 1, 2, 3).
Радиусы-векторы произвольных точек Мі , принадлежащих і-й планете, запишутся в виде:
к м 1 =-((т2 + т^/м )Я 1 + ГДг + иД
Я м 2 = (т1 /М )Я1 - (т3 /(т2 + т3 ))Я2 + Г2 (г2 + и2),
Я м 3 = (т1 /М )Я1 + (т2/(т2 + т,))К 2+Г3(г3+^),
гдеМ = т1 + т2 + т3 , иг- = (и(г),),и^)) — вектор упругого смещения і-й планетні, Г — оператор перехода от подвижной системы координат поступательно-вращательного движения системы,
а лагранжевы переменные и ()(гі, ґ) (і, ] = 1, 2, 3)
Кинетическая энергия системы представляется функционалом
Т=( т1 (т2 +т3 )/2М )К2 +(т2т3 /2(т2 +т3 ))Я 2 +
1 3
+ 2 (®7 Х (Г7 + и7 ) + И 7 )2Р7^^7 ,
2 7=1 V
потенциальная энергия внешних гравитационных полей равна
3 - * /Р7'Р 1
п=- Т И]
г.] =1,г<] УіУі 1
где /— универсальная гравитационная постоянная, а потенциальная энергия упругих деформаций соответствует линейной теории упругости. Для функционала внутренних диссипативных сил принимается модель Кельвина—Фойгта.
Уравнения движения рассматриваемой механической системы выписываются в форме уравнений Рауса, причем канонические переменные Андуайе—Делоне используются для описания
Сіх1(!)х<‘)х3 ^ интегральным образом связанной с
362
Л.С. Шатина
- для описания деформаций.
2. Эволюционная система уравнений
Предположим, что жесткости вязкоупругих планет велики, и введем малые параметры е7- , обратно пропорциональные модулям Юнга. Методом разделения движений и усреднения [1] получим приближенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в переменных Делоне, описывающую эволюцию поступательно-вращательного движения рассматриваемой системы. Используя полученную эволюционную систему уравнений, можно получить замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно величин Ю7 (7 = 1, 2, 3), П7 , е (7 = 1, 2), (Ю7 - угловая скорость 7-й планеты; п1 - среднее орбитальное движение центра масс двойной планеты относительно массивной планеты; п2 - среднее орбитальное движение конца вектора И2 относительно центра масс второй планеты; е1, е2 - эксцентриситеты соответствующих орбит):
& = 27(т2 + т3)2 тАе«;
27т2Д 2
28пМ \ т';д,т
28пг2
27т3Д3
28пг30
81т1
М
т12^
+
т3&
2п0)
®3
М2
+
2/3 I <-5/3
70л/ 23М
(т2 + т3 )2
т ^
(т2 + т3)2
(1)
(т2 + т3)Г10 Д1^П,) +
+
т2г20Д.
+
2 20 2 т2 + т3
27т1
70п/ 2/3М5/3
т3г30Д3
т2 + т3
о
(т2 + т3)Г10Д1ее11) +
+ т2Г20Д2 е(2) + т3Г30Д3 О (3) ^ 11
т2 + т3
81т2т3
т2 + т3
/
70п/ 2/3(т2 + т3)
(г Д О(2) + г Д О(3)У
5/3 '*'20ЛЛ2^п2 Т/30ЛЛ3^п2
27т2т3
70п/ 2/3(т2 + т3)
)(2)
е2
5ТГ(Г20Д 2°е2) + Г30Д3°е2))
(3))
где
П 4
О“ = 71 1 (е/ ) - “. (‘ - е; )3'2 ^(е! )1.
(1 - е 1 )
1
16/3
ОЩ) = (| \»/2 )-Ш1 (1-<)« )},
(1 - е )
п13/3е
О/ = (1 7 фг{пЛ(е,) -Ш1 О-е2)"2 ^(е)},
(1 -е )
3
= 1 + 3е2 + -е4,
8
т—г / \ л 15 2 45 4 5 6
Л(е) = 1 + — е2 +—е4 +— е6,
2 2 8 16
31 2 255 4 185 6 25 8
К(е) = 1 +—е +---------------е +--------е +—е ,
3 2 8 16 64
135 2 135 4 45 6
Р,(е) = 9 +--------е +------е +— е ,
4 4 8 64
ч 11 33 2 11 4
*5(е) =-------------------------1-е +-е ,
Д7 =
2 4 16
£7X7 (1 + У7 )(9у7 + 13)
5у7. + 7
V7 - коэффициент Пуассона, %7 > 0 - коэффициент внутреннего вязкого трения 7-й планеты.
Расчет коэффициентов уравнений для системы Солнце-Земля-Луна позволяет сделать вывод, что эволюция движения центра масс двойной планеты определяется слагаемым, вызванным протяженностью и нежесткостью массивного тела, а в эволюцию вращательного движения Луны главный вклад вносит слагаемое, связанное с эксцентричностью ее орбиты относительно Земли.
Список литературы
1. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: МГУ, 1997. Ч. 1. 216 с.; Ч. 2. 160 с.
2. Приливы и резонансы в Солнечной системе: Сб. статей / Под ред. В.Н. Жаркова. М.: Мир, 1975.
3. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975.
4. Марков Ю.Г., Миняев И.С. // Астрономический вестник. 1994. Т 28, №2. С. 59-72.
5. Вильке В.Г., Шатина А.В. // Космические исследования. 2001. Т. 39, №3. С. 316-323.
СО
СО 3 =
п1 _
е1 =
пО2
еО2
THE EVOLUTION OF MOTION OF A DOUBLE PLANET IN THE GRAVITATIONAL FORCE FIELD
OF A MASSIVE VISCOELASTIC PLANET
L.S. Shatina
The paper investigates the evolution of translational-rotational motion of a double planet in the gravitational force field of a much heavier planet. It is assumed, that the distance between the center of mass of the attracting planet is much larger than the distance between the centers of mass of the two planets forming the double planet. All of the planets in the system are modeled as homogeneous isotropic bodies, occupying spherical regions in their non-deformed state. As an example, the double Earth-Moon in the Sun's gravitational force field is considered.
Keywords: viscoelastic body, evolution of motion, Delaunay variables, double planet, Routh equations.
