Электронно-фотонные каскады в разных средах в области сверхвысоких энергий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.171

ЭЛЕКТРОННО-ФОТОННЫЕ КАСКАДЫ В РАЗНЫХ СРЕДАХ В ОБЛАСТИ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

JI. Г. Д еден ко, Т. М. Роганова, Г. Ф. Федорова, Д. А. Подгрудков, Г. П. Шозиёев

(.кафедра общей физики; НИИЯФ) E-mail: ddn@decl.sinp.msu.ru

Предложена численная схема для решения одномерных уравнений переноса электронов и фотонов в области сверхвысоких энергий. Тестирование предложенной схемы по известным кодам EGS4 и GEANT4 показало, что погрешности расчетов не превышают нескольких процентов и существенно меньше, чем дает каскадная теория в приближении А. Схема может использоваться для решения различных проблем физики космических лучей и нейтринной астрономии в области сверхвысоких энергий.

Введение

Давно предсказанное резкое уменьшение потока протонов и ядер первичного космического излучения (ПКИ) в области энергий больших или равных 5- Ю10 ГэВ из-за их взаимодействий с реликтовыми фотонами — эффект Грейзена-Зацепина-Кузьмина (ГЗК) [1,2]— характерная особенность энергетического спектра этих частиц в рамках стандартной модели (СМ) [3]. Возможные отклонения от этой особенности — это серьезный повод для ревизии СМ. В настоящее время некоторые наблюдения широких атмосферных ливней (ШАЛ) в области энергий, больших или равных Ю20 эВ, при ограниченной статистике наблюденных событий не согласуются с этой предсказанной особенностью энергетического спектра [4, 5], а в эксперименте [6] сделан вывод о наблюдении эффекта ГЗК. Новая установка по регистрации ШАЛ сверхвысоких энергий Auger Observatory [7] площадью 3000 км2 позволит получить хорошую статистику ливней с энергией больше Ю10 ГэВ.

Корректная интерпретация результатов измерений (сигналов в ецинтилляционных детекторах [4, 5], в флуоресцентных телескопах [6, 7] и водяных баках [7]) — важный элемент в решении проблемы ГЗК. Она зависит от точности решения задачи транспорта сотен миллиардов частиц в атмосфере Земли (или других средах, если рассматриваются проблемы нейтринной астрономии). Для решения этих задач транспорта были предложены различные методы [8-10]. Нам представляется, что метод одномерных уравнений переноса в рамках схемы [9, 10] обеспечивает решение проблемы транспорта частиц с достаточной точностью. В настоящей работе рассматривается транспорт электронов и фотонов в разных средах (атмосфере Земли и воде) в области сверхвысоких энергий. Предлагаемый метод одномерных уравнений переноса позволяет на много порядков сократить время вычислений по сравне-

нию с методом Монте-Карло и уменьшить ошибку вычислений по сравнению с методами каскадной теории [11-14].

1. Численная схема решения системы одномерных уравнений переноса для электронов и фотонов

Как хорошо известно (см., напр., [11-14]), система одномерных уравнений переноса для электронов и фотонов с учетом ионизационных потерь имеет следующий вид (в приближении Б каскадной теории):

at

dG(E, t) dt

дЕ

P(E',t)Wbe(E',E)dE' ■ G{E', t)Wp(E',E) dE', ¡i-GÍE. /) + S- ('£. /) + P(E',t)WME',E)dE',

(1)

где P(E, t)dEdt и G(E, t)dEdt — числа электронов и фотонов соответственно в интервале энергий Е.Е + dE и интервале глубин в атмосфере t,t + dt; Se(E,t), S1(E,t) — функции источника электронов и фотонов; jJLg И — коэффициенты поглощения соответственно электронов и фотонов; W£(E',E)dE и lt:*j. ('£'. E)dE — вероятности образования соответственно электрона и фотона с энергией Е в результате тормозного излучения электрона с энергией Е'; Wp(E',E)dE — вероятность образования электрона (позитрона) с энергией Е в результате образования пары фотоном; величина ¡3 характеризует ионизационные потери; глубина t измеряется в радиационных единицах. В приближении полного экранирования вероятности процессов тормозного

излучения и генерации пар аппроксимируются следующими известными функциями [11]:

Шье(Е>,Е)='фь(\-и)/Е>,

где фь(и) = (1 + (1 - о)2 - (1 - о)(2/3 - 26))/о; о = £/£'; 6= 1/(181п(1912^1/3)); г - заряд ядра и

Шре(Е',Е) = 2фр(и)/Е>,

где фр(и) = и2 + (1 - о)2+ о(1 -о)(2/3-26).

Будем решать систему уравнений (1) в приближении обрезания сечения тормозного излучения на величине ьт-т = е (б<С 1; в расчете принималось значение 6 = 5- 10^5). В этом случае коэффициент поглощения как и будет конечен. Значения этих коэффициентов равны

Це ■

4

3+26

(1пе + 1 -е) + (1 — £ )/2,

(2)

_1_ь

(Ь- д- д.

Если предположить, что на глубине ^ имеется фотон с энергией £о> то соответствующие граничные условия будут иметь вид

ЫЕ, к) = О,

в1{Е,и) = 8{Е-ЕоШ).

Решать систему интегродифференциальных уравнений (1) с граничными условиями (2), представленными ¿-функциями, численными методами нельзя. Поэтому было предложено [15] заменить условия (2) нулевыми:

т,и) = 0, =0 (3)

и считать, что имеется функция источника электронов 8е(Е,1), которая определяется как аналитическое решение уравнения (1) с условиями (2) для электронов первого поколения от фотона с энергией £о- Эту функцию можно записать в следующем виде:

Зе(Е, 0 = 2фр{у) ехр(-/^№- (4)

Для решения системы уравнений (1) с граничными условиями (3) и заданной функцией источника (4) в пренебрежении ионизационными потерями (/? = 0) можно использовать схему вычислений, основанную на следующем интегральном представлении системы (1):

Р(Е, 0 = ЫЕ, и) ехр(-цеЦ - и)) +

г

¿£ехр_ 0)(Зе(Е,0+Ае+Ве),

0{Е, 0 = и) ехр(-/^(* - и))

¿Сехр(-/х7(^ - 0)(57(£, 0 + С7

(5)

где использованы обозначения:

Ео

с1Е'Р(Е',0Щ (Е',Е),

Е/( 1-е)

Е0

Ае —

Ве =

йЕ' в{Е',§Ш{Е',Е),

С^ —

(1Е' Р(Е'.вЩ~{Е'.Е). Ее = тт(Е0,Е/е).

При выводе (5) предполагалось, что решение Р и С на глубине ^ известно, т.е. функции Р^Е,и) и определены. Это не является

ограничением, так как на глубине ^ = 0 эти функции действительно известны (задаются нулевыми граничными условиями (3)) и процесс вычислений построен таким образом, что значения функций на глубине I интерпретируются как граничные значения для глубины 1 + 2^, где /гг — шаг по глубине. Рассмотрим процесс итераций на примере уравнения для электронов. Сначала вычислялось первое слагаемое формулы (5), которое, очевидно, интерпретируется как нулевое поколение:

(6)

Затем последовательно вычислялись первые поколения от функции источника и от нулевого:

Р\и(Е,Ц =

Р\о(Е, 0 =

(7)

х

Р0ШьейЕ'

С0 Шрес1Е' .

После вычисления суммы

Р1(Е,0 = Р1и(Е,0+Рю(Е,0 рассчитывалось второе поколение

г

(8) (9)

Р2(ЕЛ) =

с1£ехр(-М*-0) х

Р\ Шье йЕ'

О] Шре йЕ'

(10)

Наконец, определялась последняя, третья, итерация для Р3 и и находился результат:

Р(Е. /) - Ри + Р, + Я

¿£ехр(-[Ле^-0) X

X

Р2ШьеёЕ'-

С2ШреёЕ'

(11)

Квадратуры по глубине вычислялись методом Симпсона, а по энергии для переменной у = \п(Е/\ ГэВ) интегрирование выполнялось с весовой функцией, отражающей особенности сечения тормозного излучения. Максимальная величина у определялась энергией фотона Ее > а минимальная — пороговой энергией Е^Т. Процесс итераций быстро сходящийся.

В описанной выше схеме вычислений нигде не использовался конкретный вид функций я Шр, кроме как для иллюстрации того факта, что коэффициенты поглощения це и постоянны. В общем случае вероятности процессов тормозного излучения и генерации пар не описываются известными асимптотическими формулами для случая полного экранирования, а задаются более сложными выражениями, например, учитывающими эффект Лан-дау-Померанчука [16], и определяются сечениями Мигдала [17]. Поэтому коэффициенты поглощения будут функциями энергии, а в атмосфере — и глубины. В общем случае произвольных сечений для физических процессов и с учетом ионизационных потерь энергии (/3^0) интегральное представление (5) изменится следующим образом:

Р(Е,{)=Р1(Е + №-и),и)ы р

с1£це(Е{)

й£ ехр

сИ>/ле(Е + ^ - х

х(8е(Е^,0+Ае + Ве 0 = Ъ(Е, и) ехр- и)) -

(12)

¿£ехр- 0)(57(£, 0 + С7),

где использованы те же обозначения для

что и в (5); Е^ = Е + ¡3(1 — £), но функции ,

определяются в соответствии с новыми сечениями.

Далее схема вычислений строится в соответствии с этапами (6)-(11) и учетом особенностей интегрального представления (12). Нулевое поколение будет определяться как

Р0(Е,{)=Р1(Е+№-и),и)ы р

<1&еЩ . (13)

Первые поколения от функции источника и от

нулевого поколения будут равны

Р\и(Е,П =

Р\о(Е> 0 =

сI£ехр

<Н'це{Е + №-?))уе{Е,:,§,

(14)

й£ ехр

Р^епйЕ'

йЕ'

Сумма

Р1(Е,1) = Ры(Е,1)+Р1о(Е,1) определяет второе поколение

I , I

(15)

(16)

р2(Е, о =

сI£ехр

сИ'/ле(Е + (ЗУ - ) х

Р^ьейЕ'

01ТГ/ йЕ'

(17)

Последняя итерация, как и выше, определяет третье поколение, а сумма всех поколений — результат:

Р(Е,1)=Р0+Р1+Р2 +

сI£ехр

(О1 це(Е + рЦ-?))]х

Р2Ш^С1Е>

02

(18)

При оценке (18) используется сумма определенных ранее поколений. Квадратуры по переменной £ вычисляются методом Симпсона, а по у = \п(Е/\ ГэВ) — с использованием весовой функции. Полученными формулами можно пользоваться для расчетов электронно-фотонных каскадов и в случае, когда необходимо учитывать точные выражения для сечений физических процессов. Предложенный метод расчета позволяет учесть и другие физические процессы, например эффект Комптона, а также эффект Ландау-Померанчука с сечениями Мигдала в воздухе и в воде. В случае среды постоянной плотности применение формул (13)—(18) не вызывает трудностей. В случае атмосферы сечения процессов [17], а следовательно, и коэффициенты поглощения це и зависят от глубины I. Поэтому все сечения и коэффициенты поглощения в этом случае необходимо рассчитывать после каждого шага по глубине, что очень сильно замедляет процесс вычислений. Результаты расчетов контролировались дополнительными вычислениями, которые проводились методом Монте-Карло. Приведенная выше схема вычислений была использована также для расчета угловых и пространственных моментов [18].

2. Результаты расчета и выводы

Метод одномерных уравнений переноса применим в области энергий, где кулоновское рассеяние мало. Так как энергия рассеяния Es = 21 МэВ, то мы выбрали пороговую энергию Et^T = 10 ГэВ. На рис. 1 приведены рассчитанные нами в зависимости от глубины потоки фотонов (сплошные линии) и электронов (пунктирные линии) с энергиями выше пороговой в каскадах от первичного фотона с энергиями 104, 105, 106 и 107 ГэВ (кривые 1-4 соответственно). На этом же рисунке

Ne(t),Ny(t) Ю5е-

О 200 400 600 800 1000 t, г/см2

Рис. 1. Каскадные кривые для фотонов (сплошные линии) и электронов (пунктирные линии) с пороговой энергией 10 ГэВ. Сплошные квадраты [11], кружки [19], треугольники [20] для фотонов, полые фигуры — для электронов. Энергии первичного фотона: кривая / — 101 ГэВ, кривая 2 — Ю5 ГэВ, кривая 3 — Юь ГэВ и кривая 4 — Ю7 ГэВ

для сравнения приведены результаты, полученные нами в рамках приближения А каскадной теории (квадратики) и рассчитанные по кодам EGS4 [19] (кружки) и GEANT4 [20] (треугольники). Сплошные фигуры — результаты для фотонов, а полые — для электронов. Видно, что в пределах нескольких процентов все результаты согласуются. Однако наша схема (18) позволяет учесть зависимость сечений от энергии. На рис. 2 приведены энергетические спектры электронов на глубинах в атмосфере 5, 15, 22 и 28 каскадных единиц (кривые 1-4 соответственно), рассчитанные в ливне от первичного фотона с энергией 107 ГэВ как без учета ионизационных потерь (сплошные линии), так и с их учетом и с точными сечениями [21]. Видно, что в районе максимума различие в спектрах не более нескольких процентов. Отметим, что недавно появилась очень интересная работа [22], в которой также используются точные сечения процессов и расчеты

^ (Е/1 ГэВ)

Рис. 2. Энергетические спектры электронов на различных глубинах в атмосфере в ливне от первичного фотона с энергией 10' ГэВ. Сплошные линии — без учета ионизационных потерь; пунктирные линии — с их учетом и точными сечениями [21]. Кривая / — 5 каскадных единиц, кривая 2 — 15 каскадных единиц, кривая 3 — 22 каскадные единицы и кривая 4 — 28 каскадных единиц

проводятся в одномерном приближении. В случае сечений Мигдала [17] флуктуации в развитии каскадов велики, и поэтому сначала надо использовать метод Монте-Карло, а затем — уравнения переноса [9, 10] или некоторые аппроксимации. На рис. 3 приведены индивидуальные каскадные кривые для электронов с энергией больше нуля (сплошные линии) в атмосфере от первичного фотона с энергией 10й ГэВ. Для расчета использовались разработанный нами метод Монте-Карло и аппроксимация Ни-шимуры-Каматы-Грейзена [23] для энергий ниже пороговой (£\нг = 108 ГэВ). Темные кружки — это результат усреднения индивидуальных каскадных кривых, а звездочки — аппроксимация [23]. Видно, что флуктуации очень велики и поэтому средняя каскадная кривая плохо отражает особенности процессов. Для проверки нашего метода Монте-Карло было проведено моделирование по коду СЕА1МТ4 для воды с сечениями Мигдала [17]. На рис. 4 приведены каскадные кривые для фотонов (сплошные линии) и электронов (пунктирные линии) с энергиями выше пороговой Ехьг = Ю ГэВ для воды в ливнях от первичных фотонов с энергиями 105, 106 и 107 ГэВ (кривые 1-3 соответственно). Результаты расчета по коду СЕА1МТ4 показаны сплошными (для фотонов) и полыми (для электронов) треугольниками. В пределах статистики видно хорошее согласие. На рис. 5 приведена динамика баланса энергий в электронно-фотонном ливне в атмосфере от первичного фотона с энергией Ее = Ю10 ГэВ

£+ь,= 10 ГэВ

г/см2

1п-2 -1-1-1-1-1-

О 200 400 600 800 1000 и г/см2

Рис. 3. Индивидуальные каскадные кривые (сплошные линии) для полного числа частиц в атмосфере в ливне от первичного фотона с энергией 10й ГэВ с учетом эффекта ЛПМ. Кружки — усредненная по 100 индивидуальным ливням каскадная кривая, звездочки — аппроксимация [23]

и пороговой энергией = 10 ГэВ. Кривая / показывает динамику уменьшения энергии первичного фотона (в долях Ее). Кривые 2 и 3 — это энергии электронов и фотонов. Кривая 5 — это сумма кривых 2 и 3. Кривая 4 показывает потери энергии, т.е. переход энергии к частицам с энергией ниже пороговой. Кривая 6 — это сумма всех кривых, т.е.

полный баланс энергий. Видно, что в огромном диапазоне энергий (8 порядков) и глубин (35 каскадных единиц) погрешность решения составляет несколько процентов. Для сравнения приведены результаты каскадной теории (кривые 2', 3' и 5'). В области применимости согласие составляет несколько процентов. При меньших глубинах погрешность возрас-

Рис. 4. Каскадные кривые для фотонов (сплошные линии) и электронов (пунктирные линии) с пороговой энергией 10 ГэВ в воде с учетом эффекта ЛПМ. Сплошные и полые треугольники — данные для фотонов и электронов соответственно [20]. Энергия первичного фотона: кривая 1 — 105 ГэВ, кривая 2 — 10ь ГэВ и кривая 3—10' ГэВ

1000 ?,г/см2

Рис. 5. Динамика баланса энергий с глубиной в долях энергии £о первичного фотона в атмосфере. Кривая 1 — энергия первичного фотона, кривая 2 — энергия вторичных электронов, кривая 3 — энергия вторичных фотонов, кривая 4 — энергия вторичных электронов и фотонов за порогом 10 ГэВ, кривая 5 — сумма кривых 2 и 3, кривая 6 — общая сумма. Кривые 2', 3' и 5' — результаты каскадной теории в приближении А

Поток энергии/Ед 1,0| —

тает. Следует обратить внимание на плато в потоках энергии электронов и фотонов в интервале глубин между 200 и 400 г/см2. Это плато должно появляться, поскольку на основании закона сохранения энергии существенных поступлений или потерь энергии в электронно-фотонном каскаде в этом интервале глубин нет (см. кривые / и 4). Интересно отметить, что отношение энергий фотонов и электронов совпадает с отношением коэффициентов Н^б) и Н^б) каскадной теории при значении параметра 5=1, которые равны 0.567 и 0.433 [11]. Наконец, для оценки влияния параметра е на рис. 6 приведены результаты расчетов каскадных кривых для ливня от первичного фотона с энергией Ее = Ю10 ГэВ для значений параметра е = 0.5 • 10^4, е = 0.5 • 10^3 и е = 0.5 • 10^2. Видно, что выбранное значение 6 = 0.5-10^4 является хорошим приближением.

Ne{t) -

з-ю6 -

2-Ю6 -

1-Ю6 -

0 ' '

О 10 20 Г, рад. ед.

Рис. 6. Каскадные кривые для ливней от фотона с энергией 10ш ГэВ для значений параметра е, равных 0.5- Ю-1 (кривая /), 0.5- Ю-3 (кривая 2) и 0.5- Ю-2 (кривая 3)

Таким образом, разработаны алгоритм и программы моделирования электронно-фотонных каскадов в разных средах в области сверхвысоких энергий. Разработанные методы применимы для огромной области значений переменных и точных выражений для сечений физических процессов. Эти методы позволят успешно решать проблемы интерпретации сигналов разных детекторов в различных средах и могут быть полезными при решении проблемы ГЗК, для тестирования СМ, исследования энергетического спектра ПКИ и нейтринной астрономии.

Авторы выражают глубокую признательность

Г.Т. Зацепину за ценные замечания. Работа выполнена при финансовой поддержке программы

«Ведущие научные школы>> (грант НШ-959.2008.2)

и РФФИ (грант 07-02-01212).

Литература

1. Greizen К. // Phys. Rev. Lett. 1966. 16. P. 748.

2. Зацепин Г.Т., Кузьмин В.А. // Письма в ЖЭТФ. 1966. 4. С. 78.

3. Любимов А., Киш Д. Введение в экспериментальную физику частиц. М., 2001.

4. Pravdin M.I., Glushkou A.V., Ivanov A.A. et al. 11 Proc. of the 29th ICRC. 2005. Pune, India. 7. P. 243.

5. Shinozaki K., Chikama M., Fukushima M. et al. 11 As-trophys. J. 2002. LI 17. P. 571.

6. Bergman D.R. for the HiRes Collab. // Proc. of the 29th ICRC. 2005. Pune, India. 7. P. 315.

7. Watson A. 11 CERN Courier. 2006. 46, N 6. P. 12.

8. Hillas A.M. 11 Proc. of the 17th ICRC. 1981. Paris. 6. P. 244.

9. Dedenko L.G., Fedorova G.F., Fedunin E.Yu. et al. 11 Nucl. Phys. B. (Proc. Suppl.). 2004. 136. P. 12.

10. Dedenko L.G., Fedorova G.F., Fedunin E.Yu. et al. 11 Nucl. Phys. B. (Proc. Suppl.). 2006. 151. P. 19.

11. Росси Б. Частицы больших энергий. M., 1955.

12. Беленький С.З. Лавинные процессы в космических лучах. М., 1948.

13. Иваненко И.П. Электромагнитные каскадные процессы. М., 1972.

14. Nishimura /. Theory of cascade showers. Handbuch der Physik B. Springer, 1967.

15. Dedenko L.G. 11 Proc. of the 15th ICRC. 1977. Plovdiv. 8. P. 470.

16. Ландау Л.Д., Померанчук И.Я. 11 Докл. АН СССР. 1953. 92, № 3. С. 535.

17. Migdal А.В. // Phys. Rev. 1956. 103, N 6. P. 1811.

18. Деденко Л.Г., Коломацкий С.Г., Миронович А.А. // Мат-лы Всесюз. конф. по косм, лучам. Алма-Ата, 1989. Ч. 2. С. 3.

19. The GEANT4 Collab. http://wwwinfo.cern.ch/asd/ geant4.html.

20. Nelsen W.R., Hirayama H., Rogers D.W.O. et al. 11 The EGS4 code system. SLAC. 1985. P. 256.

21. Деденко Л.Г., Железных И.М., Коломацкий С.Г. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1989. 53, № 2. С. 350.

22. Bergman Т., Engel R., Heck D. et al. 11 Astropart. Phys. 2007. 26. C. 420.

23. Грейзен К. 11 Физика косм, лучей. M., 1958. 3. С. 3.

Поступила в редакцию 28.06.2007