CC BY
16
Ю.В. Батыгин, А.В. Гнатов, Щ.В. Аргун, Е.Ф. Еремина
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИММЕТРИЧНЫХ ИНДУКЦИОННЫХ СИСТЕМАХ С ИДЕНТИЧНЫМИ ФЕРРОМАГНИТНЫМИ ТОНКОСТЕННЫМИ ЭКРАНОМ И ЛИСТОВОЙ ЗАГОТОВКОЙ
Стаття присвячена дослідженню симетричної індукційної індукторної системи з ідентичними феромагнітними тонкостінними екраном і листовою заготівкою. Отримані основні аналітичні залежності для розрахунку основних електродинамічних характеристик - компонент вектора електромагнітного поля, що порушується в металі феромагнітних екрану і листової заготівки для симетричноїіндукційноїіндукторноїсистеми.
Статья посвящена исследованию симметричной индукционной индукторной системи с идентичными ферромагнитными тонкостенными экраном и листовой заготовкой. Получены основные аналитические зависимости для расчета основных электродинамических характеристик - компонент вектора электромагнитного поля, возбуждаемого в металле ферромагнитных экрана и листовой заготовки для симметричной индукционной индукторной системы.
ВВЕДЕНИЕ Постановка проблемы. На современном этапе технического развития практическое использование энергии импульсных электромагнитных полей открывает большие перспективы для создания и внедрения прогрессивных технологий, основанных на обработке материалов любой физической природы. Особенный интерес представляют системы и устройства, позволяющие производить обработку ферромагнитных металлов. К таким системам, в частности, относятся некоторые разновидности индукционных индукторных систем (ИИС).
Анализ основных достижений и публикаций. На данный момент в лаборатории электромагнитных технологий ХНАДУ разработано несколько видов ИИС, которые требуют проведения дополнительных как аналитических, так и экспериментальных исследований [1-4]. Особенно это относится к симметричным индукторным системам, т.к. конструктивная и электродинамическая симметрия приводит к более эффективному электромагнитному воздействию данной конструкции инструментов на объект обработки [5].
Цель настоящей работы - получение основных зависимостей для расчёта электродинамических характеристик в симметричной индукционной системе с идентичными ферромагнитными тонкостенными экраном и листовой заготовкой.
РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Практическая работоспособность индукционной индукторной системы определяется, собственно, её геометрией, электрофизическими, геометрическими характеристиками экрана и заготовки, а также амплитудно-временными параметрами токового импульса в их взаимосвязи.
Для анализа электромагнитных процессов примем расчётную модель в цилиндрической системе координат, показанную на рис. 1 (ег, в9г вг - направляющие орты цилиндрической системы координат).
При решении задачи примем следующие допущения.
• Амплитудно-временные параметры тока индуктора /(/) таковы, что справедливо квазистационарное приближение по Ландау: (ю/с)7<<1, где а> - циклическая (радиальная) частота, с - скорость света в вакууме, I -
наибольший характерный размер системы [6, 7].
• Виток индуктора имеет цилиндрическую форму, а его толщина пренебрежимо мала, так что металл витка не оказывает никакого влияния на протекающие электромагнитные процессы.
• Имеет место аксиальная симметрия (с^бф=0, ф - азимутальный угол) и симметрия системы относительно плоскости витка индуктора (?=0).
• Экран и заготовка есть одинаковые листовые
металлы с довольно большими поперечными размерами, достаточно малой толщиной - ё, электропроводностью - у и абсолютной магнитной проницаемостью - ц=(хг-ц0 (^г - относительная магнитная проницаемость металла, - магнитная проницаемость ва-
куума), они расположены на одинаковом расстоянии от витка индуктора - И.
Рис. 1. Расчётная модель в цилиндрической системе координат, 1 - виток индуктора; 2 - экран; 3 - заготовка; К\ - внутренний радиус; К2- внешний радиус; ё - толщина; И - расстоянии от витка индуктора до экрана или заготовки
Уравнения Максвелла для возбуждаемых составляющих вектора электромагнитного поля (£ф^0, Нг>#0), преобразованных по Лапласу с учётом нулевых начальных условий, имеют вид (1)-(3) [6, 7]:
д Н г (р, г, г) д Н г (р, г, г)
д:
д
ді
= p, г, г);
- ( г •Е <p{p, г, 2)) = - ^0 • р ■Н I (p, г, 4
" о г * д Е _(p,г, 1)
5.
= ^0 • РН г (p, г, 1 \
(1)
(2)
(3)
где р - параметр преобразования Лапласа;
Е ф(p, ^', г) = <рг,
Н г, 2 (p, r,г) = Ь\И г, г ^ r,г)1
}ч>(P, гг) = 1{]у(1, г, г)).
В общем случае плотность тока в правой части уравнения (1) записывается в виде:
VP, гг) =(р -£0 +у) ■ Еч>(P, г, г) + (P,г,г), (4)
где ]у(р,г,2) - плотность стороннего тока в индукторе, )4р,г,2)= ](р)-^уъ(2), ](р)= 1(р)1(Я2-Я1); /(г) - функция радиального распределения тока в витке индуктора; 5(г) - дельта функция Дирака; е0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.
При решении поставленной задачи в принятой модели следует выделить области с однородными электрофизическими характеристиками.
Геометрическая и электродинамическая симметрия исследуемой системы в соответствии с рис. 1 позволяет считать, что таковыми являются:
а) пространство между металлическими листами ге[-И, И];
б) область металла идентичных экрана и заготовки, ге[И, (И+ё)];
в) свободное полупространство с внешней стороны металлических листов, ге[(И+ё),<»].
Решая дифференциальные уравнения (1)-(3) с учетом выражения (4) в рамках принятых допущений получим уравнения для азимутальной компоненты напряженности электрического поля Еу(р,г,х) в выделенных областях (5)-(7).
В пространстве между металлическими листами, ге[-И, И], получаем, что
д 2Еф{р, г, г) д( 1 5
д г
г дг
(5)
= мо ■ р ■ і <рі(p, г, г);
В металле экрана и заготовки, гє[к, (к+ё)].
д 2Еф{р, г, г) д( 1 5
д г
г дг
-(р■г-м)■ Еу (p,г,2) = 0. Вне системы, ге[(к+ё},<х)]. д 2 Е„ {р г і ^ я (
д г
г, г ) д_
2 дг
(6)
(7)
Условию ограниченности радиального распределения Еу(р,у,х) из уравнений (5)-(7) при г=0 и г=® удовлетворяет интегральное преобразование Фурье-Бесселя [8]:
Е<р{р,г,г)=|Еф(р,Я,г)-31 (Я-г)-Я-ёХ , (8)
0
где ё](Л т) - функция Бесселя первого порядка.
В соответствии с (8) уравнения (5)-(7) приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка:
а) в пространстве между металлическими листами, ге[-И, И]:
ё 2 Е „(рА г)
ёг‘
-Я 2• Е_(р,Я,г) = К(р,Я)-5(2), (9)
где к (р, Я) = ^0 • р ■ і (р) • / (^);
то
/(^) = | / (г) • J1 (я-г )• г • ёг,
б) в металле экрана и заготовки, гє[к, (к+ё)\.
ё 2 Е Ф(P, ^ 2)
---------2--------Ч (P,^)-Е
ёг 2
-- ч2(р,Я)-Е_(р,Я,г) = 0, (10)
где д(р,Я) = -^Я 2 + р■ /л-у - волновое число в металле с удельной электропроводностью - у и магнитной проницаемостью - д,
в) вне металла листовой заготовки, ге[(И+ё),<х)]:
ё 2 Е »(рА 2)
'У
ёг'
-Я 2-Е_(р,Я,2)= 0. (11)
Общие интегралы уравнений (9)-(11) для выделенных областей имеют вид [8]:
а) в пространстве между экраном и листовой заготовкой, ге[-И, И], условию симметрии относительно плоскости г=0 удовлетворяет функция:
Е^1 (р, Я, г) = С(р, Я) • сИ (Яг) +
К (р, Я)
я
•(7
Ь (г) • 8к (&) + 0.5 • е
-Ъ.
(12)
(13)
где С(р,Х) - произвольная постоянная интегрирования;
б) в металле экрана и заготовки, ге[к, (к+ё)\.
Е^ (р, Я, г) = Д (р, Я) • еч(рЛУ(г~к) +
+ В2(р, Я) • е~Ч(р,Х)'(2~к), где А,2(рД) произвольн^іе постоянн^іе интегрирования;
в) в пространстве вне системы, ге[(к+ё),да], условию ограниченности при г^х> удовлетворяет функция.
Е^3)(р, Я, г) = В(р, Я) • е_1(2~(к+ё)), (14)
где В(р,Х) - произвольная постоянная интегрирования.
Из уравнения (3) с помощью (12), (13) и (14) находим тангенциальную компоненту напряжённости магнитного поля. а) гє[-к, к],
Н® (р, Я, г) = ^ ■ (С(р, Я) 8И(Яг) + р^0
+ К (р,Я)
Я
(77 (г)сИ(Я(г) - 0,5е“Лі))]
(15)
б) гє[к, (к+ё)],
0
Н<2) (р, Я, г) = . (о1 (р, Я)е Ч(рД)(2~к)-
щл
,(16)
-Б2(р, Л)е~*(рД)(г~И))
в) ге[(И+ё),<х)],
Н(3) (р, Я, г) =------— • В (р, Я) • е_1(2_(И+ё)). (17)
р^0
Из условия непрерывности касательных компонент напряжённости электромагнитного поля на границах выделенных областей получаем системы алгебраических уравнений для определения неизвестных произвольных постоянных интегрирования в выражениях (12)-(17) [6, 7].
Для г=И,
С (р, Я) • сИ (ЛИ) + К(р,Я) • еЯИ =
2Л
= А( р,Л) + ^( р,Я);
С (р,Я)• ъЬ(Лк) + Кр^).еЯк = 2А
= ,(д( р, Я) - ^( р, Я)).
Для г = (к+ё),
Д( р,Я) • еч( р,х>ё +
+ В2 (р, Я) • е“ Ч( рД)ё = В( р, Я);
Ч(р,Я) .(с!(р,Я) • еч(рЛ)ё-
(18)
(19)
Л/иг
Ґ
Д(р, Я) = -Б2 (р, Я) • е~2д(рЛуё ■
1 -
Ч( рД) Яд
Л
г у
1 +
Ч( рД)
Л^у
. (20)
А(рД) И ^(рД).
Д( р,Я) =
1
Д2( р,Я) = -
К (р,Я)_____________
2 -Я ^ (р,Я)‘
К (р,Я) 1
-2д(рД)ё V
ч( рЛ)
1 + Ч(p, Я) | (21)
Лрг
2-Я ^ (р, Я)'
где
^ (р,Я) = 8Ь(Як)
1 - е
-2д( р,Х)-ё
Яд
г У
1 +
Ч( рД)
Л/иг
Яд
•сЬ(Як)•
г
1 + е
-2д( р,Х)-ё
Г1 _ ч(рЛ)л
Л/иг
1 +
Ч( рД)
Л^у
Выражения (21) следует подставить в формулы (13) и (16).
После тождественных преобразований и обратного преобразования Фурье-Бесселя записываем формулу для Ь - изображения напряжённости электрического поля в терминах продольной пространственной переменной, связанной собственно с заготовкой:
е(2)( р, г,С) = -ї-^
С( р„Л)
вЬ(ч( p, Я)(С - ё)) -1 Ч(^р^—) I • сЬ(ч( p, ^)(С - ё))
(22)
х 31(Яг)ёЯ,
где С=г-к, гє[0,^ - пространственная переменная по толщине пластины,
С( р,Я) = 8И(ч( р,Л)ё)
- £>2 (р,Я) • е “ 9(р,2)'ё )= - В(р,Я).
В конечном итоге нас интересуют поля, возбуждаемые в металле экрана и заготовки, то есть, неизвестные Б\(р,Х) и Б2(р,Х).
Исключая В(р,Х) в системе линейных алгебраических уравнений (19), находим что
$Ь(ЛИ) +
2
' ч(рЛ)
Яд
сЬ(Як)
г
+ сЬ(ч( р,Л)ё)
ч( рД)
1к
(23)
Из (18) с помощью (20) определяем искомые
Лрг J
С помощью уравнений Максвелла (2), (3) и выражения (22) определяем тангенциальную (г -составляющая) и нормальную (г - составляющая) компоненты напряжённости магнитного поля.
Н<2>( р, г,о ■ /^-уЧсЬЧ рДХС-ё)) -
2д. 0 С(р,А)
- [4^] • §Ь(Ч(рД)(С -ё)))• ^1(Аг)ёЛ,
Ні2)(р,г,С) • Ї/(А)~А -(зЬ(ч(р,Я)(С-ё))-
2^г 0 С(р,Я) V ^ ЛЬ " (24)
| • сЬ(ч(р,Я)(С - ё}})• 30 (Яг)ёЯ.
Я^г ^
Формулы (22), (23), (24) представляют собой решение поставленной задачи об определении электродинамических характеристик - компонент вектора электромагнитного поля, возбуждаемого в металле ферромагнитных экрана и листовой заготовки.
Следует отметить, что предельные переходы в выражениях (22) и (23) при |хг—»1 с точностью до обозначений совпадают с выражениями для аналогичных характеристик возбуждаемых полей в случае немагнитных экрана и заготовки, найденных авторами работы [5].
Выражения (22) - (24) представляют собой решения поставленной задачи, записанные в пространстве изображений по Лапласу. Обратное интегральное
преобразование и соответствующий переход к оригиналам, как математические операции, можно существенно упростить, рассматривая конкретные физические условия работы исследуемой индукционной индукторной системы.
ВЫВОДЫ
1. Получены расчетные аналитические зависимости для расчета электродинамических характеристик симметричной индукционной индукторной системы с идентичными ферромагнитными тонкостенными экраном и листовой заготовкой.
2. Решения записаны в виде Ь - образов компонент вектора возбуждаемого электромагнитного поля.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Батыгин Ю.В. Расчет электродинамических усилий в индукционной индукторной системе с неферромагнигными массивным экраном и листовой заготовкой / Ю.В. Батыгин А.В. Гнатов // Електротехніка і електромеханіка. - 2009.-№4. - С. 56-59.
2. Батыгин Ю.В. Расчет усилий в индукционной индукторной системе прямоугольной геометрии с неферромагнитными массивным экраном и заготовкой / Ю.В. Батыгин А.В. Гнатов, Г.С. Сериков // Електротехніка і електромеханіка. - 2009.- № 3.- С. 61-64.
3. Индукционная индукторная система с одновитковым соленоидом в полости массивного экрана и листовой заготовкой; сборник трудов Международной научнотехническая конференции "Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологии", Тольятти, 12-15 мая 2009 г. В 3-х ч. / Ю.В. Батыгин А.В. Гнатов, С.А. Дра-ченко. - Тольятти; ТГУ, 2009. -Ч. 1 - С. 26-29.
4. Гнатов А.В. Расчет электромагнитных процессов в индукционной индукторной системе с массивным экраном конечной толщины / А.В. Гнатов // Електротехніка і електромеханіка. - 2009. - № 5. - С. 59-62.
5. Туренко А.Н. Импульсные магнитные поля для прогрессивных технологий. Том 3. Теория и эксперимент притяжения тонкостенных металлов импульсными магнитными полями; монографія / А.Н. Туренко, Ю.В. Батыгин, А.В. Гнатов. - Харків; ХНАДУ, 2009 - 240 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория поля. - М; Наука. 1973. - 502 с.
7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М; Наука. 1982. - 620 с.
8. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер, Математические методы физики. Пер. с англ. Крайнова В.П. - М; Атомиздат, 1972. - 399 с.
Bibliography (transliterated): 1. Batygin Yu.V. Raschet
'elektrodinamicheskih usilij v indukcionnoj induktornoj sisteme s neferromagnitnymi massivnym 'ekranom i listovoj zagotovkoj / Yu.V. Batygin A.V. Gnatov // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2009.- №4. -S. 56-59. 2. Batygin Yu.V. Raschet usilij v indukcionnoj induktornoj sisteme pryamougol'noj geometrii s neferromagnitnymi massivnym 'ekranom i zagotovkoj / Yu.V. Batygin A.V. Gnatov, G.S. Serikov // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2009.- № 3.- S. 61-64. 3. Indukcionnaya induktornaya sistema s odnovitkovym solenoidom v polosti massivnogo 'ekrana i listovoj zagotovkoj: sbornik trudov Mezhdunarodnoj nauchno-tehnicheskaya konferencii "Problemy 'elektrotehniki, 'elektro'energetiki i 'elektrotehnologii", Tol'yatti, 12-15 maya 2009 g. V 3-h ch. / Yu.V. Batygin A.V. Gnatov, S.A. Drachenko. -Tol'yatti: TGU, 2009. -Ch. 1 - S. 26-29. 4. Gnatov A.V. Raschet 'elektromagnitnyh processov v indukcionnoj induktornoj sisteme s massivnym 'ekranom konechnoj tolschiny / A.V. Gnatov // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2009. - № 5. - S. 59-62. 5. Turenko A.N. Impul'snye magnitnye polya dlya progressivnyh tehnologij. Tom 3. Teoriya i 'eksperiment prityazheniya tonkostennyh metallov impul's-nymi magnitnymi polyami: monografiya / A.N. Turenko, Yu.V. Batygin, A.V. Gnatov. - Harkiv: HNADU, 2009 - 240 s. б. Landau L.D., Lifshic E.M., Teoriya polya. - M: Nauka. 1973. - 502 s. 7. Landau L.D., Lifshic E.M. 'Elektrodinamika sploshnyh sred. - M: Nauka. 1982. - 620 s. 8. Dzh. M'et'yuz, R. Uoker, Matematicheskie metody fiziki. Per. s angl. Krajnova V.P. - M: Atomizdat, 1972. - 399 s.
Поступила 10.01.2012
Батыгин Юрий Викторович, д.т.н., проф., ГнатовАндрейВикторович, к.т.н., доцент,
Аргун Щасяна Валиковна,
ЕреминаЕлена Федоровна, к.т.н., доцент Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет кафедра физики
61002, Харьков, ул. Петровского, 25
тел. (057) 7003853, e-mail: batygin48@mail.ru,
shasyana@yandex.ru, kalifus@yandex.ru.
Batygin Yu. V., Gnatov A. V., Argun Sh. V., Yеryomina E.F. Electromagnetic processes in symmetric induction systems with identical ferromagnetic thin-walled screen and sheet blank.
The article investigates a symmetric inductor induction system with identical ferromagnetic thin-walled screen and sheet blank. The basic analytical dependences for calculation of the basic electrodynamics characteristics, namely, components of the electromagnetic field excited in the ferromagnetic metal screen and the sheet blank are obtained for the symmetric inductor induction system.
Кєу words - inductor induction system, magnetic pulse action, analytical dependences.
