Эквивалентные структуры алгебраического селектора на основе непрерывной логики Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 681.51

В. И. ПЕТУНИН

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СТРУКТУРЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЕЛЕКТОРА НА ОСНОВЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ЛОГИКИ

Рассматриваются особенности математического описания алгебраического селектора каналов в САУ газотурбинных двигателей. Показано, что алгебраический селектор может быть представлен относительно разностей своих входных сигналов в виде эквивалентных нелинейных структур. Это позволяет аналитически исследовать многосвязные системы управления с алгебраическим селектором на режимах переключения каналов. Селектор ; минимальный сигнал ; максимальный сигнал ; структурная схема ; модуль ; ключ ; нелинейная система ; система автоматического управления

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА САУ ГТД С СЕЛЕКТОРОМ КАНАЛОВ

Анализ и синтез линейных многосвязных САУ объектами, для которых число управляющих воздействий г равно числу управляемых координат д, как известно, могут быть проведены с помощью аппарата матричной алгебры. Однако для большинства объектов управления, например, для газотурбинных двигателей, г < д и в системах управления такими многомерными объектами (рис. 1) могут быть использованы селекторы, замыкающие каналы управления различными выходными координатами объекта по определенному признаку [1, 2]. Обычно применяется принцип селектирования, согласно которому регулируется параметр объекта управления, наиболее приблизившийся к величине, определяемой программой регулирования. Такое селектирование реализуется с помощью алгебраических селекторов (АС).

Рис. 1. Структурная схема многосвязной САУ ГТД с АС

Наличие такого переключающего элемента обуславливает переменную структуру САУ и не позволяет рассматривать ее как линейную.

Структурная схема АС представлена на рис.

2, где

и = шах^, и2,..., ит} (1)

для АС максимального сигнала и

и = шіпіиі, и2,..., ит} (2)

для АС минимального сигнала; иі - входные сигналы селектора (і = 1, 2,..., т) ; и - выходной сигнал селектора; т - число селектируемых сигналов.

1

и

АС

Рис. 2. Структурная схема АС

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АС

Согласно непрерывной или бесконечнозначной логике [3, 4] операции получения максимального сигнала соответствует операция дизъюнкции, а операции получения минимального сигнала - операция конъюнкции. Следовательно,

Контактная информация: (347)273-06-88

и = шах|и1, и 2,..., ит} =

т

= и V и2 V... V ит =у и;

і=1

(3)

и = шіп|и1, и2,..., ит}

■ и1 А и 2 А ... А и т

А

і=1

и.

(4)

(5)

Непрерывная логика позволяет представить операции дизъюнкции и конъюнкции в терминах алгебраических операций. При этом привлекаются операции выделения модуля величины и единичные функции. Дизъюнкция и конъюнкция двух величин в общем виде могут быть выражены следующим образом:

и = тах{и1, и2} = и1 V и2 =

= |(ц + и 2 +|и - и 2 |) =

= Щ(и - и2) + и21(и2 - ^);

и = тт{ип и2} = и1 л и2 =

= |(и + и2 -1 и 1 - и21) =

= и I (и 2 - и о + и 21 (и 1 - и 2),

где | X | - модуль величины X;

Ц при X > 0

(6)

0

- единичная

при X < 0 функция.

Единичная функция в свою очередь может быть выражена через другие алгебраические операции или в терминах непрерывной логики

ниями, то в конце концов можно избавиться от логического знака и получить формулу в модулях, сложность которой, однако, будет резко возрастать при увеличении числа переменных т .

Разумеется, организовать попарный выбор можно и другими способами. В результате, например, получим:

и = шах|и1, и2, из} = Vиг =

= 4(и1 + и 2 + 2и3 + А1 + А2);

и = шах|и1, и2, и3, и4} =

4 1

^ иі = -(Ц + и 2 + 2и3 + і=1 8

+ 4и 4 + ^1 + ^2 + А3),

(8)

(9)

где А1 =Іи1 - и 2І;

А, =|и1 + и2 - 2и3 + А1І;

А3 =| и1 + и2 + 2ц3 — 4и4 + А1 + А2 |.

или

и = шіп|Ц1, и2, и3} = аЦг

і=1

4(Ц1 + и 2 + 2Ц3 — А1 — А2);

(10)

1 + й§пХ _ Х+ І X І _ X

2

2 X

(X Ф 0).

І X І

V 0,

(7)

Если логическая операция совершается не над двумя переменными, а над т переменными и1, и2, ..., ит, то представление такой многоместной операции непрерывной логики через алгебраические операции получают, используя последовательное объединение переменных по два и применяя на каждом шаге формулы (5), (6).

Например, при т - четном числе, алгебраические формулы для такой многократной операции, выраженные через модули, имеют вид

т т/2 1

и = V и = V т(и2„ + и21 +1 и21-\ - и2г-1);

і=1

=1 2

т/2 1

и = Л и = ^ (и2г-1 + и2/ - | и2(-1 - иъ |) .

г=1 г=1 2

Если продолжать выполнять ту же операцию над выбранными для каждой пары значе-

и = шіп|Ц1, и2, и3, и4} =

4 11 2 3 4 = ЛЦ- = г(Ц1 + и 2 + 2Ц3 + і=1 8

+ 4і и1 4 — А1 — А2 — А3 ),

(11)

где ^1 =|и1- и 2|;

А2 =^1 + и2 - 2из - А1 |;

А3 =| и1 + и2 + 2из + 4и4 - А1 - А2 |. Выражение многократной дизъюнкции и конъюнкции через единичные функции приводится к более простым формулам

и = шах|Ц1, и 2,..., Цт} =

т т т

=V Ці = 2иП IЦ — Цг);

(12)

і=1

Г=1

гФі

и = шіп|Ц1, и 2,..., Цт} =

т т т

= л и = Е и ПI (иг — и).

(13)

і=1

і=1

і =1

Г=1

При этом функция П I(Ці — Цг) является

г=1 г Фі

индикатором максимальности иі , т. е.

ПIи—и)=І1 при Ці(14)

гфі [0 в противном случае, (14)

функция ПI (Цг —иі ) - индикатором мини-

г=1

гФі

мальности и , т. е.

III(Цг — Ц) = І1 при Ці = АЦ

г=1 г Фі

[0 впротивномслучае.

(15)

2. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ АС ДВУХ ВЕЛИЧИН

При математическом описании АС с использованием операций выделения модуля и единичных функций структурная схема АС (рис. 2) может быть преобразована. Рассмотрим это подробнее. Одним из основных режимов работы селектора в САУ является режим переключения с одного канала на другой. Для АС это происходит при выравнивании выходных сигналов замкнутого канала и одного из разомкнутых каналов и дальнейшим преобладанием сигнала разомкнутого канала с учетом логики работы АС. Таким образом, на режимах переключения можно рассматривать работу двух каналов, наиболее близких к селектированию.

Причем, важным информативным параметром для АС и, следовательно, для САУ является разность его входных сигналов, т. е. выходных сигналов селектируемых каналов [5]

8,

(16)

знак которой говорит о включении того или иного канала, а величина - о близости к моменту селектирования.

Относительно разности входных сигналов

8 = и1 - и2 (17)

выражение, описывающее работу АС двух величин, преобразуется с использованием операции выделения модуля следующим образом:

Ц =

Ц при цЦ > цЦ2 = Ц2 при цЦ < цЦ2 Ц при Ц8 > 0 =

Ц2 при Ц8 < 0 _

= 2(Ц1 + Ц2 + Ц18 ^

(18)

где ц = 1 для селектора максимального сигнала; ц = —1 для селектора минимального сигнала.

При использовании единичных функций получаем:

и = Ц при Ц8 > 0 = = [Ц2 при Ц8 < 0 =

= Ц/ (ц8) + Ц2I (—ц8)

(19)

или с учетом того, что I (X) +1 (-X) = 1

и = и1 + (-8) I (-Ц8) (20)

и = и2 + (8)1 (ц8) (21)

Следовательно, АС при т = 2 может быть представлен относительно разности входных сигналов 8 в виде трех эквивалентных нелинейных структур на рис. 3, а; рис. 4, а; рис. 5, а, где М(8) = ц | 8 | - нелинейность типа «модуль»; ^(8) = (-8) I (-Ц8), К2(8) = 81 (ц8) -нелинейности типа «ключ».

Характеристики нелинейностей М(8),

К1(8) и К2(8) при ц = 1 изображены, соответственно, на рис. 3, б; рис. 4, б; рис. 5, б. Полученные структуры АС взаимосвязаны между собой на основе соотношения (7).

б

а

Рис. 3. Эквивалентная нелинейная структура АС: а - структурная схема селектора; б - нелинейность типа «модуль»

б

Рис. 4. Эквивалентная нелинейная структура АС: а - структурная схема селектора; б - нелинейность типа «ключ»

б

Рис. 5. Эквивалентная нелинейная структура АС: а - структурная схема селектора; б - нелинейность типа «ключ»

3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ АС ТРЕХ И БОЛЕЕ ВЕЛИЧИН

Структурная схема АС трех сигналов (т = 3) может быть представлена как последовательное соединение двух АС двух сигналов рис. 6 или с учетом симметричности входов в виде рис. 7.

Рис. 6. Алгебраический селектор трех сигналов

Рис. 7. Алгебраический селектор трех сигналов

Аналогичный принцип преобразования можно использовать и для АС большего числа сигналов.

а

а

ОНЭ

Рис. 9. Эквивалентная нелинейная структура АС трех сигналов

Эквивалентные структурные схемы такого АС, построенные с помощью нелинейности вида К 2 (8), показаны, соответственно, на рис. 8 и рис. 9, где ОНЭ - обобщенный нелинейный элемент.

При этом в схеме АС, подобной рис. 6, используется ( т - 1 ) АС двух сигналов, а в эквивалентной структуре, построенной на основе рис. 8, соответственно, (т -1) нелинейность. Структура, приведенная на рис. 9, справедлива лишь при т =3, когда число параллельных АС, т.е. число сочетаний из т элементов по два Ст = т(т-1)/2, равно числу входных сигналов АС - т .

4. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА АС С ЛОГИЧЕСКИМ ВЫХОДОМ

На основании кусочно-линейного представления АС может быть построен алгебраический селектор с логическим выходом. Как было отмечено выше, при использовании единичных функций могут быть сформированы индикаторы максимальности (14) и минимальности (15) входных сигналов АС, которые могут рассматриваться в качестве выходного логического сигнала АС и определять канал, включаемый АС.Такой сигнал необходим, например, при динамической коррекции САУ с АС [6] или при использовании АС в сложных многоуровневых системах [6].

Структурная схема одного из вариантов АС согласно (21) при т = 2 и ц = 1 с выходным

логическим сигналом Ь представлена, например, на рис. 10, где нелинейность типа «ключ»

получена в виде соединения множительного и релейного звеньев К2 (8) = 8І(8) . При этом

Ь-

р1 при Ц = Ц [0 при Ц = Ц2

(22)

К,

Рис. 10. Структурная схема АС с логическим выходом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, на основе непрерывной логики АС может быть представлен относительно разностей своих входных сигналов в виде эквивалентных нелинейных структур, включающих в себя нелинейности типа «модуль» или «ключ».

Полученные структуры алгебраического селектора позволяют аналитически исследовать многосвязные системы управления с алгебраическим селектором произвольного порядка на режимах переключения селектируемых каналов с помощью эквивалентных одноканальных нелинейных систем [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Интегральные системы автоматического управления силовыми установками самолетов / Под ред. А. А. Шевякова. М. : Машиностроение, 1983. 283 с.

2. Ахметгалеев, И. И. Об одном виде двумерных систем с переменной структурой / И. И. Ахмет-галеев // Электронные узлы систем контроля и управления летательных аппаратов : Тр., вып. 51. Уфа : УАИ, 1974. С. 94-100.

3. Гинзбург, С. А. Математическая непрерывная логика и изображение функций / С. А. Гинзбург. М. : Энергия, 1968. 136 с.

4. Левин, В. И. Динамика логических устройств и систем / В. И. Левин. М. : Энергия, 1980. 224 с.

5. Петунин, В. И. Об одном методе структурных преобразований систем управления с идеальным алгебраическим селектором / В. И. Петунин // Управление сложными техническими системами : Межвуз. науч. сб. № 2. Уфа: УАИ, 1978. С. 67-72.

6. Петунин, В. И. Принципы построения логикодинамических систем автоматического управления газотурбинными двигателями / В. И. Петунин // Вестник УГАТУ. 2003. Т. 4, № 1. С. 78-87.

ОБ АВТОРЕ

Петунин Валерий Иванович, доц. каф. авиац. приборостроения. Дипл. инж.-

электромех. по авиац. приборостроению (УАИ, 1970).

Канд. техн. наук по сист. обработки инф. и управления (УГАТУ, 1999). Иссл. в обл. систем авт. управления ГТД, логико-дин. систем, адапт. и интел. систем.