CC BY
234
УДК 621.311.1 ББК 3211
ПЛ. ВОРОНОВ, В. А. ЩЕДРИН
ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЕ И УПРОЩЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ЧАСТЯМ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ
Ключевые слова: электрическая система, эквивалентирование, матричный метод, матрица преобразования, уравнения синхронных машин.
Рассматриваются математические способы эквивалентирования и упрощения электрических систем на основе применения матричных преобразований и расчета сетей по частям. Под эквивалентированием понимается процедура некоторого расчета, имеющего своей целью составление упрощенной схемы замещения существующей или проектируемой энергосистемы и использования ее для дальнейших исследований посредством физического или математического моделирования. Существенным моментом в построении эквивалентов при математическом моделировании является не физическое подобие эквивалента и оригинала, а критерий соответствия протекания процессов в них. Это достигается тем, что уравнения обоих объектов носят тензорный характер. На основе тензорного метода и диакоптики в работе строится на конкретном примере сложной сети ее эквивалентная топологическая модель с сохранением числа узлов исходной сети и эквивалента решений. Рассмотрены также эквиваленты сложной системы, в которых сохраняются лишь узлы, к которым присоединены электрические машины. На их основе осуществлен расчет с учетом явнополюсности синхронных генераторов.
P. VORONOV, V. SHCHEDRIN EQUALIZING AND SIMPLIFYING PIECEWISE ANALYSIS OF LARGE-SCALE ELECTRICAL SYSTEMS Key words: electrical system, equalization, matrix method, connection matrix, equation of synchronous machine.
The article deals with mathematical methods of equalizing and simplifying the electrical systems by applying matrix transformations and piecewise calculation of networks. Equalization is defined as a calculation procedure intended to draw up a simplified equivalent circuit for an existing or planned power system and its further use in research by physical or mathematical modeling. However, the essential point in constructing equivalents by mathematical modeling is not the physical similarity of the equivalent and the original, but the criterion of conformity of the processes that occur in both. This is achieved by tensor character of equalizing both objects. The article shows the construction of a topology model equivalent to the specific complex network with preservation of the original network nodes and solutions equivalent based on the tensor method and Diakoptics. We consider also equivalents for a complex system with preservation of only those nodes that are connected with electric machines. Based on this, we made a calculation with an allowance for the salient pole synchronous generators.
Современные электроэнергетические системы характеризуются очень сложной структурой схем электрических соединений и огромным множеством элементов, которые обуславливают в установившихся и переходных режимах различные явления и сопровождающие их процессы, не поддающиеся анализу без принятия различного рода допущений, эквивалентирования и упрощения схем замещения и математических моделей. Реальная система всегда заменяется упрощенной моделью. Поэтому проблема построения моделей, наиболее полно отражающих действительные процессы, всегда является актуальной.
К процессу эквивалентирования сложных электрических систем можно подходить с различных точек зрения. Наиболее полно вопросы эквивалентирования и упрощения электрических систем при моделировании изложены в фундаментальных работах [1, 4]. Существенным моментом тех или иных методов эквивалентирования является требование физического подобия эквивалента оригиналу. Это крайне важно для дальнейшего применения эквивалента, например, в электродинамических моделях электроэнергетических систем. Но в случаях использования эквивалента в математических моделях на ЭЦВМ требование физического подобия не имеет столь существенного значения и в принципе необязательно. Однако важным критерием при создании таких математических моделей является подтверждение того факта, что эквивалент действительно отражает процессы, происходящие в оригинале. Это достигается в том случае, когда система уравнений эквивалента носит тензорный характер. Этим самым подтверждается наличие группы матриц преобразования, позволяющей применять эквивалент в различных системах координат и получать уравнения с новыми компонентами.
Воспользуемся при осуществлении процедуры параметрического экви-валентирования тензорным методом Г. Крона [2], имея в виду, что параметрический вид эквивалентирования заключается в непосредственном использовании физических параметров оригинала и представляет собой чисто априорный метод.
Рассмотрим два способа эквивалентирования, которые целесообразно применять при исследовании режимов работы энергосистем: с сохранением в эквивалентной модели всех узлов оригинала и с сохранением только части узлов, к которым подключены генераторы и мощные моторные нагрузки, учитываемые при расчетах токов короткого замыкания для различных моментов времени.
1. Построение эквивалентных схем в виде решений подсистем. Тен-зорно-топологический метод Г. Крона [6] обладает замечательным свойством, суть которого состоит в создании эквивалентов, составляющих набор решений многоразового использования. Речь идет о том, что решения, найденные для отдельных подсистем или их фрагментов в численной или структурной форме, могут сохраняться и затем использоваться для определения решений еще более сложных электроэнергетических систем, которые эти фрагменты или подсистемы (эквиваленты) в себе содержат, соединенные самым разнообразным образом. При этом не требуется вовсе составлять и решать полные уравнения для всей исходной системы, представляющей оригинал. Полное решение формируется из полученных ранее решений фрагментов по правилам преобразования тензоров, представляющих собой совокупность различных параметров электрических систем.
Отмеченное свойство метода расчета по частям, или диакоптики, не проявляется при применении других известных методов расчета. Например, расчеты разветвленных электрических сетей по частям часто ассоциируются с тривиальным анализом электрических цепей с помощью метода контурных токов или методом узловых напряжений. Однако на самом деле диакоптика -это совершенно другой подход к решению систем, имеющий принципиаль-
ные отличия. Нельзя найти полное или общее решение системы из частных решений ее подсистем только узловым или только контурным методами.
Метод расчета по частям вытекает из теории ортогональной цепи [3, 5, 6]. В нем используется гораздо больше информации, нежели в названных методах, вместе взятых. Поэтому неправильным будет утверждение, что расчет по частям - тривиальное сложение этих двух методов. Он в явной или в завуалированной форме включает этап, связанный с построением дополнительной цепи -цепи пересечений. Когда в расчете по частям используется метод замкнутых путей токов (контурных токов), то дополнительная сеть пересечений, появляющаяся в процессе объединения решений отдельных частей, представляет собой узловую цепь. И наоборот, если применяется метод открытых путей токов (узловой метод), то цепь пересечений является контурной, что обусловлено неустранимой двойственностью электрических цепей. Рассмотрим применение диакоптики к эквивалентированию энергосистем.
Все преобразования при формировании эквивалентов решения проиллюстрируем на простом конкретном примере исходной электрической сети, показанной на рис. 1. Она состоит из связанных друг с другом трех одинаковых фрагментов, каждый из которых топологически идентичен и представлен на рис. 1 соответствующим линейным графом.
Однако отдельные фрагменты (части) данной разветвленной сети возбуждены по-разному. К ряду их узлов приложены задающие токи (электрические нагрузки). Предположим, что значения этих токов определяются матрицей, записанной здесь в виде строки, т.е.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 -1 1 -1 0 1 0 1 -1 0 - 2
Верхняя строка ее перечисляет номера узлов сети, а в нижней строке представлены числовые значения приложенных к узлам токов (в амперах). Допустим
также, что в некоторые ветви сети включены источники напряжения (генераторы), ЭДС которых задаются строчной матрицей. Первая строка ее нумерует ветви, а вторая - представляет численные значения ЭДС (в вольтах)
№>] =
в1 в2 в5 в10 в15 в22
1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
Фрагменты сети соединены друг с другом линиями связи: в19, в20, в21, в22. Сопротивления ветвей и линий связи примем в данной сети равными 1 Ом.
Расчленим исходную сеть на три части (подсистемы) линиями разреза, как показано на рис. 1. Разрезанные ветви связей (в19, в20, в21, в22) представим отдельно, получив тем самым три изолированных фрагмента и четыре отдельные ветви, принадлежащие исходной системе или сети. Задача заключается в том, чтобы осуществить замену фрагментов сети некоторыми эквивалентными подсхемами замещения, которые бы содержали полную информацию о фрагментах со стороны разрезанных ветвей. Отвлекаясь пока от электрических параметров источников возбуждения сети, построим топологические модели или эквивалентные подсхемы каждого из трех фрагментов, а также найдем решения для этих моделей, сохраняя в эквивалентных подсхемах число и нумерацию узлов соответствующих фрагментов сети. Тогда они будут представлять собой трехлучевые цепи типа «звезды», показанные в виде графа на рис. 2.
в12'
I----~гп---------->----1 , „,
^ \
4 8 12
Рис. 2. Топологическая модель эквивалента разветвленной сети
Проводимости лучей являются узловыми матрицами. Пунктирными линиями на рис. 2 показаны линии связи (разрезанные ветви). Они понадобятся позже при определении матрицы решения исследуемой сети в целом. Обратим особое внимание на новую перенумерацию ветвей эквивалентной схемы (в1 , в2',..., в13). Топологическую модель, полученную путем сохранения числа узлов исходной сети, можно назвать электрическим эквивалентом ее, если узловая матрица каждого т-го фрагмента исходной сети равна соответствующей узловой матрице эквивалентной подсхемы т. е. [Гу]тФ = [Гу]тЭ.
Важно еще раз подчеркнуть, что схема (рис. 2) является эквивалентной к исходной сети лишь относительно узловых токов, но не относительно источников ЭДС ветвей.
Используя соответствующие матрицы и формулу преобразования [Гу] = [4][Гв][^] или известные правила составления матриц, находим матрицу узловых проводимостей:
[Гу]1Э = [ГуЬ = [Гу]зз =
3 -1 -1
-1 3 -1
-1 -1 3
а также и их решения в виде обратных матриц, которые называют матрицами узловых сопротивлений
[2у]1з = [^Ь = [Ту]
2 1 1
1 2 1
1 1 2
Следовательно, полная матрица [?у]Э решений или сопротивлений всей эквивалентной схемы с учетом сопротивлений разрезанных ветвей представлена ниже.
в ,1' ,2' ,3' ,4' ,5' ,6' ,7' ,8' ,9' в10' ,11' ,12' ,13'
,1' 0,5 0,25 0,25
,2' 0,25 0,5 0,25
,3' 0,25 0,25 0,5
,4' 0,5 0,25 0,25
,5' 0,25 0,5 0,25
,6' 0,25 0,25 0,5
,7' 0,5 0,25 0,25
,8' 0,25 0,5 0,25
,9' 0,25 0,25 0,5
,10' 1
,11' 1
,12' 1
,13' 1
Вычислением этой матрицы завершается построение эквивалентной модели разветвленной сети (рис. 1). Модель представляет собой узловую схему с задающими токами. Для нашего примера она состоит из 13 ветвей и 12 узлов, включая и ветви соединения (связей). Однако в полученной эквивалентной модели всего 2 замкнутых контура, в то время как в исходной сети их 11. Следовательно, очень удобно провести дальнейший расчет эквивалентной схемы этой модели контурным методом. Ее можно эффективно использовать для анализа исходной сети с теми же 12 узлами и 22 ветвями.
Естественно, что полученные эквиваленты решений могут применяться при любых других связях между подсистемами, ими отображаемыми, а также с аналогичными эквивалентами решений иных систем, с которыми рассматриваемая здесь сеть может объединяться.
Рассмотрим некоторые особенности расчета эквивалентных схем. При анализе эквивалентных схем необходимо учитывать следующие обстоятельства. Матрица соединений (узел - ветвь) [А]Э каждой подсхемы (рис. 1) является единичной матрицей, поскольку с каждым узлом в эквивалентной модели связана лишь одна единственная ветвь. Из этого условия следует, что [Ув]Э = [Гу]Э = [Гу]Ф. В общем случае матрица [А] связывает напряжения узлов [Цу] и напряжения на зажимах ветвей [Цв] любой сети, причем всегда справедливо уравнение
[А] ^([ЦвЖ^в]) = 0.
Из него следует равенство
[Цу]= -[А] ^[Ев].
Отсюда правомерно утверждение, что левая часть последнего уравнения зависит не только от ЭДС ветвей, но и от сопротивлений ветвей. Коль скоро эквивалентные модели для фрагментов исходной сети построены с соблюдением равенства заданных узловых токов сети и модели, то с учетом выполнения приведенного утверждения можно записать выражение
/у]с - [А]с [^в]с-1[Ев]с = [/у]э. (1)
Тогда ЭДС в ветвях модели будут [Ев]э = 0 и, следовательно:
[Гу]э [Цу]э = [/у]э. (2)
Чтобы решить уравнение (2), надо сначала определить матрицу узловых токов [/у]э из выражения (1). При этом обратим внимание на то, что в выражении (1) будут фигурировать для нашего примера узловые токи лишь 11 узлов, поскольку из матрицы преобразования, иногда называемой матрицей инциденций, всегда исключается одна строка. Пусть это будет строка, относящаяся, например, к 12-му узлу исходной схемы. Кроме того, для конкретной сети обратная матрица сопротивлений ветвей единичная, поскольку значения сопротивлений всех ветвей заданы равными 1 Ом. В общем же случае она является просто диагональной.
Из-за громоздкости матриц, входящих в выражение (1) для рассматриваемого примера, они в статье не приводятся. Матрица [А]с имеет порядок (22 х 11), а матрица [£в]с-1, соответственно, порядок (22 х 22). Обе они состоят только из единиц и нулей и поэтому операции с ними на ЭВМ не вызывают каких-либо затруднений. Приведем лишь результирующую столбцовую матрицу токов, состоящую из 11 элементов, в выражениях (1) и (2), записав ее в строку:
[/у]э = I -1 I 1 I 0 | 2 | -1 | -1 | 2 | 0 | 0 | -1 | 0 .
Определив [/у]э, а также учитывая равенство [7у]э = [Гу]с, нетрудно найти узловые напряжения [иу]э = [иу]с эквивалентной модели и исследуемой сети. Наиболее просто это сделать, как уже отмечалось, методом контурных токов. Если учесть, что в моделях эквивалентов [С]э [£в]э = 0, то можно записать
И = -([С]э [2в]э [СЫ1 [С]э [2в]э /в]э). (3)
В уравнении (3) все параметры и матрица соединения [С]э относятся к модели, показанной на рис. 2 с учетом подключенных линий связи, а также известного соотношения между токами [А]э [/в]э = [/у]э.
Таким образом, после вычисления контурных токов могут быть найдены все узловые напряжения и остальные параметры режима исследуемой сети.
Подчеркнем, что эквивалентирование исследуемой сети можно было бы провести и дуальным методом, строя эквивалентные схемы контурного типа, т. е. предполагая, что матрица контурных сопротивлений фрагмента оригинала равна матрице ветвей подсхемы эквивалента. При этом исходными уравнениями были бы уравнения, составленные методом контурных токов, а результирующая эквивалентная схема рассчитывалась бы узловым методом. Однако в практике расчетов сложных электроэнергетических систем предпочтение практически всегда отдается методу узловых напряжений, которому соответствует прямой метод эквивалентирования, рассмотренный здесь.
Обратим также внимание на то, что со стороны разрезанных ветвей мы имеем эквивалентную копию исходной системы. Из нее можно найти и все корни характеристического уравнения системы в целом, которые необходимо знать при расчете переходных процессов.
2. Упрощение и расчет схем замещения энергосистем, содержащих явнополюсные машины. Нередко возникает необходимость в расчете токо-распределения в ветвях сложной энергосистемы и в определении мощностей генераторов при заданных величинах ЭДС и углов положения их роторов. Такие вычисления требуются также при расчете начальных значений свободных периодических токов в анализе переходных процессов и динамической устойчивости, например, методом последовательных интервалов. Значительные трудности возникают, когда в энергосистеме имеют место машины с явно выраженными полюсами, которые нельзя представить в виде единой эквивалентной схемы замещения. Ранее был предложен метод расчета такого рода систем, основанный на общих уравнениях машин, усложненных введением комплексно-сопряженных величин. Однако с увеличением числа узловых точек и числа машин в энергосистеме такие расчеты существенно затруднены. Между тем для решения подобного рода задач можно также воспользоваться тензорным методом Крона и выполнить все вычисления для сложной системы на ЭВМ с помощью матриц преобразования, разделяя систему и эквива-лентируя ее отдельные части.
Разделение системы целесообразно производить путем выборки узлов, к которым подключены синхронные машины, и отсоединения их от этих узлов электрической сети. После данной операции надо записать уравнения каждой из машин в виде упрощенных уравнений Парка - Горева: иа = ич = -уа, которые вполне допустимо применять при выполнении указанных выше расчетов [6]. Затем с учетом выбранного положительного направления токов (от генераторов к узлам сети) надо представить уравнения напряжений явнопо-люсных машин в виде: иа = Х^ и ич = Еч -ХаГ1, где индексы а, q подчеркивают, что составляющие напряжений и токов являются проекциями на вращающиеся координатные оси с1, q, жестко связанные с роторами машин. Верхние индексы для токов принимаются как для контравариантных векторов, в отличие от нижних индексов у напряжений, являющихся ковариант-ными векторами и имеющих иной закон преобразования при замене координат. В случае расчетов динамической устойчивости (с учетом АРВ) необходимо в уравнениях машин использовать переходные значения ЭДС Eq и Xа ,
а для неявнополюсных синхронных машин принимать ХС1 = Ха.
Следовательно, исходные уравнения каждой отдельной машины можно записать в матричной форме
0
иг1
ип
0 - Xq
Ха 0
или в тензорных обозначениях сразу для всех машин
Е,-и,= Г, , (4)
где - полное сопротивление машин, т.е. с учетом активных составляющих, которыми, как правило, пренебрегают.
а
q
Уравнения оставшейся части электрической сети целесообразно записать в форме уравнений узловых напряжений. Однако оставшуюся часть схемы желательно упростить относительно генераторных узлов, исключив тем самым остальные узлы сети. В результате такого упрощения находятся входные и взаимные проводимости относительно узлов, к которым присоединены генераторы. Данную операцию можно провести путем свертывания схемы, применяя поочередные преобразования трехлучевых соединений ветвей «звездой» в соединение «треугольником». Но для мало-мальски сложной сети такой метод упрощения практически неприемлем. Поэтому предлагается проводить исключение узлов матричным преобразованием схем методом редуцирования.
Для этого предварительно следует перенумеровать узлы системы, отнеся индексы от 1 до к к генераторным узлам и от (£+1) до п ко всем остальным. Далее надо заменить каждый из токов, представляющий электрическую нагрузку или замыкание (если такое имеется), произведением эквивалентной проводимости на напряжение соответствующего узла
1 _ Рк+1 + +1 _ у ТТ
1к+1 --772-- Ук+1ик+1
ик+1
и подставить его, перенеся в левую часть исходного матричного уравнения. Тогда получим следующую систему уравнений в матричной форме
Уц - У 12 — У1к+1 У1п
- Ук+11 — Ук+12 Ук+1к+1 — Ук+1 — Ук+1 п
— Уп1 — Уп 2 Ук+1 п У — У пп п
и
и,
к+1
и
В упрощенном виде это уравнение можно записать как
11
Уее Уем
Уме УЖ
и
е
иК
1е
0
Разрешая это матричное уравнение относительно токов генераторных узлов, находим
¡е — [Уее — УеN (Уш) lуNе ]ие — Уеие. (5)
Матрица Уе представляет своими компонентами входные и взаимные проводимости эквивалентной сети, которая включает только узлы присоединения генераторов. Например, если в исходной сети будет только два узла, то имеют место лишь три различных проводимости, если в схеме три узла, то из девяти составляющих шесть являются различными проводимостями, и т.д. Число компонент быстро растет с увеличением количества узлов. В общем случае рекомендуется применять ЭВМ, а все преобразования выполнять с помощью соответствующих матриц преобразования, используя тензорное уравнение (4) и аналогичное уравнение эквивалентной сети
Iр — у Р«иа, (6)
представляющее собой выражение (5) в тензорной форме записи, удобной для выполнения последующих преобразований. Компоненты матрицы Ура являются комплексными числами. Однако для дальнейшего расчета ком-
плексные проводимости требуется представлять в виде матриц с действительными числами, поскольку уравнения машин в осях с1, д записаны нами не в комплексной форме.
Напомним, что комплексные сопротивления г + ]х и комплексные проводимости g -]Ъ представляются в виде матриц с вещественными числами соответственно следующим образом:
2 =
г х
— х г
7 =
g — Ъ
Ъ g
Тогда в развернутом виде в системе осей сети матрица проводимо-стей УРа будет
т gll —Ъп gl2 — Ъ'2 glk — Ъ'к
01 Ъ'1 Ъ'2 Ъ1к glk
Бк gkk — Ъкк gk 2 — Ък 2 gkk — Ъкк
Як Ъкк gkk Ък 2 gk 2 Ъкк gkk
На завершающем этапе уравнения машин (4) и уравнения сети (6) объединяются с помощь матрицы преобразования СV' в координатах Б,Я сети. Эта матрица является ключом к решению поставленной задачи. Она составляется с учетом того, что оси каждой конкретной т-й машины йт, дт повернуты на заданный угол 0т относительно осей сети, и для одной машины имеет вид
Ст' _
т
00в 0т вШ 0 т
— эт 0т 00Э 0 т
Количество машин в системе может быть гораздо больше числа узлов, поскольку к одному узлу может присоединяться несколько генераторов или даже электрических станций. Следовательно, связь между составляющими напряжений иц на зажимах машины, в осях, жестко связанных с ротором, и составляющими напряжений иа = и. в узлах сети будут определяться выражением иц = С. и.. Матрица преобразования С. будет прямоугольной.
Число столбцов ее равно удвоенному числу генераторных узлов, а строк -удвоенному количеству машин.
После составления этой матрицы преобразования по известным значениям ЭДС и углам положения роторов нетрудно определить токораспределение в сети и мощности генераторов с помощью следующих операций с матрицами.
Из уравнения (4) получаем выражение I у= (2)—'(Едц — иц), где
(2^) 1 = У. Коль скоро токи машин в неподвижных осях сети равны токам сети, справедлива формула IР = I= С'1у и, следовательно, ток сети находится из выражения
^ц е.. — СУУуЦС.ц'и..,) (7)
I Р = IV' (СУ ^ Едц — СУ УЦСЦ'иц') .
Далее, поскольку иа = и., то, используя выражение (6), получаем
иа = (УРа + СТуцСЦ')-1'СТЕдц .
(8)
Вычислив иа, последовательно определяем: иц = С^и^ , Г = (2^,) 1(Ед^-и1Л), IР = 1Р Су V и Рт = иат1йт + и <т1чт .
Числовой пример. В качестве примера, иллюстрирующего процедуру объединения уравнений машин и электрической сети, рассмотрим систему, состоящую из трех генераторов, которые присоединены к двум узлам (рис. 1). Будем предполагать, что упрощение сети путем исключения всех узлов, не связанных с подключением машин, уже выполнено. Пусть заданы следующие параметры генераторов и сети:
О - 1: ЕЧ1 = 2, Хл = 2, Хч1 = 1,25, 01 = 0°; О - 2: ЕЧ2 = 2,1, ХЙ = 1,4, = 1,4, 02 = 12° О - 3: Едз = 1,8,Хз = 4,5, = 2,8, 0з = -12°; сеть: 2x2 = У ^ = 3,2 + у2,4; 22 = 0,5 + у0,5. Требуется определить активные мощности машин.
в-2
Рис. 3. Схема примера расчета мощностей генераторов
1. По заданным сопротивлениям ветвей сети определяем проводимости ветвей У12 = у; Уц = 0,2 - у 1,15; У22 = 1 - у 2 и записываем матрицу проводимо-стей в осях координат сети
0,2 1,15 0 -1
-1,15 0,2 1 0
0 -1 1 2
1 0 -2 1
2. Находим матрицу проводимостей машин во вращающейся системе координат
у ^ =
0 0,5 0 0 0 0
- 0,8 0 0 0 0 0
0 0 0 0,715 0 0
0 0 - 0,715 0 0 0
0 0 0 0 0 0,222
0 0 0 0 - 0,358 0
3. Устанавливаем матрицу преобразования С£ из условий поворота осей машин на соответствующие углы 9 т
С £' -
-
008 91 8Ш 91
- 8Ш 9] 008 9]
008 92 8Ш 92
- 8Ш 92 008 92
008 93 8Ш 93
- 8Ш 93 008 93
1 0
0 1
0,978 0,208
- 0,208 0,978
0,978 - 0,208
0,208 0,978
4. Вычислив
С£ У =
0 0,5 0 0
- 0,8 0 0 0
0 0 - 0,03 0,98
0 0 -1,07 0,03
находим
( у Ра+ СУ -
0,2 1,65 0 1
-1,95 0,2 1 0
0 -1 0,97 2,98
1 0 - 3,07 1,03
Так как
"ду-
1 0 1,86 0,227
то из (8) получаем матрицу составляющих напряжений в осях сети
иа -
0,279 1,122 0,320 0,906
5. Зная иа = и у, по приведенным выше формулам находим матрицы:
иц -1у -
0,279 1,112 0,501 0,818 0,125 0,951
0,439 0,223 0,915 0,358 0,189 0,045
6. Ток IР = Iу = СIу можно вычислить и по формуле (6), но найти ток машин с помощью выражения Iу — Су!у' не удается, поскольку обратной у прямоугольной матрицы преобразования не существует. Используя (6), вычисляем ток сети
0,439 0,223 1,021 0,539
7. Определяем мощности генераторов:
Л - 0,279x0,439 + 1,112x0,223 - 0,37; Р2 - 0,501x0,915 + 0,819x0,358 - 0,75; Р3 - 0,125x0,189 + 0,951x0,045 - 0,06.
Выводы. 1. Применение тензорного метода и метода диакоптики позволяет осуществлять эквивалентирование разветвленных электроэнергетических систем и находить их эквиваленты с помощью несингулярных матриц преобразования.
2. Использование этих эквивалентов дает возможность определять методом преобразования координат объединенные решения систем в целом.
3. Эквивалентирование энергосистем на основе инвариантности мощности при преобразованиях позволяет получать точные эквиваленты подсистем, их решения с минимумом затрат времени счета и объема памяти ЭВМ, а также создавать библиотеку эквивалентов, которые могут применяться в дальнейших исследованиях.
Литература
1. Жуков Л.А., Стратан И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем. М.: Энергия, 1979. 404 с.
2. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: Сов. радио, 1979. 720 с.
3. ХэппХ. Диакоптика и электрические цепи. М.: Мир, 1974. 346 с.
4. Щедрин Н.Н. Упрощение электрических систем при моделировании. М.: Энергия, 1966, 168 с.
5. Щедрин В.А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. 422 с.
6. Kron G. Diakoptics - The Piece-wise solution of large scale systems. London, 1963, 468 p.
References
1. Zhukov L.A. Stratan I.P. Ustanovivshiesya rezhimy slozhnykh elektricheskikh setei i sistem [Steady-state regimes of complex electrical networks and systems]. Moscow, Energiya Publ., 1979, 416 p.
2. Kron G. Tensor Analysis of Networks. London, 1965, 635 p. (Russ. ed.: Kron G. Tenzornyi analiz setei. Moscow, Sovetskoe radio, 1978, 720 p.).
3. Happ H. Diakoptics and Networks. N.Y., 1971 (Russ. ed.: Happ H. Diakoptika i elektri-cheskie tsepi. Moscow, Mir Publ., 1974, 346 p.).
4. Shchedrin N.N. Uproshchenie elektricheskikh sistem pri modelirovanii [Simplification of electrical systems in the simulation]. Moscow; Leningrad, Energiya Publ., 1966, 160 p.
5. Shchedrin V.A. Elektromagnitnye perekhodnye protsessy v elektricheskikh sistemakh [Electromagnetic transients in power systems]. Cheboksary, Chuvash University Publ., 2007, 346 p.
6. Kron G. Diakoptics - The Piece-wise solution of large scale systems. London, 1963, 468 p.
ВОРОНОВ ПАВЕЛ ЛЕОНИДОВИЧ. См. с. 43.
ЩЕДРИН ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ - кандидат технических наук, профессор кафедры электроснабжения промышленных предприятий имени А.А. Федорова, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (chedrin@chuvsu.ru).
SHCHEDRIN VLADIMIR - candidate of technical sciences, professor of Industrial Enterprises Power Supply Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
