Экспертная оценка геотехнических рисков на основе методов нечисловой статистики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКСПЕРТНАЯ ОЦЕНКА ГЕОТЕХННЧЕКНХ РИСКОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ НЕЧИСЛОВОЙ СТАТИСТИКИ

EXPERT ESTIMATION OF GEOTECHNICAL RISKS ON THE BASIS OF METHODS OF NON-NUMERICAL STATISTICS

Д.Ю. Чунюк

D.Yu. Chunyuk

ГОУ ВПО МГСУ

В настоящей статье рассматриваются вопросы анализа геотехнических рисков на основе экспертных оценок с помощью методов нечисловой статистики.

In the present article questions of the analysis of geotechnical risks on the basis of expert estimations by means of methods of non-numerical statistics are considered.

B сложившейся на сегодняшней день нормативной базе в области строительства при проектировании оснований, фундаментов и подземных сооружений основополагающим условием является технико-экономическое сравнение возможных вариантов проектных решений для выбора экономичного и надежного проектного решения, обеспечивающего наиболее полное использование прочностных и деформационных характеристик грунтов и физико-механических свойств материалов фундаментов и других подземных конструкций.

Как правило, это сравнение сводиться к тому, что отдельно оцениваются проектные решения и стоимость устройства подземной части здания, ограждения котлована и гидроизоляции и т.д., что не соответствует современному состоянию строительной отросли и условий строительства. Принятия того или иного технологического и проектного решения только на основе банального сравнения стоимости с аналогичными возможными может зачастую повлечь за собой удорожание стоимости строительства всего объекта, что происходит очень и очень часто в Москве.

При принятии решений о выборе того или иного варианта конструкции любое лицо принимающее решение (ЛПР) опирается на собственный опыт разработки и проектирования различных объектов. Но при таком выборе технологий присутствующих в данный момент на рынке различие в вариантах может выражаться в десятках миллионов рублей, сотнях человеко-часов работы, неделях простоях объекта строительства, влияния на окружающую застройку или последствиях в случаи отказа системы и создания аварийной ситуации.

Именно поэтому современное состояние строительной отрасли не позволяет нам рассматривать при принятии решения только вопрос стоимости каждой технологии в отдельности без увязки отдельных этапов геотехнического строительства с полным комплексом строительных работ, окружающей застройкой и возможными последствиями при неправильном ведении работ, аварийной ситуации, консервации объекта и Т.д.

_МГСУ

Основная проблема состоит в том, что невозможно заранее, на этапе проектирования, без проведения всех необходимых расчетов, оценить технологические затраты и сопутствующие риски. Следовательно, сравнение различных вариантов конструкций между собой невозможно провести, используя только числовые показатели. В таких случаях помимо числовых данных (стоимость проекта, трудозатраты, сопутствующие реализации проекта мероприятия и т.д.) необходимо применять нечисловые данные, опираясь на определенный набор критериев, проводя критериальный анализ.

Нечисловые данные нельзя складывать и умножать на коэффициенты. Поэтому не корректно говорить о суммах нечисловых данных. Они являются элементами нечисловых математических пространств (множеств). Математический аппарат анализа нечисловых данных основан на использовании расстояний между элементами (а также мер близости, показателей различия) в таких пространствах. В отличие от числовых данных, которые относятся к линейным пространствам и рассматриваются классической математикой, нечисловые данные относятся к пространствам общей природы. Для анализа нечисловых данных в геотехническом строительстве и принятии решения инженеру геотехнику удобно применять аппарат нечисловой статистики. При этом основным источником данных при невозможности получения числовой информации будет экспертная оценка решений. Метод экспертных оценок - это метод организации работы со специалистами-экспертами и анализа мнений экспертов. Эти мнения обычно выражены частично в количественной, частично в качественной форме.

Эксперт, в нашем случае в области геотехнического строительства, оценивает каждый объект, высказывая свое мнение по нескольким критериям. И оценки и критерии должны корректно учитываться при сравнении вариантов. Сначала определяются, в каких шкалах измеряются эти понятия, и какие преобразования можно проводить с этими данными, указываются основные виды шкал измерения и соответствующие группы допустимых преобразований. Пример опросного листа эксперта, с критериями анализа, для проектирования ограждающих конструкций глубоких котлованов приведен в таблице (для котлована до5м глубиной и расстояния до окружающей застройки 0.2Ъ котлована).

Кретерии оценки Стоимость Сложность Влияние на Подверж. Гео- Поддержание Работы по

пр-ва пр-ва работ окруж. за- елогич. состав- во время ремонту

Конструкция работ стройку ляющей геотехнических рсиков консервации конструкц.

Бурокасательные 2 3 5 1 3 4

сваи

Буросекущиеся 1 3 5 3 3 4

сваи

Монолитная 3 2 3 4 4 5

стена в грунте

Сборно - моно- 3 2 3 4 4 5

литная стена в

грунте

Стена в грунте из сборных 3 2 3 4 4 5

элементов

Трубы с забир- 5 5 5 2 1 1

кои

Шпунт Ларсена 4 4 4 3 2 3

Струйная цементация (jet - сваи) 2 1 4 3 3 4

Как видно из таблицы в нашем случае в шкале наименований (другое название -номинальная шкала) числа используются лишь как метки (значения этих меток приве-

дены далее). Они принимают значения независимо от значения характеристик. Объекты с одинаковыми характеристиками будут иметь разные номера. Номера позиций. С номерами в шкале наименований нельзя производить стандартные математические преобразования, например, складывать или умножать. Допустимыми для шкалы наименований являются все взаимно-однозначные преобразования. Результаты измерений в шкале наименований необходимы для различения объектов. В нашем случае, критерии объектов оценки мы будем измеряем по шкале наименований.

В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. Этим подчеркивается нечисловой характер оценок знаний учащихся. В порядковой шкале допустимыми являются все строго возрастающие преобразования. Мнения экспертов естественно выражать именно в порядковой шкале. Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например сравнительного, характера, чем количественного.

Эксперт при оценки вариантов может сказать (и обосновать), что один показатель более важен, чем другой, первый технологический объект более опасен, чем второй, и т.д. Но он не в состоянии сказать, во сколько раз или на сколько более важен, соответственно, более опасен. Экспертов часто просят дать ранжировку (упорядочение) объектов экспертизы, т.е. расположить их в порядке возрастания (или убывания) интенсивности интересующей организаторов экспертизы характеристики. Ранг - это номер (объекта экспертизы) в упорядоченном ряду значений характеристики у различных объектов. Такой ряд в статистике называется вариационным.

Принципиально важным свойством статистики нечисловой природы применяемой нами для оценки геотехнических рисков на разных этапах строительного процесса является справедливость закона больших чисел - эмпирическое среднее приближается при росте числа составляющих, к теоретическому среднему. Применяемый закон больших чисел в нашем случае будет являться обобщением известного в статистике "классического" закона больших чисел. Он основан на теории оптимизации, в то время как "классический" закон больших чисел использует суммирование. Упорядочения и другие бинарные отношения нельзя складывать, поэтому приходится применять иной математический аппарат.

Пусть x1,x2,...,xn - элементы пространства X, не являющегося линейным. Поскольку нельзя складывать элементы X, сравнивать их по величине, то необходимы подходы, принципиально новые по сравнению с классическими. Согласно статистике

объектов нечисловой природы используем показатель различия ^ - X [0,+<») (со_ держательный смысл показателя различия: чем больше d(x,y), тем больше различаются x и у) и определим эмпирическое среднее как решение экстремальной задачи

En(d) - Arg¡,х),х е!}.

(1)

Таким образом, среднее Бп(ё) - это совокупность всех тех функция

Jte!

, для которых

fnX) =

1

n 1<i<n

(2)

достигает минимума на X.

_МГСУ

Для классического случая X = Ю при ё(х,у) = (х-у)2 имеем Еп(ё) = х . При X = Ю, ё(х,у)=|х-у| среднее Еп(ё) при нечетном объеме выборки совпадает с выборочной медианой. А при четном объеме - Еп(ё) является отрезком с концами в двух средних элементах вариационного ряда.

Основной результат, связанный со средними вида (1) - аналог закона больших чисел. Пусть х1,х2,...,хп - независимые одинаково распределенные случайные элементы со значениями в пространстве общей природы X. Теоретическим средним, или математическим ожиданием, в статистике объектов нечисловой природы называют

Еп (х1,3) = А^ шп{М/(х1, х), х е X}

(3)

Здесь М - символ математического ожидания. Закон больших чисел состоит в сходимости Еп(ё) к Еп(х1,ё) при п ~~^ . Поскольку и эмпирическое, и теоретическое средние - множества, то понятие сходимости требует уточнения.

Одно из возможных уточнений, впервые введенное в работе [1]. Для функции Дх) = М/(х1(®),х),/:Х ^Я1 (4)

введем понятие "£ -пятки" (£ >0)

К£ (Т) = {хьХ:№ < Ыу(у\ *}. (5)

Очевидно, ^ -пятка - это окрестность А^штф (если он достигается), заданная в терминах минимизируемой функции. Тем самым снимается вопрос о выборе метрики в пространстве X. Тогда при некоторых условиях регулярности для любого £ >0 вероятность события

(6)

стремится к 1 при п ~~^ , т.е. справедлив закон больших чисел.

Расстоянием в пространстве X называется числовая функция двух переменных ё(х,у), х е X, у е X, определенная на этом пространстве, т.е. в стандартных обозначениях ё: X2 ^ Ю, где Ю - прямая, т.е. множество всех действительных чисел. Эта функция должна удовлетворять трем условиям (иногда их называют аксиомами):

1) неотрицательности: ё(х,у) > 0, причем ё(х,х) = 0, для любых значений х е X, у е X;

2) симметричности: ё(х,у) = ё(у,х) для любых х е X, у е X;

3) неравенства треугольника: ё(х,у) + ё(у,7) > ё(х^) для любых значений х е X, у е X, 7 е X.

Для термина «расстояние» часто используется синоним - «метрика».

Вернемся к оценкам. Условно разделим оценки на "объективные" и "экспертные". Эксперта упрощенно можно рассматривать как некий "измерительный прибор". Возникает вопрос о точности, с которой этот "прибор" может измерять. Ответ на этот вопрос дан в классической работе Г. Миллера [1]. Среднее значение «пропускной способности» человека лежит около точки, соответствующей 2.5 двоичной единицы с очень небольшими отклонениями в ту или другую сторону. Это означает, что наши

способности оценивать какое-то явление по одному критерию позволяют различать не более 7±2 категорий.

Так как число 5, являясь нижней границей этого диапазона, дает наибольшую гарантию точности суждения для всех экспертов, то для суждений по любому критерию примем привычную многим пятибалльную шкалу. Для степени составляющих геотехнического риска трактовка оценок может быть представлена в следующем виде: 5 - очень низкий, 4 - низкий, 3 - средний, 2 - высокий, 1 - очень высокий.

После определения критериев согласно рис.1. и установки оценок, следующим этапом необходимо определиться с весом критериев - относительному вкладу каждого критерия в итоговую оценку объекта - самому тонкому месту в проблеме критериального анализа. Чаще всего веса назначают, исходя из интуитивного представления о сравнительной важности критериев. Однако исследования показывают, что эксперт не способен непосредственно назначать критериям корректные численные веса. Таким образом, веса критериев мы также будем измерять в порядковой шкале.

Прежде всего необходимо определиться насколько один критерий геотехнического риска может превосходить другой, то есть насколько критерий 1 может превосходить по важности критерий 1+1. Для этого мы используем способ учета сравнительной важности критериев, основанный на качественном сравнении их значимости.

В простейшем виде представим пару объектов (Р1,Р2) и их оценки по двум критериям (К1,К2). Пусть К1 важнее К2 и вес К2 равен единице ('2=1). Рассмотрим ситуацию, когда по более важному критерию объект Р1 минимально превосходит объект Р2, а по менее важному критерию объект Р1 максимально уступает объекту Р2. Это следующая матрица оценок._

К1 К2

Р1 5 1

Р2 4 5

На втором этапе зададимся вопросом: при каком значении веса критерия К1 объект Р1 будет превосходить объект Р2 по взвешенной строчной сумме? Выпишем

'1 = 1 2 3 4 5

Р1 (сумма) = 6 11 16 21 26

Р2 (сумма) = 9 13 17 21 25

Из таблицы видно, что объект Р1 начинает превосходить объект Р2 при значении '1=5. Можно легко показать, что и в общем случае (при двух критериях и принятых ограничениях) превосходство веса критерия К1 на 4 единицы достаточно, чтобы превосходство объекта Р1 над объектом Р2 зависело только от значения оценок по этому критерию. Назовем такое превосходство "абсолютным". Здесь важно отметить, что тем самым критерий К2 вовсе не исключается из рассмотрения, поскольку оценки по критерию К2 начинают играть роль тогда, когда оценки по К1 равны.

_МГСУ

Примем следующую шкалу превосходства (степень превосходства) критерия i над критерием i+1):

1 - низкая

2 - средняя

3 - высокая

4 - абсолютная

Введение понятия "степень превосходства" для критериев позволяет более точно учесть представление экспертов о сравнительной важности критериев. Введем в экспертную оценку специальную таблицу "Ранги" для введения степеней превосходства критериев друг над другом. При этом возможны два пути. Первый (лучший) путь предполагает, что экспертная группа может выработать согласованное мнение по этому вопросу и выразить его путем ранжирования критериев по важности. Второй путь следует использовать в том случае, когда согласованного мнения экспертной группы относительно сравнительной важности критериев достичь не удается. В этом случае каждый член экспертной группы дает свою ранжировку критериев. В таком случае компромиссная (обобщенная) ранжировка будет построена на основе множества индивидуальных ранжировок.

Для нахождения компромиссной оценки по критерию будем использовать медиану Кемени, т.е. эмпирическое среднее относительно расстояния Кемени, введенного ранее. Пусть А1, А2, ..., As - случайные толерантности, описывающие мнения s экспертов. Тогда медианой Кемени является

Аср = Arg min]Td(Ap ,А). (7)

A p=i

Медиана Кемени - частный случай определения эмпирического среднего в пространствах нечисловой природы. Для нее справедлив закон больших чисел, т.е. эмпирическое среднее приближается при росте числа составляющих (т.е. р - числа слагаемых в сумме), к теоретическому среднему.

Предполагается, что ответы р экспертов А1 , А2 , A3 ,..., Ар есть основания рассматривать как независимые одинаково распределенные случайные элементы (т.е. как случайную выборку) в соответствующем пространстве произвольной природы, например, в пространстве упорядочений или отношений эквивалентности. Законы больших чисел показывают, во-первых, что медиана Кемени обладает устойчивостью по отношению к незначительному изменению состава экспертной комиссии; во-вторых, при увеличении числа экспертов она приближается к некоторому пределу. Его естественно рассматривать как истинное мнение экспертов, от которого каждый из них несколько отклонялся по случайным причинам.

Таким образом, компромиссной оценкой группы экспертов будем считать такую оценку (из множества значений оценок, выставленных экспертами) для которой сумма расстояний Кемени до каждой из выставленных экспертами оценок будет минимальной.

Расчет итогового рейтинга с учетом весов критериев ведем по формуле

к

R = 1 g^, (8)

/=1

где k - количество критериев, Acpi - компромиссная оценка по i-му критерию, xi -вес i-ro критерия в итоговом рейтинге объекта.

Методика проведения экспертной оценки:

1. Выбираются объекты экспертной оценки.

2. Составляется список критериев оценки.

3. Подбираются эксперты и составляется экспертная комиссия. При этом по каждому критерию допустимо использовать свой список экспертов.

4. Составляются опросные листы, с которыми будут работать эксперты.

5. Сбор экспертной информации в виде заполненных опросных листов.

6. Ввод экспертной информации в разработанную компьютерную программу "Оценка Геотехнического риска".

7. Обработка экспертной информации.

Литература:

1. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы и экспертные оценки. - В сб.: Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. Вып.58. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1979.

2. Г. Миллер. Магическое число семь плюс минус два. Инженерная психология - М.: Прогресс, 1964.

3. Куликова Е.Ю., Корчак А.В., Левченко А.Н. Стратегия управления рисками в городском подземном строительстве. Москва, 2005г. Из-во МГГУ.

4. Чунюк Д.Ю. Обеспечение безопасности и снижение рисков в геотехническом строительстве. - Вестник МГСУ №2. Москва, МГСУ, 2008г., с.107-111.

The literature:

1. Orlov A.I. Statistics of objects of the non-numerical nature and expert estimations. - in col.: Expert estimations / cybernetics Questions. Rel.58. - M: Scientific council AN of the USSR on a complex problem "Cybernetics", 1979.

2. G. Miller. Magic number seven plus a minus two. Engineering psychology - M: Progress,

1964.

3. Kulikova E.Yu., Korchak A.V., Levchenko A.N. Strategy of management by risks in city underground building. Moscow, 2005r. MGGU.

4. Chunyuk D.Yu. Safety and decrease in risks in geotechnical building. - Bulletin MGSU №2. Moscow, MGSU, 2008, p.107-111.

Ключевые слова: Геотехнический риск, анализ риска, количественный анализ риска, составляющие геотехнического риска.

Key words: Geotechnical risk, risk analysis, quantitative risk analysis, components the geotechnical risk.

chunyuk@mail.ru

Статья представлена Редакционным советом «Вестника МГСУ»