CC BY
42
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 1 Физико-математические пауки 2009
УДК 538.955^539.166.2^539.144.4
ЭФФЕКТЫ КВАНТОВОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЯ В «ОПТИЧЕСКИ» ПРОТЯЖЁННОЙ СРЕДЕ
В.Ю. Любимое, Ю.Я. Петру шеи,ко, Е.А. Попов, В.В. Самарцев
Аннотация
В работе показано, что когерентное взаимодействие гамма-кванта с большим ядер-пым ансамблем индуцирует пространственную зависимость матрицы ядерпого показателя преломления от фазы радиочастотного поля, что приводит к возникновению «оптически» неоднородной структуры. Найдены условия типа электромагпитпо-ицдуцпроваппой прозрачности и максимального поглощения пробного поля гамма-квапта за счёт обмена энергией с радиочастотным резервуаром. Проанализирована эволюция режима электромагпитпо-ипдуцироваппой прозрачности и групповой скорости медленного гамма-света в зависимости от линейных размеров среды с целыо изучения возможности внешнего контроля интенсивности, длины импульса и поляризации потока гамма-кваптов. выходящих из образца.
Ключевые слова: гамма-оптика, квантовая интерференция, ядерпый показатель преломления, электромагпитпо-ицдуцироваппая прозрачность.
Введение
Хорошо известно, что контроль и управление процессами распространения излучения в среде является актуальной задачей в оптике и имеет много практических приложений [1]. С точки зрения перспектив сегодня особое внимание привлекают два подхода: первый базируется на использовании управляющего оптического поля и обусловлен эффектами квантовой интерференции, такими, как электромагнитно-индуцированная прозрачность (ЭМИП) среды: во втором нужно иметь оптические среды с пространственно-периодическим показателем преломления. чей период определяется длиной волны излучения (фотонные кристаллы). Методы контроля и управления будут актуальны и для транспорта гамма-квантов в «оптической» среде, например, для уменьшения резонансных потерь и создания узконаправленных гамма-импульсов заданной формы и интенсивности. Однако перенести напрямую оптические подходы в гамма-диапазон весьма проблематично. Например, трудно себе представить, как технологически создать структуры, для которых пространственный период ядерпого показателя преломления будет порядка 0.86 А длины волны гамма-излучения, формирующегося в ядерном переходе 13/2) ^ 11/2) изотопа 57^е. Более заманчивым, на наш взгляд, является подход, связанный с эффектами квантовой интерференции, хотя бы потому, что процесс распространения гамма-излучения в «оптической» среде есть сугубо одноквантовый, и, следовательно, поле гамма-кванта можно рассматривать как слабое пробное поле в схеме ЭМИП. Но и здесь возникает затруднение, связанное с тем, что нельзя ввести сильное управляющее поле ни в гамма- (отсутствуют источники когерентного гамма-излучения), пи в оптическом (отсутствуют метастабиль-ные оптические подуровни в возбуждённом состоянии ядра) диапазонах. В [2 4]
мы показали, как это препятствие может быть обойдено, предложив новый подход. в котором в качестве управляющего выбирается резонансное радиочастотное (РЧ) поле. Оно создаёт временную фазовую когерентность в системе сверхтонких (СТ) подуровней возбуждённого состояния ядра, имеющих одинаковое время жизни, что позволяет реализовать условия типа ЭМИП и замедления света при распространении гамма-излучсиия в магнитной «оптически» топкой среде. Было найдено, что при определённых фазах резонансного РЧ-поля среда становится прозрачной для излучения одной круговой поляризации, в то время как максимально поглощает излучение другой, и это может служить основой для создания когерентно регулируемых поляризационных фильтров гамма-квантов.
Однако более многообещающими, с точки зрения разнообразия новых подходов для внешнего когерентного воздействия на процесс распространения гамма-излучения. будут «оптически» плотные среды, где наряду с эффектами квантовой интерференции, вызванными управляющим РЧ-полем, заметную роль играют и эффекты, обусловленные коллективным резонансным перерассеянием гамма-кванта большим ядерным ансамблем среды [5]. а также интерференцией поляризационных состояний гамма-кванта [6]. Взаимосвязь эффектов всех трёх типов, определяемая величиной «оптической» плотности, породит пространственную зависимость ядерного показателя преломления от параметров РЧ-поля. что может открыть новые возможности для эффективного влияния на «оптические» свойства среды и контроля распространения гамма-излучения в ней. Особенности прохождения гамма-кванта через «оптически» плотную магнитную среду, находящуюся под действием резонансного РЧ-поля. и будут рассмотрены в настоящей работе.
1. Теоретический формализм
Для решения задачи, аналогично [2]. воспользуемся формализмом Максвелла фон Неймана [7]. предполагая, что огибающая вектор-потенциала пробного поля (волновая функция) падающего на среду гамма-кванта на границе среды у = 0 в базисе круговых поляризаций (р = ±1) имеет вид ap(t, 0) = cp exp [—rs(t — t0)/2], где константы cp определяются поляризационным состоянием гамма-кванта. «Оптическая» среда является внедрённым в магнитную матрицу ансамблем ядер 57 Fe. Будем считать, что постоянная составляющая сверхтонкого поля на ядре Н0 направлена вдоль Z-оси, а переменная составляющая, обусловленная внешним РЧ-полем, Hrf = Hf cos$ - вдоль X-оси тензора градиента электрического поля (ГЭП), где Ф = &(t — t1) - текущая фаза РЧ-поля. Если выполняется условие C = Hf /Н0 ^ 1, то механизм наведения фазовой когерентности в системе СТ-подуровней определяется гамильтонианом квадрупольного взаимодействия
я, = Щ№)2 + \НТе +1))
и СТ-взаимодействия
Hhf = ^53 шhf (Ц + C(/j с°5ф + /у вшф)).
j=e,g
Для Фурье-компонент огибающей амплитуды волны гамма-кванта ap(v,y, Ф) и матрицы плотности age(v,y, Ф) аналогично подходу, используемому в [3, 4, 8], можно записать уравнения Максвелла фон Неймана:
^7 = -^ Е ^;(в^)С(3ьМ,е0^^е*Мфазе,
ei,gi,M
да„е. . 'Г" )+
ft Qy — *(А7 — V + LOeg + і — ) +
+ Е °мр' (0,Ф)С(д2,М,е2}и(ее) е-ІМфар,
Є2,32 ,М ',р'
где ^ - коэффициент ядерного резонансного поглощения; Д7 = — ^0 - допле-
ровский сдвиг (расстройка) частоты падающего гамма-кванта о>7; ^0 - частота ядерного перехода в отсутствие квадрупольного и СТ-взаимодействия; у>) -
матрицы вращения, С(д, М, е) - коэффициенты Клебша- Гордона; Ншед = #ЄЄ — — Ндд; С/^ - оператор преобразования гамильтониана к диагональному виду
(Нл = С ехр(іФ ) Н ехр(—іФі|) С/ + ); Г8 = Га = Г = 1.126 МГц - естествен-
ная ширина линии ядерного перехода между основным и первым возбуждённым состояниями изотопа 57 Ее .
Для среды с произвольной «оптической» плотностью ^у найти общее аналитическое решение системы уравнений (1) невозможно. Для численного моделирования представим волновую функцию ар(и, у, Ф) и матричные элементы ядерных переходов аде(і/,у, Ф) в виде ряда относительно Ф:
ap(v,y, Ф)= Е a?;(v,y)eim*
m= — oo
(2)
age(v, y, Ф)= Е аде(^> y)eim$.
m= — ^>
Подставив (2) в (1), нетрудно получить:
dam Q
1<* SEE vi.
У e,ei ,e2 g,gi ,g2 M,M'
am-M+M' ( y)
xC(g1,M,e1)C(g2,M’,e2) x —---------------------V ’ ■ (3)
(U(m - M) - Д7 - ^eg + v)i + Га/2
Используя критерий |aJ +1(v, y)/aJ(v, y)| С 1, ограничимся в (3) J-гармониками и перепишем систему уравнений (3) в матричном виде:
^ = Gx4(^), (4)
где A = Hag'll - матрица-столбец размерпости 2(2J + 1), а G = HG^,|| - квадратичная матрица размерности 2(2J +1) х 2(2 J + 1), чьи элементы определяются из (3). Получаем, что решение уравнения (1) с учетом (2) легко получить с помощью формального матричного представления:
A(v, y) = exp(Gy)A(v, 0), (5)
где A(v, 0) определяется из граничных условий.
Для изучения эффектов квантовой интерференции, приводящих к условиям
типа ЭМИП и замедлению гамма-света в «оптически» плотной (ру ^ 1) сре-
де, будут анализироваться три величины: скорость счёта (интенсивность потока)
y
показатель преломления «оптической» среды и групповая скорость гамма-квантов
в среде. Предположим, что детектируются все кванты, прошедшие через образец. независимо от того, в какие моменты времени они испущены естественным радиоактивным источником. Такие условия могут быть реализованы в методике синфазного детектирования [9]. Тогда скорость счёта гамма-квантов равна:
I (у, Ф) = Е / dv
p -гс
a(v, y) exp (ітФ)
(6)
Определим матрицу размером 2 х 2 ядерного показателя преломления npp' = = дрр' + Хрр' «оптической» среды, чьи диагональные элементы являются показателями преломления для состояний гамма-кванта с правой и левой круговыми поляризациями, а иедиагоиальиые амплитудами перехода между ними. Для этого воспользуемся подходом [6], согласно которому запишем v-ю компоненту волновой функции гамма-кванта в виде ap(v, у, Ф) = ^(exp (-ikny))pp>cp>. Так как в любом
р'
«оптически» тонком слое образца с геометрической толщиной dy матричные элементы хрр' не меняются и справедливо соотношение хрр' dy ^ 1 [3], то легко показать, что
дар _ ap{v, у + dy, Ф) - ap{v, у, Ф) ^
~д:у ~ dy “ ^1кХрр'Лр' ■ (П
Если обе части уравнения (4) умножить на exp (гшФ) и просуммировать по ш, то оно преобразуется к виду:
~д^ = ^2Врр’-р'
Из сравнения (7) , (8) следует, что в «оптически» плотной среде матрица Хрр' y
1 д , ap'(^У)егтФ
( жч _ 1 Bp.pt (у, у, Ф) _ 1 ТЩІ________________
ХрА^У,*)- к а {1/}У}ф) - к ■ (9)
Согласно [10], при выполнении условия — 'Хрр ^ 0 групповую скорость потока р-поляризованных гамма-квантов можно выразить через диагональные элементы матрицы восприимчивости (8):
г’пг {и = 0; У; Ф) = -----------“-----чр-----• (Ю)
3 л , г> , дИв Хрр
1 + Не Хрр + ^7---7^-----
2. Анализ результатов и дискуссия
В результате численной оценки в разложении волновой функции (2) достаточно ограничиться двумя гармониками (V = 2), вследствие чего рассмотренные в [3, 8] многоуровневые модели «оптической» среды, справедливые в случае цу ^ 1, могут быть перенесены и на случай цу ^ 1.
Рассмотрим сначала среду первого типа, удовлетворяющую условиям ^ Г, со следующими параметрами системы СТ-подуровней основного и возбуждённого состояний ядра 57 Ге: = 20Г, = 7Г. Частоту внешнего РЧ-
поля выберем равной частотному расстоянию между СТ-подуровнями 11 / 2} е и
1.4
1.2
1
0.1
0.6
0.4
Ф/2п
0.5
Ф/2п
.
I1 У 1 1 У=6.5
1 у-10
\ 1 У-16
Рис. 1. Зависимость интенсивности прошедшего излучения от фазы РЧ-поля (Ф) при различной оптической плотности (цу): а) случай Г. Д7 = Дх з : Ь) случай = 0.
Д7 = Д1
ь
а
13/2) е П = + 2^д для того, чтобы выполнялись условия точного ЯМР-резонанса.
Без ограничения общности будем считать, что падающий гамма-квант распространяется вдоль У-осп тензора ГЭП (в = ^ = п/2), его частота настроена на частоту перехода |1/2)3 —>■ |3/2}е (Д7 = Д13 = ), а сам он имеет правую кру-
говую поляризацию (е\ = 1, с_1 = 0). Тогда увеличение «оптической» плотности в интервале 0 < ^у < 4 приводит к появлению фазовой области, в которой среда не только полностью прозрачна для потока падающих гамма-квантов с интенсивностью 10, но и усиливает его (I(у, Ф) > 10(у)) (рис. 1, а). При ^у ~ 4 эта область достигает максимальных размеров -п/3 ^ Ф ^ п/3. Возникновение такого «окна
Ф
го в него, существует диапазон изменения V, в котором 1тхи ^ 0, а переходами гамма-кванта в состояние с левой круговой поляризацией, где 1т х_1_1 < 0, можно пренебречь. При цу ~ 4 и Ф = 0 от становится наибольшим ( — 1.25Г < V < < 1.25Г), поэтому усиление проходящего гамма-излучения достигает максимума (рис. 2). С дальнейшим ростом «оптической» плотности в интервале 4 < цу < 10 этот диапазон вновь уменьшается, и «окно прозрачности и эмиссии» постепенно сужается в точку Ф = 0 (I(у, Ф) = 10(у)), а при ^у > 10 среда вообще становится поглощающей независимо от фазы внешнего РЧ-поля. В отличие от «оптических»
(1)
свойств среды, о процессе изменения групповой скорости г>£г с увеличением ^у ничего нельзя сказать, поскольку при условиях ЭМИП окрестность V = 0 для право-поляризованных гамма-квантов является областью аномальной дисперсии, где приближение групповой скорости неприменимо. Однако характер поведения групповой скорости медленного гамма-света в прозрачной среде можно проанализировать, если незначительно отстроится от условий точного гамма-резонанса. Например, когда Д7 = Дц — 2Г и Ф = 0.4н, то рост ^у приводит сначала к повышению г>1г от ~ 10 до ~ 30 м/с (^у = 4), а затем к более медленному спаду до ~ 17 м/с (рис. 3, а).
Ф=п
квантов, существенно превышающего величину, полученную усреднением (8) по фазе РЧ-поля. С ним связан диапазон изменения V, где 1тХ11 принимает отрицательные значения и на концах которого большие амплитуды поляризационного смешивания |х_и| индуцируют интенсивный переход гамма-кванта из состояния с правой круговой поляризацией в состояние с левой (рис. 4). Подобные эффекты, индуцированные РЧ-полем в «оптической» среде, имеют место и в том случае, когда частота падающего право-поляризованного гамма-кванта настроена на ча-
а Ь
Рис. 2. Показатель преломления в зависимости от отстройки от точного резонанса (шч ^ Г, переход 11 /2} ^ |3/2}) в режиме наибольшего «усиления» (Ф = О, НУ = 4): а) мнимая часть диагональных элементов, отвечающих за поглощение: Ь) амплитуда педиагопаль-пых элементов, отвечающих перекачку поляризаций
а Ь
1 У 1 У
Рис. 3. Пространственная эволюция групповой скорости право-поляризоваппых гамма-кваптов в режиме «прозрачности и эмиссии»: а) случай Г. Д7 = Д1 з — 2Г и
Ф = 0.47т: 6) случай = 0. Д7 = Д1 _1 и Ф = 7Г
стоту перехода |1/2)д ^ 11/2)е с единственным отличием - сдвигом всех фазовых п
Перейдём теперь к среде второго типа, для которой о^=20Г, = 0. Ча-
стоту П внешнего РЧ-иоля выберем равной с целью выполнения условий ЯМР-резонанса в системе СТ-подуровней возбуждённого состояния ядра 57 Ге. Отсутствие квадрупольиого взаимодействия приводит к тому, что эффекты квантовой интерференции имеют место при настройке частоты падающего правополяризованного гамма-кванта на любой из гамма-резонансных переходов в системе СТ-подуровней основного и возбуждённого состояния ядра, причём вследствие симметрии при анализе достаточно ограничиться переходами |1/2)д ^ |3/2)е; |1/2)д ^ 11/2)е; 11/2)д ^ |-1/2)е- Для переходов |1/2)д ^ |3/2)е и |1/2)д ^ ^ 11 /2) е мы имеем ситуацию, сходную с той, что имеет место для среды первого типа. Так, например, для перехода |1/2)д ^ 11/2)е в точном резонансе Д7=-27.1Г увеличение цу в интервале 0 ^ цу ^ 10 приводит к возникновению окна «полной прозрачности и эмиссии» -п/3 ^ Ф ^ п/3, которое затем эволюционирует в точку Ф = 0, что также соответствует положительным 1т Х11 и минимальным |х1_11 ? |х_111 > имеющим правда другую зависимость от V. Существуют режим макси-Ф=п
а Ь
Рис. 4. Показатель преломления в зависимости от отстройки от точного резонанса (шч ^ ^ Г, переход 13/2} ^ |1/2}) в режиме наибольшего «усиления» (Ф = п, НУ = 4): а) мнимая часть диагональных элементов, отвечающих за поглощение: Ь) амплитуда педиаго-пальпых элементов, отвечающих перекачку поляризаций
прозрачной и в ной корректно описывается зависимость групповой скорости медленного гамма-света от ру, что реализуется, например, при условиях Д7 = —28.4Г, Ф=0
па частоту перехода |1/2)д ^ | —1/2)е, то возникает новая ситуация. Теперь режим ЭМИП. в котором выполняется приближение групповой скорости, справедлив н в
31
точном резонансе (Д7 = Д1 I = — -и)д —шд), где область «прозрачности
2 ’ 2 2 2
35
и эмиссии» — 7г ^ Ф ^ — 7г возникает и преобразуется в точку Ф = 7г в интервале
0 < ру < 16 (рис. 1, Ь). В свою очередь, имеет место и иная зависимость групповой
Ф=п
сначала наблюдается рост от 30 до 125 м/с (ру = 8), затем она уменьшается до 113 м/с, после чего вновь возрастает до 180 м/с (рис. 3, Ь).
Заключение
57
полем гамма-кванта и управляющим РЧ-полом индивидуально и дает аддитивный вклад в волновую функцию ар^,у, Ф). В свою очередь, матрица ядерного показателя преломления среды прр> те зависит от у и является суммой постоянной и
Ф
одного поляризационного состояния в другое можно пренебречь II «оптические» свойства среды главным образом определятся показателями преломления прр. Тогда, варьируя Ф, можно найти условие типа ЭМИП для потока р-поляризованных гамма-квантов, при котором справедливо соотношение Ие прр = 1т прр = 0. Когда ру ^ 1 уже нельзя считать, что ядра 57 Бе взаимодействуют с системой «гамма-квант — РЧ-поло» независимо друг от друга. Причина этого заключается в том, что линейные размеры среды значительно меньше длины когерентности падающего гамма-кванта с энергией 14.4 КэВ (с/Г ~ 40 м), поэтому он делокализуется в ней и взаимодействует со всем ядерным ансамблем одновременно. Если число ядер N в ансамбле достаточно велико, то заметную роль в таком взаимодействии начинают играть к-частичные корреляции (к = 2, 3,..., N). Они приводят к когерентному порорассоянию гамма-кванта, которое, например, является причиной более слабого резонансного поглощения в «оптически» плотной среде по сравнению с законом Бугера Бэра [11]. Нужно отметить, что кроме когерентного порорассояния замет-
ную роль играют и интерференционные эффекты поляризационного смешивания, обусловливающие переходы гамма-кванта из одного поляризационного состояния в другое [6]. В определённом диапазоне изменения py конструктивная интерференция эффектов когерентного порорассояния и эффектов, индуцированных РЧ-полом. делают среду не только прозрачной для потока падающих гамма-квантов, но и усиливают его. Величина усиления максимальна в точном резонансе Д7 = = mew'ef — mgпричём отклонение Д7 в сторону меньших значений приводит к смещению окна «прозрачности и эмиссии» в сторону больших Ф и наоборот. В то же время эффекты перехода гамма-кванта из одного поляризационного состояния в другое несущественны, но они значительно увеличиваются при переходе в режим наибольшего поглощения.
Такой сценарий развития событий связан с тем. что при распространении гамма-кванта в «оптической» среде кроме резонансного поглощения и перехода из одного поляризационного состояния в другое имеет место периодический обмен энергией с когерентным радиочастотным резервуаром. В «оптически» тонкой среде он позволяет компенсировать резонансные потери и реализовать условия типа ЭМИП. а в «оптически» плотной, где резонансное поглощение ослабляется за счёт когерентного порорассояния. даже увеличить поток падающего гамма-излучения. Таким образом, подбирая «оптическую» плотность среды и параметры пробного и управляющего полей, можно задавать размеры «окна прозрачности и эмиссии» и закон изменения групповой скорости гамма-света и тем самым регулировать интенсивность, длину и поляризацию гамма-импульса, выходящего из магнитного образца.
Итак, мы рассмотрели особенности прохождения гамма-кваитов в «оптически» плотной среде, находящейся под действием когерентного радиочастотного поля. Было найдено, что новые эффекты квантовой интерференции, связанные с коллективным взаимодействием большого ядерного ансамбля с гамма-излучением, индуцируют пространственную неоднородность матрицы ядерного показателя преломления и порождают «оптически» протяжённые структуры с заранее прогнозируемыми свойствами. Как следствие, манипуляции пространственными размерами предоставляют новые возможности для управления «оптической» прозрачностью среды, а также контроля резонансных потерь и поляризации гамма-излучения, распространяющегося в ней. Полученные результаты позволяют надеяться, что «оптически» плотные среды, подвергающиеся внешнему радиочастотному воздействию, могут найти широкое применение при разработке волноводов в гамма-диапазоне, работающих по принципу фотонных кристаллов, и создании источников гамма-излучения с заданными параметрами.
В.Ю. Любимов и Е.А. Попов выражают признательность РФФИ за поддержку этой работы в рамках проекта X- 05-02-16567.
Summary
V.Yu. Lyubimov, Yu.Ya. Petrushenko, E.A. Popov, V.V. Samartsev. Quantum Interference Effects of Gamma-Radiation in Optically Extended Medium.
It is shown t.liat. the coherent interaction between gamma quantum and a large nuclear ensemble induces the spatial dependence of refraction index on radio-frequency field phase. It leads to the occurrence of an optically lion-homogeneous structure. Both the conditions of elect.romagnetically induced transparency (EIT) and of maximum absorption of probe gamma field, caused by an exchange with radio-frequency reservoir, were obtained. The evolution of both the EIT regime and the group velocity of slow gamma photons were analyzed.
The influence of gamma pulse duration, polarization of radiation and linear dimensions of a medium was explored.
Key words: gamma-optic, quantum interference, nuclear index refraction, electromagnetic induced transparency.
Литература
1. Fleischhauer М., Imwmuglu A., Maranyus J.P. Electromagnetically induced transparency: Optics in coherent media // Rev. Mod. Pliys. 2005. V. 77. P. 633 673.
2. Башкиров Ш.Ш., Любимов В.Ю., Попов E.A. Эффекты квантовой интерференции гамма-излучения при кроссипге-аптикросипге ядерпых уровней в радиочастотном поле // Письма в ЖЭТФ. 2006. Т. 84, Л» 4. С. 208 211.
3. Lyubimov V.Yu., Popov Е.А., Samartsev V.V., Kutsenko S.М., Polyakov N. V. Coherent influence of rf field on the gamma-optical properties of a medium upon crossing-anticrossing of nuclear levels//Laser Physics. 2007. V. 17. P. 765 771.
4. Башкиров Ш.Ш., Любимов В.Ю., Попов E.A., Белавин В.А., Куценко С.М. Эффек-
ты квантовой интерференции гамма-излучения при кроссипге-аптикроссипге ядерпых уровней в радиочастотном поле // Изв. РАН. Сер. физ. 2007. Л'! 71. С. 1238
1242.
5. Smirnov G. V. Nuclear resonant scattering of synchrotron radiation // Hyperfine Interact. 1996. V. 97 98 P. 551 588.
6. Blume М., Kistner O.C. Resonant absorption in the presence of faraday rotation // Phys. Rev. 1968. V. 171, No 2. P. 417 425.
7. Popov E.A. Coherent response in the forward direction to the almost stepwise gamma-pulse // J. Phys.: Condensed Matter. 1996. V. 8 P. 5483 5489.
8. Башкиров Ш.Ш., Любимов В.Ю., Поляков П.В., Попов E.A. «Гамма-оптические» свойства среды при условии перемешивания сверхтонких подуровней возбужденного состояния // Учеп. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, кп. 3.
С. 42 47.
9. Perlow G.P. Quantum beats of recoil-free 7-radiation // Phys. Rev. Lett. - 1978. - V. 40, No 13. P. 896 899.
10. Ярив А., Юх П. Оптические волпы в кристаллах. М.: Мир, 1987. 616 с.
11. Crisp M.D. Propagation of Small-Area Pulses of Coherent Light through a Resonant
Medium // Phys. Rev. A. 1970. V. 1 P. 1604 1611.
Поступила в редакцию 22.12.08
Любимов Виктор Юрьевич инженер физического факультета Казанского государственного университета.
E-mail: victor, lyubimov Qgmail. com
Петрушенко Юрий Яковлевич доктор физико-математических паук, профессор, ректор Казанского государственного энергетического университета.
Попов Евгений Александрович доктор физико-математических паук, профессор кафедры ИиИУС Казанского государственного энергетического университета.
Самарцев Виталий Владимирович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий лабораторией нелинейной оптики Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН.
E-mail: samartsevesamartsev.com
