CC BY
84
Эффективность инвестиционного портфеля
Т.М. Бан.
филиал ВЗФЭИ в г. Архангельске
В статье рассматривается модель Марковица формирования оптимального портфеля минимального риска при заданном уровне доходности, индексная модель У.Шарпа, модель оценки стоимости активов (Capital Asset Pricing Model — САРМ), приведен пример формирования портфеля минимального риска заданной эффективности с учетом ведущего фактора рыночного риска
Портфель ценных бумаг представляет собой сформированную в соответствии с инвестиционными целями инвестора совокупность активов, рассматриваемую как целостный объем управления. Главная цель формирования инвестиционного портфеля состоит в том. чтобы получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. И эта цель может быть достигнута. во-первых, за счет диверсификации портфеля, т.е. распределения средств инвестора между различными активами; во-вторых, за счет тщательного подбора финансовых инструментов.
На практике используют множество моделей формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Большинство из них основано на методике Марковица. В классической постановке Марковича задача формирования оптимального портфеля сводится к минимизации риска портфеля при ожидаемой доходности портфеля не ниже желаемого уровня. В модели Марковича допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций), т.е. веса активов должны иметь неотрицательные значения, а их сумма должна равняться единице. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей, т.к. доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.
Инвестор по каждому активу находится в длинной позиции. Длинная позиция — это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности иен покупки и продажи.
Таким образом, задачу можно записать в виде целевой функции:
ар = JZxi ' cf +21 Zxrxj ■ <*ч min
V i i f=i
при следующих ограничениях;
1>,=1 1=1
jf, >0
л* — доля инвестиций, помещенных в /-й актив;
д- — доля инвестиций, помешенных в у-й актив;
/? — доходность г-го актива;
0 } — риск портфеля;
а — ковариация между доходностями I и ) активов;
И — заданная доходность портфеля.
Индексная модель зависимости между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка была предложена У. Шарпом. Эту модель часто называют рыночной моделью. Уравнение модели имеет следующий вид;
ЕЯ, = а, + р, • ЕИт + г,
где НИ — ожидаемая доходность ¡-го актива;
а — доходность ¡-го актива в отсутствии воздействия на него рыночных факторов (коэффициент смешения);
[3 — коэффициент бета ¡-го актива;
Ь'к — ожидаемая доходность рыночного портфеля (индекса);
£ — независимая случайная переменная (ошибка), характеризует специфический риск ¡-го актива.
№1, 2008 14
Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на систематический (рыночный) и специфический (собственный) риск. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:
сг=р?*о;+<
где а - — общий риск ¡-го акт ива; оло„: — систематический (рыночный) риск ¡-го акт ива:
ае. — специфический (собственный) риск ¡-го актива.
Для вычисления доли рыночного риска в общем риске актива используют коэффициент детерминации — К\ Он представляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии:
« .Й «
Значение коэффициента детерминации изменяется от нуля до единицы. Чем ближе значение R- к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива.
В настоящее время модель Г. Мар-ковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестированного капитала по их различным т ипам (акциям, облигациям, недвижимости и г. п.). Однофакторная модель У. Шарпа используется на втором этапе, когда капитал, инвестированный в определенный сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (т. е. по конкретным акциям, облигациям и т. п.).
В финансовом мире достаточно популярной является модель, разработанная У. Шарпом и Дж. Линтерном и получившая название модели оценки сто имости активов (Capital Asset Pricing Model — САРМ).
Модель предполагает, что в состоянии равновесия рынка ожидаемая доходность актива равна ставке без риска плюс вознаграждение за рыночный риск, который измеряется величиной бета. Зависимость между ожидаемой доходностью актива и его системат ическим риском графически изображает линия рынка актива (Security Market
прямую линию, проходящую через две точки, координаты которых равны 0;R и 1;FR.... Таким образом, зная ставку без риска и ожидаемую доходность рыночного портфеля, можно псхтроить SML. В состоянии равновесия рынка ожидаемая доходность каждого актива должна располагаться на SML.
Ожидаемую равновесную доходность актива (доходность в условиях равновесия рынка) определяют с помощью уравнения SML:
ER, =Rf+ р, • (ERm - Rf)
где ER — ожидаемая равновесная доходность i-ro актива:
R, — безрисковая доходность:
Р — коэффициент бета i-го актива;
FRm — ожидаемая доходность рыночного портфеля (индекса);
(ERm - R() — рыночная премия за риск.
SML учитывает только системный риск портфеля (актива). Единицей риска является величина бета, так как рынок оценивает активы не с точки зрения их общего риска, который измеряется стандартным отклонением, а только на основе рыночного риска, измеряемого бетой.
Согласно САРМ цена актива будет изменяться до тех пор, пока он не окажется на SML. На практике можно обнаружить активы, которые неверно оценены рынком относительно уровня его равновесной ожидаемой доходности. Если эта оценка не Соответствует реальному инвестиционному качеству актива, то в следующий момент рынок изменит свое мнение в направлении более объект ивной оценки и будет стремиться к некоторому равновесному (т.е. верному) уровню оценки. Если актив переоценен рынком, уровень его доходности ниже чем активов с аналогичной характеристикой риска, если недооценен, то выше.
Показатель, который говорит о величине переоценки или недооценки актива рынком, называется «альфой-. Альфа представляет собой разность между действительной ожидаемой доходностью актива и равновесной ожидаемой доходностью, т.е. доходностью, которую требует рынок для данного уровня риска. Доходность актива в этом случае можно записать как:
R| = Rr + Р, • (£Я„, - Rf) + а,
Откуда:
а, = а, + Я, ■ (р, - 1)
В зависимости от значений альфы возможны следующие предположения, связанные с оценкой актива рынком относительно уровня его равновесной ожидаемой доходности:
а. < 0 — ожидаемая доходность актива ниже ожидаемой доходности рынка. актив переоценен рынком;
а = 0 — ожидаемая доходность актива равна ожидаемой доходности рынка. актив адекватно оценен рынком;
а > 0 — ожидаемая доходность актива выше ожидаемой доходности рынка, актив недооценен рынком.
Инвесторы, желающие получить более высокие доходы, должны стремиться приобретать активы с положительной альфой. Через некоторое время рынок заметит недооценку, и их цена повысится. Одновременно инвесторам следует продавать акт ивы с от рицательной альфой, так как в последующем их цена понизиться.
Сформируем портфель минимального риска из выбранных акций при заданной доходности портфеля с учетом индекса рынка. Задача Марковица о формировании оптимального портфеля минимального риска заданной эффективности с учетом ведущего фактора рыночного риска имеет вид: найти
2 (lllin)
при ограничениях:
-(а,Я,
1=1
Х*, = 1
х, > О
Для каждой выбранной акции были определены ожидаемые доходности, бета-коэффициенты и несистематический риск. Эти данные приведены в табл. 2.
Уменьшение риска портфеля достигается за счет диверсификации. Размер выигрыша от диверсификации зависит от того, насколько низка корреляция
Экономика, Статистика и Информатика е 5 №1, 2008
Таблица 1
Месячные доходности акций и индекса РТС с 30.03.05 по 30.03.07
Время Ваш информ связь Волга телеком Даль связь С-3 Теле ком ЮТ К Баш нефть Тат Нефть НЛ мк ! Доход НТ ность МК |индекс j а РТС
мар.07 -7,25 2,17 10.26 0.64 12.50 -5.92 8.80 10.84 9,24 4.75
фев.07 -8,00 5.51 4.18 1.26 -5.62 -4.14 0.30 6.53 5.63 0,83
янв.07 3.21 5.83 2.16 0,95 1.11 6.90 6.45 5.60 6.52 4.11
дек.06 19.78 34.83 24.55 17.54 27,66 -2.91 -7.92 1.13 13,65 8,17
ноя.06 2.82 18,67 9.15 17.75 13.71 4.14 8.84 11.58 7.71 10.11
окт.06 11,32 6.72 3,03 6.26 -3.13 13.67 8.74 5.71 5.86 4.10
сен. 06 15,43 7.49 0.68 12.10 5.79 -10.04 -22.60 2.51 0.05 4.72
авг.06 16.77 5,20 -4.84 12.34 1.63 10.97 8,70 9.44 19.11 4.87
нюл.06 24.06 28,50 18.10 14,08 17.14 8.13 30.08 0.54 4.74 3.78
июн.06 0.93 10.50 10.2 12.6 11,76 5,14 1 1,99 2.69 2.14 2.29
май.06 -9.32 -18.14 10,8 19.4 27.88 30.17 26.09 -1.42 18.37 -11.83
апр.06 6.79 1,64 4.13 3.46 5.10 5,62 7.77 7.94 12,00 15.49
мар.06 7.92 2,29 12.5 2.89 7,65 1.18 6.79 2.83 5.00 1.27
фев.06 34.83 10,10 22.45 23.67 14.86 9,54 40.88 15.57 7.12 10.45
яив.06 26.24 -1,25 17.60 14,11 8,03 36,72 30.57 27.38 7,55 16,91
дек.05 9.62 9.56 8,23 20.93 -0.72 7.56 0.36 0.07 2.72 8.52
ноя.05 4,00 0,33 10.00 7,45 26.61 3.88 5.41 3.50 0,60 10.94
окт.05 11.76 -1 1.52 0,96 -10,9 0,93 2,64 0.13 1.93 5.40 -7.22
сен.05 8,28 2,56 18,86 6.67 12.50 24.76 27,09 14.97 13.86 14.25
авг.05 12.14 12.76 17.45 10,03 2,13 29,97 18.75 2.45 9.20 13,24
июл.05 14.75 9.36 6.43 7,05 5,62 8,68 13.54 12,30 5,95 10.27
июн.05 9.63 -13.07 0.71 1.27 -4,30 7,01 7.89 -17.40 0.75 4.74
май.05 0,75 12.61 2.08 3.61 -3,13 0,54 1,57 3,53 7.33 0,61
arip.05 1.47 2.06 7.46 -1.93 1,03 5,48 8.90 1.09 5.81 0,19
среднее 2,35 3,20 5,49 4,48 3,53 4,45 5.86 3,81 3.15 4,81
Таблица 2
Показатели риска и доходности акций
Ваш информ спил. Bo.ua теле ком Дадь связь С-1 Геле ком ютк Ваш нефть Таг неф ib НЛМК НТМК
Ожидаемая доходность акции 2,35 3.2 5.49 4,48 3.53 4.45 5.86 3.81 3,15
Вета-комффнцисш акции 1,137 Ü.611 0.964 0.87 0.978 1,374 1.327 0.629 0.543
Собственный риск акции 124,31 139.95 61.50 81,10 95.26 82.17 163.22 60.63 55.30
Таблица 3
Коэффициенты корреляции выбранных акций_
Ваш ммфпрм связь Волга теле КОМ Даль связь С-3 Теле ком ЮТК Ваш нефи. Тат нефть НЛ МК ИТ МК
Башинформсвязь 1
Волгателеком 0.159 1
Дальевязь 0.454 0.667 1
С-3 Телеком 0,398 0,745 0,697 1
ЮТК" 0.313 0.695 0.806 0,688 1
Башнефть 0.496 0.160 0,495 0.421 0,289 1
Татнефть 0,440 0.269 0,639 0.512 0.456 0,721 1
НЛМК 0.524 0.160 0.494 0.247 0.354 0.414 0.452 1
НТМК 0,356 -0,042 0,096 0,263 0,179 0,609 0.442 0.251 1
Таблица 4
Параметры оптимизированного портфеля при месячной доходности 4,5%
Наш информ еня л Во. н а 1еле КОМ Даль спи п. С-1 Теле ком ЮТК Ваш нефть Таг неф|ь НЛМК нтмк
Ожидаемая доходность акции 2.35 3.2 5.49 4,48 3,53 4,45 5.86 3.81 3.15
бета-коэффициент акции 1.137 0.611 0.964 0.87 0,978 1.374 1,327 0.629 0,543
Собственный риск акции 124.31 139.95 61,50 81.10 95.26 82.17 163.22 60.63 55.30
Доля акции в портфеле 0 0.047 0,349 0.151 0,000 0 0.07 0.227 0.156
Дисперсия индекса РТС 52.7
Систематический риск портфеля 34,92
Собственный риск портфеля 14.92
Общий риск портфеля 7.06
Доходность портфеля 4.50 "»,5
шш
N°1, 2008 ГГ
между акциями, включенными в портфель: чем она меньше, тем больше снижается риск. В формируемый портфель включены акпии компаний различных отраслей, коэффициенты корреляции которых, представлены в габл. 3.
В качестве ожидаемой доходности акций использовалась ее оценка на основе соответствующих рыночных моделей при среднеарифметической месячной доходности индекса РТС за 2 года, которая равна 4,81%. Данная оценка ожидаемой доходности акций совпадает со средней арифметической выборочной доходностью. Дисперсия доходности индекса РТС составила 52.7.
Решение задачи о формировании оптимального портфеля заданной эффективности и минимального риска с учетом ведущего фактора рынка получено с помощью табличного процессора MS EXCEL (надстройка -Поиск решения») (табл. 4).
Общий риск портфеля составит 7,06%. если портфель состоит из 4.7% акций Волгателеком. 34.9% акций Даль-связь, 15.1% акций С-3 Телеком. 7% акций Бащнефть. 22.7"» акций НЛМК и 15.6% акций НТМК.
Источники информации
1. Гибсон Р. Формирование инвестиционного портфеля: управление финансовыми рисками Пер. с англ. — М; Лльпина Бизнес Букс. 2005.
2. Иванов А. Определение финансовых рисков акций российских эмитентов Рынок ценных бумаг. — 2004. — Ns 3. — С. 25—30.
3. Иванов А. Риск и доходность инвестиционного портфеля // Рынок ценных бумаг. — 2004. — № 4. — С. 31—38.
4. Кох И. Современные возможности диверсификации на рынке акций / Рынок ценных бумаг. — 2006. — N° 7. — С. 42-47.
5. Орлова И.В. Экономико-матема-тические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. — М.: Финста-тинформ, 2000.
6. Половников В.А., Пилипенко А.И. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций. — М.: Вузовский учебник. 2004.
7. www.rts.ru — интернет-ресурс фондовой биржи -Российская торговая система*. ■
