Эффективное действие КЭД в постоянном электромагнитном поле с учетом возможного нарушения лоренц-инвариантности уравнения Дирака Текст научной статьи по специальности «Физика»

Эффективное действие КЭД в постоянном электромагнитном поле с учетом возможного нарушения лоренц-инвариантности уравнения Дирака

А. Ф. Бубнов, Б.Ч. Жуковский0

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а zhukovsk@phys. msu. ru

Статья поступила 04.12.2009, подписана в печать 28.12.2009

Работа посвящена вычислению поправок к эффективному действию КЭД, связанных с наличием нарушающего лоренц-инвариантность аксиально-векторного конденсата Ь. Показано, что линейный по Ьv вклад в однопетлевое эффективное действие (член Черна-Саймонса) отсутствует в случае постоянного электромагнитного поля. Квадратичный по Ьвклад рассчитан как для случая постоянного магнитного, так и электрического поля. Получены асимптотические оценки для квадратичного по Ьслагаемого для случаев сильного и слабого по напряженности поля.

Ключевые слова: расширенная стандартная модель, нарушение лоренц- и СРТ-инвариантности.

УДК: 539.12.01. PACS: ll.30.Cp, 12.60.-i, ll.10.Ef, 12.20.Ds.

Введение

Все известные взаимодействия описываются стандартной моделью и являются инвариантными относительно преобразований Лоренца и комбинаций дискретных СРТ преобразований. Проверке этих фундаментальных законов физики посвящено большое количество работ [1-6]. Однако стандартная модель не включает в себя описание процессов, происходящих при планковских масштабах энергии, тогда как на сегодняшний день существует ряд фундаментальных теорий, таких как теория суперструн, суперсимметричное обобщение (SUSY) и др., которые справедливы также и в этом диапазоне энергий. В последнее время в этих теориях появились указания на то, что JIo-ренц- и СРТ-симметрии лишь приближенные и могут нарушаться в локальных теориях поля посредством механизма спонтанного нарушения симметрии [7]. Так как в стандартной модели нет удовлетворительного способа описания этого нарушения, то рассматривают различные ее расширения. Общий подход в этих теориях, рассматриваемых как низкоэнергетический предел фундаментальных, состоит во введении феноменологических параметров, нарушающих лоренц- и СРТ-инва-риантность.

Одной из первых работ, послуживших началом систематического изучения расширенной стандартной модели, является работа [8]. Линейный по феноменологическому параметру вклад в эффективное действие квантовой электродинамики в расширенной стандартной модели — так называемый член Черна-Саймонса впервые был вычислен в работе [9]. За этими работами последовали и другие, посвященные вычислению вклада члена Черна-Саймонса в эффективное действие. Результаты этих работ сильно разнились: в некоторых из них получено конечное выражение для члена Черна-Саймонса [9, 10], в других говорится, что он зависит от схемы регуляризации [11]. Есть статьи, в которых авторами показано, что этот член в выбранной модели не образуется [12, 13].

Цель настоящей работы состоит в вычислении до-

полнительного вклада в действие КЭД (аксиально-векторного конденсата Ь^) за счет слагаемых, обусловленных наличием ненулевой феноменологической константы в уравнении Дирака, нарушающей лоренц-и СРТ-инвариантности лагранжиана теории. Главным образом, исследование касается ее временной компоненты Ь0, имеющей на данный момент наиболее слабые экспериментальные ограничения.

1. Используемая модель

Рассмотрим расширенную стандартную модель с лагранжианом [7]:

С(ф, ф,А, Ъ) = + &75 — т)ф, (1)

где

д = УЧ, Ь", Iй} = 2|Г, 75 = -¿тУтУ. £""=(1,-1,-1,-1), = -

заряд е включен в определение А^: еА^ -¥ А^.

Эффективное действие в однопетлевом приближении имеет вид

ГеК(Л, b) = —i In

Di Т)г ■ exp

d4 хС(ф,ф, A, b)

= —i In Det(7r + B75 — m). (2) Воспользуемся формулой In Det A = Tr In A, тогда

ГdS(A, b) =

d4xC = —i7r In (7т + — m), (3)

где Тг(Л) = / й4х \г (х\А \х).

Здесь и далее 1г означает взятие следа по всем лоренцевым и спинорным индексам. Используя представление собственного времени для логарифма, эффективное действие (3) может быть переписано в виде

Г ell(A,b) = ^

■ОО

__ Tr

о 2 '

(4)

где

Я = -тг% - 2/0^7г<,75 + + + т2.

2. Генерация члена Черна-Саймонса в постоянном электромагнитном поле в расширенной стандартной модели

Рассмотрим эффективное действие (4) и рассчитаем вклад линейных по Ъ>* слагаемых для случая постоянного электромагнитного поля (F^ = const).

Для записи пропорционального Ь^ слагаемого необходимо «расцепить» выражение, стоящее в экспоненте оператора эволюции U = Тг е^гН, что можно сделать, воспользовавшись формулой Бейкера-Хаусдорфа

ет(А+В) _ етАетВ^-1

(5)

где Цт) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению [14]:

1 dL

где

= В — е^тВ f {т)етВ, 1(0) = 1, (6)

L ат

/ (т) = е-^Ве^ = В - - [Л, В] + - [Л, [Л, В] ] + ... .

1!

2!

В подынтегральном выражении в формуле (4) введем следующие обозначения:

Л ее В ее гж^ - (7)

Так как А ~ Ь1*, то в разложении функции f{т) с точностью до О(Ь^) достаточно рассмотреть два первых члена ряда. Подставим выражение для f{т) в уравнение (6):

\_dL L dr

= В^е^тВ(В^т[А,В])етБ =

00 п-1

п=1

(п- 1)К

[[...[А,В]...,В],В]. (8)

В выражении (8) необходимо учесть все слагаемые, так как все они линейны по Ь. При этом коммутаторы могут быть записаны в следующем виде:

[[...[А,В] В], В] = ^{2iZ1b)byaJlv{{2izF)k)ar

k

О)

Подставив выражение (9) в (8) и решая его, получим 1(1) = exp(2iz-f5b)iamIluEa'i), (10)

где

((2izF)") *

п=1

(п- 1)!(п+1)"

Полученная формула позволит «расцепить» экспоненту Тге^гЯ и выделить вклад линейных по Ъ>* слагаемых. После взятия следа по спинорным индексам выражение Тге^гЯ запишется так:

Тг{ехр(-,г#)} = -16г(Ьа - ЬхЕах)Ыа(1е^гт2 х

d4X (х\ 7Гд ехр(27Г^7Г^) \х), (11)

X

Nafi = (C2Fap + CAFap),

где постоянные г sh zX

С* = ~Н ~2Г

Сл = —Re

1

т — _ F F^ 4 v

с* — i F F^v 4 v

Таким образом, нам удалось свести задачу о нахождении члена Черна-Саймонса к вычислению матричного элемента § dx (х\ тгр ехр(гтг"тг1У) \х).

Введем вспомогательное выражение ехр(27г^7г^ + + Хртгр), где Хр — произвольный постоянный 4-вектор.

С помощью формулы Бейкера-Хаусдорфа, примененной к вспомогательному выражению, получим следующее тождество:

2 1 д

еет2тгб = -— ехр (г(тг% + Лр7гр))|л=0 х

•Е

п=0

(-2 izF)n (п + 1)!

(12)

где g — метрический тензор. Подставив тождество (12) в выражение для оператора эволюции (11), получим

Тг(е~ ) = —I6z(ba

■ bxT,ax)Naf}e

Е

п=0

(-2 izF)n (п+ 1)!

8 X

d4x ^ {х\ е^(1/4)гА ехр (г(тг + Л)2) |х)

1А=(У

(13)

Последнее выражение равняется нулю: Тге^гЯ = 0.

Действительно, рассматриваемая теория калибро-вочно инвариантна, поэтому к оператору можно добавить константу, не влияющую на уравнения движения, т.е. заменить в (13) ехр(г(7г+Л)2) —> ехр(г(7г)2). Оставшееся же выражение после дифференцирования, при последующей подстановке Л^ = 0 обращается в нуль.

Таким образом, в рассматриваемой расширенной стандартной модели слагаемое, пропорциональное первой степени Ь(член Черна-Саймонса), не образуется.

3. Эффективное действие в (б0)2-приближении.

Магнитное поле

Рассмотрим квадратичный по Ьвклад в эффективное действие (4) при наличии только магнитной компоненты электромагнитного поля (/^г = —/"г! = —Н). Ввиду значительных экспериментальных ограничений на пространственную часть Ь[4, 6] наибольший интерес представляет вклад временной компоненты феноменологического параметра Ь°.

Оказывается, что в выбранной конфигурации полей экспонента в (4) «расцепляется» следующим образом:

Тг£Г2 Я = Тф{2

(14)

В правой части выражения (14) разложим экспоненту до второго порядка по Ь0 включительно и ограничимся рассмотрением слагаемых, пропорциональных Щ:

7гщ е^гН = -Ь20 Тг [(-г - 2г2тгкт^ + 2г2Е12а12) х

После взятия следа по спинорным индексам выражение (15) может быть переписано следующим образом:

Воспользуемся формулой Бейкера-Хаусдорфа. Выражение для коммутатора

[А, В] = {21г1ъ){21г)Ъ11Е^аар11р

в выбранной конфигурации полей равно нулю. Выражения А и В имеют вид (7). В этом случае экспонента «расцепляется»:

Тг = Тг

e(2fZ7'V"61П„)e(z(П)2-zF0зст03)e-z62-zm2

ё4Х (х\ (Л0+Л1(7Г17Г1 + 7Г27Г2 + 7Г37Г3)) X

х ег(71)2 \х) е^гт"2, (16)

где введены обозначения

А0 = 4г(сЦгН) + 2гН эЬ^Я)), А[ = 8г2 сЦгН). (17)

Для вычисления этого матричного элемента перейдем рассмотрением слагаемых, пропорциональных Ь2: в пространство Евклида согласно следующим стандарт ным определениям:

x = (х°, ж), хе = (х4, ж), ¿х0 = х4,

. (23)

В правой части выражения (23) разложим экспоненту до второго порядка по Ь\ включительно и ограничимся

Тг62 е^гН = Ь\ Тг

(г + 2г2(П0П0 + П2П2 + П3П3)

х2е = х2 + х\ = -х2, рЕ

р, ро = 1р4,

Ло = г'Л4, А = —Ае,

- _2 /„ч2 _ „2

2г3Е03а03)1

12(П2-4/3),

. (24)

7Г17Г1+7Г27Г2+ 7Г37Г3 = ^7г£, (я")' — -тг4 - 7г£, (18) После взятия следа по спинорным индексам выражение

(24) может быть переписано так:

и тогда выражение (16) может быть записано следую щим образом:

Тг„2 е^гН =

Тг62 е^ =

й4х {х\ [Ло+Л1(ПоП0+П2П2+ПзП3)]х

хег(п)»е^гт\ (25)

й4х (х\е +а7Г£) \х) |а=г (19) где введены следующие обозначения:

Таким образом, удалось свести задачу поиска вклада порядка Щ к вычислению матричного элемента в урав-

Ло = г соэ(2^оз) — 2г2Е(% эт^Роз), А\ = 2г2 соэ^Роз)-

(26)

нении (19). Идею вычисления матричных элементов Для вычисления этого матричного элемента перейдем подобного вида можно найти, например, в [15]. В нашем случае

(х\

ФУЕ

\х) =

Я

1

в пространство Евклида (18), тогда

(20)

Тг62 е^гН = 4Ь2 ^Ло +

г да/

Последняя формула позволяет получить окончательное выражение для вклада в эффективое действие членов Идею вычисления матричных элементов подобного вида

порядка Щ

й4х (х\

гментов подо

можно найти, например, в [16]:

Ъ2

/Г|(Я,6) = 2

йг

Тг е^ =

Ь\

1

'8т?

й х

йге~

> 2Я2

эЬ2 гН

й4хСе1 (21)

= 2 Ь?

й4х

^—гН _

0 2

„-гт2(л Е а

да) 1б7г22 з1п(а2£) а—

После вычитания расходимости конечное выражение для эффективного лагранжиана примет следующий вид:

(28)

После подстановки Л^Ло для эффективного действия получим

йг

(22)

уН г2)

-эГ гН

Ь±

4-7Г2

й X

йг е

2 Е2

э1п (г£)

4. Эффективное действие в (б0)2-приближении. Электрическое поле

Рассмотрим квадратичный по Ь>* вклад в эффективное действие (4) при наличии только электрической компоненты электромагнитного поля (.Роз = ^Рзо = = Еф 0) и = {0,6Ь 0,0}.

сГхСЦ. (29)

После вычитания расходимости находим конечное выражение для эффективного лагранжиана

Ь±

4-тг2

йг е

( 2£2 _ ^ Й1П2 (гЕ\ г2)' К '

1

^¡п (г£)

5. Асимптотические приближения. Магнитное поле где С — постоянная Эйлера. Тогда при г/ <с 1 имеем

В предыдущем разделе мы получили выражение

0${Н,Ь), которое представляет собой вклад в Эффекте»

тивный лагранжиан КЭД в предположении существования ненулевой феноменологической константы связи Ьц. Таким образом, полный лагранжиан может быть записан в виде суммы трех слагаемых:

ф(у) = -С - ± + уф) - у2С(3) + 0(у3), У

где ((п) — дзета-функция Римана. С учетом сделанного приближения получаем асимптотику выражения (31)

£ = £о + £ен| + £р(Я,&),

"о

где £о — лагранжиан свободного электромагнитного "НЕ

поля, £^Е — эффективный лагранжиан Гейзенбер-

га-Эйлера [15] и СеЗ(Н,Ь) — пропорциональный Щ

вклад в эффективный лагранжиан.

Хорошо известно, что |£^Е| < |£0|, \С$(Н,Ь)\ <С

<С |£о| для самого широкого диапазона полей, но остается вопрос, как соотносятся между собой и 0${Н,Ь). Для ответа на него преобразуем выражение (22) к удобному для анализа виду [17]

Запишем хорошо известные предельные выражения для эффективного лагранжиана Гейзенберга-Эйле-ра [15].

Слабое поле: £ен|(Я) =^ (Я <с Я0 = т2/е = = 4.41 х 1013 Гс).

Сильное поле: £*{Н) = (Я»Я0).

В результате получаем соответствующие отношения для случаев сильного и слабого поля:

£ен|(Я) Я ( т\2 }

(£ГЧж) ™

£ЙчЯ, Ъ) Я(

ъ1

йг

ЧЬ2(гЯ) г2!

1

£ен| (Я)

(Ш)2 «"«"»»■

(33)

(34)

й{Нг) (сЩгН) - —

Л

4-7Г2

т

(гН),

2у<

•1п у + ^А, (31)

где ф(х) — пси-функция Эйлера, у = ^.

В принятых обозначениях заметим, что у 1 соответствует случаю слабого поля, а у —> 0 — сильному полю.

Как видно, в случае сильного поля (33) вклад в эффективный лагранжиан слагаемых, обусловленных наличием ненулевой феноменологической константы в уравнении Дирака, подавлен относительно однопетлевых вакуумных поправок. В случае же слабого поля (34) этот вклад может оказаться соизмеримым с однопетлевым.

Заключение

Слабое поле

В случае когда аргумент пси-функции Эйлера удовлетворяет условию у 1, удобно воспользоваться ее представлением в виде следующего ряда [18]:

1

1

'■Ну)

1 в2

2 у 2 у2 \у

где В2п — числа Бернулли: В0= 1, В2 = |. В3 = 0, = ■■■ - С Учетом сделанного приближения,

асимптотика выражения (31) запишется как

Сильное поле

В случае когда аргумент пси-функции Эйлера удо влетворяет условию у-¥ 0, удобно пси-функцию Эйле ра записать в виде следующего ряда [17]:

В настоящей работе на основе разработанного нами обобщения метода собственного времени разработан новый способ подсчета вклада в эффективный лагранжиан члена, нарушающего лоренц- и СРТ-симметрию, с точным учетом постоянного внешнего электромагнитного поля. С помощью этого подхода получены следующие результаты. Показано, что в расширенной стандартной модели линейный по феноменологическому постоянному параметру Ьвклад в эффективное действие (член Черна-Саймонса) не образуется, что согласуется с работами ряда авторов [12, 13] и противо-

о(_V (32) речит результатам работ [9-11]. В то же время получен

отличный от нуля вклад в эффективный лагранжиан в квадратичном по -параметру приближении, согласующийся с результатом работы [12]. Представлены оценки квадратичного по Ь^ вклада на основе полученных асимптотических выражений для случаев сильного и слабого магнитного поля. Показано, что в сильном магнитном поле этот вклад исчезающе мал по сравнению с однопетлевым вакуумным лагранжианом Гейзенберга-Эйлера, тогда как в случае слабого поля он может быть конкурирующим. Метод, разработанный в статье, в последующем может быть применен для вычисления других эффектов, связанных с нарушением лоренц- и СРТ-инвариантности.

| оо

ф(у) = -С - - + у ^

У к= 1

1

Ну + к)'

Авторы выражают благодарность профессору А. В. Борисову и доктору физ.-мат. наук А. Е. Лобанову за полезное обсуждение полученных результатов.

Список литературы

1. Ebert D., Zhukovsky V.Ch. 11 ArXiv: hep-th/9712016v2.

2. Ebert D., Zhukovsky V.Ch., Razumovsky A.S. 11 Phys. Rev. 2004. D70. P. 025003.

3. Zhukovsky V.Ch., Lobanov A.E., Murchikova E.M. 11 Phys. Rev. 2006. D73. P. 065016.

4. Bluhm R. // ArXiv: hep-ph/0011272.

5. Alfaro J., Andrianov A.A., Cambiaso M. et al. 11 ArXiv: hep-th/0904.3557v2.

6. Bluhm R., Kostelecky V.A., Russell N. 11 Phys. Rev. Lett. 1997. 79. P. 1432.

7. Kostelecky V.A., Samuel S. 11 Phys. Rev. D. 1989. D39. P. 683.

8. Colladay D., Kostelecky V.A. 11 Phys. Rev. D. 1997. D55. P. 6760.

9. Jackiw R., Kostelecky V.A. 11 Phys. Rev. Lett. 1999. 82. P. 3572.

10. Chaichian M., Chen W.F, Gonzalez Felipe R. // Phys. Lett. 2001. B503. P. 215.

11. Hott M.B., Tomazelli J.L. 11 ArXiv: hep-th/9912251.

12. Sitenko Y.A., Rulik K. Y. // Eur. Phys. J. 2003. C28. P. 405.

13. Altschul В. H Phys. Rev. 2004. D69. P. 125009.

14. Байер В.H.,Катков В.M, Фадин B.C. Излучение релятивистских электронов. М., 1973.

15. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Курс теоретической физики. Т. 4. Квантовая электродинамика. М., 1989.

16. Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов A.B. Квантовые процессы в сильном внешнем поле. М., 1989.

17. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963.

18. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М., 1953.

Effective action of QCD in a constant electromagnetic field under the condiction of possible Lorentz invariance violation of Dirac equation

A. F. Bubnov, V.Ch. Zhukovsky"

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a zhukovsk@phys.msu.ru.

In this paper, corrections to the effective action of QED are calculated with account for the axial-vector condensate bß violating Lorentz invariance. It is demonstrated that in the case of a constant electromagnetic field the linear in bß correction to the one-loop effective action is absent. The contribution quadratic to bß is calculated in the cases of constant electric and magnetic fields. Asymptotic estimates are found for the quadratic in bß contribution to the action in the cases of strong and weak magnetic field intensity.

Keywords: Standard model extension, Lorentz and CPT violations. PACS: ll.30.Cp, 12.60.-i, ll.10.Ef, 12.20.Ds.

Received 4 December 2009.

English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2010).

Сведения об авторах

1. Бубнов Андрей Францевич — аспирант; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: blandrey@rnail.ru.

2. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор, зам. зав. кафедрой; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.